過去分數相關文獻之探討與啟發

我國九年一貫數學領域在基本理念的闡述中提及（教育部，2003）：一、

能力發展：學童能力的發展始於流利的基礎運算和推演、對數學概念的理解，

然後懂得利用推論去解決數學問題，包括理解和解決日常問題，以及在不熟 悉解答方式時，懂得自尋解決問題的途徑。抽象化能力始於能運用符號、記 號、模型、圖形或其他數學語言、清楚傳達量化、邏輯關係。發展邏輯思考，

用來分析證據、提出支持或否定假設的論點。啟發學童自行在不同數學概念

之間做連結，並連結數學與其他學習領域。學童要能將數學運用在日常生活 中，學習欣賞數學，從而發展探究數學以及與數學相關學科的興趣。二、數 學溝通能力：溝通包括理解與表達兩種能力，所以，數學溝通一方面要能了 解別人以書寫、圖形，或口語中所傳遞的數學資訊；另一方面，也要能以書 寫、圖形，或口語的形式，運用精確的數學語言表達自己的意思。研究者覺 得學童要學好分數，必須先能清楚了解分數的意義，此抽象能力能透過口語、

文字、圖像以及符號等的交互運用來幫助學習。因此研究者在試題編製上，

希望透過文字（口語）、圖像以及符號三者的交互轉換，來檢驗學童對分數 意義的了解。

「分數與小數」的學習，是學童最感到困難的主題之一（教育部，2003），

同時也是錯誤類型出現最多的主題。徐文明（2007）也指出學童學習數學不 是以一種簡單的死記運算規則，而是一種複雜的知識建構歷程，因此在知識 的建構歷程中，會因某種因素的影響而導致迷思概念的產生。許多研究（林 碧珍，1990；甯自強，1993；楊德清、洪素敏，2003；Behr et al., 1988）都 主張分數的多重意義，而多重意義經常是造成學童學習分數困難的重要原因 之一。學童的數學學習過程中，分數的學習往往是學童最感到困難，也最容 易產生各種錯誤情形的數學單元之一。

茲將二、三年級分數課程分為真分數、分數比大小及同分母分數的加減 等三個主題，並依此三個主題將學童常犯的錯誤類型之相關文獻做整理，將 之用來作為施測試題的誘答選項，分別整理如下：

一、在真分數部分

歸納相關文獻，研究者發現在真分數犯錯的原因。下表 2-3-1 為整理相 關文獻之研究發現。

表 2-3-1 真分數之相關文獻整理

研究者 年代 研究 對象

研究發現

Bergeron 和

Herscovics

1987 三年級 在處理分數板的問題時，只注意到分數板

楊德清和洪 素敏

2003 四年級 1.如下圖的方式表徵 3/5 的抽象符號，學童 雖然把整個圖形分成五份，但卻不是相等 的 五 份 ， 表 示 學 童 缺 乏 等 分 的 概 念 。

2.若只考慮到分子的因素，解題過程中深 受分子的影響。例如學童在以二十四個組 成一堆的花片中取出其中的六分之一時，

他們的反應是只取其中的一個；取出六分 之六時，他們會給你六個，雖然花片還有 剩下，但他們也沒有警覺到奇怪。

3.若只考慮到分母的因素，這些學童在解 題過程中深受分母的影響。

4.學童在處理連續量「部份/整體」情境的 問題時，會把部份當成分子，而以整體扣 掉部份為分母的情形發生，如下圖，認為 塗黑部份占整體的 1/4。

徐文明 2007 五年級 在處理黑色部分占全部幾分之幾時如下

圖，認為答案是 2/6。可見即使是五年級的 學童仍然會忽略了－分數是要對整體進行

等分割的活動這個重要因素。

黃志敘和楊 德清

2007 六年級 1.不了解分數的意義。2.缺乏部份/整體之 概念。3.缺乏單位量概念。4.缺乏等分概 念。

在真分數的學習部分，從上述文獻以及研究者現場的教學經驗中可以發 現，學童具有常見的相同分數錯誤概念：未注意到平分、只考慮到分母或分 子、忽略單位量、不了解分數的意義、缺乏部份/整體之概念等，另外研究者 覺得分數的符號、圖像以及文字的敘述等三者有著密不可分的關聯，所以研 究者除了將上述學童易犯的錯誤概念用來作為施測試題的誘答選項，並能結 合符號、圖像以及文字的敘述等三者的轉換來呈現問題。

二、在分數比大小部分

歸納相關文獻，研究者發現在分數比大小犯錯的原因。下表 2-3-2 為整 理相關文獻之研究發現。

表 2-3-2 分數比大小之相關文獻整理

研究者 年代 研究 對象

研究發現

楊德清 2000 六年級 處理分數問題時會將 a/b 視為是由兩個整數所 組成，而未將分數視為一個數。

游政雄和 呂玉琴

2002 中年級 根據 Behr、Wachsmuth、Post 和 Lesh（1984）

的研究顯示，學童在處理同分子分數、同分母 分數比較問題時，會採取各種不同的策略。例 如學童處理同分子分數問題時，運用整數支配 法，認為 1/3 小於 1/4 是因為 3＜4。處理同分 母分數問題時，學童運用不正確的分子分母 法，認為 9/13 小於 4/13 是因為「四塊是這麼 大，九塊會比較小以便合於全部」。許多學童 由於不了解分數的意義，因而受整數基模的影 響，將分數 a/b 視為兩個獨立的數。

游政雄和 呂玉琴

2002 中年級 1.同分母分數的大小比較問題，答對率接近百 分之百（離散量問題答對率99.4﹪～100﹪）

因為學童只要運用整數大小比較的知識，即可 正確回答同分母分數的比較問題。

2.同分子異分母分數大小比較問題，學童根據 分母的大小來進行比較，卻造成其解題錯誤。

楊德清和 洪素敏

2003 四年級 以分母為準則之迷思概念：當比較分數大小 時，忽略分子的存在，以分母的大小來決定分 數的大小，例如比較 3/8 與 3/5 時，因為 8>5，

所以 3/8 >3/5，並未考慮分子與分母的相互關 係。

洪素敏 2004 五年級 學童在分數比大小的表現易忽略單位量，僅以 分子或分母的大小來判斷分數值的大小。

在分數比大小的學習部分，從上述文獻以及研究者現場的教學經驗中可 以發現，學童具有常見的相同分數錯誤概念：由分母或分子來決定分數的大 小、忽略單位量、不了解分數的意義、缺乏部份/整體之概念等。再加上分數 比大小中的同分母比分數大小是學童表現比較好的，而學童在單位分數比大 小則是表現較差的，乃因學童易受分母或分子的影響而直接判斷其分數值的 大小，所以研究者會設計單位分數比大小與同分母分數比大小兩種題型，並 將上述學童易犯的錯誤概念用來作為設計施測試題的參考。

三、在同分母分數的加減部分

歸納相關文獻，研究者發現在同分母分數的加減犯錯的原因。下表 2-3-3 為整理相關文獻之研究發現。

表 2-3-3 同分母分數的加減之相關文獻整理

研究者 年代 研究 對象

研究發現

洪素敏 2004 五年級 只以部份/整體關係來看待分數意義，未將分數 看做一個數值，而將分子與分母當成個別的數 字進行加減乘除的運算。

李源順 和孫德 蘭

2005 三年級 在概念性知識的表徵圖上，改變量未知的減法 問 題 表 徵 題 及 數 字 較 大 的 表 徵 題 上 成 就 較 差，且大多使用圖形表徵進行答題，較少使用 文字表徵進行答題。在連結性知識上，比較量 未知的比較型問題，是所有問題中答對率最低 的問題。概念性知識的表現較差、程序性與連 結性知識的表現以接近暫綱要希望 80%的學童 能夠學會的標準。

李源順 2005 三年級 應該出一些檢驗學童是否了解概念性知識的 問題，之後再讓學童察覺同分母真分數加減的 口訣，並進行抽象的數字計算問題，讓學童了 解把自己知道的想法利用先前所學的圖形表 徵，或者口語寫成文字。學童很不喜歡在評量 上寫太多的文字，因此，老師應該認同學童使 用圖形表徵來表達它對同分母真分數加減法 的了解。

李源順 2005 三年級 學童在同分母分數加減時，會出現概念性迷思 和程序性迷思兩種。其中大部份因為沒有考慮 分 數 的 意 義 而 將 整 數 加 減 的 概 念 過 度 一 般 化，而產生「分母加（減）分母、分子加（減）

分子」的概念性迷思，而不小心算錯的程序性 迷思只佔少部份。

在同分母分數的加減的學習部分，從上述文獻以及研究者現場的教學經 驗中可以發現，學童具有常見的相同分數錯誤概念：視分母與分子為兩個獨 立的個體，而有分母相加與分子相加的情形、不了解分數的意義、缺乏部份/

整體之概念等，另外研究者在教學現場的教材中，發現有分數加(減)整數1的 題型，亦即學童須先將整數1化成同分母的分數再做加減，所以研究者除了將 上述學童易犯的錯誤概念用來作為設計施測試題的參考外，更將整數1加入同 分母分數的加減題型中。

四、小結

從相關研究（劉天民，1993）以及研究者現場的教學經驗中可以發現：

學童因為具有上述的分數錯誤概念，因此當進入抽象符號的分數運算時，就 會有錯誤的答案產生。除此之外，現行國小的分數教學，是由分東西的經驗 帶入，由生活性「一半」的語官，連結對二分之一的概念，再帶入分數符號

（詹婉華、呂玉琴，2004）。因此，學童的生活經驗如果無法和分數符號產生 連結，勢必會在分數的學習上產生困難，教學者在處理學童相關的錯誤概念 時，實在不可不慎。

另一方面，國際上的評量也會出一些類似要學童用文字表達他對概念的 了解的問題，因此，我們也應讓學童了解自身應該有能力把他所知道的概念 用文字表達出來。

因此，研究者所施測之試題是希望學童將分數以圖像表徵、口語或文字 表徵與符號表徵作靈活互換，幫助自己理解「分數」的概念，並能應用在分

因此，研究者所施測之試題是希望學童將分數以圖像表徵、口語或文字 表徵與符號表徵作靈活互換，幫助自己理解「分數」的概念，並能應用在分