九年一貫數學領域代數統計數學概念

一、代數方面的概念

茲將相關文獻資料歸納成代數概念的意義、代數概念的發展、代數概念的學 習困難及四年級代數能力指標的說明等四方面，分述如下：

（一）代數概念的意義

代數（algebra）是數學的一支，已有將近四千年的歷史了，大約在西元 300 年，希臘數學家Diophantus 完成了數學史上最早的代數著作“Arithmetica”，被後 人尊稱為代數之父。代數源自阿拉伯文“aljabr”，含有「精簡濃縮」之意，其建基 於算數的四則運算和整數的特點，並引入符號代數的數學式子，以便簡化和歸類 運算過程（羅浩源編，1997）。

Usisikin（1988）認為代數包含四種含意，分別是通則化的算術、解決特定問 題的程序之學科、一門有關數量關係的學科、研究數學結構的學科等意義。廖瓊 菁（2001）認為代數是數學的一支，是一門將算術精簡及通則化的學科，其利用 數字、變數及運算所組成的數學語言，來將數字關係和數學結構符號化。

綜合前述，可歸納出：代數概念是由數概念、文字符號概念及符號表徵的運 算等所組成的數學結構。

（二）代數概念的發展

茲將代數概念的發展分成數概念、文字符號概念及符號表徵的運算等三階 段，分述如下：

1.數概念

兒童數概念的發展與其運思活動密切相關，運思活動根據兒童對所使用 的感官活動材料的疏離感之遠近可區分成感官活動期、象徵活動期及抽象活 動期等。在抽象運思期階段中包含四種運思活動，依其發生順序分述如下（甯 自強，1993）：

（1）序列性合成運思期：將構成事物的元素合成為一事物的能力或運思，例 如：將數個「1」看成一個集聚單位「10」。

（2）累進性合成運思期：以序列性合成運思期形成的集聚單位當作基礎，進 一步累加更多個元素，形成一個新的集聚單位，例如：以「10」為起點，

繼續合成5 個「1」，形成「15」。

（3）部分-全體運思期：即累進性合成運思的重組，將新的集聚單位視為數個 集聚單位和數個元素所合成的，例如：將「66」當作是 6 個「10」和 6 個「1」的合成結果，前後兩個 6 有不同的意義。此時期，兒童能清楚的 掌握加法交換律或加減互逆的關係。

（4）測量運思期：即部分-全體運思期的遞迴運用，以元素「1」和集聚單位「10」

為基礎，進而能掌握集聚單位「10」和以「10」為元素所合成的另一個 集聚單位，例如10 個「10」。此時期，兒童能清楚的掌握乘法交換律或 乘除互逆的關係。

2.文字符號概念

Collis（1975）指出學生的文字符號概念可分類成六種不同的使用層次（引 自袁媛，1993）：

（1）文字符號代表可算出的值（letter evaluated）：指文字符號代表一個設定的 數值，例如：「n＋5＝8」的 n。

（2）文字符號可忽略不用（letter ignored）：指文字符號在解題過程中可以不加 以考慮，例如：a＋b＝5，求 a＋b＋2 的值。

（3）文字符號當作物（letter as object）：指文字符號為某一代表物的簡記或標 記，例如：以 h 代表某一邊長。

（4）文字符號當作特定的未知數（letter as special unknown）：可以直接計算，，

例如：有 n 個邊，每邊長 2 公分，則周長為 2n 公分。

（5）文字符號當作一般化的數字（letter as generalize number)：視文字符號代 表一組數字而非單一數值，例如：c＋d＝10，且 c＜d，則 c 代表小於 5 的數。

（6）文字符號當作變數（letter as variable)：指文字符號代表一未定的數值，

例如：比較 n 和 2n 的大小。

3.符號表徵的運算

符號表徵的運算包括以符號符號表徵未知數、形成代數式、形成方程式 及解方程式等概念，其中在解方程式時，更涉及等號概念、等量公理、逆運 算及移項等概念或方法（廖瓊菁，2001）。

（三）代數概念的學習困難

1.數概念方面：在解代數文字題時，學生可能因不知道數概念的相關數學公式、

語文常識或專有名詞，而無法正確解題（王佳文，1995）。

2.文字符號概念方面：兒童大多能把文字符號當成可算出的值或當成一個數，

但國中一年級的學生尚無法處理把文字符號當作一般化數字或變數的題目

（袁媛，1993）。

3.符號表徵的運算方面：

（1）等號概念及等量公理：認為等號是一個掌握算術運算執行的命令，而非 比較兩個量之關係的符號，導致較不易了解等量公理（廖瓊菁，2001）。

（2）解方程式：學生最容易無法正確解出「a-□＝b」和「a÷□＝b」這兩類

根據教育部（2003）所公佈的九年一貫四年級代數能力指標之內容如表 2-1 所示：

2003；教育部，2003；黃敏晃、周筱亭，2002a、2002c）：

1.乘法結合律的定義：三個數連乘時，前二數相乘後再乘以第三個數的積會等

＝甲數÷（乙數×丙數）」。

4.算式：用「+」、「-」、「×」、「÷」等符號連結數字而成的橫列的式子，叫做算 式。

5.單步驟算式填充題：依據簡單的具體情境，將未知數用括號表示，且只需經 過1 次運算便可求出答案的式子，叫做單步驟算式填充題。

6.未知數符號的算式：依據簡單的具體情境，將未知數用某種符號表示所列出 來的式子，叫做未知數符號的算式。

7.乘除互逆：在可以整除的情形下，乘法中的積相當於除法中的被除數，乘法 中的被乘數相當於除法中的除數（或商），乘法中的乘數相當於除法中的商（或 除數）。

8.解題：依據問題情境，運用算式計算出答案的方法，叫做解題。

9.驗算：在計算完後，檢驗計算結果是否正確的方法，叫做驗算。

10.乘法驗算：計算完乘法問題後，利用除法驗算答案是否正確。

11.除法驗算：計算完除法問題後，利用乘法驗算答案是否正確。

12.正方形周長的中文簡記式：正方形周長＝邊長×4。

13.長方形周長的中文簡記式：長方形周長＝（長＋寬）×2，或長方形周長＝長

×2＋寬×2。

14.正方形面積的中文簡記式：正方形面積＝邊長×邊長。

15.長方形面積的中文簡記式：長方形面積＝長×寬。

二、統計方面的概念

茲將相關文獻資料歸納成統計圖概念的發展、統計評量的相關研究、九年一 貫統計和機率教材之五個階段和概念及四年級統計與機率能力指標的說明等四 方面，分述如下：

（一）統計圖概念的發展

蘇國樑（1996）對學生的統計圖認識進行實際的觀察，歸納出兒童的統計圖 概念發展可分成五個時期，分述如下：

1.整體資料集的摹寫：兒童能掌握資料集元素的外在特徵、顏色和其空間位置，

並加以描繪成圖，即能用抽象圖像表徵具體物，例如：畫出物體的輪廓及顏 色等。

2.摹寫的簡化和符號的使用：兒童能以摹寫的抽象圖像反應為基礎，尋求更簡 化的符號表示元素的主要特徵，例如：用一個圓形來代表一個積木等，即利 用較簡單的符號表徵具體物。

3.符號並列：兒童若僅將代表各子類元素的符號做任意的堆積，不易觀察和比 較出各類元素間的多寡程度，應使用同一種符號表徵資料集內各子類的元 素，並將代表各子類的符號群在一個給定的基礎線上進行直線的、連續性的 並列，這樣才能比較或依視覺感覺出各子類元素所佔的範圍或程度，如圖2-1 所示。此時期尚未運用到造數活動，僅是以離散表徵物或符號來表現離散量。

第一子類：○○○○○○

第二子類：○○○

…

…

圖2-1 符號並列的方式

4.連續性條形圖的使用：兒童在能根據觀察各子類元素的多少獲得資料集的統 計概念後，進而能改用等寬的連續長條來代替直線並列的離散符號，即各子 類長條的長度代表該子類內元素的多寡程度。利用簡單的長條符號所構成各 子類元素多寡的統計圖，如長條圖等，可以讓兒童瞭解一個資料集的整體概 括概念。在此時期以長條代表子類內部事物的多寡時，需選定共同的標準單 位長度，即以連續的長短幾何圖形取代了共同的單位表徵物（如○）的累積 關係。

5.長條圖對資料集的統計概念的概括：兒童能將各子類內元素用一種連續量的

連續圖來表示後，整個資料集才能由幾個連續性的長條組合所呈現出，亦即 能整體呈現出整個資料集的內在結構和關係。

（二）統計評量的相關研究

茲將統計評量的相關研究分述如下：

1.洪瑞鴻（2002）將國小統計概念分為資料複製與分類概念、資料重組概念、

連續性統計圖形表現概念、統計圖間子類的比較概念、統計圖對資料集的統 計概念等五個概念，針對國小四至六年級的學童進行施測，結果發現受試學 童的統計圖概念普遍皆屬中等以上的程度，結果顯現學童在連續性統計圖形 表現概念上的表現最佳，在統計圖對資料集的統計概念上的表現最差。

2.陳幸玫（2004）根據九年一貫數學學習領域課程綱要的內容設計出三份評量，

分別是二～三年級、四～五年級及六年級的統計概念評量，概念類別為資料 分類與整理、長條圖、折線圖及圓形圖等，且分別對國小二～六年級的學童 進行施測。結果發現分述如下：

（1）二～三年級：大部分學童對分類、數數、畫記、報讀與解讀二維表格、

報讀次數分配表及長條圖等概念沒有問題，僅部分學童在對物件屬性的 觀察方面易受外在環境或不相關因素干擾。

（2）四～五年級：大部分學童對報讀折線圖、複雜折線圖、圓形圖、和報讀 與解讀次數分配表、長條圖、複雜長條圖等概念沒有問題，部分學童較 缺乏解讀折線圖的概念，大多數學童缺乏有序資料呈現方式與資料趨勢 其相關性的認知、部分累計、資料趨勢、圖形呈現方式與問題的相關性 等概念。

（3）六年級：大部分學童對報讀折線圖、複雜折線圖、圓形圖、和報讀與解 讀次數分配表、長條圖、複雜長條圖等概念沒有問題，大多數學童缺乏 圖形呈現方式與問題的相關性、解讀圓形圖等概念。

（三）九年一貫統計和機率教材之五個階段

根據教育部（2003）公佈的「國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域」，