以能力指標結構為基礎的電腦適性測驗編製及動畫補救教學之應用—以國小數學領域四年級能力指標代數、統計與機率為例

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(1)國立台中師範學院進修暨推廣部數學教育學系在職進修教學碩士學位班碩士學位論文稿. 指導教授：郭伯臣博士. 以能力指標結構為基礎的電腦適性測驗編製及動畫補救教學之應用 —以國小數學領域四年級能力指標代數、統計與機率為例. 研究生：黃碧雲. 中. 華. 民. 國. 九. 十. 撰. 四. 年. 七. 月.

(2) 中文摘要本研究旨在建立一套以國小四年級數學領域「代數、機率與統計」能力指標為評量內容的電腦適性診斷測驗系統，同時輔以專家知識結構之電腦補救教學動畫系統，除了診斷出學生能力指標的學習成效外，還可以讓學生進行自我學習，以此模式反覆練習達臻嫻熟之境地。本研究首先分析課程內容，建立能力指標知識結構，並依此結構命題，然後進行紙筆診斷測驗，並於完成後，再依據試題順序理論和語意結構理論，建立電腦適性診斷測驗施測流程，進行電腦適性診斷測驗及評估電腦補救教學之成效。本研究發現： (1)適性測驗施測的平均施測題數是 16.8 題，平均可以節省 6.2 題。 (2)經過電腦化補救教學後，學生的平均分數有很大的進步，達到顯著差異。所以，本研究所提出之適性診斷測驗和補救教學系統，確實可達到「因才施測」與「因才施教」的效果。. 關鍵字：代數、機率與統計、電腦適性診斷測驗、補救教學、試題順序理論、語意結構理論. i.

(3) Abstract A system used to help Mathematics teaching activities at the primary school is proposed. This study aims to establish such a system combined Computerized Adaptive Diagnostic Test system and adaptive remedial instruction system simultaneously. The former based on the structure of competence indicators of Mathematics, and the latter is on experts' knowledge structure. After taking the test, the unpracticed competence indicators of students were diagnosed individually, and those related remedial instruction Flash animators were presented to them to learn. The focus of this study is on the competence indicators of "Algebra, Probability and Statistics" of grade 4 of Nine-Year Compulsory Curriculum. After analyzing the contents of the textbook, the structures of competence indicators were constructed, and items were designed according them. Ordering theory and semantic structure analysis are used to decide the students' knowledge structure and those parameters used in the item bank for Computerized Adaptive Diagnostic Test system. Some findings are briefly outlined as follows: 1. The Computerized Adaptive Diagnostic Test system can save 6.2 items averagely, and the test-taking time is saved simultaneously. 2. The progress of student is significant after taking the adaptive remedial instruction. Keywords: competence indicator, computerized adaptive diagnostic test, remedial instruction, ordering theory, semantic structure.. ii.

(4) 目錄第一章緒論 ……………………………………………………………1 第一節研究動機 …………………………………………………1 第二節研究目的 …………………………………………………3 第三節名詞定義 …………………………………………………4 第四節研究限制 …………………………………………………5 第二章文獻探討 ………………………………………………………6 第一節九年一貫數學領域代數統計數學概念 …………………6 第二節數學能力指標試題化……………………………………15 第三節以知識或試題結構為基礎之電腦診斷測驗……………18 第四節多點計分試題順序結構理論……………………………26 第三章研究方法與步驟………………………………………………31 第一節研究方法…………………………………………………31 第二節研究流程…………………………………………………34 第三節研究對象…………………………………………………36 第四節研究工具…………………………………………………36 第五節資料處理與分析…………………………………………36 第四章研究結果………………………………………………………38. iii.

(5) 第一節電腦適性診斷測驗題庫之建置…………………………38 第二節電腦適性診斷測驗………………………………………44 第三節補救教學之成效…………………………………………50 第五章結論與建議……………………………………………………59 第一節研究結論…………………………………………………59 第二節建議………………………………………………………60 參考文獻………………………………………………………………………61 附錄一：數學領域四年級代數與統計診斷測驗試題………………………64 附錄二：補救教學內容腳本…………………………………………………75. iv.

(6) 圖目錄圖 2-1 ：符號並列的方式……………………………………………………11 圖 2-2 ：Chang et.al.,適性測驗流程…………………………………………19 圖 2-3 ：專家知識結構………………………………………………………24 圖 2-4 ：電腦化適性診斷測驗及適性補救教學系統進行流程……………25 圖 2-5 ：指標間結構（多點計分結構）與指標內結構（二元計分結構）29 圖 3-1 ：能力指標試題化流程圖……………………………………………32 圖 3-2 ：研究流程圖…………………………………………………………35 圖 4-1 ：能力指標 4a-01 專家知識結構圖…………………………………39 圖 4-2 ：能力指標 4a-02 專家知識結構圖…………………………………39 圖 4-3 ：能力指標 4a-03 專家知識結構圖…………………………………40 圖 4-4 ：能力指標 4a-04 專家知識結構圖…………………………………40 圖 4-5 ：能力指標 4d-01 專家知識結構圖…………………………………41 圖 4-6 ：能力指標 4d-02 專家知識結構圖…………………………………41 圖 4-7 ：能力指標 4a-01 學生知識結構圖…………………………………44 圖 4-8 ：能力指標 4a-02 學生知識結構圖…………………………………45 圖 4-9 ：能力指標 4a-03 學生知識結構圖…………………………………46 圖 4-10：能力指標 4a-04 學生知識結構圖…………………………………46. v.

(7) 圖 4-11：能力指標 4d-01 學生知識結構圖…………………………………47 圖 4-12：能力指標 4d-02 學生知識結構圖…………………………………47 圖 4-13：代數與統計能力指標間之學生知識結構…………………………49 圖 4-14：能力指標 4a01-1 畫面一 …………………………………………50 圖 4-15：能力指標 4a01-1 畫面二 …………………………………………51 圖 4-16：能力指標 4a01-1 畫面三 …………………………………………51 圖 4-17：能力指標 4a01-1 畫面四 …………………………………………52. vi.

(8) 表目錄表 2-1 ：九年一貫數學領域四年級代數能力指標…………………………9 表 2-2 ：九年一貫數學領域四年級統計與機率能力指標…………………14 表 2-3 ：新修訂 Bloom 認知領域分類 ……………………………………16 表 2-4 ：試題 A、B 次數分配表……………………………………………21 表 2-5 ：試題 j 與試題 k 之聯合與邊界機率………………………………22 表 4-1 ：試題分析表…………………………………………………………42 表 4-2 ：代數與統計能力指標表現程度……………………………………43 表 4-3 ：指標間順序性係數矩陣……………………………………………48 表 4-4 ：指標間順序性矩陣…………………………………………………48 表 4-5 ：電腦適性診斷測驗成績……………………………………………49 表 4-6 ：補救教學適性前測、後測成對樣本檢定表………………………52 表 4-7 ：高分組前、後測成績成對樣本檢定表……………………………53 表 4-8 ：中分組前、後測成績成對樣本檢定表……………………………53 表 4-9 ：低分組前、後測成績成對樣本檢定表……………………………53 表 4-10：能力指標通過率成對樣本檢定表…………………………………54 表 4-11：部分學生作答記錄表………………………………………………56. vii.

(9) 第一章. 緒論. 本研究目的在開發適合九年一貫能力指標的電腦適性診斷測驗與補救教學系統。本章共分四節，茲分述如下。. 第一節研究動機隨著時代的變遷及資訊科技不斷的發展，各學科的課程內容正不斷的在求新求變，以求符合未來社會的需求。近年來教育改革如火如荼的展開，一連串的改革，是為了能使學生學得更多、更好、更實在。教育部宣布九年一貫課程自九十學年度一年級開始實施，在數學領域的內容分成了五大主題，分別描述了各階段學生所應達成的基本能力。因暫行綱要能力指標的規劃受到社會各界的質疑，遂舉辦多次公聽會彙整社會各層面之意見，最後於九十二年確定出各學習領域的正式綱要，明訂出各領域中每個學習階段能力指標，其中，尤以數學領域能力指標的修訂幅度最大，原先暫行綱要是訂出每個學習階段應具備的數學能力指標，正式綱要則改為明確訂出每年級學童應具備的數學能力（教育部，2003）。實施九年一貫課程後，由於該課程不同於以往的課程重點是以培養學生基本能力為本位的，此與傳統課程安排是以各科學科知識為出發點的方向不同；又教科書開放為審定制後，各出版社、公司根據課程綱要編輯教科書，每種領域或科目均有多種版本，且每本教科書又存有差異，因此，教師便需花費許多時間分析課程內容、準備銜接教材，深怕學童漏學了某些正式綱要中應具備的數學能力。然而，學童在接受了九年一貫課程後，是否就具備了那些數學能力？要找出這個問題的答案，只能求助於對學生的教學測驗和評量。身為一位教師，在教學過程中，總免不了要以測驗或評量來獲知學生的學習成就和學習困難。但在教育改革中，並沒有充分提供這方面的資源，且舊有的評量只能知道學生的測驗成績，卻無法根據評量結果來進行補救教學，因此，在進 1.

(10) 行評量時，令教師感到較為棘手的問題可分為下列三方面：一、診斷測驗的編製，二、施測後測驗的計分及記錄，三、如何根據測驗結果進行適當補救教學（郭伯臣，2003）。當學生發生學習困難，而無法以形成性評量的結果找出補救措施解決時，教師就需要施行診斷性測驗來分析處理學生的學習困難問題，進而採行一連串對症下藥的積極性教學活動，即所謂的補救教學。九年一貫課程實施前，教師沒有特定之補救教學時間，往往只能利用課餘，教師依據教學經驗，幫助一兩位學生進行補救教學，這樣的做法不僅沒有效率，且容易產生遺漏，對教師工作量而言，更是一大負荷。九年一貫課程實施後，雖然彈性時間中有特別安排補救教學之節數，但由於沒有一套完整的補救教學系統幫助教師們，故教師們進行補救教學之做法和以往差不多，甚為可惜，教師如能重視補救教學的重要契機，讓有學習困難者能獲得及時的補救，則可避免學生因錯過學習的關鍵期而造成永久無法補償的遺憾。但哪些學生該進行補救教學？哪些概念是學生們較不熟悉的？如何有效率的進行補救教學？這些都是教師、學生，甚至是家長們急欲瞭解之課題。欲得知學童是否具備其現階段應具備的數學能力，我們希望能設計一套配合九年一貫數學能力指標規劃之線上測驗題庫系統來處理這些問題以提升補救教學的品質，減輕教師的負荷，提高學生學習的興趣，讓學生能依其個人需求選擇補救教學內容，達到「因材施測」與「因材施教」的效果。一般而言，電腦化適性測驗（computerized adaptive testing，簡稱 CAT）可分為二大類：一類是以試題反應理論(item response theory, IRT)為基礎(Wainer, 2000)，另一類則是以知識或試題結構為基礎(Appleby, Samuels, Treasure -Jones, 1997; Brown & Burton, 1978; Chang, Liu & Chen, 1998; VanLehn, 1988; Wenger, 1987)。以試題反應理論為基礎的電腦化適性測驗，施測後，受試者成績為一「能力值」(ability) 或「量尺分數」(scale score)，較適合用於教育資源分配情境，例. 2.

(11) 如：基本學力測驗、大學入學測驗等。若使用該分數來診斷學生錯誤概念，並不十分恰當，因為學生的錯誤類型相對於量尺分數並不具順序性或呈現線性排列，即並非所有學生皆會隨著分數增加，先出現錯誤類型 1 而後出現錯誤類型 2，因此很難將錯誤類型與分數進行對應；此外，兩個具有同一分數的人其錯誤概念未必相同，故使用以 IRT 為基礎的電腦適性測驗來進行學習診斷，所提供的訊息並不適用於錯誤類型診斷。郭伯臣（2003，2004）的國科會專題研究「國小數學科電腦化適性診斷測驗 (I)(II)」，主要目的在嘗試建立以知識及試題結構為基礎，發展具有診斷學生錯誤概念的電腦化適性測驗，此一適性測驗系統異於其它電腦測驗系統之處為：一、根據學生學習後之知識（試題）結構設計適性施測流程，可依不同受試者的作答情形而給予適當的試題，藉此節省大量的試題、縮短測驗時間，並可對學生的剖面圖得到精確的估計。二、根據學生的作答情形診斷出學生在數學科學習上的困難問題，對學生進行有利於電腦補救教學之分類，並即時進行補救教學。而在教育部規劃的五大數學主題中，以「代數」和「統計與機率」較為抽象，且國內較少學者做這方面的研究，因此，研究者擬根據九年一貫課程的能力指標建立一題庫，以評估學童的學習成就，並根據測驗結果，診斷學生之學習困難，以進行適當補救教學。. 3.

(12) 第二節研究目的基於上述研究動機，本研究的主要目的有下列四點：一、建置四年級數學領域代數統計能力指標的電腦化適性測驗及適性補救教學模組。二、驗證電腦適性診斷測驗是否能達成節省施測題數與達到預定之預測精準度。三、檢驗電腦適性補救教學是否具有成效。四、使用所建立的電腦適性測驗評估國小四年級學童在代數統計能力指標方面的學習成效。. 第三節名詞定義一、專家知識結構專家知識結構是由學科專家根據學理以及經驗，分析施測範圍內所需具備的概念，再根據學生的學習歷程、概念發展順序及其概念間上下位關係整理而成的一結構關係。二、電腦化適性診斷測驗電腦化適性診斷測驗(Computerized Adaptive Diagnostic Testing)，與傳統紙筆測驗有很大的不同。它是依據每個受試者的能力或特質，選取最適合該受試者的題目予以作答。若受試者正確作答，則下一題將選取較難的題目；若受試者答錯，則下一題將選取較簡單的題目。透過這樣的選題方式，再結合專家知識結構，快速而精確的進行適性診斷，找出學生的學習困難，進行補救教學。三、電腦適性補救教學補救教學是指當學生學習遇到問題時，依其個別需求，施予適當的課業輔導，以彌補正規教學之不足。在電腦的環境下，利用聲光影音等的活潑互動方式，. 4.

(13) 輔助使用者在特定領域上進行學習，謂之電腦輔助教學（Computer-Assisted Instruction;CAI）。本研究中，結合補救教學及電腦輔助教學成為電腦化補救教學。. 第四節研究限制數學領域四年級能力指標分數與量、幾何、代數與統共計 32 個指標，因範圍太大，因此共有 5 位研究者共同完成，本研究範圍只限於代數與統計。另外，因時間性因素，因此此電腦適性診斷測驗需要求受試者於四年級能力指標學習完後，進行施測，否則即失去其研究意義。. 5.

(14) 第二章. 文獻探討. 為了達到本研究的目的，本研究方法首先將蒐集下列領域之相關資料，然後分析、歸納：一、九年一貫數學領域代數統計數學概念。二、數學能力指標試題化。三、以知識或試題結構為基礎之電腦診斷測驗。四、多點計分試題順序結構理論。以下是本研究相關文獻之整理：. 第一節九年一貫數學領域代數統計數學概念一、代數方面的概念茲將相關文獻資料歸納成代數概念的意義、代數概念的發展、代數概念的學習困難及四年級代數能力指標的說明等四方面，分述如下：（一）代數概念的意義代數（algebra）是數學的一支，已有將近四千年的歷史了，大約在西元 300 年，希臘數學家 Diophantus 完成了數學史上最早的代數著作“Arithmetica”，被後人尊稱為代數之父。代數源自阿拉伯文“aljabr”，含有「精簡濃縮」之意，其建基於算數的四則運算和整數的特點，並引入符號代數的數學式子，以便簡化和歸類運算過程（羅浩源編，1997）。 Usisikin（1988）認為代數包含四種含意，分別是通則化的算術、解決特定問題的程序之學科、一門有關數量關係的學科、研究數學結構的學科等意義。廖瓊菁（2001）認為代數是數學的一支，是一門將算術精簡及通則化的學科，其利用數字、變數及運算所組成的數學語言，來將數字關係和數學結構符號化。. 6.

(15) 綜合前述，可歸納出：代數概念是由數概念、文字符號概念及符號表徵的運算等所組成的數學結構。（二）代數概念的發展茲將代數概念的發展分成數概念、文字符號概念及符號表徵的運算等三階段，分述如下： 1.數概念兒童數概念的發展與其運思活動密切相關，運思活動根據兒童對所使用的感官活動材料的疏離感之遠近可區分成感官活動期、象徵活動期及抽象活動期等。在抽象運思期階段中包含四種運思活動，依其發生順序分述如下（甯自強，1993）：（1）序列性合成運思期：將構成事物的元素合成為一事物的能力或運思，例如：將數個「1」看成一個集聚單位「10」。（2）累進性合成運思期：以序列性合成運思期形成的集聚單位當作基礎，進一步累加更多個元素，形成一個新的集聚單位，例如：以「10」為起點，繼續合成 5 個「1」，形成「15」。（3）部分-全體運思期：即累進性合成運思的重組，將新的集聚單位視為數個集聚單位和數個元素所合成的，例如：將「66」當作是 6 個「10」和 6 個「1」的合成結果，前後兩個 6 有不同的意義。此時期，兒童能清楚的掌握加法交換律或加減互逆的關係。（4）測量運思期：即部分-全體運思期的遞迴運用，以元素「1」和集聚單位「10」為基礎，進而能掌握集聚單位「10」和以「10」為元素所合成的另一個集聚單位，例如 10 個「10」。此時期，兒童能清楚的掌握乘法交換律或乘除互逆的關係。 2.文字符號概念 Collis（1975）指出學生的文字符號概念可分類成六種不同的使用層次（引自袁媛，1993）：. 7.

(16) （1）文字符號代表可算出的值（letter evaluated）：指文字符號代表一個設定的數值，例如：「n＋5＝8」的 n。（2）文字符號可忽略不用（letter ignored）：指文字符號在解題過程中可以不加以考慮，例如：a＋b＝5，求 a＋b＋2 的值。（3）文字符號當作物（letter as object）：指文字符號為某一代表物的簡記或標記，例如：以 h 代表某一邊長。（4）文字符號當作特定的未知數（letter as special unknown）：可以直接計算，，例如：有 n 個邊，每邊長 2 公分，則周長為 2n 公分。（5）文字符號當作一般化的數字（letter as generalize number)：視文字符號代表一組數字而非單一數值，例如：c＋d＝10，且 c＜d，則 c 代表小於 5 的數。（6）文字符號當作變數（letter as variable)：指文字符號代表一未定的數值，例如：比較 n 和 2n 的大小。 3.符號表徵的運算符號表徵的運算包括以符號符號表徵未知數、形成代數式、形成方程式及解方程式等概念，其中在解方程式時，更涉及等號概念、等量公理、逆運算及移項等概念或方法（廖瓊菁，2001）。（三）代數概念的學習困難 1.數概念方面：在解代數文字題時，學生可能因不知道數概念的相關數學公式、語文常識或專有名詞，而無法正確解題（王佳文，1995）。 2.文字符號概念方面：兒童大多能把文字符號當成可算出的值或當成一個數，但國中一年級的學生尚無法處理把文字符號當作一般化數字或變數的題目（袁媛，1993）。 3.符號表徵的運算方面：（1）等號概念及等量公理：認為等號是一個掌握算術運算執行的命令，而非比較兩個量之關係的符號，導致較不易了解等量公理（廖瓊菁，2001）。. 8.

(17) （2）解方程式：學生最容易無法正確解出「a-□＝b」和「a÷□＝b」這兩類的問題，這顯示學生無法將逆運算應用在這兩類題型（王佳文，1995）。（3）解代數文字題：學生無法利用假設的未知數把另一個未知數表示出來，其對於文字符號所代表的意義、把文字敘述轉換為代數式及運算規則上，都有學習上的困難（袁媛，1993）。（四）四年級代數能力指標的說明根據教育部（2003）所公佈的九年一貫四年級代數能力指標之內容如表 2-1 所示：表 2-1 九年一貫數學領域四年級代數能力指標(引自教育部，2003) 分年細目編號. 內. 容. 說. 明. 主題階段編號. 4-a-01 能在具體情境中，理解乘法結合律、先乘再除與先除 A-2-01 再乘的結果相同，也理解連除兩數相當於除以此兩數之積。 4-a-02 能將具體情境中所列出的單步驟算式填充題類化至使 A-2-03 用未知數符號的算式，並能解釋式子與原問題情境的關係。 A-2-02 4-a-03 能理解乘除互逆，並運用於驗算與解題。 4-a-04 能用中文簡記式表示長方形和正方形的面積公式與周 A-2-04 長公式。與四年級代數能力指標相關的數學概念經整理學者觀點綜述如下（桂台華， 2003；教育部，2003；黃敏晃、周筱亭，2002a、2002c）： 1.乘法結合律的定義：三個數連乘時，前二數相乘後再乘以第三個數的積會等於後二數相乘後再乘以第一個數的積。建議此一名詞不出現在四年級以下的教學和課本中，但讓學生在具體情境中理解經驗此規則。 2.先乘再除相當於先除再乘：在可以整除的情形下，則「甲數×乙數÷丙數＝甲數÷丙數×乙數」。 3.連除兩數相當於除以兩數之積：在可以整除的情形下，則「甲數÷乙數÷丙數. 9.

(18) ＝甲數÷（乙數×丙數）」。 4.算式：用「+」、「-」、「×」、「÷」等符號連結數字而成的橫列的式子，叫做算式。 5.單步驟算式填充題：依據簡單的具體情境，將未知數用括號表示，且只需經過 1 次運算便可求出答案的式子，叫做單步驟算式填充題。 6.未知數符號的算式：依據簡單的具體情境，將未知數用某種符號表示所列出來的式子，叫做未知數符號的算式。 7.乘除互逆：在可以整除的情形下，乘法中的積相當於除法中的被除數，乘法中的被乘數相當於除法中的除數（或商），乘法中的乘數相當於除法中的商（或除數）。 8.解題：依據問題情境，運用算式計算出答案的方法，叫做解題。 9.驗算：在計算完後，檢驗計算結果是否正確的方法，叫做驗算。 10.乘法驗算：計算完乘法問題後，利用除法驗算答案是否正確。 11.除法驗算：計算完除法問題後，利用乘法驗算答案是否正確。 12.正方形周長的中文簡記式：正方形周長＝邊長×4。 13.長方形周長的中文簡記式：長方形周長＝（長＋寬）×2，或長方形周長＝長 ×2＋寬×2。 14.正方形面積的中文簡記式：正方形面積＝邊長×邊長。 15.長方形面積的中文簡記式：長方形面積＝長×寬。二、統計方面的概念茲將相關文獻資料歸納成統計圖概念的發展、統計評量的相關研究、九年一貫統計和機率教材之五個階段和概念及四年級統計與機率能力指標的說明等四方面，分述如下：（一）統計圖概念的發展蘇國樑（1996）對學生的統計圖認識進行實際的觀察，歸納出兒童的統計圖概念發展可分成五個時期，分述如下：. 10.

(19) 1.整體資料集的摹寫：兒童能掌握資料集元素的外在特徵、顏色和其空間位置，並加以描繪成圖，即能用抽象圖像表徵具體物，例如：畫出物體的輪廓及顏色等。 2.摹寫的簡化和符號的使用：兒童能以摹寫的抽象圖像反應為基礎，尋求更簡化的符號表示元素的主要特徵，例如：用一個圓形來代表一個積木等，即利用較簡單的符號表徵具體物。 3.符號並列：兒童若僅將代表各子類元素的符號做任意的堆積，不易觀察和比較出各類元素間的多寡程度，應使用同一種符號表徵資料集內各子類的元素，並將代表各子類的符號群在一個給定的基礎線上進行直線的、連續性的並列，這樣才能比較或依視覺感覺出各子類元素所佔的範圍或程度，如圖 2-1 所示。此時期尚未運用到造數活動，僅是以離散表徵物或符號來表現離散量。. … …. 第一子類：○○○○○○ 第二子類：○○○. 圖 2-1 符號並列的方式. 4.連續性條形圖的使用：兒童在能根據觀察各子類元素的多少獲得資料集的統計概念後，進而能改用等寬的連續長條來代替直線並列的離散符號，即各子類長條的長度代表該子類內元素的多寡程度。利用簡單的長條符號所構成各子類元素多寡的統計圖，如長條圖等，可以讓兒童瞭解一個資料集的整體概括概念。在此時期以長條代表子類內部事物的多寡時，需選定共同的標準單位長度，即以連續的長短幾何圖形取代了共同的單位表徵物（如○）的累積關係。 5.長條圖對資料集的統計概念的概括：兒童能將各子類內元素用一種連續量的. 11.

(20) 連續圖來表示後，整個資料集才能由幾個連續性的長條組合所呈現出，亦即能整體呈現出整個資料集的內在結構和關係。（二）統計評量的相關研究茲將統計評量的相關研究分述如下： 1.洪瑞鴻（2002）將國小統計概念分為資料複製與分類概念、資料重組概念、連續性統計圖形表現概念、統計圖間子類的比較概念、統計圖對資料集的統計概念等五個概念，針對國小四至六年級的學童進行施測，結果發現受試學童的統計圖概念普遍皆屬中等以上的程度，結果顯現學童在連續性統計圖形表現概念上的表現最佳，在統計圖對資料集的統計概念上的表現最差。 2.陳幸玫（2004）根據九年一貫數學學習領域課程綱要的內容設計出三份評量，分別是二～三年級、四～五年級及六年級的統計概念評量，概念類別為資料分類與整理、長條圖、折線圖及圓形圖等，且分別對國小二～六年級的學童進行施測。結果發現分述如下：（1）二～三年級：大部分學童對分類、數數、畫記、報讀與解讀二維表格、報讀次數分配表及長條圖等概念沒有問題，僅部分學童在對物件屬性的觀察方面易受外在環境或不相關因素干擾。（2）四～五年級：大部分學童對報讀折線圖、複雜折線圖、圓形圖、和報讀與解讀次數分配表、長條圖、複雜長條圖等概念沒有問題，部分學童較缺乏解讀折線圖的概念，大多數學童缺乏有序資料呈現方式與資料趨勢其相關性的認知、部分累計、資料趨勢、圖形呈現方式與問題的相關性等概念。（3）六年級：大部分學童對報讀折線圖、複雜折線圖、圓形圖、和報讀與解讀次數分配表、長條圖、複雜長條圖等概念沒有問題，大多數學童缺乏圖形呈現方式與問題的相關性、解讀圓形圖等概念。（三）九年一貫統計和機率教材之五個階段根據教育部（2003）公佈的「國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域」，. 12.

(21) 可得知「統計和機率」知識的成長確實與學生對「數與量」、「代數」、「幾何」主題能力的掌握有關，其教學應與相關主題的教學相互配合。因此，依各階段的能力成長分五個層次來實施「統計與機率」的教學： 1.三年級之前：先藉由簡易表格的製作，協助學生建立資料的整理與分組的概念，進而練習報讀與說明資料，並建立個別資料出現頻率概念的認識。再藉著直接和交叉對應表格的介紹，並配合「數與量」的教學，希望學生能掌握對表格的認識，並能加以運用。 2.四年級：經由簡易幾何圖形的前置經驗，引進長條圖、折線圖與圓形圖作為認識統計圖表教學的開始。藉由報讀生活中的資料統計圖，進而引進若干較簡易的變形長條圖，培養學生對長條圖的認識。這階段的教學尚不宜引進百分率、小數或分數來表現資料的量。 3.五年級：統計圖形的製作是由長條圖的製作開始，再經由有序資料的引進，來進行折線圖的報讀與製作。 4.六年級：配合「數與量」對比值和扇形面積的教學，再經由生活中資料的整理，來製作圓形圖。 5.九年級：配合國中階段「先代數、後幾何」的主題式教學方式，由次數逐漸進階至累計次數、累計相對次數、百分位數、中位數、全距、四分位距等統計量及直方圖、盒狀圖等統計圖形，來瞭解資料表現的特質。機率的介紹，仍以引進實驗或遊戲來瞭解機會並建立相關概念為主，尚不宜做嚴格的定義或過份繁雜的統計量計算。此階段可視資料量或其特性，適度引進電算器、電腦軟體來協助計算統計量，或製作統計圖形。（四）四年級統計與機率能力指標的說明根據教育部（2003）所公佈的九年一貫四年級統計與機率能力指標之內容如表 2-2 所示：. 13.

(22) 表 2-2 九年一貫數學領域四年級統計與機率的能力指標(引自教育部，2003) 分年細目編號. 內. 容. 說. 明. 主題階段編號. 4-d-01 能報讀生活中資料的統計圖，如長條圖、折線圖與圓 D-2-01 形圖等。 4-d-02 能報讀較複雜的長條圖。. D-2-02. 根據教育部（2003）公佈的國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域，可得知國小統計和機率教材之重要用語和概念如下： 1.「報讀」是指「將在統計圖形上所看到資料直接讀出來」(例如：男生戴眼鏡的人數為 60%，女生戴眼鏡的人數為 28%)。 2.「生活中的資料」是指利用報紙、網路、機關單位公告等的現成統計圖表，或利用所擷取的數字資料透過電腦軟體轉換成圖表。和能力指標相關的統計概念經整理學者觀點綜述如下（桂台華，2003；教育部，2003）： 1.統計圖的定義：能表現統計資料的圖形。 2.橫軸的定義：統計圖中水平方向的軸線。 3.縱軸的定義：統計圖中垂直方向的軸線。 4.長條圖的定義：以長條狀圖形高度或長度代表資料量的統計圖形，又稱 bar chart，其中各長條間並不相連接。 5.折線圖的定義：以直線連接相鄰兩資料點的圖形。 6.圓形圖的定義：以圓內各扇形面積代表資料統計量的圖形，又稱 pie. chart。. 7.複雜長條圖的定義：指各種變形或資料較繁瑣的長條圖。 8.雙條的變形長條圖的定義：以不同顏色或圖樣的兩個長條狀圖形高度代表兩種資料量的統計圖。 9.單條堆疊的變形長條圖的定義：將兩種資料量用同一個長條狀圖形來表示，但用不同顏色或圖樣來區分出兩資料量個別的值，同時可以觀察兩資料量個別的值及其和的統計圖。 14.

(23) 第二節. 數學能力指標試題化. 「能力」是抽象的概念，其內涵究竟為何，不易取得共識，因而用另一個較可測量或可觀察的指標來指出或表徵該現象(洪瑞鎂，2001)。所以「能力指標」係指把學生所應具備的能力項目，轉化為可以觀察評量的具體數據，藉以反映學生的學習表現（楊思偉，1999)。當研究者想知道研究對象在各能力指標的表現情形，則必須設計能適切反應該能力指標的試題，藉由受試者在試題上的表現，推論其是否具備該能力指標所指的能力。在國內，有關「能力指標試題化」這方面的研究並不多。鄭蕙如(2001)所發展的「九年一貫課程數學領域評鑑工具」，參考NAEP、TIMSS在數學內容領域及認知層次的架構，以及Bloom的認知領域教育目標分類，針對九年一課程數學領域三、四階段之分段能力指標編製適切指標的試題，以評鑑課程目標建立之適切性。「數學領域能力指標測驗題庫之建置」（陳雁芳，黃美芳，郭伯臣，許天維， 2004）中，根據新修訂 Bloom 認知領域分類及 NAEP 評量架構的向度來解讀能力指標分年細目的內涵，並確認內涵中所包含的概念數，針對個別概念編製試題。編製完成後，由數位目前任教於國小之合格教師審題，判斷試題是否符合能力指標分年細目內涵，是否符合一般試題編製原則，將能力指標轉化為試題形式，透過試題使能力指標變得可測量。以四年級為例，共有 32 個能力指標，72 題試題，分成 4 個題本進行施測。各題本間存在 7 題定錨試題，以 BILOG-MG(Zimowski, Muraki,Mislevy, & Bock,1996)進行平行等化分析。研究結果顯示，學童在四年級數學能力的表現，有 10 個指標達到 80％的目標，6 個指標表現不佳。教育部（2004）所編「國民中小學九年一貫課程學習成就評量指標與方法手冊」中將能力指標分為：教育目標型、表現水準型、教學活動型及發展目標型。而以教育目標型分段能力指標為主，表現水準型分段能力指標為輔，做為解讀的. 15.

(24) 基礎。解讀方式則採用Anderson & Krathwohl(2001)所修訂Bloom教育目標分類。此一修訂版教育目標分類，採雙向度分類教育目標，將教育目標解讀，區分其認知歷程向度與知識向度，其內容如表2-3所示：表2-3 新修訂Bloom認知領域分類(引自教育部，2004) 知識向度. 認知歷程向度記憶. 了解. 應用. 分析. 評鑑. 創造. 事實知識概念知識程序知識後設認知知識. 其評量方法採多元方式，教師可以再分段能力指標解讀之後，根據分段能力指標之實質內涵，選擇適用之評量方法，甚至教學方法，例如：記憶認知選擇式反應測驗題；能力，可約略區分為三類：1.選擇式反應測驗題、2.建構式反應測驗題、3.實作評量。其中1.選擇式反應測驗題又可區分為：選擇題、是非題、配合題。2.建構式反應測驗題又可區分為：填充題、限制反應題、擴展反應題。3. 實作評量又可區分為：口語、展演、書面、視覺、學習檔案等項。其中選擇式反應測驗題之選擇題說明如下：選擇題的結構包括兩個部分：題幹和選項。題幹呈現問題，敘寫方式有兩種：一是採用直接問句（direct question），另一種是採用不完全敘述句（incomplete statement）。一般來說，直接問句題幹敘述可能較長，但題意比較清晰。題幹之後通常有三到五個選項，其中包括一個正確或最佳答案（指單選題而言，若為多選題或複選題，則正確答案可能不只一個），和數個誘答選項（distracters），誘答選項的設計應具似真性或合理性，以吸引一知半解的學生選擇，並提醒所有學生謹慎思考和判斷。直接問句例題： 1.下列何種題型作答最容易受到猜測因素影響？（1）選擇題（2）是非題（3）配合題（4）填充題. 16.

(25) 不完全敘述句例題： 2.作答最容易受到猜測因素影響的題型是：（1）選擇題（2）是非題（3）配合題（4）填充題選擇題有以下幾項優點：（1）可以測量不同層次的學習結果，適用於各種不同的學科，也是題組（即解釋式問題，interpretive exercise）最常使用的題型；此外，結合影音媒材，可以測量學生聆聽能力、情境觀察能力等生活技能，因此，選擇題成為最普遍使用的評量方式。（2）和是非題相比，其題意較清楚明確，受到猜測因素和學生反應心向的影響較小；此外，選擇題之誘答選項經過精心設計，可以提供有價值之診斷訊息，了解學生錯誤所在。（3）和開放式問題（open-ended questions）與實作評量相比，其計分容易、客觀、可靠，若採電腦閱卷計分則更正確和快速，除此，其試題取樣範圍也更廣泛和具代表性，換言之，在技術面，選擇題有較高的信度和較佳的內容效度。選擇題有以下幾項限制：（1）編製具有誘答力的誘答選項並非容易的事，若誘答編製不佳，不但喪失誘答功能，甚至成為學生答題的線索。（2）和開放式問題相比，選擇題較無法測量到學生書寫表達、統整和組織的能力；和實作評量相比，選擇題無法測量到「做」（doing）的能力。（3）和建構式反應題（如填充題和開放式問題）相比，選擇題較容易受猜測因素影響。綜合上述，若欲得知受試者在各能力指標的表現情形，可藉由適切指標之試題的施測結果以達目的。但每個指標可能包含一個以上的數學概念，為了要使試題能適配於指標，因此每個指標將對應一至數個試題。本研究以四年級數學領域代數統計為例，有6個能力指標，23個數學概念，每個概念2題試題，共計46題。. 17.

(26) 第三節. 以知識或試題結構為基礎之電腦診斷測驗. 一、應用試題選項關係之電腦化適性測驗 Chang, Liu, & Chen (1998)曾以直流電路為例，設計一診斷迷思概念之測驗系統，做為教師補救教學之參考。在題庫建立方面，該研究參考相關文獻，訂出 9 個關於直流電路的迷思概念，再根據這 9 個迷思概念，請專家們出了 20 個題目，每一題目之選項被要求儘可能跟迷思概念有所關連。該研究的重點在於假設有一份試卷，每題的選項除正確選項之外，其餘選項皆被設計成與某一種迷失概念有關，如圖 2-2 所示。因此，今天若學生 A 作答第 4 題時，選擇 4a 即可判斷學生可能擁有某一迷失概念且與第 6 題有關，故必須再進行第 6 題的測驗來繼續作答。此時若學生面對的選項為 6a、6b、6c，且這三者分別代表不同的迷失概念 M1、M2、M3，因此即可判斷出學生所擁有的迷失概念為何。若學生選擇的是 4b，則可對應到迷失概念 M4，唯有選擇到 c 時才能確定學生沒有 M1 至 M4 這四種迷失概念。此方法優點為： 1. 根據受試者作答之選項來決定下一題試題，可達到適性化之效果。 2. 由受試者作答之選項來推論迷思概念，如果題目夠多，將可精確診斷出每一位受試者之迷思概念，達到個別化之需求。儘管優點是很明顯的，不過我們也發現幾個問題，例如： 1. 每條適性測驗路徑皆須精心設計以避免重複，而無法精確診斷出相對應之迷失概念。 2. 出題時需考慮選項及迷失概念間關係，困難度高。 3. 當試題具有可猜測性時，不易達完成精確診斷。. 18.

(27) 第4題. 選項 4a. 第6題. 選項 6a. 迷思概念 M1. 選項 6b. 迷思概念 M2 (正確選項). 選項 4b. 迷思概念 M4. 選項 4c. 正確選項. 選項 6c. 迷思概念 M3. 圖 2-2. Chang et al., (1998）適性測驗流程. 二、Diagnosys Diagnosys（Appleby, Samuels, Treasure-Jones, 1997）是一套以知識結構為基礎的電腦診斷測驗，用來診斷基礎的數學技能，期能提供學生一個立即的成績回饋，同時也可快速地提供給教師學生的知識結構，用以選擇、分組和識別概念不清的學生以及學生群體中普遍的錯誤概念。此系統最初是為了大學工科學生入學而發展，但是也可以廣泛的用於其他學生群以及其它教育制度。系統發展者先分析系統需求，歸納如下： 1. 測驗應該在一個小時之內準確的評鑑出一個學生的數學知識。 2. 應該立即根據學生答題表現給予回饋，主要以學生不熟悉的概念為主。 3. 應該快速地提供教師個別學生和學生群體的摘要資料，主要用以分辨概念不清的學生以及學生群體普遍的弱點。. 19.

(28) 4. 應該要適用於大學入學學生。另外，在系統架構確認之前，也做了以下幾項基礎設計的決定。 1. 決定使用概念方式來確認不同領域的知識。 2. 概念被依序組織成階層狀，專家系統就能以之前回答的答案推論出學生的知識結構，然後選擇下一個最合適的題目，這樣的設計能針對不同能力的群組減少所需施測的試題數。 3. 決定使用一個數學工具介面，以及各種不同型態的試題，其目的是為了鼓勵學生思考問題然後產生答案，而不是用猜的。 4. 指定概念的階層提供一個簡易的學生側面圖，用以挑出初始的題目。 5. 學生的反應資料(response data)將會保留用來改進系統和教育發展。根據以上的需求和基礎設計的決定，該系統包含下列幾個主要的部份： 1. 概念網路：指明概念、指定概念的 level、定義概念之間的連結。 2. 問題設計：設計題目、定義題目的表達方式、選擇答題的型態。 3. 測驗介面：整個測驗管理系統的發展，包括介面的設計、答案的評估，提供學生回饋。 4. 專家系統：產生最初的學生概況側面圖，從學生的答案做出推論，選擇下一個題目。 5. 數學工具介面：數學答案的語法分析以及各種不同評估準則的應用。 6. 工具程式：產生各別技能的學生成績和群組成績的回饋給教師。 7. 補充材料：根據測驗的施測問題及概念的內容給予施測結果的報告。 Diagnosys 系統使用概念方式來確認不同領域的知識。首先分析測驗之概念，將概念分類，每一類別之概念代表不同層級(level)，每一題目只測驗單一概念，每一概念都要有充分數量的試題來測驗。為了鼓勵學生思考問題並解出答案，減少猜題機會，題目的表達方式十分多元化，如應用題或選擇題皆有，答題的型態. 20.

(29) 亦有多種選擇，如文字或圖形。為了節省試題，需應用知識結構的技巧。因此，該系統設計時同時採用了專家知識結構和學生的知識結構分析法，如此可以分兩階段節省試題。學生的結構的擷取乃透過專家知識結構編製的紙筆測驗進行預測，並根據下列的方式所建構出來的。假設兩題試題 A 與 B 間的次數分配如表 2-4 所示，其中 f AB 表示答對試題 A 且答對試題 B 的人數； f AB 表示答錯試題 A 且答對試題 B 的人數； f A B 表示答對試題 A 且答錯試題 B 的人數； f A B 表示答錯試題 A 且答錯試題 B 的人數。如果 f AB. >> f A B ，則視試題. A 為試題 B 之下位試題（或概念），即如果正確作答. 試題 B，則必能正確作答試題 A，反之則不一定成立。此種情形於本研究中標示成 A → B，如果 f AB + f A B >> f A B + f AB ，則試題 A 與試題 B，兩者可視為等價，於本研究中標示成 A ↔ B，Diagnosys 藉由將試題（概念）結構引入電腦測驗中來達到適性的效果，並縮短施測時間，但此一建立結構之方法並非操作型定義，且文中並未提及此方法之具體成效或數據。. 表 2-4 試題 A、B 次數分配表試題 B 對. 試題 B 錯. 試題 A 對. f AB. f AB. 試題 A 錯. f AB. f AB. Diagnosys 在設計上有其優點：利用階層性編製試題可以分二階段節省試題，第一階段是利用專家結構，第二階段是利用學生結構來節省試題。其缺點是： 1.. 只提供知識結構，並不提供對教學有用的分群訊息。 21.

(30) 2.. Diagnosys 用來決定學生的知識結構的理論並不完善，例如，決定試題順序的臨界值的選取是根據經驗法則而來的，而且對於遞移性和等價性的定義並不理想。. 3.. 作答反應與知識結構的對應是決定性的，學生答對即代表具有某概念，答錯則不具備某概念，無法真實反應學生作答行為的不確定性。. 三、應用試題順序結構之電腦化適性測驗為改進 Diagnosys 不足之處，「國小數學科電腦化適性診斷測驗(I)(II)」（郭伯臣，2003、2004）中開發嘗試將順序理論和試題關連結構分析法與試題反應理論結合來分析學生知識結構。並分別使用專家知識結構與學生知識結構來建立電腦化適性診斷測驗，以節省施測的題數並預估學生的側面圖，用來診斷國小學童的數學能力，期能提供學童一個適性測驗、立即的成績回饋與補救教學的建議，用以協助學童學會正確且完整的數學概念。茲分述如下：（一）試題順序結構理論與試題關聯結構分析法 Airasian & Bart (1973)的「順序理論」(ordering theory, OT)及 Takaya (1991) 的「試題關聯結構法」(item relationship structure analysis, IRS)是常用來定義試題間結構的方法。茲將此二理論敘述於下：令 X = ( X 1 , X 2 ,L, X n ) 表示一個向量包含 n 個二元試題成績變數，每一個受試者作答 n 題得到一個 0 與 1 的向量 X = ( X 1 , X 2 ,L, X n ) 之後，試題 j 跟 k 的聯合與邊際機率可以如表 2-5 表示。. 22.

(31) 表 2-5 試題 j 與試題 k 之聯合與邊際機率試題 k Xk =1. Xk = 0. Total. X j =1. P( X j = 1, X k = 1). P( X j = 1, X k = 0) P( X j = 1). Xj =0. P( X j = 0, X k = 1). P ( X j = 0, X k = 0) P( X j = 0). 試題 j. Total. P( X k = 1). P ( X k = 0). 1. 在順序理論 OT 中，令 ε *jk = P(X j = 0, Xk = 1) 表違反試題 j 為試題 k 連之下位試題之機率，當 ε *jk < ε 時，其中 ε 為一閾值(threshold)，常設定介於 0.02 及 0.04 間（ 0.02 ≤ ε ≤ 0.04 ），則設定試題 j 為試題 k 連之下位試題，紀錄成 X j → X k 。 Takeya(1991)發現經由 OT 所得之受試者試題結構與試題間之相關係數有些情況會產生矛盾，故提出試題關聯結構分析法，希望透過另一種測量試題順序結構之係數 rjk* 來定義試題到試題 k 之間的順序關係，以修正 OT 之不足， rjk* 的定義為： r jk* = 1 −. P ( X j = 0, X k = 1) P ( X j = 0) P( X k = 1). 若 r jk* ≥ r ，則設定試題 j 為試題 k 連之下位試題，紀錄為 X j → X k ，其中 r 為一閾值(threshold)，常設定為 0.5。在 OT 及 IRS 中，若 X j → X k 且 X k → X j ，則兩者的關係可以表示成 X j ↔ X k ，而且這樣表示試題 j 與試題 k 是等價的。. 23.

(32) （二）電腦化適性診斷測驗之知識結構該研究根據專家知識結構或學生的試題結構中各相關概念間之上下位次序關係，以減少施測題數。即如假設有一專家（教材）知識結構如圖 2-3 所示，在紙筆診斷測驗中需施測圖中概念 A-I 所有試題，以瞭解學生學習之良窳，但在該研究之電腦化適性診斷測驗中，如受試者答錯概念 A 的試題，則需進一步測量概念 B、C 及其下位概念，以瞭解學生之迷思概念為何；如概念 B 對概念 C 錯，在電腦化適性診斷測驗中則僅需再施測概念 F、G、H、 I 之試題，因此可節省概念 D、E 之試題。. A. B. D. C. E. F. G. H. I. 圖 2-3 專家知識結構. （三）電腦化適性診斷測驗系統此電腦化適性診斷測驗系統包含四個子系統：1.多媒體題庫系統、2.適性測驗系統、3.補救教學分類系統、4.輔助學習模組，系統主要架構如圖 2-4. 所示，希望透過此系統能將學生課堂後的評量與補救學習數位化及網路化，藉此達到「因材施測」及「因材施教」。. 24.

(33) 學生 1.多媒體題庫. 2. 適性測驗系統. 系統. 學生學習剖面圖. 3. 補救教學分類系統. 類別 1. 類別 2. 4.輔助學習模組 1. 圖 2-4.. 類別 n. 4.輔助學習模組 2. 4.輔助學習模組 n. 電腦化適性診斷測驗及適性補救教學系統進行流程. 此系統，適性測驗的部分，是由第一個子系統提供資訊，根據學生的作答給予下一題來進行電腦測驗。上述系統除了具有 Diagnosys 的優點之外，其主要優勢在於分析學生知識結構的方法具有較完善的數學理論基礎，並且提供有利於補較教學的分群。綜而言之，早期這些方法主要是以紙筆測驗的結果來進行試題結構之估計，強調可提供除了試題通過率與鑑別度外的訊息，常用於比較使用不同教學法或教材版本，是否造成學生知識結構不同，於先前的研究中已有開發相關測驗分析軟體及以此種試題順序結構為基礎之網路適性評量（郭伯臣、何政翰，2004；郭伯臣，2004，2003；Kuo, Liu, Sheu, Pai, Ko, Yang & Lin, 2004），而前述的研究中使用四種方法來建立結構，並評估所建立結構之成效，四種方法分別為：專家知識. 25.

(34) 結構與 Diagnosys、OT、IRS 試題結構，得到下列三個結論：（1）使用專家結構之電腦適性測驗演算法預測精確度較難控制，使用學生試題結構之電腦適性測驗演算法，由於可藉由閾值控制結構，因此可獲得較令人滿意預測精確度。（2）Diagnosys 演算法需要更多樣本來達到令人滿意的預測精確度，適性測驗速度也比較慢。（3）OT 的演算法與其他演算法比起來，其對樣本大小較不敏感，因此就以試題順序結構為基礎適性測驗的來說， OT 似乎是一個較好的選擇。. 因此，利用知識結構分析數學教材將能以更組織化、階層性的方式將概念的意義呈現出來。因此，若能建立數學能力指標的知識結構，將使得教師在準備課程時，能順利的掌握課程內容的邏輯性、完整性，在教導學生時能減少遺漏能力指標數學概念的疏失，進而也能加快探索學生錯誤概念的速度，迅速提供學生適宜的補救教學內容。. 第四節. 多點計分試題順序結構理論. 將數學領域能力指標試題化後，可發現大部分的能力指標需要使用許多試題來加以測量，我們可將各個測量能力指標之試題視為一個個多點計分之題組（每個題組計分與小題數可能不同），如果要描寫能力之標之間的順序性，則需要使用多點計分之順序性係數，上述之二元計分順序性係數在此不能使用。目前並無相關文獻討論「以多點計分試題結構為基礎之適性測驗選題策略」，僅有一些文獻討論如何估計多點計分試題之順序結構，主要用於比較使用不同教學法或教材版本，是否造成學生知識結構不同，或者問卷類型的資料分析。「態度問題關聯結構分析法」原稱「語意結構（Semantic structure）分析法」，. 26.

(35) 簡稱 SS 分析法，是日本心理計量學者竹谷誠於 1987 年所倡（胡豐榮，2001；竹谷誠，1987；Makoto & Takeya，1999），此法利用圖形理論（Graph theory），將態度尺度資料分析出潛在之階層結構，然後再利用該階層結構來解釋態度資料間之關聯。竹谷誠將常見之選項數相等之非類別態度尺度資料，依計分方式之不同分為兩種，劉湘川(2003)稱之為「等級計分資料」、「對稱計分資料」，竹谷誠（1987）分別提出了前二者專有之「問題關聯順序係數」，惟兩種計分資料間，不能互相通用，且只適用於所有問題選項數均相等時。劉湘川(2003)、針對「等級計分資料」及「對稱計分資料」，提出「一階廣義問題關聯順序係數」公式，不論選項數相等與否、亦不論是否為等級計分、對稱計分、或其混合型計分資料，均一體適用。劉湘川、楊志良(2003) 提出較靈敏有效不會高估之「改一級廣義問題關聯順序係數」，劉湘川、簡茂發(2004)提出具同等功能且訊息量更多之「s 級廣義問題關聯順序係數」。茲將相關方法簡介於下：令試題 j 與試題 k 之選項數分別為 m j mk ，選項編號分別為 q ， r ， N jk ( q, r ) 表試題 j 得 q 分，試題 k 得 r 分之受試人數且試題 j 選項 q 之計分為 x jq ，試題 k 選項 r 之計分為 xkr 。令試題 j 與試題 k 之計分平均分別為 x j 、 xk ，計分標準差分別為 s j 、sk ，則有： xj =. 1 mj. mj. ∑ x jq , xk = q =1. 1 mk. mk. ∑ xkr , sx2j = r =1. 1 mj. mj. ∑ ( x jq − x j ) , q =1. 令 x jq 與 xkr 之標準化計分分別為 z jq 、 zkr ，則： z jq = 定義非負指示函數如：. [ x]. +. ⎧x =⎨ ⎩0. 2. x≥0 x<0. sx2k =. x jq − x j sx j. 1 mk. mk. ∑(x r =1. , zkr =. kr. − xk ). 2. xkr − xk sxk. ，則. 「試題 j 至試題 k 」之「關聯順序係數」(Takeya, 1999），各題均為 m 點計分：. 27.

(36) r jk* = 1 −. m −1 m m −1 m q − r N jk (q, r ) 1 q r N q r ( ) ( , ) 1 ( ) − = − ∑ ∑ ∑ ∑ jk N (m − 1) r =1 q =r +1 N r =1 q = r +1 m − 1. 此一定義之缺點為各題選項數或計分方式不可以不同。「試題 j 至試題 k 」之「一階廣義關聯順序係數」(劉湘川、簡茂發，2004）：. 1. mj. mk. γ = 1 − ∑∑ ⎡⎣ z jq − zkr ⎤⎦ + jk. N jk ( q, r ). +. N ( z+ − z − ). q =1 r =1. z+ = max1≤ j ≤ n , 1≤ q ≤ m j { z jq } , z− = min1≤ j ≤ n , 1≤ q ≤ m j { z jq }. 其中：. 特點：各題選項數或計分方式可以不同，使用標準化量尺，降低不同選項數或計分方式造成的影響「試題 j 至試題 k 」之「改進一階廣義關聯順序係數」(劉湘川、簡茂發，2004）： mj. mk. = 1 − ∑∑ ⎡⎣ z jq − zkr ⎤⎦ 1γ ⊕ jk. +. N jk ( q, r ) U1. q =1 r =1. ⎧⎪ m j. mk. ⎪⎩ q =1. r =1. ⎫⎪. +. 其中： U1 = max ⎨∑∑ ⎡⎣ z jq − zkr ⎤⎦ N jk ( q, r ) ⎬ ≤ N ( z+ − z− ) 1≤ j , k ≤ n. ⎪⎭. 「試題 j 至試題 k 」之「改進 s 階廣義關聯順序係數」(劉湘川、簡茂發，2004）： m m + ⊕ ⎡( z − z )s − ( z − z ) s ⎤ N jk ( q, r ) γ = − 1 ∑∑ ⎢ jq − s jk kr − − ⎥ j. k. q =1 r =1. ⎣. ⎦. Us. , s =1,2,3. + ⎧⎪ m j mk ⎡ ⎫⎪ s s 其中： U = max ⎨∑∑ ⎢( z jq − z− ) − ( zkr − z− ) ⎤⎥ N jk ( q, r ) ⎬ ⎦ 1≤ j , k ≤ n ⎩ ⎪ q =1 r =1 ⎣ ⎭⎪ − s. 當上述各順序係數小於某一閾值(r)時，則定義試題 j 能夠向試題 k 連結，代表兩者之間的關係可以被紀錄成 X j → X k，我們說試題 j 與試題 k 之間有順序性。. 28.

(37) 根據以上文獻探討，二元計分及多點計分的試題順序結構，皆可用於適性測驗之選題策略，並節省試題，本研究將結合二元計分及多點計分的試題順序結構，作為能力指標電腦適性測驗之選題策略，結合兩者之優點，以達到施測最少題數的目標，主要方法簡述如下：圖 2-5 為多元計分能力指標結構及二分計分試題結構的結合示意圖。圖中的長方形節點代表多點計分能力指標節點，其節點之間具有代表能力指標間的階層關聯性之線段，可依關聯的上下位結構來決定欲進行施測的能力指標數。當學生在此能力指標的得分超過所設定閾值時，可認定學生通曉上位指標下的所有能力指標。而其分數是按每一能力指標內的二元計分的試題結構來計算。其試題結構內的圓形節點是依能力指標編製的試題。其節點之間的線段，代表二元計分試題之階層關聯性。當學生答對上位試題時，判定此試題之下的試題皆答對。可利用試題間的上下位結構來減少施測的題數。. 能力指標 1 能力指標 2 能力指標 3. 能力指標 4. 圖2-5. 指標間結構（多點計分結構）與指標內結構（二元計分結構）. 29.

(38) 本研究將會依據上述步驟所得知最佳二元計分及多點計分結合的試題順序結構，作為適性測驗選題策略，以節省更多施測題數，縮短施測時間。. 30.

(39) 第三章. 研究方法與步驟. 本章主要在說明研究方法與工具，茲分述如下。. 第一節. 研究方法. 本研究的主要目的如下：一、建置四年級數學領域代數統計能力指標的電腦化適性測驗及適性補救教學模組。二、驗證電腦適性診斷測驗是否能達成節省施測題數與達到預定之預測精準度。三、檢驗電腦適性補救教學是否具有成效。四、使用所建立的電腦適性測驗評估國小四年級學童在代數統計能力指標方面的學習成效。. 為達成目的一，首先需建立適性測驗題庫，將能力指標試題化。其試題化的方法則依據「電腦化適性診斷測驗之研究」（陳怡如、吳慧珉、黃碧雲，2004），詳述如下： 1.建立能力指標專家知識結構。首先，依教育部(2003)所訂的九年一貫數學領域四年級代數與統計能力指標，參考相關文獻資料，並根據知識結構編製原則，訂出各相關概念間的上下位次序關係，建立知識結構草案。之後，邀請有編製電腦化適性診斷測驗經驗的國小教師，根據知識結構檢核表，建立四年級代數與統計能力指標的專家知識結構圖。 2 編製診斷測驗之試題。建立知識結構後，依此結構，編製診斷測驗之試題。根據命題程序，每一個節點編製兩題試題，並邀請上述國小教師，根據電腦化適 31.

(40) 性診斷測驗之命題檢核表檢核試題，四年級代數與統計有 6 個能力指標，23 個節點，共計 46 題試題。其能力指標試題化流程圖如圖 3-1：. 能力指標. 能力指標參考文獻. 知識結構檢核表. 知識結構草案. 知識結構. 編製試題. 命題檢核表. 能力指標試題化. 圖 3-1 能力指標試題化流程圖. 能力指標試題化後，將試題編製成試卷，以進行紙筆診斷測驗。本測驗結合五位共同以四年級數學科能力指標的研究者，將數學領域四年級全部的能力指標試題，編製成甲乙共 12 張試卷，每張試卷為 29 題，請九十三學年度五年級學生進行測驗，受試者需在二個月內全部施測完。再將紙筆診斷測驗的結果按受試者的作答情形及基本資料在電腦上建檔，檔案資料包含學校代號、班別、性別、座號及作答情形。將學生作答情形輸入電腦後，利用 Microsoft Excel 比對正確答案，再依其資料做試題結構之分析：利用二元計分（OT）及多點計分（Matlab）分析軟體，找出適當的學生能力指標內急能力指標間的試題結構與閾值，以期二元計分與多元計分整合，建立適當的試題結構，縮短施測時間。 32.

(41) 依資料分析結果，檢討與適度修訂知識結構及試題，再依專家知識結構與紙筆測驗結果，由研究者自編九年一貫數學領域代數與統計能力指標的補救教學教材腳本與動畫，利用 FLASH MX 編製各概念之電腦適性補救教學模組，以建置四年級數學領域代數統計能力指標的電腦化適性診斷測驗。為達成目的二，本研究利用「電腦適性化測驗系統」（郭伯臣、何政翰，2004），將紙筆診斷測驗轉換成線上測驗之後，來探討是否可以用最短的時間測出學生的能力，將進行下列實驗一來檢驗，每個實驗將抽樣 5 個班級，作為實驗對象，詳細步驟說明如下：實驗一步驟：（一）系統使用說明（10 分鐘）（二）線上診斷測驗（40 分鐘）為達到此一目的，步驟 2 的電腦測驗其試題呈現次序，首先會依照適性測驗施測流程，進行施測，當每位學生作答完畢後，再將原紙筆測驗中未於前述適性測驗中出現之試題進行施測，亦即所有學生將會作答原紙筆測驗中所有試題，如此方可計算其適性診斷測驗結果之成功預測率，獲得電腦化、適性化後真正能節省試題數。同時評估學童在數統計能力指標方面的表現程度，目的二藉此完成。為達成目的三，以目的二設計之電腦適性補救教學模組，進行實驗二補救教學的實驗，根據學生的錯誤概念進行補救教學，再一次進行電腦化適性測驗，以證明補救教學是有效的。詳細步驟說明如下：實驗二步驟：（一）系統使用說明（10 分鐘）（二）電腦適性化測驗（前測 40 分鐘）（三）電腦補救教學（30 分鐘）（四）電腦適性化測驗（後測 20 分鐘）. 33.

(42) 本實驗主要目的在於利用前後測的結果，來檢驗「線上適性補救教學」是否具有成效。如結果是正向的，則未來本系統使用者將可以於一般人進行紙筆測驗的時間內（40 分鐘），同時完成適性診斷測驗及適性補救教學，減少評量時間、改善學習成效。為達成目的四，利用電腦適性化測驗系統結果，分析學生在各能力指標之通過率，以評估國小四年級學童在代數統計能力指標方面的學習成效。. 第二節. 研究流程. 本研究是以教育部編訂之九年一貫四年級代數與統計能力指標，利用知識結構分析法，將能力指標試題化。編製試題後，整合本團隊四年級之試卷，進行紙筆測驗，依施測結果，分析學生的能力指標內及能力指標間試題結構，並依此建立電腦適性測驗系統的題庫。此外，依專家知識結構，參考相關文獻建立補救教學模組。題庫及補救教學模組完成後，測試系統，並進行測驗系統及補救教學模組的評估，評估測驗系統確能節省試題，並確定補救教學模組是有效的。本研究流程圖如圖3-2：. 34.

(43) 確定研究主題. 參考相關文獻. 建立能力指標之專家知識結構. 編製紙筆診斷測驗試題. 依據專家知識結構設計補救教學. 紙筆診斷測驗（預試）. 分析學生試題結構補救教學模組測試. 題目輸入題庫系統. 系統整合. 實施線上測驗補救教學成效評估. 資料分析整理. 論文撰寫完成. 圖 3-2 研究流程圖. 35.

(44) 第三節. 研究對象. 本研究的紙筆診斷測驗對象為九十三學年度五年級學生，包括台中縣大明國小 4 個班級，南投縣炎峰國小 4 個班級，，南投縣北投國小 2 個班級，有效樣本共計 294 人，施測時間為 93 年 10~11 月。預定使用電腦化適性測驗施測的對象為已接受九年一貫數學能力指標中代數與統計教學的國小四年級 5 個班級，學生人數約 150 人。. 第四節. 研究工具. 本研究所使用的工具包括「學生試題結構分析軟體」、「電腦化適性診斷測驗」、分別說明如下：一、學生試題結構分析軟體 1.能力指標內的試題結構：以 OT 訂出適當的閾值，分析二元計分的學生試題順序結構，設計能力指標內的選題策略。 2.能力指標間的結構：以林文質（2005）之多點計分試題結構為基礎的電腦適性測驗演算法，分析能力指標間的結構，以期節省更多試題。二、電腦化適性診斷測驗將測驗電腦化，利用架設之電腦化適性診斷測驗系統（郭伯臣等，2004）達到省時省試題的線上測驗。. 36.

(45) 第五節資料處理與分析本研究的資料處理如下：一、原始資料處理本研究在資料的處理上，皆使用Microsoft Office 的Excel 軟體來處理原始資料。二、電腦適性化診斷測驗資料處理線上診斷測驗後，根據實驗設計所得資料，分析是否達到實驗目的。三、統計分析本研究運用SPSS 統計套裝軟體對能力指標電腦化適性診斷測驗前測、後測的成績進行T 檢定，來分析補救教學實驗的立即成效。. 37.

(46) 第四章. 研究結果. 本研究乃是透過電腦化測驗的方式，來檢驗是否能達到節省試題的功能，以及電腦化補救教學能否達到個別化、適性化教學的功效。本章將根據前述的研究動機、目的及研究步驟流程，呈現本研究的結果。. 第一節. 電腦適性診斷測驗題庫之建置. 在本研究中，題庫建置是相當重要的一部分；欲建立適性測驗題庫，需將能力指標試題化。以下將題庫建置結果詳述如下：一、四年級數學領域代數統計能力指標的專家知識結構依據「電腦化適性診斷測驗之研究」（陳怡如等，2004），參考能力指標相關文獻資料，並根據知識結構編製原則，訂出各相關概念間的上下位次序關係，並邀請有編製電腦化適性診斷測驗經驗的國小教師，根據知識結構檢核表檢核，建立四年級代數與統計能力指標的專家知識結構圖，其結構詳述如下： 1. 4a01 能在具體情境中，理解乘法結合律、先乘再除與先除再乘的結果相同，也理解連除兩數相當於除以此兩數之積。（因屬代數方面的觀念，未與數與計算相通，此處著重概念理解，不求算出結果。乘法結合律一詞不建議出現在四年級的教學或課本，且此處除法皆須整除。）. 38.

(47) 1. 2. 連除兩數等於除以此兩數之積的意義. 先乘再除等於先除再乘的意義. 1-1. 乘法結合律的意義. 圖 4-1 能力指標 4a01 專家知識結構圖. 2. 4a02 能將具體情境中所列出的單步驟算式填充題類化至使用未知數符號的算式，並能解釋式子與原問題情境的關係。（因屬代數方面的觀念，未與數與計算相通，此處著重概念理解，不求算出結果。）. 1. 2. 3. 4. 列出單步驟加法問題情境的未知數符號算式. 列出單步驟減法問題情境的未知數符號算式. 列出單步驟乘法問題情境的未知數符號算式. 列出單步驟除法問題情境的未知數符號算式. 1-1. 解釋未知數符號算式與單步驟加法問題情境的關係. 2-1. 3-1. 解釋未知數符號算式與單步驟減法問題情境的關係. 解釋未知數符號算式與單步驟乘法問題情境的關係. 圖 4-2 能力指標 4a02 專家知識結構圖. 39. 4-1. 解釋未知數符號算式與單步驟除法問題情境的關係.

(48) 3. 4a03 能理解乘除互逆，並運用於驗算與解題。（因屬代數方面的觀念，未與數與計算相通，此處著重概念理解，不求算出結果。乘除互逆一詞不建議出現在四年級的教學或課本，且此處不涉入問題情境）. 1. 1-1. 1-1-1. 利用乘除互逆的觀念驗算. 利用乘除互逆的觀念解題. 乘除互逆的意義. 圖 4-3 能力指標 4a03 專家知識結構圖. 4. 4a04 能用中文簡記式表示長方形和正方形的面積公式與周長公式。. 1. 長方形面積公式的中文簡記式. 2. 長方形周長公式的中文簡記式. 3. 正方形面積公式的中文簡記式. 4. 正方形周長公式的中文簡記式. 圖 4-4 能力指標 4a04 專家知識結構圖. 40.

(49) 5. 4d01 能報讀生活中資料的統計圖，如長條圖、折線圖與圓形圖等。 1. 2. 報讀長條圖. 3. 報讀折線圖. 報讀圓形圖. 圖 4-5 能力指標 4d01 專家知識結構圖. 6. 4d02 能報讀較複雜的長條圖。（此處較複雜的長條圖是指各種變形或資料較繁瑣的長條圖，讓學童舉一反三地報讀變形長條圖，並不需要教遍各種變形長條圖。基於前述理由，在此省略報讀橫向變形長條圖的能力檢測。）. 2. 1. 報讀雙條的變形長條圖. 報讀單條堆疊的變形長條圖. 圖 4-6 能力指標 4d02 專家知識結構圖. 專家知識結構用途在於：編製診斷測驗之試題及設計補救教學。二、編製診斷測驗之試題建立知識結構後，依此結構，編製診斷測驗之試題。每一個節點編製兩題試題，並邀請上述國小教師檢核試題，四年級代數與統計有 6 個能力指標，23 個節點，共計 46 題試題（如附錄一）。三、紙筆診斷測驗能力指標試題化後，將試題編製成試卷，以進行紙筆診斷測驗。施測對象為南投縣與台中縣，有效樣本共計 294 名學生，依其測驗結果，分析如下： 1.試題分析. 41.