一、學生在二維列聯表的推論
有關個體對列聯表資料中兩變數關係的推論策略，從Obersteiner(2015)的角 度來看，他們從Fischbein(1987)對直觀的想法出發，利用在列聯表資料推論中常 出現的兩種直觀想法作為面向來分析他們的推論策略，這兩種直觀想法分別為基 本比率謬誤(the base rate bias) (Barbey, & Sloman, 2007)與整數謬誤(the whole number bias) (Christou, 2015)，即為常見直觀所造成的謬誤：
1. 基本比率謬誤
在二維列聯表中，個體對數據只注意到與題意有關的訊息，卻忽略掉與問題 的提問中較無關之訊息，會形成所謂的基本比率謬誤。如本研究中的二維列聯表 問題在問題提問的關鍵字句(如果想要抽中藍色的球，你會選擇從A袋抽還是從B 袋抽？)引導之下，僅利用二維表格中藍色球對A,B兩袋的兩格做推論判斷。
2. 整數謬誤
所謂整數謬誤如在解決二維列聯表試題時，基本上需要使用比例計算進行推 論才為最有效的方法，而二維表格離散型的呈現方式常誘導個體只用計算球數差 距，而非利用比例進行推論，這種謬誤稱為整數謬誤。
因為基本比率謬誤而造成僅比較部分數據作推論稱為格間對照比較策略 (a-versus-c strategy)；而因為整數謬誤而造成計算格間差距作推論稱為格間加減 計算比較策略(additive strategy)。此類策略使用者會將各袋中的藍、紅球數相減，
再比較兩袋的相減差距進行推論判斷，如圖1-3-1中拿a-b與c-d來比較大小值；或 是將四個細格兩兩比較大小，如圖1-3-1中將a與b比較大小值以及c與d比較大小值 後，再判斷該選擇哪一袋而進行推論。
以上兩種謬誤呈現兩種不同的推論策略，而這兩種推論策略並不是最正確的。
從Shaklee, Holt, Elek,& Hall(1981)的角度來看，認為對2×2列聯表資料的推論時，
使用最正確的策略為比較兩列的條件機率，如圖1-3-1中計算 (multiplicative strategy)。
對二維列聯表的推論從小學到大學皆有相關之實徵研究，在小學的研究 (Obersteiner et al., 2015)以對小學生的直觀為出發點探討推論策略；在中學的研究 有探討高中生對於二維列聯表試題推論的能力(Baterno, Estepa, Godino, &
Green,1996)和探討高中生對二維列聯表關係判斷的能力(No, A. , Han, S.Y.,&
Yun, J.Y.,2016)；在大學的研究(Batanero, Cañadas, Arteaga,& Gea,2013)以了解心 理系大學生對相關性為獨立的數據進行之推論策略。除以上研究外，亦有研究橫 跨各學齡階段對個體的推論策略進行探討(Shaklee et
al.,1981;Shaklee,&Mims,1988)，如Shaklee(1981)以美國小學、國中、高中與大 學生為對象探討他們對於2×2列聯表資料關係的推論策略異同性。以下就小學、
中學、大學的相關研究各別來探討其對學生在列聯表資料推論策略的見解。
(一) 小學相關研究
Obersteiner等人探討小學生推論策略的研究中分為兩個主要研究，研究工具 皆使用二維列聯表數據所形成的問題，但是在第一個主要研究中使用生活化的情 境來呈現問題，受試的二年級學生被告知說有許多人在接受了A療程或B療程後，
有多少人罹患疾病，而有多少人沒有罹患疾病，此由A,B療程與有無患病作為雙 類別變數形成一個二維列聯表，請學生判斷A療程還是B療程具有較好的效果，或 是兩種療程其實沒有差別；在第二個主要研究中則是使用前述抽花片的情境使二 年級與四年級的學生進行推論作答。
接著Obersteiner等人開發研究工具，以同一個二維列聯表問題的敘述，但不 同表格數據的方式，設計出8題試題，此8題亦利用上述三種策略作為開發試題之 面向，將試題分成格間對照型試題(a-versus-c problem)、格間加減型試題(additive problem)、格間比例型試題(multiplicative problem)等三種層次的試題：
1. 格間對照型試題：指二維列聯表試題之數據設計以格間對照比較策略、
格間加減計算比較策略與格間比例計算比較策略推論都能答對的問題。
2. 格間加減型試題：指二維列聯表試題之數據設計以格間對照比較策略不 能答對，但以格間加減計算比較策略與格間比例計算比較策略皆能答對 的問題。
3. 格間比例型試題：指二維列聯表試題之數據設計以格間對照比較策略與 格間加減計算比較策略不能答對，但以格間比例計算比較策略能答對的 問題。
以本研究所設計研究工具中的試題(圖1-3-1)為例，表2-2-2中由左至右依序 為格間對照型試題、格間加減型試題與格間比例型試題之數據。
表2-2-1、二維列聯表策略層次試題數據範例
藍色球 紅色球 藍色球 紅色球 藍色球 紅色球
A袋 13 6 A袋 18 15 A袋 20 10 B袋 10 18 B袋 18 4 B袋 10 5
表2-2-1的左側數據為格間對照型試題，其正確答案為A袋。依格間對照比較 策略推論可能會比較A袋的13顆藍色球與B袋的10顆紅色球，因此選擇A袋作為 答案；若依格間加減計算比較策略推論可能會比較A袋與B袋中兩球的差距得出 A袋藍色球多於紅色球、B袋紅色球多於藍色球，而選擇A袋作為答案；若依格 間比例計算比較策略推論可能會計算A袋與B袋中兩球的比值得出13/6=2.17, 10/18=0.56，而選擇A袋作為答案。此類試題使用三種策略皆能回答出正確答案。
表2-2-1的中間數據為格間加減型問題，其正確答案為B袋。依格間對照比較 策略推論可能會比較A袋的18顆藍色球與B袋的18顆紅色球，因此推論從兩袋抽 球毫無差別；若依格間加減計算比較策略推論可能會比較A袋與B袋中兩球的差 距得出兩袋藍球數雖相同，但A袋藍色球差紅色球3顆、B袋藍色球差紅色球14 顆，而選擇B袋作為答案；若依格間比例計算比較策略推論可能會計算A袋與B 袋中兩球的比值得出18/15=1.2, 18/4=4.5，而選擇B袋作為答案。由此類試題可以 看見使用格間加減計算比較策略或格間比例計算比較策略才能回答出正確答 案。
表2-2-1的右側數據為格間比例型試題，其正確答案為毫無差別。依格間對 照比較策略推論可能會比較A袋的20顆藍色球與B袋的10顆紅色球，因此選擇A 袋作為答案；若依格間加減計算比較策略推論可能會比較A袋與B袋中兩球的差 距得出A袋藍色球差紅色球10顆、B袋藍色球差紅色球5顆，而選擇B袋作為答案；
若依格間比例計算比較策略推論可能會計算A袋與B袋中兩球的比值得出
20/10=2, 10/5=2，而推論從兩袋抽球毫無差別。由此類試題可以看見僅使用格間 比例計算比較策略者才能回答出正確答案。
當學生做完整份試題後，全部策略層次試題皆答對稱為格間比例計算比較 策略使用者；答對所有格間對照型試題、格間加減型試題，卻答錯所有格間比例 型問題，稱為格間加減計算比較策略使用者；而答對所有格間對照型試題，卻答 錯所有格間加減型試題、格間比例型試題，稱為格間對照比較策略使用者。兩個 研究的研究結果皆發現無論情境是否生活化，學生對於二維列聯表的相關性試題 都具備推論能力。
雖然Obersteiner(2015)等人的這篇研究並未特別將此三種策略作層次性之分 類，但是我們可以從兩種謬誤中發現，基本比率謬誤中提到了個體常常僅注意關 鍵訊息而忽略較與題意無關之訊息，在格間對照型試題的平均答對率德國小學二 年級與小學四年級的學生皆超過0.9，但小學二年級在格間加減型試題的答對率 低於0.5；小學四年級的答對率高於0.5，顯示了格間加減型試題難度較格間對照 型試題高。研究者認為這三種推論策略具備層次性，且如Shaklee(1981)的研究結 果所示，學齡對列聯表試題之推論策略或許有些影響，而Obersteiner(2015)未將 焦點關注於年級間策略的差異性，隨著學齡的提升，學生的認知亦會有所發展，
因此除了從直觀理論的角度分析外，年級間推論的差異性跟可能與認知發展或與 在不同階段學習的知識內容有關。
(二) 中學相關研究
Baterno(1996)等人對17~18歲的高中學生探討他們對於二維列聯表推論變 數關係的策略，這些學生剛於課程中認識二維列聯表推論兩變數關係，但尚未進 行完整的課程教學。其研究工具的設計有2×2、2×3、3×3等階的表格數據，試題 測驗目的皆為請學生判斷自變數是否影響依變數，如圖2-2-2範例為其中一題2×2 列聯表試題。
在一個醫學中心有250人接受了調查，為了了解抽煙習慣與支氣管疾病是否具 有關連性，結果如下表所示：
有支氣管疾病 無支氣管疾病 總計
吸菸 90 60 150
不吸菸 60 40 100
總計 150 100 250
根據此表格數據，你覺得這些樣本中的人們患得呼吸道疾病受抽煙習慣影響 嗎？
圖 2-2-2、2×2 表格數據的列聯表試題(Baterno et al.,1996)
其將2×2表格試題的研究結果利用Pérez Echeverría(1990)對2×2二維列聯表推 論策略的分類方式，把「覺得變數間有相關」的受試者推論策略分為Level 0~Level 5共六個層次，處於Level 0使用了與列聯表數據無關的訊息做推論；Level 1僅使 用一個細格的數據做推論；Level 2使用兩細格數據比較做推論，如前述格間對照 比較策略；Level 3使用三個細格數據比較做推論，如圖2-2-2中僅使用90與對角 線的兩個60三個數據做推論而忽略40這個數據；Level 4使用四個細格並做加減計 算比較推論；Level 5 使用四個細格並做比例計算比較推論。
由於Baterno等人在2×2表格使用了三種變數相關性做施測，依試題順序為獨 立、負相關、正相關，在研究結果共213位學生中，分類各層次的人數比例如表 2-2-3。三種試題中幾乎沒有學生屬於Level 3，而獨立性的試題屬於Level 1與Level 2層次的學生比例較Level 4與Level 5的比例總和高，正相關與負相關則相反，表 示學生在獨立性較難達到較高的推論層次。
表2-2-3、Baterno(1996)各推論層次人數比例
情境 吸菸 減肥 過敏症
相關性 獨立(試題1) 負相關(試題2) 正相關(試題3) 推論層次
Level 1 13.6% 13.6% 10.3%
Level 2 29.1% 18.8% 23.5%
Level 3 0.5% 0% 0%
Level 4 7.0% 34.7% 32.3%
Level 5 21.1% 23.9% 21.1%
另外在南韓有對高中學生進行了解對於描述變數關係的能力之研究(A-Ra
另外在南韓有對高中學生進行了解對於描述變數關係的能力之研究(A-Ra