探討不同年級學生對列聯表資料推論兩變數關係的表現

全文

(1)國立臺灣師範大學數學系數學研究所碩士論文. 探討不同年級學生對列聯表資料推論兩變數關係的表現. 研究生：藍郅堯指導教授：楊凱琳. 教授. 中華民國一百零六年五月.

(2) 摘要本研究主要目的為探討學生對列聯表資料推論兩變數關係的表現。有關變數間的相關趨勢之推論，根據普通高級中學必修科目數學課程綱要 (民99)，在高一數學的二維數據單元中，才提供計算相關係數與求出迴歸直線方程式的學習機會。雖然高中數學課程中納入探討數值變數間相關性的迴歸直線等二維數據單元，但是在使用97年國民中小學九年一貫課程綱要(民97)的國中小數學課程中皆未有內容探討兩類別變數的關聯性。再從李健恆、楊凱琳關於國中統計課程的教科書研究(2012)，以及歷年學測數學與指定科目考試數學乙中分析近年的統計教材與統計考題，發現近年臺灣的教科書、課程與國家考試的試題中較少出現有關於統計推理的相關問題。而從近年的PISA 2012臺灣精簡報告(2012)中指出，臺灣國高中學生在「不確定性與資料分析」的平均得分比整體數學表現平均得分低。綜合以上，課程中較少出現有關統計推理的問題；學生在不確定性內容的試題表現較弱的現象等，使得研究者對臺灣學生在未學過的兩類別變數數據之推論能力發展感興趣。 Obersteiner ,Bernhard與Reiss(2015)曾探討德國小學二年級與四年級學生在二維列聯表的推論策略，研究發現雖然這些德國學生尚未學習兩類別變數間的關聯性，但對列聯表關聯性的趨勢能卻夠進行有意義但不一定有效的推論。對於二維列聯表的問題進行推論時使用計算比值的方式進行推論是有效的策略。但是，學習過比與比值的臺灣學生對此問題是否就能使用此策略來推論呢？而沒學習過比與比值的臺灣學生使用的推論策略可能為何呢？加上學習過不同統計內容後，學生在二維列聯表進行推論時的策略又有何異同呢？由於以上種種疑問，研究者先以中小學學生為研究對象，探討其對於統計二維列聯表試題所使用各種有意義的推論策略之分佈，以及其所使用策略的推論特徵為何。. . II .

(3) 研究分為前置研究以及主要研究，在前置研究中先以小學三、四、六年級的個案學生初探不同年級的學生在學習統計內容前後的推論表現可能有何異同，再於主要研究中對多個年級取樣本進行分析，並訪談受試者深入分析學生對列聯表的推論策略之特徵。以可能會影響學生推論策略的統計內容以及比與比值的學習前後挑選年級，由於小學四年級比小學三年級多學了判讀二維表格；國中八年級比小學四年級多學了如何判讀長條圖與折線圖，以及比與比值；高中一年級比國中八年級多學了機率與統計，於是研究者在樣本分析時選擇以小學三、四年級、國中八年級、高中一年級作為主要研究的研究對象。研究結果發現數據變數相關性中的正相關與負相關對各年級學生作答的影響不大，但是獨立會明顯影響所有年級學生的推論。接著在推論策略層次的維度下，不同年級在三種不同策略層次試題的推論表現具有顯著的影響。小學三年級大部分具有格間對照比較策略與格間加減計算比較策略的推論特徵，但使用格間對照比較策略的比人數例較高；小學四年級開始仍然主要為格間對照比較策略與格間加減計算比較策略，但是使用格間加減計算比較策略的人數比例較高；國中八年級開始主要的推論策略以格間比例計算比較策略為主，具格間對照比較策略或格間計算比較策略特徵的人數比例較小學四年級低很多；最後高中一年級依然以格間比例計算比較策略推論為主，且使用格間對照比較策略或格間加減計算比較策略的人數比例較國中八年級低很多。最後統整各年級中各推論策略使用比例後分類出不同的策略使用者，除了 Obersteiner(2015)等人所述格間對照比較策略使用者、格間加減計算比較策略使用者、格間比例計算比較策略使用者之外，本研究還發現次格間對照比較策略使用者、次格間加減計算比較策略使用者、次格間比例計算比較策略使用者以及因離群值數據影響而答對的加減策略使用者等子分類，作為所有年級策略使用者的完整分類，且依訪談結果統整出這些分類的主要推論特徵。關鍵詞：統計推論、兩變數關係、二維列聯表。. . III .

(4) 誌謝我想在整個研究過程中，最感謝的是楊凱琳教授不厭其煩的指導，讓我從原本不知該如何進行研究的我，在研究這塊茫茫大海中擔當我的指南針，讓我時時刻刻修正方向繼續向前邁進，並在口試前後不厭其煩的指導我需要改進與修正的地方。從訂定方向開始，為了研究學生的統計素養並試圖提升，於是從 Sashi Sharma (2013)的研究開始對學生在統計圖表的理解做探討，直到最後決定以學生對列聯表資料推論兩變數關係作為論文主題。爾後在資料搜集的過程中，感謝給予我施測及訪談機會的三所國小、一所國中以及兩所高中，以及途中給我許多協助的長輩們、親友們，讓我能夠在研究的過程中有充足的研究資料來進行探討。最後感謝參與論文口試的所有委員們，在論文發表後給予珍貴的意見讓我進行修正並提升論文品質，以及感謝所有的老師、同學，讓我在研究的過程中提供寶貴的意見讓我對研究不足處進行改進。. . IV .

(5) 目次摘要 ..................................................................................................................................................... II 誌謝 .................................................................................................................................................... IV 目次 ..................................................................................................................................................... V 表目錄 ............................................................................................................................................. VII 圖目錄 ............................................................................................................................................... IX 第一章緒論 ..................................................................................................................................... 1 第一節研究動機與背景 ............................................................................................................................ 1 第二節研究目的與研究問題 ................................................................................................................... 5 第三節名詞界定 ........................................................................................................................................... 6 第二章文獻探討 ........................................................................................................................... 7 第一節兩變數關係、統計共變與二維列聯表 ................................................................................. 7 第二節二維列聯表推論的實徵研究與認知理論 ............................................................................ 9 第三章研究方法 ......................................................................................................................... 26 第一節研究流程 ........................................................................................................................................ 27 第二節研究工具 ........................................................................................................................................ 30 第三節前置研究 ........................................................................................................................................ 32 第四節正式研究 ........................................................................................................................................ 36 第五節資料蒐集與分析 ......................................................................................................................... 40 第四章研究結果 ......................................................................................................................... 43 第一節不同層次的試題對不同年級學生推論表現的影響 ..................................................... 43 第二節各年級學生在不同策略層次的分佈及推論特徵 .......................................................... 61 第三節討論 .................................................................................................................................................. 68 第五章結論 ................................................................................................................................... 76 第一節總結 .................................................................................................................................................. 76 第二節反思與建議 ................................................................................................................................... 78 參考文獻 .......................................................................................................................................... 80 . . V .

(6) 附錄一、研究工具 ....................................................................................................................... 84 附錄二、老師注意事項 .............................................................................................................. 91 附錄三、家長同意書 ................................................................................................................... 93 . . VI .

(7) 表目錄表 1-1-1、歷年學測與指考數據分析單元題目數量 ........................................................................................... 3 表 2-2-1、二維列聯表策略層次試題數據範例 ...................................................................................................12 表 2-2-3、BATERNO(1996)各推論層次人數比例 ...................................................................................................15 表 2-2-4、預測變數在列的試題數據。(A-RA NO ET AL.,2016) ......................................................................16 表 2-2-5、預測變數在行的試題數據。(A-RA NO ET AL.,2016) ......................................................................16 表 2-2-6、變數為獨立性的試題數據。(A-RA NO ET AL.,2016) ......................................................................16 表 2-2-7、一列數據幾乎為另一列兩倍的試題數據。(A-RA NO ET AL.,2016) .........................................16 表 2-2-9、OBERSTEINER (2015)與 BATANERO(1996;2013)對推論策略分類的對照表。 ...........................19 表 2-2-10、三個研究中各策略層次人數比例 .....................................................................................................20 表 2-2-11、二維列聯表數據 .......................................................................................................................................24 表 3-2-2、研究施測工具 ..............................................................................................................................................31 表 3-2-3、研究施測工具之雙向細目表 .................................................................................................................32 表 3-3-1、前測研究施測資料。 ................................................................................................................................33 表 3-4-1、半結構式訪談大綱.....................................................................................................................................37 表 3-4-2、吳統雄(1985) CRONBACH’S Α 係數與量測工具的信度標準。 ................................................39 表 3-4-3、各試題刪除後的 CRONBACH’S ALPHA 值。 ...........................................................................................39 表 3-5-1、小學三年級與小學四年級推論表現交叉表(單位：次數) ........................................................41 表 3-5-2、小學三年級與小學四年級各試題答題差異卡方獨立檢定分析。 .........................................41 表 4-1-1、不同年級於各試題的答對率 .................................................................................................................43 表 4-1-2、依變數與自變數的資料編碼 .................................................................................................................44 表 4-1-3、交互作用的檢定(小學三年級，N=139) ............................................................................................45 表 4-1-4、邊際平均估計值與差異性檢定(小學三年級，N=139) ...............................................................45 表 4-1-5、交互作用的檢定(小學四年級，N=146) ............................................................................................47 表 4-1-6、邊際平均估計值與差異性檢定(小學四年級，N=146) ...............................................................48 表 4-1-7、交互作用的檢定(國中八年級，N=113) ............................................................................................49 表 4-1-8、邊際平均估計值與差異性檢定(國中八年級，N=113) ...............................................................50 表 4-1-9、交互作用的檢定(高中一年級，N=177) ............................................................................................51 表 4-1-10、策略層次邊際平均估計值與差異性檢定(高中一年級，N=177) ..........................................52 表 4-1-11、變數相關性邊際平均估計值與差異性檢定(高中一年級，N=177) .....................................53. . VII .

(8) 表 4-1-12、小學三年級與小學四年級各試題答題差異卡方獨立檢定分析。 ...................................... 54 表 4-1-13、小學三年級與小學四年級在試題 4 的推論表現 ........................................................................ 54 表 4-1-14、小學三年級與小學四年級學生各試題最多推論答案。 ......................................................... 55 表 4-1-15、小學四年級與國中八年級各試題答題差異卡方獨立檢定分析。 ...................................... 56 表 4-1-16、小學四年級與國中八年級在試題 4 的推論表現 ........................................................................ 57 表 4-1-17、小學四年級與國中八年級學生各試題最多推論答案。 ......................................................... 57 表 4-1-18、國中八年級與高中一年級各試題答題差異卡方獨立檢定分析。 ...................................... 58 表 4-1-19、國中八年級與高中一年級在試題 4 的推論表現 ........................................................................ 58 表 4-1-20、國中八年級與高中一年級學生各試題最多推論答案。 ......................................................... 59 表 4-1-21、各年級於各試題推論無法判斷的人數 ........................................................................................... 60 表 4-2-1、各策略使用者於各年級人數比例表。 ............................................................................................. 63 表 4-2-2、各策略層次試題跳層次推論正確人數比例表。 .......................................................................... 67 表 4-3-1、德國研究與本研究學生在各策略層次試題的平均答對率 ....................................................... 68 表 4-3-2、二維列聯表數據 ......................................................................................................................................... 69 表 4-3-3、兩研究中各推論策略特徵的人數比例 ............................................................................................. 70 表 4-3-4、西班牙高中研究與本研究各策略層次人數比例 .......................................................................... 70 表 4-3-5、具有離群值的格間比例型試題數據 .................................................................................................. 73. . VIII .

(9) 圖目錄圖 1-3-1、由德國研究(OBERSTEINER ET AL., 2015)翻譯的二維列聯表試題。............................................. 6 圖 2-2-2、2×2 表格數據的列聯表試題(BATERNO ET AL.,1996) ........................................................................14 圖 2-2-8、西班牙研究(BATANERO ET AL.,2013)的研究工具。 ..........................................................................17 圖 3-1-1、研究流程圖 ...................................................................................................................................................29 圖 3-2-1、由德國研究(OBERSTEINER ET AL., 2015)翻譯的二維列聯表問題。...........................................30. . IX .

(10)

(11) 第一章緒論. 在小學階段至大學階段的求學過程中，學生接受過不少統計相關的學習內容，對於使用 97 年國民中小學九年一貫課程綱要(民 97)的學生而言，從小學三年級開始學習如何判讀二維表格，小學四年級學習如何判讀直方圖、折線圖，一直到使用普通高級中學必修科目數學課程綱要(民 99)的高中一年級學生學習如何判讀散點圖、相關係數的應用等統計知識。統計中的數據主要可分為數值變數 (numerical variable) 與類別變數 (categorical variable) (Tarr,2013)，而學生所學的統計圖表中，用來表示兩變數關係的圖表如直方圖、散點圖等等，多為表示類別變數與數值變數的關係，或表示兩個數值變數的關係，對於兩個類別變數的關係僅於高中在計算條件機率時才有所學習。依照現況來說，97 年國民中小學九年一貫課程綱要(民 97)與普通高級. 中學必修科目數學課程綱要(民 99)的課程安排能不能使學生對類別變數間的關係進行有意義的推論？這個部分對於我們來說是一個疑問，於此研究者產生了以下的研究動機、研究目的與研究問題。. 第一節研究動機與背景統計是一門貼近生活的實用知識，生活的圖表中常包含有兩變數，甚至多變數之間的關係，而臺灣中小學的統計課程較注重統計知識的培養，較無要求對圖或表的數據所呈現之現象進行推論(李健恆、楊凱琳，2012)，對兩變數關係的推論在教科書中亦少見。有關變數間的相關趨勢之推論，直到高中數學的二維數據單元中，才提供計算相關係數與求出迴歸直線方程式的學習機會。雖然臺灣高中數學課程中納入數值變數間的相關性，但是在國中小學的數學課程中皆未探討兩類別變數的關聯性的單元。再於李健恆、楊凱琳(2012)的研究中利用統計認知的定義從三個面向：. . 1 .

(12) 知識(literacy)、推理(reasoning)與思考(thinking)(Garfield, delMas, & Chance, 2003) 去分析現今教科書中的統計範例、練習題和任務等。其中統計推理是指題目需要學生利用所學如對圖表的判讀、機率的計算與應用等，對統計的數據現象進行整合、理解並做出合理解釋的能力。但是從研究結果來看兩個版本的教科書都僅有 5%的題目是關於統計推理的認知內容，由此可看到我們的教科書較少提供學生進行統計推理的學習機會。接著從97年國民中小學九年一貫課程綱要(民97)的數學學習領域與普通高. 級中學必修科目數學課程綱要(民99)中，也發現統計單元中關於圖表數據的教學目標僅於簡單推理。例如：高中二維數據單元的學習目標即能在兩變數數據中求出最佳直線方程式，並利用方程式去推測數據趨勢。再從使用普通高級中學必修科目數學課程綱要(民99)開發的102年至105年學測數學與指定科目考試數學乙試題中統計數據分析單元的題目數量，結果如下表1-1-1。發現自102年至105年中，皆有出現數據分析的題目，但僅102年學測、 104年學測，以及102年、104年指定科目考試數學乙有出現各1題二維數據分析的題目，顯示在這些大考中並非每年都出現二維數據的題目。接著使用李健恆、楊凱琳(2012)根據統計認知的定義分析試題的方法，分析這4題屬於二維數據分析的題目，發現僅104年學測的題目屬於統計推理的認知內容，而102年學測與102年、104年指定科目考試數學乙的題目皆屬於統計知識的認知內容。由以上發現使用普通高級中學必修科目數學課程綱要(民99)的102年至105年大考中，屬於統計推理的二維數據分析題目較少，且較少題目測驗學生的統計推理能力。. . 2 .

(13) 表 1-1-1、歷年學測與指考數據分析單元題目數量單元一維數據分析. 二維數據分析. 102年. 0. 1. 103年. 1. 0. 104年. 1. 1. 105年. 2. 0. 102年. 0. 1. 103年. 1. 0. 104年. 0. 1. 105年. 1. 0. 大考年份. 學測數學. 數學乙. 由以上種種現象說明目前在臺灣的教科書、課程與國家考試的試題中較少出現統計推理的相關問題。因此未將統計推理與思考作為統計課程中主要部分的臺灣學生，其統計推理能力如何成為研究者感興趣的問題，然而在臺灣中小學部分較多實徵研究如蔡佩真(2009)、陳偉琳(2012)、林亭瑩(2013)，多探討臺灣學生對於學習過之統計圖表理解之程度進行分析，鮮少深入探討學生的推理與思考表現之實徵研究。另外，當二維表格的細格數據皆來自類別資料的統計結果時，此二維表格稱為二維列聯表(Agresti,1996)。二維列聯表是一種對類別資料來說重要的表徵方式，在臺灣小學課程中於小學三年級提供了報讀二維表格的學習機會，但是判讀的二維表格不一定來自統計結果，例如判讀火車的時刻表即非來自統計結果的二維表格。然而在中小學其他不同階段的課程中，皆未將二維列聯表納入主要課程裡，因此學生對於表示類別資料關係的二維列聯表較無系統化的學習。綜合上述，臺灣的中小學僅將二維表格納入主要課程裡，卻沒有將二維列聯表納入主要課程中，因此學生在學習二維表格後是否具備了對二維類別資料的推論能力成為一個疑問。 . 3 .

(14) 在德國Obersteiner,Bernhard和Reiss(2015)的研究中發現小學二年級與四年級的學生在學習二維列聯表相關知識前，分別有90.8%與92.0%的學生對具有不確定性的二維列聯表試題具備有意義的推論策略，但是分別僅1.9%與1.6%的學生具備最有效的推論策略。由上述發現在學習二維列聯表相關知識之前，這些德國小學生其實大部份具備進行有意義推理的能力，但能使用最有效推論策略的人數比例低。造成Obersteiner(2015)等人研究中大部份學生有辦法對二維列聯表進行有意義推論，但是能具備最有效策略人數比例低的原因為何？從Obersteiner(2015)等人研究中對最有效策略的論述來看，對二維列聯表進行推論時，如果能應用比值概念，即可作出最有效的推論。那麼或許是因為學生缺乏比例推理能力而無法做出最有效的推論。林福來、郭汾派、林光賢(民74)對臺灣國中生有研究其比例推理的能力，發現學習過比與比值的國中八年級學生有56%以上具有簡單倍數的比例推理能力，也就是說學習過比與比值的國中八年級學生有一半以上可利用比例的概念來進行推理，那麼根據前述，這些具有比例推理能力的國中生是否就能對二維列聯表進行最有效的推論策略？或許學生會因缺乏比例推理能力而造成未使用最有效策略來進行推論，但這未必為主要原因。由於二維列聯表使用細格來呈現數據，數據類型的細格呈現出若干個離散型數字，這些數字容易引導學生使用計算差距的方式進行推論，因此由數據類型而導致使用非最有效策略來推論或許也是原因之一。也許除了上述之外仍有其他原因造成學生產生非最有效的推論策略，本研究在此先探討中小學的學生能使用各種有意義的推論策略之分佈為何？以及其使用策略的推論特徵為何？研究分為前置研究以及主要研究，在前置研究中先以小學個案之施測與訪談來了解不同年級的學生在學習統計內容前後的推論表現有何異同，再於主要研究. . 4 .

(15) 中取多量樣本以及國中與高中學生做進一步的量化分析，並取個案樣本進行訪談活動，了解不同推論表現的學生其推論特徵。. 第二節研究目的與研究問題基於以上對於學生能否對統計內容進行有意義的推論之疑問，研究者架構在 Obersteiner,Bernhard和Reiss(2015)的研究之上，在尚未學習兩類別變數間的關聯性前，將學生對二維列聯表試題的推論策略分為格間對照比較策略(a-versus-c strategy)、格間加減計算比較策略(additive strategy)與格間比例計算比較策略 (multiplicative strategy)三種不同的層次進行探討。但不同於此篇研究的對象專注於小學學生，臺灣在小學六年級前的數學課程尚未介紹比與比值，大學前並也未有二維列聯表課程，以及認知發展可能會影響學生在二維列聯表的推論，於是可以探討不同學習階段的學生在列聯表的推論策略有何異同。經由前置研究對於各階段學生進行施測與訪談以後，最終決定選擇小學三、四年級、國中八年級以及高中一年級的學生，探究以下的研究問題： 1. 不同相關性和策略層次的二維列聯表試題如何影響不同年級學生的推論表現？ 2. 不同推論表現的個案學生在不同層次的二維列聯表試題推論特徵為何？. 針對這兩個研究問題，本研究能了解各年級學生對二維列聯表問題的不同推論策略及人數比例、變數相關性與策略層次對推論的影響、年級間推論策略的差異性，以及在不同推論表現下的學生解決不同層次二維列聯表問題的推論策略特徵。. . 5 .

(16) 第三節名詞界定一、二維列聯表試題：本研究中所提及之二維列聯表試題一詞，係指將 Obersteiner , Bernhard 和 Reiss(2015)研究中作為第二個主要研究之研究工具的試題中抽花片情境換成臺灣中小學教材中常出現的抽球情境以貼近課程，再翻譯成臺灣中小學學生能夠理解之中文試題，如圖 1-3-1，表中細格內之 a,b,c,d 為二維列聯表數據，依據測驗答題策略層次會有不同變化。. 在 A,B 兩個袋子中，都含有藍球與紅球，我們並不知道兩袋中藍球與紅球的球數各有多少顆。我們做了很多次的試驗，每次試驗的步驟如下： 1. 從A,B袋中任選一袋 2. 抽出一顆球紀錄顏色後，再放回原袋將這些試驗的結果經整理後如下表所示：. 單位：次 A袋 B袋. 藍色球 a c. 紅色球 b d. 如果想要抽中藍色的球，你會選擇從Ａ袋中抽還是從 B 袋中抽？亦或是從哪一袋抽毫無差別？ ☐ 從A袋. ☐ 從B袋. ☐ 毫無差別. ☐ 無法判斷. 圖 1-3-1、由德國研究(Obersteiner et al., 2015)翻譯的二維列聯表試題。. . 6 .

(17) 第二章文獻探討. 本研究之文獻探討分為兩個部分：統計共變量、兩變數關係與二維列聯表、二維列聯表推論的實徵研究與認知理論。從二維列聯表之背後基礎知識開始，探討學生對此知識的推論策略，以及哪些因素可能影響他們的推論。. 第一節兩變數關係、統計共變與二維列聯表一、統計共變、兩變數關係與二維列聯表的知識統計變數是由一筆可以從中推導出某項結論的資料所組成的變數，分為「數值變數(numerical variable)」與「類別變數(categorical variable)」兩種，所謂數值變數指資料的層次為可數的數字型態；類別變數指資料的層次為質性資料。而上述這種依兩個資料變數來探討之間關係的知識稱為統計兩變數關係(bivariate relationships)，又根據變數可分為「兩個類別變數(two categorical variables)」、「一個類別變數與一個數值變數(one categorical and one numerical variable)」、「兩個數值變數 (two numerical variables) 」等三種兩變數關係 (Tarr,2013, p49-‐50)。資料從生活中的事件和現象而來，由資料所形成的統計變數常受許多預期或是非預期因素的影響，使得資料產生變異(variation)且通常無法預期(唐君儀， 2013)，因此統計中常利用各種方法來分析變異的來源或成因。在資料搜集的過程裡，兩個統計變數間也常受許多預期或非預期因素的影響，而使變數間相互影響產生所謂的共變(covariation)。從 Mortitz(2004)的角度來看，他認為統計變數間的共變稱為統計共變(statistical covariation)，常有不同的統計方法來分析由不同變數所形成的統計共變，例如以迴歸直線來分析兩數值變數的關係；或以二維列聯表來分析兩類別變數的關係。而探討由兩個類別變數所產生的統計共變被另外稱為統計關聯(statistical association) (Mortitz,2004,p228)。. . 7 .

(18) 上述的二維列聯表是將兩個類別資料依分類將發生次數紀錄在各細格中做形成的表格(Agresti,1996)，用於分析兩個類別變數產生的統計共變，常使用卡方檢定來判斷兩個類別變數的關係是否具有顯著差異性(Rao&Scott,1984)來探討其中的統計共變。其中 2×2 的二維列聯表在判斷兩類別變數關係時，常使用𝜑係數當作描述兩變數的相關強度的指標，以圖 1-3-1 的試題為例， 𝜑=. !"!!" (!!!)(!!!)(!!!)(!!!). 為計算𝜑係數的定義方式，計算出若𝜑 > 0，代表從 A 袋. 較容易抽中藍色球；若𝜑 < 0，代表從 B 袋較容易抽中藍色球；若𝜑 = 0，代表從哪袋抽毫無差別(Obersteiner et al., 2015)。. 二、中小學課程中的統計臺灣中小學的統計課程由 97 年國民中小學九年一貫課程綱要(民 97)的數學學習領域所述，始於小學三年級的判讀二維表格，到小學四年級學習如何判讀長條圖與折線圖，再來國中九年級學習了次數分配圖、平均數、中位數與眾數等集中量數，最後由與普通高級中學必修科目數學課程綱要(民 99)所述，高中一年級學習了一維數據與二維數據的判讀與推論。與臺灣學生學習的統計知識內容較相關的共變為數值共變與統計共變。課程中常見的函數如一次函數、二次函數、指數函數等屬於數值共變相關知識；統計共變相關知識常見於統計課程中，中小學階段的統計共變知識多為「一個類別變數與一個數值變數」以及「兩個數值變數」兩種兩變數關係，舉例來說小學四年級所學的長條圖以及折線圖，就是「一個類別變數與一個數值變數」的圖表呈現。而高中所學的散點圖即為「兩個數值變數」的兩變數關係(Tarr,2013, p49-‐50)，由此可見統計共變知識在統計課程中扮演一個很重要的角色。但是對於統計共變圖表的趨勢推論內容卻始見於高一「二維數據」中的散點圖與相關係數，且此單元要求學生能判讀圖表數據並對兩個數值變數的關係做簡單推論，如二維數據單元在對兩數值變數數據求出最佳直線以後，只要利用迴歸直線方程式求出欲預測之數據的簡單推論，反而較少培養對於圖表數據的趨勢. . 8 .

(19) 以及數據的背後意義之推論能力。再者於中小學在高一統計單元之前的課程中並未出現關於「兩個類別變數」之相關趨勢推論，也就是說這樣推論列聯表資料的兩變數關係對於高中一年級以前的學生來說是陌生的知識內容。若在學習前，透過本研究發現學生們能自發現進行有意義的推論，那麼便可以考慮在數學課程或教學中納入該單元，以培養學生描述統計變數間關係的能力。於是利用學習階段中對於陌生的兩變數關係知識內容作為研究工具可幫助我們了解學生是否能夠進行有意義之推論。. 第二節二維列聯表推論的實徵研究與認知理論一、學生在二維列聯表的推論有關個體對列聯表資料中兩變數關係的推論策略，從Obersteiner(2015)的角度來看，他們從Fischbein(1987)對直觀的想法出發，利用在列聯表資料推論中常出現的兩種直觀想法作為面向來分析他們的推論策略，這兩種直觀想法分別為基本比率謬誤(the base rate bias) (Barbey, & Sloman, 2007)與整數謬誤(the whole number bias) (Christou,. 2015)，即為常見直觀所造成的謬誤：. 1. 基本比率謬誤在二維列聯表中，個體對數據只注意到與題意有關的訊息，卻忽略掉與問題的提問中較無關之訊息，會形成所謂的基本比率謬誤。如本研究中的二維列聯表問題在問題提問的關鍵字句(如果想要抽中藍色的球，你會選擇從A袋抽還是從B 袋抽？)引導之下，僅利用二維表格中藍色球對A,B兩袋的兩格做推論判斷。 2. 整數謬誤所謂整數謬誤如在解決二維列聯表試題時，基本上需要使用比例計算進行推論才為最有效的方法，而二維表格離散型的呈現方式常誘導個體只用計算球數差距，而非利用比例進行推論，這種謬誤稱為整數謬誤。. . 9 .

(20) 因為基本比率謬誤而造成僅比較部分數據作推論稱為格間對照比較策略 (a-versus-c strategy)；而因為整數謬誤而造成計算格間差距作推論稱為格間加減計算比較策略(additive strategy)。此類策略使用者會將各袋中的藍、紅球數相減，再比較兩袋的相減差距進行推論判斷，如圖1-3-1中拿a-b與c-d來比較大小值；或是將四個細格兩兩比較大小，如圖1-3-1中將a與b比較大小值以及c與d比較大小值後，再判斷該選擇哪一袋而進行推論。以上兩種謬誤呈現兩種不同的推論策略，而這兩種推論策略並不是最正確的。從Shaklee, Holt, Elek,& Hall(1981)的角度來看，認為對2×2列聯表資料的推論時，使用最正確的策略為比較兩列的條件機率，如圖1-3-1中計算 𝑎. 𝑐. P 抽中藍色球從A袋 = 𝑎+𝑏與P 抽中藍色球從B袋 = 𝑐+𝑑後進行比較，若兩者機率相同則推論出從哪袋抽毫無差別的答案。計算條件機率的推論方式與計算兩袋中藍、紅球數各別的比值來比較的方式 !. !. !. !. 其實是一樣的，如圖1-3-1中拿與來比較大小值的推論策略，然而學齡較低的國中小學生並未學習條件機率，但在推論時確實具有使用這種方式來推論的學生，如此較簡易的推論策略於Obersteiner(2015)中稱為格間比例計算比較策略 (multiplicative strategy)。對二維列聯表的推論從小學到大學皆有相關之實徵研究，在小學的研究 (Obersteiner et al., 2015)以對小學生的直觀為出發點探討推論策略；在中學的研究有探討高中生對於二維列聯表試題推論的能力(Baterno, Estepa, Godino, & Green,1996)和探討高中生對二維列聯表關係判斷的能力(No, A. , Han, S.Y.,&. Yun, J.Y.,2016)；在大學的研究(Batanero, Cañadas, Arteaga,& Gea,2013)以了解心理系大學生對相關性為獨立的數據進行之推論策略。除以上研究外，亦有研究橫跨各學齡階段對個體的推論策略進行探討(Shaklee et. al.,1981;Shaklee,&Mims,1988)，如Shaklee(1981)以美國小學、國中、高中與大學生為對象探討他們對於2×2列聯表資料關係的推論策略異同性。以下就小學、中學、大學的相關研究各別來探討其對學生在列聯表資料推論策略的見解。 . 10 .

(21) (一) 小學相關研究 Obersteiner等人探討小學生推論策略的研究中分為兩個主要研究，研究工具皆使用二維列聯表數據所形成的問題，但是在第一個主要研究中使用生活化的情境來呈現問題，受試的二年級學生被告知說有許多人在接受了A療程或B療程後，有多少人罹患疾病，而有多少人沒有罹患疾病，此由A,B療程與有無患病作為雙類別變數形成一個二維列聯表，請學生判斷A療程還是B療程具有較好的效果，或是兩種療程其實沒有差別；在第二個主要研究中則是使用前述抽花片的情境使二年級與四年級的學生進行推論作答。接著Obersteiner等人開發研究工具，以同一個二維列聯表問題的敘述，但不同表格數據的方式，設計出8題試題，此8題亦利用上述三種策略作為開發試題之面向，將試題分成格間對照型試題(a-versus-c problem)、格間加減型試題(additive problem)、格間比例型試題(multiplicative problem)等三種層次的試題： 1. 格間對照型試題：指二維列聯表試題之數據設計以格間對照比較策略、格間加減計算比較策略與格間比例計算比較策略推論都能答對的問題。 2. 格間加減型試題：指二維列聯表試題之數據設計以格間對照比較策略不能答對，但以格間加減計算比較策略與格間比例計算比較策略皆能答對的問題。 3. 格間比例型試題：指二維列聯表試題之數據設計以格間對照比較策略與格間加減計算比較策略不能答對，但以格間比例計算比較策略能答對的問題。以本研究所設計研究工具中的試題(圖1-3-1)為例，表2-2-2中由左至右依序為格間對照型試題、格間加減型試題與格間比例型試題之數據。. . 11 .

(22) 表 2-2-1、二維列聯表策略層次試題數據範例藍色球. 紅色球. A袋. 13. 6. B袋. 10. 18. 藍色球. 紅色球. A袋. 18. 15. B袋. 18. 4. 藍色球. 紅色球. A袋. 20. 10. B袋. 10. 5. 表2-2-1的左側數據為格間對照型試題，其正確答案為A袋。依格間對照比較策略推論可能會比較A袋的13顆藍色球與B袋的10顆紅色球，因此選擇A袋作為答案；若依格間加減計算比較策略推論可能會比較A袋與B袋中兩球的差距得出 A袋藍色球多於紅色球、B袋紅色球多於藍色球，而選擇A袋作為答案；若依格間比例計算比較策略推論可能會計算A袋與B袋中兩球的比值得出13/6=2.17, 10/18=0.56，而選擇A袋作為答案。此類試題使用三種策略皆能回答出正確答案。表2-2-1的中間數據為格間加減型問題，其正確答案為B袋。依格間對照比較策略推論可能會比較A袋的18顆藍色球與B袋的18顆紅色球，因此推論從兩袋抽球毫無差別；若依格間加減計算比較策略推論可能會比較A袋與B袋中兩球的差距得出兩袋藍球數雖相同，但A袋藍色球差紅色球3顆、B袋藍色球差紅色球14 顆，而選擇B袋作為答案；若依格間比例計算比較策略推論可能會計算A袋與B 袋中兩球的比值得出18/15=1.2, 18/4=4.5，而選擇B袋作為答案。由此類試題可以看見使用格間加減計算比較策略或格間比例計算比較策略才能回答出正確答案。表2-2-1的右側數據為格間比例型試題，其正確答案為毫無差別。依格間對照比較策略推論可能會比較A袋的20顆藍色球與B袋的10顆紅色球，因此選擇A 袋作為答案；若依格間加減計算比較策略推論可能會比較A袋與B袋中兩球的差距得出A袋藍色球差紅色球10顆、B袋藍色球差紅色球5顆，而選擇B袋作為答案；若依格間比例計算比較策略推論可能會計算A袋與B袋中兩球的比值得出 20/10=2, 10/5=2，而推論從兩袋抽球毫無差別。由此類試題可以看見僅使用格間比例計算比較策略者才能回答出正確答案。. . 12 .

(23) 當學生做完整份試題後，全部策略層次試題皆答對稱為格間比例計算比較策略使用者；答對所有格間對照型試題、格間加減型試題，卻答錯所有格間比例型問題，稱為格間加減計算比較策略使用者；而答對所有格間對照型試題，卻答錯所有格間加減型試題、格間比例型試題，稱為格間對照比較策略使用者。兩個研究的研究結果皆發現無論情境是否生活化，學生對於二維列聯表的相關性試題都具備推論能力。雖然Obersteiner(2015)等人的這篇研究並未特別將此三種策略作層次性之分類，但是我們可以從兩種謬誤中發現，基本比率謬誤中提到了個體常常僅注意關鍵訊息而忽略較與題意無關之訊息，在格間對照型試題的平均答對率德國小學二年級與小學四年級的學生皆超過0.9，但小學二年級在格間加減型試題的答對率低於0.5；小學四年級的答對率高於0.5，顯示了格間加減型試題難度較格間對照型試題高。研究者認為這三種推論策略具備層次性，且如Shaklee(1981)的研究結果所示，學齡對列聯表試題之推論策略或許有些影響，而Obersteiner(2015)未將焦點關注於年級間策略的差異性，隨著學齡的提升，學生的認知亦會有所發展，因此除了從直觀理論的角度分析外，年級間推論的差異性跟可能與認知發展或與在不同階段學習的知識內容有關。 (二) 中學相關研究. Baterno(1996)等人對17~18歲的高中學生探討他們對於二維列聯表推論變數關係的策略，這些學生剛於課程中認識二維列聯表推論兩變數關係，但尚未進行完整的課程教學。其研究工具的設計有2×2、2×3、3×3等階的表格數據，試題測驗目的皆為請學生判斷自變數是否影響依變數，如圖2-2-2範例為其中一題2×2 列聯表試題。. . 13 .

(24) 在一個醫學中心有250人接受了調查，為了了解抽煙習慣與支氣管疾病是否具有關連性，結果如下表所示：有支氣管疾病. 無支氣管疾病. 總計. 吸菸. 90. 60. 150. 不吸菸. 60. 40. 100. 總計. 150. 100. 250. 根據此表格數據，你覺得這些樣本中的人們患得呼吸道疾病受抽煙習慣影響嗎？圖 2-2-2、2×2 表格數據的列聯表試題(Baterno et al.,1996). 其將2×2表格試題的研究結果利用Pérez Echeverría(1990)對2×2二維列聯表推論策略的分類方式，把「覺得變數間有相關」的受試者推論策略分為Level 0~Level 5共六個層次，處於Level 0使用了與列聯表數據無關的訊息做推論；Level 1僅使用一個細格的數據做推論；Level 2使用兩細格數據比較做推論，如前述格間對照比較策略；Level 3使用三個細格數據比較做推論，如圖2-2-2中僅使用90與對角線的兩個60三個數據做推論而忽略40這個數據；Level 4使用四個細格並做加減計算比較推論；Level 5 使用四個細格並做比例計算比較推論。由於Baterno等人在2×2表格使用了三種變數相關性做施測，依試題順序為獨立、負相關、正相關，在研究結果共213位學生中，分類各層次的人數比例如表 2-2-3。三種試題中幾乎沒有學生屬於Level 3，而獨立性的試題屬於Level 1與Level 2層次的學生比例較Level 4與Level 5的比例總和高，正相關與負相關則相反，表示學生在獨立性較難達到較高的推論層次。. . 14 .

(25) 表 2-2-3、Baterno(1996)各推論層次人數比例情境. 吸菸. 減肥. 過敏症. 相關性. 獨立(試題1). 負相關(試題2). 正相關(試題3). Level 1. 13.6%. 13.6%. 10.3%. Level 2. 29.1%. 18.8%. 23.5%. Level 3. 0.5%. 0%. 0%. Level 4. 7.0%. 34.7%. 32.3%. Level 5. 21.1%. 23.9%. 21.1%. 推論層次. 另外在南韓有對高中學生進行了解對於描述變數關係的能力之研究(A-Ra. No et al.,2016)，他們對高中教育的第一年與第二年(約15,16歲)學生使用三種表徵方式：散點圖、文字敘述、二維列聯表來進行測驗。進行測驗前這些學生皆學過這三種用來表示兩變數關係的表徵方式，但所學內容無法表達兩變數關係的意涵，如散點圖僅知道樣本點越集中在一條趨勢直線上，則變數關係越強。於是他們的研究以此為動機想了解學生在描述變數關係能力如何。其中對於二維列聯表的研究工具使用Baterno(1996)的研究試題，有兩個測驗目的：(1)比較兩個二維列聯表資料關係的強度。(2)合理判斷並決定二維列聯表資料有關或無關。研究工具依試題數據將試題切分為三類：(1)預測變數分別在列或行。(表2-2-4、2-2-5) (2)變數為獨立性。(表2-2-6) (3)變數為獨立但預測變數中其中一列的數據幾乎為另一列的兩倍。(表2-2-7) 測驗具有選項予以勾選，但學生在勾選後必須寫下他們勾選的理由。. . 15 .

(26) 表 2-2-4、預測變數在列的試題數據。(A-Ra No et al.,2016) 生活習慣與皮膚過敏症的關係有皮膚過敏. 無皮膚過敏. 總計. 久坐不動的生活方式. 132. 35. 167. 非久坐不動的生活方式. 17. 116. 133. 總計. 149. 151. 300. 表 2-2-5、預測變數在行的試題數據。(A-Ra No et al.,2016) 有關於某議程A的決議與與會者年齡的關係 20歲上下. 40歲上下. 總計. 支持. 39. 78. 117. 反對. 61. 22. 83. 總計. 100. 100. 200. 表 2-2-6、變數為獨立性的試題數據。(A-Ra No et al.,2016) 有支氣管疾病. 無支氣管疾病. 總計. 吸菸. 90. 60. 150. 不吸菸. 60. 40. 100. 總計. 150. 100. 250. 表 2-2-7、一列數據幾乎為另一列兩倍的試題數據。(A-Ra No et al.,2016). . 進口貨物. 禁止貨物. 總計. 日本原料. 127. 58. 185. 國內原料. 68. 15. 83. 總計. 195. 73. 268. 16 .

(27) 研究結果發現對預測變數在列或行的作答會產生如表2-2-4，選擇久坐不動的生活方式並給予「因為在久坐不動的生活方式與非久坐不動的生活方式間可以看出明顯的數據差異。」的理由，顯示這樣的學生並不會使用計算比較的方式，而是依據他們自己的經驗與想法來推論答案。在變數為獨立的測驗中，推論錯誤的學生時常直接利用數據的值作差距計算比較而非計算變數的比例，犯了整數謬誤。最後當預測變數的其中一列數據幾乎為另一列數據的兩倍的測驗中，正確答案為沒有關聯，但有學生在回答沒有關聯後，於理由填寫了「因為邊際的數據相差太大」，表示其觀念並不正確。 (三) 大學相關研究 Batanero (2013)對西班牙三所心理系的大學生使用與心理學相關之情境的二維列聯表相關性問題調查其推論策略，其研究工具如下圖2-2-8。有個研究者在研究壓力與失眠症之間的關係。在250個樣本中調查結果如下：壓力失調. 無壓力失調. 有失眠症. 90. 60. 沒有失眠症. 60. 40. 根據資料，你認為在壓力與失眠症之間有關係嗎？請根據你感覺兩者關係的強度標記在底下的最小值為0、最大值為1的尺度表上。. 0. 0.5 1 圖 2-2-8、西班牙研究(Batanero et al.,2013)的研究工具。. 這些心理系學生學過基礎統計學，但未有學習關於推論變數間關係的課程內容。此研究工具以有無壓力和有無罹患失眠症作為雙類別變數形成二維列聯表，要求學生判斷相關性的強弱並推論解釋。待施測完畢後，將資料分成「覺得變數間有相關」以及「覺得變數間無相關」兩類。. . 17 .

(28) 此研究亦使用Pérez Echeverría(1990)對2×2二維列聯表推論策略的分類方式將414位受試學生分類，發現17.6%屬於Level 1；26.1%屬於Level 2；6.5%屬於Level 3；24.9%位於Level 4；18.4%位於Level 5。 (四) 比較小、中和大學生的推論策略從對三個各不同階段的學生研究中，Obersteiner(2015)、Batanero(1996)與 Batanero(2013)專注於學生在學習相關統計知識前的推論策略，而A-Ra No(2016) 則在學生學習過後了解他們推論的能力。但是無論學習前後，所有學習階段的學生對獨立性的試題推論皆有困難處，且學生常犯基本比率謬誤與整數謬誤。在Obersteiner(2015)、Batanero(1996)與Batanero(2013)中所使用的情境問題與數據是不太一樣的，Obersteiner(2015)的情境是利用抽花片從哪一袋的問題間接測驗學生推論變數關係的能力；Batanero(1996)的情境為吸菸、減肥、過敏症三種來推論數據間的關係；Batanero(2013)的情境則是探討有無壓力與有無罹患失眠症的關係強弱。而Obersteiner(2015)的研究工具的數據未特別將相關性研究變項；Batanero(2013)則特別將獨立性數據為研究的變項。這三個研究的情境問題的描述方式雖然不同，但是目的皆為測驗學生對於兩變數關係的推論能力，然而問題的差異或許跟兩個不同階段學生的認知或數學成熟度有關聯，在成長的過程中多學習的數學知識或許會幫助增進推論能力，同理可見Batanero(2013)僅使用獨立的數據進行測驗，代表他們的研究認為正相關與負相關對於心理系的大學生推論較無困難處。但是儘管情境與數據具有差異性，比較研究中關於列聯表問題推論策略的分類方式，發現這些分類如出一徹，如表2-2-9。格間對照比較策略可對應至Level 2；格間加減計算比較策略可對應至Level 4；格間比例計算比較策略可對應至Level 5。另外Obersteiner(2015)在研究結果中多使用了三個推論策略以外的單格判斷策略子分類，可對應至Level 1。. . 18 .

(29) 表 2-2-9、Obersteiner (2015)與 Batanero(1996;2013)對推論策略分類的對照表。 Batanero(1996;2013). Obersteiner (2015). Level 1 僅使用一個細格的數據做推論. 單格判斷策略. Level 2 使用兩細格數據比較做推論. 格間對照比較策略. Level 3 使用三個細格數據比較做推論 Level 4 使用四個細格並做加減計算比較推論. 格間加減計算比較策略. Level 5 使用四個細格並做比例計算比較推論. 格間比例計算比較策略. 將三個研究屬於各層次的人數比例作比較，結果如表2-2-10。在Batanero(1996) 與Batanero(2013)中，都是探究學生的推論策略與相關性對推論的影響，但是 Obersteiner(2015)則沒有將相關性納入探討推論策略的範圍。雖然三者研究具有些許差異性，但就學生的推論策略來看，不同階段的學生主要使用的策略有所不同。因為上述各個研究皆因其研究目的設計研究工具，而造成試題情境、敘述的差異性，以年級間的人數比例來作比較並不恰當，但我們可以從年級中各層次的差異性來比較不同年級內的差異性有何不同。小學生使用格間比例計算比較策略(可對照於Level 5)來推論人數比例明顯少於其他策略；高中生在相關性為正相關與負相關屬於Level 4(可對照於格間加減計算比較策略)與Level 5(可對照於格間比例計算比較策略)的人數比例總和高於 Level 1~Level 3的總和，唯獨立性試題低於Level 1~Level 3的總和；大學生在Level 3的人數比例為最少。然而從表2-2-10中發現所有階段幾乎沒有歸類於Level 3的學生。. . 19 .

(30) 表 2-2-10、三個研究中各策略層次人數比例相關研究推論層次. Obersteiner(2015) 德國小二. Batanero(1996). Batanero(2013). 西班牙高中. 西班牙大學. 負相關. 獨立. 德國小四. 試題相關性獨立. 正相關. 策略層次 Level 1 格間對照比 Level 2 較策略. 4.6%. 2.1%. 13.6% 13.6% 10.3%. 17.6%. 52.8%. 34.9%. 29.1% 18.8% 23.5%. 26.1%. 0.5%. 6.5%. Level 3 格間加減計 Level 4 算比較策略格間比例計 Level 5 算比較策略. 0%. 0%. 31.5%. 53.4%. 7.0%. 34.7% 32.3%. 24.9%. 1.9%. 1.6%. 21.1% 23.9% 21.1%. 18.4%. 從三個研究的分類方式中可以看到學生在描述兩變數關係的問題時所使用的策略是極為相似的，或許可以設計一套研究工具來跨階段檢驗學生的推論策略。在Shaklee(1981)的研究中則使用了同一套研究工具對不同學齡階段學生進行研究，他們認為不同學齡階段的學生對列聯表資料推論兩變數關係所使用的推論策略應有所不同，於是將學生使用的推論策略分為單格策略(cell a strategy)、對照比較策略(a vs.b strategy)、對角線加總比較策略(sun of diagonals strategy)、條件機率比較策略(conditional probability strategy)來調查美國四年級、七年級、十年級與大學生的推論策略，他們發現學齡較早的四年級學生較多使用對照比較策略；七年級學生較多使用對角線加總比較策略；而十年級與大學生較多使用條件機率比較策略。不同學齡階段主要使用的推論策略有所不同。另外，單格策略與Obersteiner(2015)的單格判斷策略、Batanero(1996;2013) 的Level 1屬於相似策略；對照比較策略與Obersteiner(2015)的格間對照比較策略、. . 20 .

(31) Batanero(1996;2013)的Level 2屬於相似策略；對角線加總比較策略與 Obersteiner(2015)的格間加減計算比較策略、Batanero(1996;2013)的Level 4屬於相似策略；條件機率比較策略與Obersteiner(2015)的格間比例計算比較策略、 Batanero(1996;2013)的Level 5屬於相似策略。由這樣的對照方式發現. Shaklee(1981)在探討學生推論策略時所使用的策略架構與前述相關研究所提及的策略架構極為類似。但是在Shaklee的研究裡主要以學生的身心發展為研究主軸，並未將學生是否學習過列聯表資料推論的相關知識納入主要研究範圍。根據Obersteiner(2015)研究工具的設計，可利用數據的不同而透過量化分析檢測出學生使用了哪種推論策略；Batanero(1996)的研究可依變數相關性的不同設計不同情境的試題來調查學生在這些變數相關性的推論策略差異；而 Batanero(2013)偏向收集學生回答的理由作質性分類。若要以量化分析來探討學生的推論表現，則Obersteiner的研究方法較為本研究適用，且可以將變數相關性一同納入試題的設計。另外從A-Ra No(2016)研究高中生來看學習過列聯表的相關知識的推論表現，雖然說這些學生已學過這類的統計知識，但在推論上仍會因整數謬誤而產生錯誤推論，由這點可看到既然學習過列聯表知識的中學生仍有機會出現如 Obersteiner(2015)或Batanero(1996)研究中的推論策略，那麼尚未學習過列聯表知識的中學生其推論策略或許也可以用同樣的方式來做探討。倘若使用同樣的二維列聯表相關性推論的問題對不同年級的學生進行施測，在沒有學習過相關知識的前提下，對變數間關係之推論策略有許多值得探究的地方，如推論策略層次的相似性、年級不同時推論特徵的差異性等等，因此利用同一個情境問題，可看出各年級於各推論層次試題的表現與其在各層次中的推論特徵。. 二、從認知理論分析二維列聯表推論特徵從Obersteiner (2015)等人的研究結果發現在德國小學生對於二維列聯表推論兩變數關係雖然未有相應課程的學習活動，卻具有可依數據所產生的現象進行 . 21 .

(32) 有意義推論的能力。其兩個子研究中用兩個不同年級作為其研究對象，其一為小學二年級(7歲)，其二為小學四年級(9歲)。從兩個年級學生的答題表現來看，在較高策略(格間加減型與格間比例型)試題可明顯看出答對率的差異性，二年級學生的平均答對率低於0.5，而四年級學生平均答對率高於0.5，這樣的現象可看出年級間的推論或許具有差異，對於同樣尚未學習過列聯表資料推論知識的學生，四年級的推論表現竟比二年級好，因此試圖對如此差異的原因進行了解。 (一) 認知發展階段我們先從皮亞傑的認知發展階段的觀點來看，Obersteiner (2015)等人研究中小學二年級與四年級正處於前操作期(preoperational period)與具體操作期 (concrete operational period)的過渡階段(黃湘武，民69)，在前操作期的學生(德國小學二年級)雖然能夠使用語言與符號表徵外在事物，但思想尚未成熟，無法顧及事物的全面性，然而因為使用較低層次的格間對照比較策略無法答對格間加減型試題，所以可以發現二年級學生多數使用格間對照比較策略來推論，而造成在格間加減型試題的答對率較四年級低的情形。就格間對照比較策略來說，僅部分解讀題意就直接進行推論這一點，與處於前操作期的學生特徵相符。研究者由此現象來猜測學生的推論特徵與其當下處於的發展階段有極大的關聯性，甚至逆向猜測在不同的發展階段的學生各自會擁有主要的推論特徵。在臺灣，統計內容從小學三年級開始直至高中一年級學習二維數據分析之前，學生皆未直接學習二維列聯表推論的統計知識，而正好這些階段經歷了前操作期、具體操作期以及形式操作期(formal operational period)三個發展階段。具體操作期的學生能根據具體經驗思維解決問題，形成所謂去中心化 (decentration)的思維，面對情境問題時不再只憑所見的部分訊息去做判斷，但是，具體操作期的學生之判斷範圍大部分僅限於眼前所見具體的事物，並不會做抽象化的思考，例如計算比例做判斷。而形式操作期的學生開始能按照邏輯法則進行抽象思考來解決問題，能進行抽象化的計算。根據這樣的特徵，處於具體操作期至形式操作期中的國中學生與高中學生是否會利用比例關係來進行推論？. . 22 .

(33) 加上從德國小學二年級學生的表現看到了學生的推論策略與前操作期階段的特徵相符合，隨年齡提升後，學生推論策略改變後的特徵是否和認知發展階段的特徵相符？這是研究者感興趣的問題。 (二) 直觀理論從Fischbein(1987)的角度來看直觀，他認為現今很多問題並不能依靠演繹式的數學推理，如概念的定義、證明方法等就能夠得到答案，特別在統計上更是如此。Fischbein主張直觀可分類為一階直觀(primary intuition)與二階直觀 (secondary intuition)，一階直觀使個體可以根據自身經驗來判斷解決問題，而二階直觀能使個體將學習的概念轉變成信念而用以判斷解決問題(Fischbein, 1987, p68)。目前直觀在數學教育上的實徵研究，國內有研究如何將學生從一階直觀過渡到二階直觀(金鈐、王安蘭，民95；陳欣民、劉嘉茹、柳賢，2011)，也有對學生一階直觀的表現進行探討的研究(謝貞秀、張英傑，民92)。然而對於了解學生在統計上的直觀之相關實徵研究較少，統計相關的實徵研究較偏向學生對概念的理解或推論為主(蔡佩真，2009；陳偉琳，2012；林亭瑩，2013)。生活中出現的數據充滿的不確定性、或本研究探討的二維列聯表試題之推理，仰賴自身經驗去描述數據背後的意義。於是在Obersteiner(2013)等人的研究中認為小學學生具備此推論能力的原因可能與其直觀(intuition)有關，他們發現在學生尚未學習過二維列聯表知識前，學生對於二維列聯表問題的回答仰賴資訊中的一部分而做出整體結論，例如在表2-2-11中的數據只利用藍色球單行的比較就做出從A袋較容易抽中藍色球的推論。再從Obersteiner(2013)與Batanero(2013)兩個研究中發現有著共通點，儘管列聯表在生活中常常出現，但兩研究中對於列聯表數據之推論皆未將其納入中小學學習階段的主要課程，在臺灣亦有如此情況，因此從這個角度思考學生對於二維列聯表推論與或許仰賴其直觀想法。. . 23 .

(34) 雖然研究中發現學生在學習二維列聯表知識前有辦法進行有意義之推論，但是其推論的答案不一定是正確的，例如表2-1-1的數據正確答案為毫無差別，但使用如上述只利用藍色球單行的比較就做出從A袋較容易抽中藍色球的推論，雖然是具有意義的推論，但並無法回答出正確答案。從這樣的現象可以看到直觀能幫助推論，但很可能從中發生一些謬誤或迷思概念，例如前述基本比率謬誤與整數謬誤即為常見的直觀造成的謬誤。對二維列聯表進行推論時，這些謬誤雖然會導致學生推論出不正確的答案，但是謬誤可以反過來用於設計測驗的工具，以了解學生的推論策略。例如圖1-3-1 的二維列聯表試題使用表2-2-11的數據來推論時，比較兩袋中藍色球與紅色球的比例為正確推論的方式，犯基本比率謬誤的學生會比較單行藍色球數據而認為從 A袋抽就容易抽中紅色球；而犯整數謬誤的學生會將紅色球的數據也納入推論的考量，但卻比較袋中兩色球數的差距而無法做出正確推論。表 2-2-11、二維列聯表數據藍色球. 紅色球. A袋. 20. 10. B袋. 10. 5. 因此只要設計好數據，就能檢驗出學生是如何對數據進行推論，如上例所示僅使用比例比較的方式才能推論出正確答案，同理可以設計數據使得犯整數謬誤的學生答對而犯整數謬誤的學生答錯，或是設計數據使得犯兩種謬誤的學生皆能答對，以此看出推論策略的差異。 3. 數學成熟度在尚未學習過相關知識內容前，可能憑藉自己相關的經驗來進行推論，這時即仰賴自身的認知及直觀產生推論的策略。從R. Beyth-‐Marom , F. Fidler與G. Cumming(2008)的觀點認為統計認知是一種獲得或使用統計知識(statistical . . 24 .

(35) knowledge)時的心智過程、表達與活動。然而德國小學生對二維列聯表無相應的課程與學習活動，學生進行推論前的認知中顯然並無與二維列聯表推論兩變數關係的相關知識，倘若以認知理論的角度來看，他們所用來推論憑藉的知識為何？是其他的統計知識或是非統計知識？從Floyd(1982)的觀點認為概念的初次學習往往不能深入瞭解其意涵，但是藉由往後對同樣概念多次的接觸學習，概念會開始與腦中的想法同步或是腦中或調整以容納新概念，這稱為SEM架構(See-‐Experience-‐Master framwork)。但是二維列聯表並非課程安排中的重點，沒有學習關相關知識內容的情況下，從德國研究中學齡對二維列聯表問題造成的策略比例差異的原因為何？研究者猜測，學齡影響學生解題策略的原因在於其他學習經驗中與列聯表相關之概念，當學生的數學成熟度(math maturity)隨著相關學習內容的增加，其推理與描述的能力會逐步提升，因而改變其解題策略。根據Moursund(2006)對數學成熟度的見解，他認為數學成熟度的提升有助於提升學生的認知發展階段。再從皮亞傑及其追隨者的衍述來看，他們認為觸發認知發展的機制有四個：身心成熟度 (physiological maturation)、物質世界的經驗(physical experience)、社會經驗 (social experience)、平衡(equilibration)(Gallagher & Reid,1981)(許瑛玿、洪榮昭， 2003)。因此無論是數學成熟度、身心成熟度，或其於經驗中之學習皆會觸發其認知發展，並非一定得經由主要教學才能使學生學習到知識。更甚者，若利用此二維列聯表問題能使學生從回答問題中主動找到學習的方式，對於日後會有更多元的方式安排統計教學。除上述各種可能影響推論策略的因素以外，還有一個可能影響解題策略的因素為表格呈現的數據，在統計課程中，並未將列聯表中變數間呈現現象的推論列為學習的重點，造成最初學習這些內容的學生推論時依據直觀印象，然而根據這些印象會因數據的不同影響推論策略，例如若表格中具有離群值，會因為此離群值而迫使解題策略改變(Obersteiner et al., 2015)，造成低層次試題答對，但高層次試題答對的特殊情形。. . 25 .

(36) 第三章研究方法. 本研究採用質與量兼具的混合研究法，但以量化為主、質化為輔，分為前置研究以及主要研究兩部分。首先在前置研究上，選擇小學三年級、小學四年級、小學六年級等各 2 位學生共 6 位個案使用二維列聯表問題試題共 9 題進行施測，再由施測結果對學生進行半結構式的個別訪談以對其推論策略特徵作了解。接著由前置研究的研究結果發現小學三年級與四年級學生在 9 題施測試題中的表現具有差異，而小學四年級與六年級學生較無差異，故選擇小學三年級、小學四年級學生欲進行大樣本施測的正式研究。再由前置研究結果來看，研究者猜測認知發展或許會對推論策略造成影響，故將國中八年級加入正式研究中並試圖使用認知階段來解釋推論的差異性。而中小學皆有統計課程，雖然課程內容與二維列聯表較無關，但學習統計課程過後是否會對推論造成影響是研究者想知道的問題，於是再將學習過中小學所有統計課程，但是尚未學習過高一數據分析的高中一年級學生加入研究。於是決定選擇使用 97 年國民中小學九年一貫課程綱要(民 97)的小學三年級 (n=139)、小學四年級(n=146)，與使用普通高級中學必修科目數學課程綱要(民 99) 的國中八年級(n=113)、高中一年級(n=177)等學生作為正式研究對象，並依據正式研究結果進行量化分析，描述各年級學生的推論表現、了解試題設計維度對於推論表現的影響、比較年級間推論表現的差異、以推論表現和 Obersteiner , Bernhard 與 Reiss 等人研究中的理論結合分類策略使用者等四部分，然後依據分類結果選出符合理論內推論策略之學生進行半結構式的個別訪談，了解其推論特徵；或選出不符合理論中推論策略的多數學生進行個別訪談，了解不符合理論的原因，作為本研究質性分析的部分。本章就研究流程、研究工具、前置研究、正式研究等四節說明本研究之研究方法。. . 26 .

(37) 第一節研究流程本研究為了解臺灣中小學學生對尚未學習過之統計二維列聯表問題之推論能力和其推論所使用之策略，以及推論策略之特徵，主要研究過程主要分為四個部分：（一）擬定研究計畫（二）發展研究工具（三）前置研究個別施測與訪談（四）正式研究大樣本施測與訪談。. 一、擬定研究計畫本階段主要目的是收集、閱讀相關文獻以確立研究方向、研究目的與研究主題，針對研究目的提出待答問題，並設計好研究工具之設計面向，接著探討前置研究結果(施測結果與訪談資料)並結合理論建立整個研究架構之雛形，擬定質與量兼併的研究方法。. 二、發展研究工具使用了 Obersteiner , Bernhard 和 Reiss(2015)所設計的二維列聯表問題，將其翻譯為符合小學至高中皆能理解的中文試題，利用三種不同推論策略：格間對照比較策略、格間加減計算比較策略、格間比例計算比較策略作為試題開發的其中一個維度，對變數的三種相關性：正相關、負相關、獨立作為另一個維度，做出 9 題作為本研究的施測工具。. 三、前置研究個別施測與訪談自小學三年級、小學四年級、小學六年級中由研究者尋找學生進行個案施測與訪談。施測試題為上述之研究工具，施測時間以學生完整做完整份試題為主，使其有足夠的思考空間。於施測完畢後研究者立即對受試學生進行半結構式的非正式訪談，了解其推論策略。. . 27 .

(38) 四、正式研究大樣本施測與訪談由前置研究結果分析並決定取小學三年級、小學四年級、國中八年級與高中一年級等進行大樣本施測，並對施測資料進行分析後，由分析結果對受試者進行半結構式訪談，以對其推論策略做更深入之了解。. . 28 .

(39) 確定研究主題. 1. 閱讀相關文獻 2. 確定研究方向. 擬定研究計畫. 3. 發展研究工具 4. 進行前置研究 5. 擬定研究方法. 蒐集資料與相關文獻. 發展研究工具. 1. 翻譯並修改二維列聯表問題 2. 設計數據並形成施測試卷. 1. 進行專家效度並修改數據. 研究工具分析. 2. 進行預測以確立信效度並修正試卷 1. 選定小學三、四、六年級學生進行前置施測與訪談. 前置研究. 2. 依結果選定小學三、四年級，並擴大範圍至國中與高中. 1. 於同學區之小學三、四年級與. 正式研究. 國中八年級，高中一年級進行大樣本施測 2. 統計分析施測資料並進行訪談了解推論策略. 撰寫論文圖 3-1-1、研究流程圖. . 29 .

(40) 第二節研究工具研究的施測工具使用了 Obersteiner , Bernhard 和 Reiss(2015)所設計的二維列聯表問題，如下圖 3-2-1，將問題中的抽花片換成臺灣中小學教材中常出現的抽球情境以貼近課程，再翻譯成臺灣中小學學生能夠理解之中文試題，再利用三種不同推論策略：格間對照比較策略(S1)、格間加減計算比較策略(S2)、格間比例計算比較策略(S3)作為試題開發的其中一個維度，設計成格間對照型試題(P1)、格間加減型試題(P2)、格間比例型試題(P3)等三種策略層次的試題。爾後依𝜑係數(𝜑 =. !"!!" (!!!)(!!!)(!!!)(!!!). )依試題答案定義變數的三種相關性：答案選 A 袋定. 為正相關(𝜑 > 0)、答案選 B 袋定為負相關(𝜑 < 0)、答案選毫無差別定為獨立 (𝜑 = 0)作為另一個維度，做出 9 題作為本研究的施測工具。這些試題的敘述與數據在研究進行前經過具有教育現場經驗的專家以及數學教育所的教授一同給予意見而進行修正。然而因 Obersteiner 等人未將變數的相關性作為開發工具的面向，於是選用其研究中的 6 題數據，而維度缺少的部分則由研究者開發數據補齊，編號 2,4,5,6,7,8 等即為選用之 6 題。表 3-2-2 呈現施測工具 9 題的數據，而表 3-2-3 為試題之雙向細目表。在 A,B 兩個袋子中，都含有藍球與紅球，我們並不知道兩袋中藍球與紅球的球數各有多少顆。我們做了很多次的試驗，每次試驗的步驟如下： 1. 從A,B袋中任選一袋 2. 抽出一顆球紀錄顏色後，再放回原袋將這些試驗的結果經整理後如下表所示：單位：次 A袋 B袋. 藍色球 15 16. 紅色球 10 30. 如果想要抽中藍色的球，你會選擇從Ａ袋中抽還是從 B 袋中抽？亦或是從哪一袋抽毫無差別？ ☐ 從A袋. ☐ 從B袋. ☐ 毫無差別. ☐ 無法判斷. 圖 3-2-1、由德國研究(Obersteiner et al., 2015)翻譯的二維列聯表問題。. . 30 .

(41) 表 3-2-2、研究施測工具編號. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 試題數據. 卡方檢定(df=1). 相關性. 15. 10. 𝜒 ! = 4.187. 正相關. 16. 30. p-value=0.028. (𝜑 > 0). 18. 10. 𝜒 ! = 6.788. 負相關. 26. 2. p-value=0.009. (𝜑 < 0). 15. 1. 𝜒 ! = 4.651. 正相關. 29. 15. p-value=0.0031. (𝜑 > 0). 24. 12. 𝜒! = 0. 獨立. 24. 12. p-value=1. (𝜑 = 0). 18. 15. 𝜒 ! = 4.432. 負相關. 18. 4. p-value=0.037. (𝜑 < 0). 30. 11. 𝜒 ! = 3.0341. 負相關. 20. 1. p-value=0.08153. (𝜑 < 0). 8. 8. 𝜒! = 0. 獨立. 16. 16. p-value=1. (𝜑 = 0). 20. 10. 𝜒! = 0. 獨立. 10. 5. p-value=1. (𝜑 = 0). 13. 6. 𝜒 ! = 4.846. 正相關. 10. 18. p-value=0.028. (𝜑 > 0). 正確答案. S1. S2. S3. 層次. 從A袋. 錯誤. 正確. 正確. P2. 從B袋. 正確. 正確. 正確. P1. 從A袋. 錯誤. 錯誤. 正確. P3. 毫無差別. 正確. 正確. 正確. P1. 從B袋. 錯誤. 正確. 正確. P2. 從B袋. 錯誤. 錯誤. 正確. P3. 毫無差別. 錯誤. 正確. 正確. P2. 毫無差別. 錯誤. 錯誤. 正確. P3. 從A袋. 正確. 正確. 正確. P1. S1：格間對照比較策略. P1：格間對照型試題. S2：格間加減計算比較策略. P2：格間加減型試題. S3：格間比例計算比較策略. P3：格間比例型試題. 如表 3-2-2，當學生使用 S1 推論三種不同層次的試題時，能答對 P1 但會答錯 P2、P3；當學生使用 S2 推論三種不同層次的試題時，能答對 P1、P2 但會答錯 P3；而學生使用 S3 推論三種不同層次的試題時，能答對 P1、P2 與 P3。. . 31 .