討論

究研究對象沒有大學生，因此僅與 Obersteiner(2015)與 Batanero(1996)的研究結 果進行比較來探討屬於個策略層次的人數比例有何異同之處。

由於 Obersteiner(2015)與本研究各策略層次試題的題目數量以及研究目的的 不同，Obersteiner(2015)主要為了解學生的推論特徵較偏向質性研究，而本研究 主要為了解各年級的推論表現與推論分佈較偏向量化研究，因此將兩研究的平均 答對率直接做比較並不合適，但是我們可從兩個研究的各年級當中發現有共同處。

所有年級在格間對照型試題的表現皆為最佳，而格間比例型試題的表現最差。如 果使用認知發展理論來解釋會發現兩個研究中四個年級皆處於皮亞傑認知發展 階段中的前操作期與具體操作期的過渡階段。

(二) 策略使用者分類分佈的異同性

在小學生的研究結果方面，Obersteiner(2015)與本研究皆使用相同的方式分 類策略使用者，但同樣進行分類時都遇到困難處，使用三種分類策略使用者(格 間對照比較策略使用者、格間加減計算比較策略使用者、格間比例計算比較策略 使用者)的方法時會出現許多無法被歸類的學生。於是德國研究與本研究各使用 不同方式降低無法歸類學生的比例。

如表 4-3-2，Obersteiner(2015)將格間對照比較策略使用者廣義分為四個細格 中，不僅比較a 與 c，比較 a 與 b，b 與 d，c 與 d 皆視為具有格間比較策略的推 論特徵。利用這種廣義分類的方式降低無法被歸類的人數比例。

表4-3-2、二維列聯表數據 藍色球 紅色球 A袋 a b B袋 c d

本研究則是使用各策略使用者的子分類分成若干種次推論策略使用者，各具 備該推論策略的推論特徵，目的也是為了降低無法被歸類的人數比例。兩個研究 各加入子分類後調查具備各推論策略特徵的人數比例如下表：

表4-3-3、兩研究中各推論策略特徵的人數比例

在Batanero(1996)研究結果方面，將學生依 Pérez Echeverría(1990)對 2×2 二維 列聯表推論策略的分類方式分為5 個策略層次，而從文獻探討中發現本研究的三 種策略層次與之能相對應，因此將 Batanero(1996)與本研究的研究結果中對各策 略層次的人數比例作比較，結果如表4-3-4。

本研究的高中學生年齡約為 15~16 歲，而西班牙研究的高中學生年齡約 17~18 歲，皆尚未學習過二維列聯表推論兩變數關係的知識，由比較發現本研究 中高中學生在推論時大部份能使用格間比例計算比較策略(可對照於 Level 5)推 論，而西班牙研究的高中學生則無此情況。這個原因很有可能是因為試題描述與 難度的不同而造成的差異。本研究中的二維列聯表問題為使小學生亦能進行推論 而參考 Obersteiner 等人的研究工具而設計，問題利用詢問其中一個變數中的類 別與另一個變數中的類別間關係來間接判斷變數關係，試題難度對於高中學生來 講應較容易。然而 Batanero(1996)的試題則是利用自變數對依變數的影響，直接 詢問兩變數是否有關聯並給予理由，此問法對高中生來說可能相對困難。

二、應用認知理論解釋學生的推論特徵  

在前置研究進行前，研究者經過多次的預測，從小學生、國中生、高中生 對於二維列聯表的推論中，發現這三個階段的學生拿來解題的策略有明顯的差異，

這些差異經由訪談初步了解與其先前所學內容有關，如國中八年級學生使用比例 計算進行推論的人數較多，但小學三年級以及小學四年級學生則是比較細格大小 來進行推論的人數較多。由於國中八年級學生比小學三年級與小學四年級學生多 學了比與比值，研究者猜測這些差異性與他們的數學成熟度有相當程度的關聯 性。

於正式研究中調查高層次試題答對兩題以上但是在低層次試題答錯兩題以 上的學生發現小學三年級與小學四年級的人數比例高於國中八年級與高中一年 級，對於此現象我們訪談小學三年級與小學四年級跳策略層次推論正確的學生，

這些學生普遍對於自己的推論策略不是很有信心，如一開始使用格間對照比較策 略來回答格間加減型試題的試題1，但是回答試題 3 時因離群值影響而開始比較 四格細格來判斷，造成此現象後在其他試題對其推論策略猶豫而無法使用一致的 推論策略來推論。  

這樣的現象或許可以使用認知發展階段來解釋，小學三年級與小學四年級處 於前操作期、具體操作期的過渡階段，在認知發展即將邁入下個階段時學生呈現

欲使用四格作判斷但對於自己使用的策略信心不足的情況。研究者認為這是一個 好的現象，代表他們有注意到全部四個細格的數據而納入推論依據，那麼離群值 或許有助於提升他們的推論策略層次。

依照皮亞傑的認知發展理論對各年齡層階段的描述，小學三年級與小學四年 級的學生處於前操作期到具體操作期的過渡階段。就研究結果來看小學三年級主 要使用的格間對照比較策略推論特徵，僅比較藍色球的單行數據，而忽略另一行 紅色球數據的現象，與前操作期中表示個體能思考但不具邏輯性，無法顧及事物 的全面性的特徵相符。

小學四年級的學生仍然有部分使用格間對照比較策略進行推論，但是使用格 間加減計算比較策略的人數比例大幅提高，以認知發展來分析可以說從小學四年 級開始進入具體操作期，這階段的個體能根據具體經驗思維解決問題，面對情境 問題時不再只憑所見的部分訊息去做判斷，但是其判斷的範圍僅限於眼前所見，

並不會做抽象化的思考。因此在比較四格細格時，會直覺計算格間球數的差距作 比較，但是鮮少出現使用比例計算的學生。

國中八年級開始使用格間比例計算比較策略的人數比例大幅提高，此年級屬 於形式操作期，開始能按照邏輯法則進行抽象思考來解決問題，能進行抽象化的 計算，因此使用多為使用格間比例計算比較策略進行推論。至於高中一年級仍然 主要使用格間比例計算比較策略來推論，但是使用其他策略的人數比例較國中八 年級少很多，從這樣的現象可以猜測或許到了高中一年級其數學成熟度提升而使 其推論策略較為穩定。

研究的四個年級皆未學習利用列聯表資料推論兩變數關係的相關知識內容，

就研究結果來說卻能進行有意義的推論，而或許有些數學知識內容有助於提升學 生的推論策略。例如從國中八年級學生的研究結果來看，在訪談時發現學生常計 算兩袋中藍色球與紅色球的比例來進行推論，因為他們比小學四年級多學習了比 與比值，雖然此單元並非統計內容，卻能影響其推論策略。  

Obersteiner(2013)等人則認為可透過直觀來解釋學生的推論行為，對於未學

習的概念所形成的問題，如本研究的二維列聯表試題，常仰賴自身的經驗與想法 來推論。從本研究可以看到高中一年級學生在推論時常出現紙筆計算，但小學三 年級與小學四年級學生則直接觀察數據而下推論，且發現國中八年級學生使用了 小學三年級與四年級學生尚未學習的比與比值來幫助推論。也就是說，同樣利用 直觀來推論，國中生所用的直觀與小學生的直觀有所不同，小學生的直觀想法中 未出現任何比例或比值計算的想法，但國中生的直觀想法中較常將比例或比值計 算納入推論中。雖然尚未學習過相關概念，比與比值似乎能幫助學生對二維列聯 表推論兩變數關係概念從一階直觀提升到二階直觀。

另外，在分類策略使用者時，研究者在資料中發現較特別的因離群值數據而 答對的加減策略使用者，推論中跳層次答對具離群值的格間比例型試題之試題3 與試題6 的學生被歸類為此策略使用者，但是並不具備格間比例計算比較策略的 推論特徵。同樣於 Obersteiner 等人的研究中亦有這種具離群值的格間比例型試 題，他們發現有推論正確但不具有格間比例計算比較策略的推論特徵的學生。

發生這種現象的主要原因是因為格間比例計算問題的其餘兩試題中，學生在 其餘試題使用格間加減計算比較策略進行推論，但是碰到具離群值的數據時，受 其影響而直接選擇具有離群值的袋，如表4-3-5 左側數據會直接選擇 A 袋，右側 數據會直接選擇 B 袋作為答案。這類的使用者的人數比例在小學四年級最高，

而在國中八年級與高中一年級此類使用者的人數比例漸漸降低。

表4-3-5、具有離群值的格間比例型試題數據

藍色球 紅色球 藍色球 紅色球

A袋

A袋

B袋

B袋

研究者認為具離群值試題對學生的推論有助力亦有阻力。助力是使用加減計 算比較策略來判斷的使用者遇到格間比例計算比較問題時會想用別於加減計算 比較策略的推論方式來試圖解決問題，那麼這群使用加減策略學生的推論策略其

實有逐漸成長的趨勢，因為他們知道這樣的數據不該使用同樣的加減策略來比 較。

而阻力是造成使用加減計算比較策略但不穩定的學生在推論時容易被離群 值影響而對於自己的推論策略較無信心，造成其他試題作答時會猶豫其推論策略 是否能獲得正確答案，例如一開始作答時可能使用格間對照比較策略來推論試題

而阻力是造成使用加減計算比較策略但不穩定的學生在推論時容易被離群 值影響而對於自己的推論策略較無信心，造成其他試題作答時會猶豫其推論策略 是否能獲得正確答案，例如一開始作答時可能使用格間對照比較策略來推論試題