互動式電子白板及其應用

第一節 數學領域的相關學習理論

在圖形與空間的教材中，學童在面積方面的學習常發生困難，在我們日常生 活中常會接觸到「面積」的概念，例如「黑板的大小」、「教室有多大」…等等，

但在許多學童腦子裡的面積不過是一連串的公式，其分別只代表兩個數量相乘的 結果，即以為了解面積的基本概念，其實卻不瞭解公式的意義，對面積的測量也 有迷思（譚寧君，1995a），故本節針對面積概念、面積迷思概念進行探討，分述 如下：

一、面積的概念

面積指的是某一封閉二維區域的大小，也就是說對此一特定區域被數個 單位量所覆蓋的程度。面積概念的發展應從「保留概念」的形成到「測量概 念」的建立逐步發展，而目前數學教育內涵所不可或缺的更是以「估測概念」

為最重要。

（一）面積的保留概念

保留概念指的是當兒童面對物體的某種轉換後，如物體位置的移動、

物體方向的轉動、面積形狀的切割變形活動等，還能了解其原有特質仍 保留不變的認知能力（譚寧君，1995b）。另外瑞士心理學家 Piaget, Inhelder ＆ Szeminska （1960）在兒童的幾何概念發展研究中指出，

「面積」保留概念乃指兒童在物件因為位置的改變或形狀的改變後，其 「面積」依然保持不變的能力；同時為研究「面積保留概念層」設計一 些實驗後，認為兒童必須應用加、減法運思以及位置運思，才會具備基 本「面積」保留概念。面積保留概念又包含二個不同的層次：

1、基本面積保留

「基本面積保留」代表任何封閉範圍內面的大小，不會因為位置 改變而有不同。也就是說不會因為面的移動、轉動、翻轉或切割而改 變面積大小。此概念將有助於了解數學「不變性」的重要屬性，如果 不具有面積保留概念，即使指導如何求得面積也是沒有意義的（譚寧 君，1995）。如 與 雖然放置的方向不同，但面積不會改變

的事實。又如有些圖形會因為視覺的錯覺而產生錯誤，但亦可透過疊 合活動的經驗，而建立了面積的保留概念。

2、互補面積保留

「互補面積保留」代表在面積相等的二個面，各減去一塊不同形 狀但面積相同的小平面後，其所剩下的面積仍然相等，也就是等量減 等量結果相等。互補面積保留是一種逆向邏輯思考，教學者需要學童 已經有基本面積保留概念後，才能指導學童此互補面積保留概念。

（二）面積測量概念

面積測量是從「個別物件」到「個別單位」來描述物件大小，進而至 普遍單位的使用，最後才能了解面積公式的由來（吳宛儒，2005）。面積 公式的導出是經過一連串的操作、比較的過程，此時的面積公式才有意 義。學生如要知道桌子的大小，只會用直尺量出長和寬之後再相乘，未必 是真正的了解面積概念，因為可能只是背公式而已。長寬相乘是經過單位 面積覆蓋所得的結果，測量面積的大小可透過不同的方法測量而得，但若 未經過覆蓋、拼湊、添補、複製與比較等活動，是無法真正了解到面積概 念的（國立編譯館，1999）。

Baturo ＆ Nason(1996)的研究發現學生在比較面積大小時所採取 的方法有剪貼法、疊置法、覆蓋法、直線法這四種。雖然使用了這四種 方法，但在Kenney ＆ Kouby（1997）； Lindquist ＆ Kouby（1989）；

Simon ＆ Blume（1994）的研究中發現，許多低年級和中年級學生對於 周長和面積概念的理解是很困難的，而且學生常會將面積和長度概念相 混淆，面積單位以周長單位呈現等問題（譚寧君，1998a；戴政吉，2001）。

面積公式的學習雖然是面積概念發展的最後目標 Outhred ＆ Mitchelmore（2000），但是期望學生從一連串操弄，測量實作經驗，

將圖形表徵內化後再加以詮釋，讓學生真正有意義推演、理解公式的由 來，同時能夠活用面積與周長概念於問題情境中。測量概念包含以下三 種層次：

1、面積測量的基本概念

測量概念的形成是測量教材的重心，利用單位量的覆蓋與點數 來了解面積。通常教學時，我們會使用平方單位格內點數單位面積 的個數，若一格的面積是一個平方單位，物體的面積可直接透過點 數得知；但當所求面積非整數格或單位量非一格時，則要利用面積 補償關係求得。

2、單位面積概念

面積的測量是透過各個不同單位量的覆蓋、拼湊或比較而成（譚 寧君，1995b、1998b），就如一長邊六公分，寬邊五公分的長方形 面積（甲），當學童用一個長六公分寬一公分的長方形面積（乙）， 則（甲）有五個（乙）；當學童用一個長五公分寬一公分的長方形面 積（丙），則（甲）有六個（丙）。

3、直線測量面積概念

「基本面積概念」是透過平方單位格內點數單位的個數來求得 面積；「單位面積概念」則是透過覆蓋、拼湊、比較或切割來求得物 體面積。譚寧君（1998b）指出「直線測量面積概念」屬於數學上的 相乘關係，他是屬於較抽象的推理層次。「基本面積概念」和「單位 面積概念」只是在單位數的累加與單位量的比較，然而一般所謂的 三角形面積＝（底 × 高）÷ 2 ；梯形面積＝（上底＋下底）× 高 ÷ 2 則是屬於「直線測量面積概念」。

（三）估測概念

面積屬於「量感與實測」的部份。求得面積，除了實測以外，量感 的培養也是非常重要的。然而在量感的發展中，需要學童做估測的活動 練習，例如：請學童先猜一猜，數學課本的長大約幾公分？寬大約幾公 分？那麼面積大約幾公分？之後再用公式去檢驗（林文慧，2005）。Hall

（1984）認為：「估測是一種可以訓練的活動，它能在未知單位數前，進 行估量的活動。當我們進行估量時，我們會以心中既定的標準來進行估 量。」所以，教學時，可先利用目測或手測，以感覺的方式進行估測。

譚寧君（1995b）提到估測活動可以培養學生的量感，有量感才能 對面積的測量形成有意義的學習。Hiebert（1981）指出學生遇到需要 利用特殊策略找出面積時，都必須先預估面積的大小。所以在求面積 時，我們會直接套用公式，當不能套用公式時，我們則利用面積的估測 能力，先預估面積的大小再尋求解題的策略，或是決定適當的測量工具。

我們給小朋友玩具、教具，希望他們能從做中學。譚寧君（1998a）認為面積 概念的發展是漸進的，直接請小朋友背誦公式那只是一時的記憶，無法永久儲存 起來，因此面積的概念需要透過豐富的操作、點數、切割、比較、拼湊等活動，

才能從具體到心象，從心象到抽象，進而察覺面積公式的意義。沈佩芳（2002）

認為要提升低能力的學童認識幾何圖形，則要多加強操作及描繪的活動設計。

二、教學重點

本研究範圍為「面積、平面圖形」，要小朋友直接背公式，沒有辦法讓他 永久儲存，必須透過豐富的操作、點數、切割、比較、拼湊等活動，因此，

將不同單元的教學重點整理如后：

（一）四年級下學期部編版的「面積」所要教授的重點是：

1、能認識兩線互相垂直，以及能畫出和給定直線垂直的直線。

2、能認識兩線互相平行，以及能畫出和給定直線平行的直線。

3、能理解長方形與正方形周長公式，並能解決生活中相關的問題。

4、能理解長方形與正方形面積的算法，並用公式算出長方形與正方形 的面積。

5、能認識 1 平方公尺的意義，並能用「平方公尺」來描述面積的大小。

6、能認識 1 平方公尺＝10000 平方公分，並能用乘法和除法做單位的換 算。

7、能由正方形的周長算出正方形的邊長。

8、能利用長方形、正方形對邊等長的性質求出邊長或某邊上部份線段 的長度。

9、能算出由長方形或正方形組合而成的圖形面積。

（二）四年級下學期部編版的「平面圖形」所要教授的重點是：

1、能操作直尺測量三角形的邊長，認識兩邊一樣長的三角形是等腰三 角形。

2、能操作三角板或量角器測量三角形的任一角是否為直角、鈍角或銳 角，從而認識有一個直角的三角形為直角三角形；有一個鈍角的三 角形為鈍角三角形；三個角都是銳角的則是銳角三角形。

3、能用摺紙、剪裁等方式做出一個等腰三角形，並知道等腰三角形中，

兩等長的邉叫做腰，兩腰所夾的角叫做頂角，另外兩個角叫做底角。

4、能用摺疊比對的方式，認識等腰三角形兩底角一樣大。

5、能用摺疊比對的方式，認識正三角形三個角一樣大，並用量角器驗 證三個角均為 60 度。

6、能利用三角板檢查四邊形的對邊是否互相平行，進而認識兩組對邊 平行的四邊形為平行四邊形；只有一組對邊平行，另一組對邊不平 行的四邊形為梯形。

7、能用平行四邊形及梯形的定義檢查任一四邊形是否為平行四邊形或 梯形。

8、能使用直尺或三角板畫出直角或平行四邊形線段，進而用來繪製正 方形、長方形或平行四邊形。

9、能透過平移、旋轉、翻轉或操作，認識平面圖形全等的意義。

10、能認識平面圖形在全等時，其頂點、邊、角完全重合。

11、能認識平行四邊形沿對角線(對角線名詞不出現)分割出來的兩三角 形全等，進而知道平行四邊形對邊一樣長，對角一樣大。

本研究單元引導學童理解面積不同層面的意義，包含面積保留概念、面積測 量概念、面積估測概念。根據皮亞傑的研究，面積概念是不能直接透過教學而學 會的，但是提供適合發展的環境，再加上教師於課堂上提供豐富之操作、點數、

拼湊等活動，藉此促進學生抽象能力的提升，對於學生具備面積概念，仍是有幫 助的。

第二節 訊息處理學習理論

一、訊息處理學習理論的意義

訊息處理理論（Information Processing Theory）是認知學習理論之分 支，解釋人類在環境中，如何經由感官察覺、注意、辨識、轉換、記憶等內

訊息處理理論（Information Processing Theory）是認知學習理論之分 支，解釋人類在環境中，如何經由感官察覺、注意、辨識、轉換、記憶等內