第貳章
第貳章 第貳章 文獻探討 文獻探討 文獻探討 文獻探討
本章共分四節，針對研究主題的文獻加以闡述。第一節介紹代數分配 律的概念，第二節探討代數分配律的教與學，第三節為多步驟問題之教材 分析，第四節說明 S-P 表理論、注意係數與學生診斷分析圖。
第一節 第一節 第一節
第一節 代數分配律的概念 代數分配律的概念 代數分配律的概念 代數分配律的概念
一、左分配與右分配
國小學生的代數學習包括符號、代數演算、函數關係、變數變換，這 些活動都是代數學習的重要內容(陳嘉皇，2007)。「美國數學教師學會」
(National Council of Teachers of Mathematics[NCTM], 2000)指出所有學生都 必需要學習代數，其中代數演算是數學教育的重要題材，利用教學的過程
，培養學生推理的能力。以臺灣的教育為例，九年一貫課程綱要的數學領 域把國小高年級的橫式計算與簡化列為基礎教學，再來國中開始要學習代 數演算，當中最關鍵的就是分配律(教育部，2008)。
Usiskin(1999)認為代數是一種語言，此種語言包含四種概念：
(1)是種歸納的算術；
(2)是種解決特定問題相關程序的研究；
(3)是種數量之間關係的研究；
(4)是種結構的研究；
而 Baek(2008)認為學生使用分配律算則解決問題的過程與進行關係思考是 雙向運作的，關係思考可協助學生透過等式兩邊物件運算產生的結果，驗 證算則中數字的等值關係，便能更確實去理解分配律的概念，使計算更加 流暢，並具有對數字做符號操弄的能力；而當分配律概念已扎根後，藉由 分配律算則的模式思考，即可容易地觀察出問題之間的數量關係。
綜合上述可知，分配律即是代數語言中的第三種概念─數量之間的關 係，又乘法對加法的分配律可以分成左分配與右分配兩種關係，其中乘法
對加法的右分配是指：「(36+7) × 5 = (36×5) + (7×5)」的分配性質，此部分 的單位數不變；而乘法對加法的左分配是指：「14 × (9+8) = (14×9) + (14×8)」
的分配性質 ，此部分的單位量不變。因為乘法對加法的左、右分配律都 成立，所以在數學上，乘法對加法具有分配律的關係(蔣治邦、謝堅、陳竹 村、林昭珍、吳淑娟，2002)；同理，乘法對減法也具有分配律的性質。
分配律的左、右分配關係中，還可以將其細分成正向類型題和逆向類 型題，正向類型題為 a × (b ± c) = (a×b) ± (a×c)，即所謂的合到分；逆向類 型題為(a×b) ± (a×c) = a × (b ± c)，即所謂的分到合。郭良彥(2006)在國小六 年級學生速算能力之研究中發現，學生對逆向類型題比正向類型題來的熟 悉，就是分到合對於學生而言較為簡單，例如：9998×225 = (10000－2) × 225
= 100000 × 225－2，顯示學生對分配律中的正向類型題觀念不清，無法正 確完成此題如：9998×225 = (10000－2) × 225 = 100000 × 225－2× 225，此 部分可與括號學習做連結，亦誤用了括號多餘法則致使分配律的學習產生 迷思，需要再多加釐清概念。
並非任何一個運算對另一個運算的左、右分配律關係都可以成立，例 如「(12+16) ÷ 4 = (12÷4) + (16÷4)」也就是說，除法對加法的右分配律是成 立，但是除法對加法的左分配律是不成立的，例如「18 ÷ (3+6)≠(18÷3) + (18÷6)」。因為除法對加法的左、右分配律並非同時成立，所以在數學上，
除法對加法不具有分配律的關係(蔣治邦、謝堅、陳竹村、林昭珍、吳淑娟，
2002)；同理，除法對減法也不具有分配律的性質。
綜合上述可知，在數學上給定兩個任意的運算符號，如：＊與 Ο，第 一個運算「＊」分配給第二個「Ο」，假設對於任意 a、b、c 三個數，會使 得 a＊(bΟc) = (a＊b) Ο (a＊c)等式成立，將「×」替換掉「＊」，「±」替換 掉「Ο」，則對於任意 a、b、c 三個數，a × (b ± c) = (a×b) ± (a×c)也成立。
例如：7 × (3+5) = 56 且(7×3) + (7×5)=56，也就是說 7 × (3+5) = (7×3) + (7×5)
，所 以此 定 律即 為 左分 配； 同 理， 右 分配 也成 立(Columbia Electronic Encyclopedia, 2011)。
二、與括號概念有關的用法
謝如山(2001)指出括號用於代數運算有以下四種情況：
(ㄧ)規範運算的先後順序；
(二)結合律的表現；
(三)分配律的表現；
(四)形成符號改變；
其中的第三種用法是以這個符號表示分配律。分配律的意義是不使用括號 時，一個數字能分配給其他兩個數字，所產生的兩個數字結果能相加或相 減。例如：算式 4 × (6+9) = 4×6 + 4×9，括號的功能是 4 要同時與 6 和 9 相 乘。
與括號有關的題型有兩個重要的決定因素，一個是括號的位置，另一 個是運算符號間的變化。這兩個因素影響了括號法則的關係，然而分配律 的題型有六種，當括號置於前兩個數字時，有四種題型均具備分配律的特 性，但當括號放於後兩個數字時，就產生錯誤。本研究所探討的題型以乘 法的分配律為主，以表 2-1-1 述之。
表 2-1-1 分配律運算 分配律運算 分配律運算
分配律運算的括號題型的括號題型的括號題型的括號題型(反白部分即為本研究的題型反白部分即為本研究的題型反白部分即為本研究的題型) 反白部分即為本研究的題型
括號的學習常與分配律的操作技巧做連結，因此學生對括號概念的深 入瞭解是有其必要性的，倘若瞭解錯誤，如括號的多餘使用，學生錯用了
括號題型 乘法 除法
分配律通的題型
(11＋6) × 3 (19－7) × 4 12 × (5＋3) 68 × (8－2)
(24＋8) ÷ 4 (15－6) ÷ 3
分配律不通的題型 35 ÷ (3＋4) 21 ÷ (9－2)
此法則，誤認為算式 7 × (4＋5)和 7 × 4＋5 是相等的，就等同於對分配律 的概念產生迷思，此部分即是本研究在後續將其納入迷思概念之補救教學 的原因，故學生在學會分辨各種使用括號的情境之後，才能正確的使用分 配律等代數定律。
第二節 第二節 第二節
第二節 代數 代數 代數 代數分配律 分配律 分配律 分配律的 的 的 的教 教 教 教與 與 與 與學 學 學 學
ㄧ、代數分配律的教導
在數學教材教法(甯平獻主編，2010)ㄧ書中曾提到教師於乘法對加、
減法分配律的教學，宜透過適當情境引導學生察覺乘法對加、減法的左、
右分配。教師藉由「幾個十幾個ㄧ的幾倍」解題方法的限制，如：27 × 4 = ( )中的被乘數 27 拆成 2 個十 7 個ㄧ，分別計算 2 個十的 4 倍和 7 個ㄧ的 4 倍後，再求和數，即可得到答案，用這樣的限制方法協助學生具有右分 配的隱含經驗，而左分配也可再用上述的方式引導學生具有左分配的隱含 經驗，當學生有足夠的「累又十倍及又ㄧ倍」之往上數解題技巧後，才可 能在日後的學習中覺察乘法對加、減法的左、右分配；學生若能熟練並活 用分配律，將有助於未來數學概念的學習。
Carpenter, Levi, Franke, & Zeringue(2005)則聚焦在觀察題目的關係與 表示方法上，不同於以往採用一步驟一步驟地方式計算答案，這種教學模 式稱之為關係聯想。以研究兩位中年級的學生，主要在提供許多機會讓學 生學會關係聯想，並以分配律的聯想為目標。研究分成 6 個步驟：1.聚焦 關係聯想勝過於計算答案、2.等式聯想、3.聯想式思考、4.發展關係聯想、
5.學會使用分配律、6.探索學生如何瞭解分配律，其中的第 6 個步驟，他 們呈現一組數字讓學生進行關係聯想：9×4 = (4×4) + (5×4)，學生準確地完 成上述問題的聯想，但因為數字量太小，深怕學生是用計算的方式回答問 題，故將問題的數字量加大：(7×146) + (8×146) = (k×146)，試問 k 等同於 多少？學生回答：「將 7+8 = 15，而 146 有 15 個」，學生已能夠利用關係聯 想的方式學會分配律並運用於題目，他們假設學生若有機會繼續去發展用
聯想式的方式思考，將會減少錯誤，如：(x+y) 2 = x 2 + y 2，有助於將來在 正式代數的深究。
Watson(1993)也指出在整數乘法算則中，三大定律有交換律、結合律 及分配律，其中尤以分配律的教學較為困難，因為它牽涉到兩種運算─加 法和乘法，所以大部分的學生在學習分配律時只是一味地背誦公式，無法 真正辨識出分配律可以被使用的時機，而教師使用教科書教學時，也未能 找尋到適當的例題去刺激學生發覺分配律的應用機會。故教師須想方設法 讓學生學會辨認分配律使用時機與詢問學生如何利用它來進行心算解決 問題，才是學習分配律的真諦。
二、代數分配律的學習
臺灣現行數學教材規定五年級學生要能理解乘法對加法的分配律，並 應用於簡化心算。因此，數學作業的練習題裡，常出現有關分配律的問題，
如：長方體表面積的算則，及加、乘法之應用。陳嘉皇(2010)指出在學習 乘法問題解題的過程中，學生若能將分配律加以一般化及驗證，那麼在國 中代數的學習上會有較佳的理解；例如：能夠瞭解 34 × 6 = 30×6＋4×6，
便能運用相似的推理性質解決代數問題，如：34x = 30x＋4x，以及能解決 34×65 = (30＋4) × (60＋5) = (30×60)＋(30×5)＋(4×60)＋(4×5)，將可利用基 礎分配律的知識解決像(a＋b)(c＋d) = ac＋ad＋bc＋bd 之雙重分配律代數 問題。
Baek(1998)則指出乘法分配律概念的教學，最基本的是讓學生能對問 題中有關聯的數字加以分解與合成，部分學生能把一組數據分解成非十的 數字相乘，如：16×5 的組合，將 16 拆成 12+1+1+1+1 的方式再去乘以 5，
就可瞭解到學生已能使用分配律解題，甚至於學生一次拆解兩組數字，此 即臺灣國中的數學教材所引導的雙重分配律概念，如：26×39 分解成 20×30、20×9、6×30、及 6×9，如此的創意可見得學生不僅學會了基礎分 配律，更靈活運用它來解題。
Vermeulen, Olivier, & Human(1996)也指出學生在學習代數的觀念基本 上是有困難的，困難點在於辨識且要能使用它來做組織學習。組織學習包 含表面性和系統性，若是能達到系統性地組織學習，對於日後較困難的代 數學習會有正向的影響力。所以他們發現學生在體認分配律時須經過許多 不同的學習階段，並且為此做了長達 5 年的研究，運用具體的教學策略，
結合計算器，讓學生更容易體認出分配律，此研究結果顯示具體的教學策 略確實可提升學生察覺出需要使用到分配律情境的比率。
第 第 第
第三 三 三節 三 節 節 多步驟問題之教材分析 節 多步驟問題之教材分析 多步驟問題之教材分析 多步驟問題之教材分析
一、九年一貫課程之能力指標
九年一貫數學課程綱要之能力指標是將各種學習能力分不同年級階 段所設定，為了更加詳細的敘述各年級階段所需具備的能力，便詮釋出更 進一步的分年細目。前四項主題的能力指標以三碼編排，其中第一碼表示 主題，第二碼表示階段，第三碼則是能力指標的流水號，表示該細項下指 標的序號；而分年細目也以三碼編排，第一碼表示年級，第二碼表示主題，
第三碼為分年細目的流水號(教育部，2008)。
本研究所探究之五年級學生學習多步驟問題的相關能力指標及分年 細目如表 2-3-1、表 2-3-2、表 2-3-3 及表 2-3-4 所示：
表 2-3-1
表 2-3-4
以採用，是故幫助學生看得懂別人的解法，也協助將自己的想法讓他人理 解，以便於做數學溝通，即是多步驟問題的單元精要(國立編譯館主編，
1993)。
(二)現行教材的分析
(二)現行教材的分析