第 第
第壹 壹 壹章 壹 章 章 緒論 章 緒論 緒論 緒論
本研究為提升以代數分配律解多步驟問題的學習成效之探究，針對國 小五年級學生進行實驗教學，探究其學習成效是否有所提升，之後進行 S-P 表的分析與學生診斷分析表的討論，不同的學習類型採用適宜的補救教學
，達到改善學習的目的。本章共分三節：第一節為研究背景與動機、第二 節為研究目的、第三節為名詞釋義，茲分述如下。
第一節 第一節
第一節 第一節 研究背景與動機 研究背景與動機 研究背景與動機 研究背景與動機
一、五年級學生對學習代數分配律的感受
研究者所指導的五年級學生曾經說過：「學分配律沒什麼用處，直接 用直式記錄的方式計算就好了。」即便在學習完分配律的數學單元，學生 仍固著於使用直式計算，沒有真正想去學會新的解題策略。不僅只是在學 習分配律的單元，研究者多年教學高年級的經驗是：大部分的學生遇到任 何需要計算的問題，第一步就是將數字拿來列成直式計算，並不會試著去 觀察數字間的關係，長久以來的學習模式，讓學生根深柢固的變成機械式 的運算，也因此碰到數字量較為龐大的題目時，常會聽到學生抱怨自己哪 一題又粗心：「啊！這一題的直式計算過程算錯了。」因為臺灣現行的教 材無法讓學生經驗到學會分配律所帶來的益處，問題的設計與數字的呈現 並不能讓學生體認到分配律真正的涵義，故學生寧願選擇一種本來就已經 會的技能─就是直式的解題方法，無法達到教材所要的學習成效：解題的 快速與正確性；如果研究者嘗試讓學生改變解題策略，且達到預期的學習 成效，或許能對未來指導的學生在教學過程中更具有數據上之說服力。
李源順(2002)曾提出一個觀點為：乘法直式算則的重要性不比概念性 知識以及解題性知識高，可以思考的是學生只要會利用算則的程序性知識 求出答案，並不需要理解乘法直式算則中的概念性知識；所以在現行九年 一貫課程綱要的版本中，僅利用「幾千」的位值概念轉換為主軸教學，大
多讓學生理解直式算則的程序性概念，不像八二年國編本處理乘法直式算 則的方式，是把直式算則的程序性知識做為概念性知識來教學，其中所隱 含的分配律法則，是可以透過直式算則的教學學會；且現行的直式教學，
教師也較少去分析其中的關係，多以數字乘以數字的方式指導，因此不但 不能增強學生的分配律概念，更讓學生習慣一成不變的解題模式。
二、學會代數分配律的重要性
學習數學可以說是學習一種心智技能，而學會代數分配律當然是其中 的一個部分，其心智技能所形成的過程有 4 個階段(孔凡哲、曾崢，2009)：
(1) 活動的認知階段；
(2) 示範模仿階段；
(3) 有意識的言語階段；
(4) 無意識的內部言語階段；
而與代數分配律技能有關的是第 4 階段，這是數學心智技能形成的最高階 段，在這一階段學生的智力活動過程有了極度的簡化，整個活動達到了完 全自動化，不須去特別注意活動的規則就能流暢地完成操作。如用簡化方 法計算 37＋99×99＋62，學生不須去回憶加法交換律、結合律及乘法分配 律等運算定律，就能直接先合併 37 和 62 兩個數字，之後利用乘法分配律 進行計算，即原式＝(37＋62)＋99×99＝99×(1＋99)＝99×100＝9900，整個計 算活動是一種流暢的自動化演算過程。在這一階段，學生是依據內部語言 進行思考的，分配律與結合律法則早已內化，並且用非常簡便的方式進行 運算，過程往往簡單到連自己也察覺不了，整個歷程就是一種自動化的學 習。
而學會數學心智技能最終目的是為了解決問題，數學問題解決的功能 如下(孔凡哲、曾崢，2009)：
(一) 問題解決有利於提升學生數學知識的水平。
(二) 問題解決能培養學生運用所學數學知識解決實際問題的能力。
(三) 問題解決能培養學生的數學意識。
透過以上的步驟，學生能有效地培養數學意識，並進一步轉化進內在知 識。在數學問題解決中，首先，學生能更加瞭解到過去所學數學知識的益 處，如乘法交換律、結合律及分配律，起初學生在學習這些算則時並無法 完全意識到它們的作用，只有在使用這些定律能簡便地解決問題時，他們 才真正體會到這些定律的重要性。其次，長期的數學問題解決學習，能培 養學生用數學的觀點去察覺事物，用數學的思維方式去分析生活中的現 象。再來，在數學問題解決過程中，學生還能切身感受到運用數學知識解 決問題後的成功經驗，這不僅可以增強學生學好數學的信心，還可以使他 們深刻地感受到自己所學的數學知識都是有用的，這對於學生的良好數學 學習態度之形成，是相當有幫助的。故學會使用分配律的解題策略，確實 能對於學生的學習風格產生正向之變化。
三、踏入分配律研究的世界
九年一貫課程綱要的附錄指出，國小的代數通常都包含於數與量的教 學中，而修訂綱要是為了強調某些代數面向的課題，必須出現在教學或教 科書，能和以往的課程標準做區別，例如：學生應該熟悉乘法分配律、交 換律，來協助一般之心算、筆算與驗算，因此必須在代數教學時，熟悉此 事實(教育部，2008)。從上述可得知，心算的活動一般會涉及到分配律的 使用，而分配律與數感的教學活動有關，楊德清(2002)指出數感是一種對 數字使用與解釋的感覺，計算時對正確程度的了解，也能選擇最有效的計 算程序之能力。而分配律的學習即是讓學生去探索數字間的關係，避免機 械式的直式計算，也是作為國中計算能力的基礎，尤其在因式分解、配方 法以及多種乘法公式的單元更需要具備分配律的概念，進而培養良好的數 感，增進學生學習數學的興趣與信心(張春興，2004)，這樣的數學教學才 是國小教育最重要的目的。
研究者曾經指導過國中二年級的學生學習因式分解，教學過程中深刻
瞭解到學生若在小學過程中沒有熟悉基礎分配律的概念，往後的國中數學 學習，如：因式分解、配方法和根式運算，將會遇到許多困難，必須重新 認識分配律，才能透過它來進行更多的代數計算。Tsai & Chang(2009)在臺 灣做過關於數學領域代數分配律的創新教學研究，針對國中生進行實驗，
因為分配律的概念學習有其難度，學生會在國小初學分配律時因過於抽象 而產生迷思，致使到國中會過度類化基礎分配律，如：(A＋B)2＝A2＋B2 或 (A－B)2＝A2－B2而產生錯誤，以真實數學教育理論(RME)為核心，採 用問題中心雙環的模式教學(PCDC)，讓國中生透過生活化的衣服配對及規 劃旅遊路線的問題，經由小組合作，討論並建構出內在的算則概念，因為 Tsai & Chang(2009)所列舉的教材皆能符合學生的日常經驗，故配合實驗教 學的學生都能在學習後願意去嘗試更困難的代數問題，進而培養用數學思 考的習慣。而 Malara & Navarra(2009)也對 8 到 10 歲的兒童施以分配律的 學習研究，在分配律的表示法：a × (b+c) 或 (a×b) + (a×c)上給予各式的 覺察問題，會影響兒童的心理表徵，進而選擇不同的表示法。可以見得代 數分配律的學習是有必要讓學生經驗並扎實學會的。
研究者為了提升使用分配律解題的學習成效，則採了 S-P 表理論來做 分析，S-P 表(Student-Problem Chart, S-P Chart)是由日本學者佐藤隆博 (Takahiro Sato)在 1970 年代所創，是一種將學生的作答反應情形「圖形化」
分析的方法，其目的在獲得每位學生的學習診斷類型，當作學習輔導之 用。S-P 表診斷學生的作答反應組型，藉由試題注意係數(item caution index) 和學生注意係數(student caution index)，判斷不尋常的反應組型，提供診斷 資料。S-P 表理論已應用在不同的年級與學科領域中：黃資貴、陳惠萍、
林原宏(2009)在相關性思考之解題規則上分析研究，何英奇(1989)的精熟學 習策略之實驗研究，吳婉嫕(2006)剖析高中生地理科的地圖技能，蔡秉燁、
吳信梅(2004)的英語教學評量診斷，吳肇明(2009)於自然科探討學生學習狀 況，Chen, Lin, Yih, & Yu(2011)對大學生的基礎數學觀念進行認知診斷，大
致上都發現 S-P 表理論具有學習診斷的功能，可作為補救教學之依據。
所以據以上理由，研究者透過實驗教學，探討國小五年級學生在學會 使用分配律來解多步驟問題後，學生計算正確的能力及解題之速度是否有 所提升，並運用 S-P 表理論、注意係數與學生診斷分析圖，即時瞭解學生 的學習類型，研究者能當下找到問題所在做補救教學，使得學生真正地學 會分配律的涵義，也期望藉此研究能提供其他教育工作者在未來的數學教 學上之參考。