提升以代數分配律解多步驟問題的學習成效之探究

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(1)國立臺中教育大學數學教育學系碩士班碩士論文. 指導教授：易正明教授鄭博文教授. 提升以代數分配律解多步驟問題的學習成效之探究. 研究生：呂佳倫撰. 中華民國一 0 二年ㄧ月.

(2) 致謝在進修碩士期間，工作、家庭和學業多方進行，時間窘迫使得在許多方面有所疏漏，也因著大家的包容與支持才能順利完成論文。首先，感謝指導教授易正明老師與鄭博文老師以其豐富的知識與經驗，督促研究的進行，給予研究主題的相關資料，指導論文的撰寫，熱忱解答學習上的疑問，關心我工作的情況，論文能順利完成承蒙老師的多方教導。其次，感謝口試委員國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系呂玉琴教授、國立中興大學生物產業管理研究所蔣憲國教授及臺中教育大學林原宏教授能百忙之中抽空指導，並提出許多寶貴意見，使論文得以更加完備。另外，感謝系上各位老師的教導及幸洵、麗貞、添耀、美惠、仁宏、雅琇、信欽、琳暐、哲毓等同學在學習和各項事務上給予的協助，也感謝協助施測與實驗教學的老師。最後感謝父母和弟弟長期的體諒、關心、支持、協助與照顧，感謝男友廷杰的包容，讓我能無後顧之憂的完成論文撰寫。. 僅以此文獻給所有關心、支持我的親朋好友，分享此刻內心的喜悅與感動。. 呂佳倫謹誌中華民國一 0 二年一月.

(3) 摘要代數題材的數學學習往往是學生最難理解的課程，舊版的國小數學課程標準中，代數教學的相關內容較少，導致學生較難以銜接國中的課程，因此九年一貫課程綱要將代數題材的解題策略加以說明，例如：乘法對加減法的分配律就是其中一項。而「分配律」的學習是作為國中代數計算的基礎，在因式分解、配方法和根式運算的國中代數課題中，使用分配律的成熟度都是學習的核心，在國小數學教育的階段若能熟練運用分配律的解題策略，讓學生養成簡單心算的能力，日漸對數字的內在邏輯有較流暢的感覺，即所謂具備良好的數感，此種流暢數感的回饋，便能增強學生的自信心，計算問題時能簡化演算過程，不易產生錯誤，數學學習更有效率，學生也會因此培養出對數學學習的興趣。本研究採準實驗設計，以研究者所任教的國民小學之五年級學生共 4 個班級，實驗組 30 人與控制組 80 人共 110 人為研究對象，使用自編的「多步驟問題」試卷為研究工具進行實驗教學。之後，針對「多步驟問題」試卷的後測結果以 SPSS 軟體進行統計資料分析，透過單因子共變數分析及獨立樣本 t 檢定來考驗實驗教學的成效，教學之前實施「多步驟問題」前測，教學結束後進行「多步驟問題」後測，以量的分析方式探究兩組學生的學習成效。最後，操作線上的認知診斷之測驗分析即時服務系統，應用 S-P 表理論區分學生的學習類型，並根據學生診斷分析表的結果，找出學習上需要注意的學生，從中進行補救教學，進而增進學生的學習效果。經由資料分析，本研究有以下的發現：ㄧ、實驗教學後，實驗組與控制組在「多步驟問題」的後測成績達顯著差異，且實驗組的成績優於控制組。二、實驗教學後，實驗組與控制組在「多步驟問題」的前後測之時間差達顯著差異，且實驗組的時間縮短程度高於控制組。三、進行 S-P 表分析和計算注意係數，對照學生診斷分析圖後呈現出實驗組各有不同的學習類型，藉由適宜的輔助措施，達到改進學習與教學 I.

(4) 的目的。本研究的結果與發現，其分配律的解題策略教學可提供國小五年級師生數學學習之參考，以及未來進一步研究的建議。. 關鍵詞：關鍵詞：分配律、分配律、準實驗設計、準實驗設計、S-P 表、學生診斷分析圖、學生診斷分析圖、補救教學. II.

(5) Promote the Effective of Learning to Solve Multi-Step Problems by Using Distributive Laws of Algebra Abstract Algebra theme of mathematical learning is always the hardest course to understand for students. The related contents of algebra themes are fewer in the old version standards of elementary school mathematics curriculum, resulting in it is more difficult for students to connect the curriculum of junior high school. Therefore, the Grade 1-9 Curriculum Guidelines will explain the solving strategies of algebra theme in more detail, such as multiplication for distributive law of addition and subtraction is one subject of them. Learning of the distributive law is the basis for algebra learning of junior high school. In the factorization, distribution methods and radical operation of algebra topics of junior high school, the maturity degree of using the distributive law is a core of learning. If students can be proficient in the problem-solving strategies of the distributive law in elementary mathematics education stage, it can enable them to develop the ability of simple mental arithmetic and have more smooth sense for the internal logic of number, which is called having the good number sense. The feedback of smooth number sense can enhance students’ confidence, and they are not fallible in simplifying the process of calculating problems to facilitate mathematical learning more efficiency and promote learning interest for mathematical learning. A quasi-experiment was conducted in this study, and the participants were 110 fifth grade students in the researcher’s elementary school. They were randomly assigned to an experimental group and a control group before the experiment, and each of them included 30 students and 80 students, III.

(6) respectively. The self-made test of multi-step problems was used as research tools for experimental teaching. Then, the results of the post-test for the multi-step problems were analyzed by using SPSS software. The ANCOVA analysis and independent sample t-test were used to evaluate the effects of experimental teaching. The pre-test of the multi-step problems was conducted before the experimental teaching, and the post-test of the multi-step problems was implemented after the experiment. The learning effects of students for two groups were investigated by using the quantitative analysis. Finally, operating the real-time services system of on-line cognitive diagnostic tests and analysis based on the application of S-P chart theory to distinguish the learning types of students. According to the results of student’s diagnostic analysis chart, the instructor can identify the students who need to be cared and provide them remedial instruction to promote their learning effects. Based on the analysis of experimental data, the findings of this study are shown as follows: 1. After the experimental teaching, there are significant differences for the experimental group and the control group in the post-test results of the multi-step problems, and the results of the experimental group are better than the control group. 2. After the experimental teaching, there are significant differences for the experimental group and the control group in the difference of time of the multi-step problems, and the degree of time shortened of the experimental group is higher than the control group. 3. The analysis of S-P chart with caution index and the chart of student’s diagnostic analysis show the experimental group includes the different learning types. Instructors can achieve the purpose of improving students’ IV.

(7) learning types with appropriate instructional aids. The results and findings of this study indicated the problem solving strategies of distributive law can provide available references and recommendations for the fifth grade teachers and students of elementary school in mathematics teaching and learning for future research.. Keywords: distributive law, the design of quasi-experiment, S-P chart, the diagnostic analysis chart of student, remedial instruction.. V.

(8) 目次中文摘要…………………………………………………………………….....I 英文摘要……………………………………………………………………...III 目次…………………………………………………………………………...VI 表目次………………………………………………………………………VIII 圖目次…………………………………………………………………………X 第壹章緒論………………………………………………………………....1 第一節研究背景與動機……………………………………………....1 第二節研究目的……………………………………………………....5 第三節名詞釋義……………………………………………………....6 第貳章文獻探討…………………………………………………………....9 第一節代數分配律的概念………………………………….………....9 第二節代數分配律的教與學………………………………………...12 第三節多步驟問題之教材分析……………………………………...14 第四節 S-P 表理論、注意係數與學生診斷分析圖………………....18 第參章研究方法與工具…………………………….……………………..27 第一節研究架構…………………………….………….………….....27 第二節研究設計與流程…………………………….….…………….30 第三節研究對象…………………………….………………………..33 第四節研究工具…………………………….………………………..35 第五節資料處理與分析…………………………….………………..43 第肆章研究結果與討論…………………………….……………………..47 第一節融入分配律教學對學生數學學習成就的影響……….…......47 第二節融入分配律教學對學生數學解題速度的影響……….……..49 第三節實驗組學習分配律的學生診斷分析表之說明………….…..51 第四節學生在補救教學前後的診斷分析表之差異………………...55. VI.

(9) 第伍章結論與建議…………………………….…………………………..71 第一節結論…………………………….……………………………..71 第二節研究範圍與限制…………………………….………………..74 第三節建議…………………………….……………………………..74 參考文獻…………………………….………………………………………..77 壹、中文部分…………………………….……………………………..77 貳、日文部分…………………………….……………………………..80 參、英文部分…………………………….……………………………..80 附錄…………………………….……………………………………………..83 附錄ㄧ多步驟問題教學活動設計(簡案)….………………………...83 附錄二多步驟問題之前、後測(1)試題命題卡……………………..91 附錄三多步驟問題之後測(2)試題命題卡…………………...…….103 附錄四晤談內容…………………………………………….…..…..109 附錄五後測(2)之 S-P 表的編製流程………………………….……115. VII.

(10) 表目次表 2-1-1. 分配律運算的括號題型……….……………………………….…11. 表 2-3-1. 多步驟問題的先備知識之能力指標.………………………….…15. 表 2-3-2. 多步驟問題的先備知識之分年細目....…………………….….…15. 表 2-3-3. 多步驟問題之能力指標………………………………………..…15. 表 2-3-4. 多步驟問題之分年細目…….………………………………….…16. 表 2-3-5. 部編版多步驟問題的教材題目.……………………………….…17. 表 3-1-1. 融入分配律教學的實驗研究架構表……………………..………27. 表 3-1-2. 兩組學生教學方式分析表………………………………..………28. 表 3-3-1. 預試樣本分析表………………………………..……….………...34. 表 3-3-2. 研究樣本人數分析表……………………………………………..34. 表 3-4-1. 多步驟問題的四個概念…………………………………..………36. 表 3-4-2. 多步驟問題前、後測(1)預試試題的雙向細目表……………..…37. 表 3-4-3. 多步驟問題後測(2)預試試題的雙向細目表……………..………38. 表 3-4-4. 多步驟問題前、後測(1)預試成績獨立樣本 t 檢定表……………39. 表 3-4-5. 多步驟問題前、後測(1)預試成績相關檢定表…………............…40. 表 3-4-6. 多步驟問題前、後測(1)預試成績刪除各題目後的 α 值...………41. 表 3-4-7. 多步驟問題後測(2)預試成績獨立樣本 t 檢定表、相關值與刪除各題目後的 α 值…………………………………………42. 表 4-1-1. 兩組學生「多步驟問題」測驗成績的組內迴歸係數同質性檢定表…………………………………………………...48. 表 4-1-2. 兩組學生「多步驟問題」測驗單因子共變數分析檢定摘要表（1）……………………………………………….....48. 表 4-1-3. 兩組學生「多步驟問題」測驗單因子共變數分析檢定摘要表（2）……………………………………………….....49. 表 4-2-1. 兩組學生在「多步驟問題」測驗的前、後測(1)時間差的獨立樣本 t 檢定摘要表…..……………………………………...50 VIII.

(11) 表 4-2-2. 兩組學生在「多步驟問題」測驗的前、後測(1)時間差的組別統計量摘要表……....……………………………………...51. 表 4-3-1. 實驗組學生在「多步驟問題」後測(1)成績的學生診斷分析表…..52. 表 4-3-2. 實驗組六大類型學生的人數百分比……………………………..54. 表 4-3-3. 實驗組接受晤談的 11 位學生……………………………...……..55. 表 4-4-1. 學生 S101 的晤談與補救教學之內容……………………...……..56. 表 4-4-2. 學生 S111 的晤談與補救教學之內容……………………...……..57. 表 4-4-3. 學生 S121 的晤談與補救教學之內容……………………...……..60. 表 4-4-4. 學生 S122 的晤談與補救教學之內容……………………...……..62. 表 4-4-5. 4 位具有各類型代表性的晤談學生之錯誤情形分類表…….…...66. 表 4-4-6. 11 位學生補救教學後進行後測(2)的成績之學生診斷分析表….67. 表 4-4-7. 11 位學生補救教學前後的學生診斷分析表之差異……………..68. IX.

(12) 圖目次圖 2-4-1. 畫出 S 曲線(實線)與 P 曲線(虛線)，重疊部分(粗線)…….…….…19. 圖 2-4-2. 學生診斷分析圖……….…………………………….……………22. 圖 3-1-1. 研究架構圖……………..…….………………………...…………30. 圖 3-2-1. 研究流程圖……………..…….………………………...…………31. 圖 4-3-1. 畫出 S 曲線(實線)與 P 曲線(虛線)，重疊部分(粗線)(後測 1).……52. 圖 4-4-1. 畫出 S 曲線(實線)與 P 曲線(虛線)，重疊部分(粗線)(後測 2)….…67. X.

(13) 第壹章緒論本研究為提升以代數分配律解多步驟問題的學習成效之探究，針對國小五年級學生進行實驗教學，探究其學習成效是否有所提升，之後進行 S-P 表的分析與學生診斷分析表的討論，不同的學習類型採用適宜的補救教學，達到改善學習的目的。本章共分三節：第一節為研究背景與動機、第二節為研究目的、第三節為名詞釋義，茲分述如下。. 第一節研究背景與動機一、五年級學生對學習代數分配律的感受研究者所指導的五年級學生曾經說過：「學分配律沒什麼用處，直接用直式記錄的方式計算就好了。」即便在學習完分配律的數學單元，學生仍固著於使用直式計算，沒有真正想去學會新的解題策略。不僅只是在學習分配律的單元，研究者多年教學高年級的經驗是：大部分的學生遇到任何需要計算的問題，第一步就是將數字拿來列成直式計算，並不會試著去觀察數字間的關係，長久以來的學習模式，讓學生根深柢固的變成機械式的運算，也因此碰到數字量較為龐大的題目時，常會聽到學生抱怨自己哪一題又粗心：「啊！這一題的直式計算過程算錯了。」因為臺灣現行的教材無法讓學生經驗到學會分配律所帶來的益處，問題的設計與數字的呈現並不能讓學生體認到分配律真正的涵義，故學生寧願選擇一種本來就已經會的技能─就是直式的解題方法，無法達到教材所要的學習成效：解題的快速與正確性；如果研究者嘗試讓學生改變解題策略，且達到預期的學習成效，或許能對未來指導的學生在教學過程中更具有數據上之說服力。李源順(2002)曾提出一個觀點為：乘法直式算則的重要性不比概念性知識以及解題性知識高，可以思考的是學生只要會利用算則的程序性知識求出答案，並不需要理解乘法直式算則中的概念性知識；所以在現行九年一貫課程綱要的版本中，僅利用「幾千」的位值概念轉換為主軸教學，大 1.

(14) 多讓學生理解直式算則的程序性概念，不像八二年國編本處理乘法直式算則的方式，是把直式算則的程序性知識做為概念性知識來教學，其中所隱含的分配律法則，是可以透過直式算則的教學學會；且現行的直式教學，教師也較少去分析其中的關係，多以數字乘以數字的方式指導，因此不但不能增強學生的分配律概念，更讓學生習慣一成不變的解題模式。. 二、學會代數分配律的重要性學習數學可以說是學習一種心智技能，而學會代數分配律當然是其中的一個部分，其心智技能所形成的過程有 4 個階段(孔凡哲、曾崢，2009)： (1) 活動的認知階段； (2) 示範模仿階段； (3) 有意識的言語階段； (4) 無意識的內部言語階段；而與代數分配律技能有關的是第 4 階段，這是數學心智技能形成的最高階段，在這一階段學生的智力活動過程有了極度的簡化，整個活動達到了完全自動化，不須去特別注意活動的規則就能流暢地完成操作。如用簡化方法計算 37＋99×99＋62，學生不須去回憶加法交換律、結合律及乘法分配律等運算定律，就能直接先合併 37 和 62 兩個數字，之後利用乘法分配律進行計算，即原式＝(37＋62)＋99×99＝99×(1＋99)＝99×100＝9900，整個計算活動是一種流暢的自動化演算過程。在這一階段，學生是依據內部語言進行思考的，分配律與結合律法則早已內化，並且用非常簡便的方式進行運算，過程往往簡單到連自己也察覺不了，整個歷程就是一種自動化的學習。而學會數學心智技能最終目的是為了解決問題，數學問題解決的功能如下(孔凡哲、曾崢，2009)： (一)問題解決有利於提升學生數學知識的水平。 (二)問題解決能培養學生運用所學數學知識解決實際問題的能力。. 2.

(15) (三)問題解決能培養學生的數學意識。透過以上的步驟，學生能有效地培養數學意識，並進一步轉化進內在知識。在數學問題解決中，首先，學生能更加瞭解到過去所學數學知識的益處，如乘法交換律、結合律及分配律，起初學生在學習這些算則時並無法完全意識到它們的作用，只有在使用這些定律能簡便地解決問題時，他們才真正體會到這些定律的重要性。其次，長期的數學問題解決學習，能培養學生用數學的觀點去察覺事物，用數學的思維方式去分析生活中的現象。再來，在數學問題解決過程中，學生還能切身感受到運用數學知識解決問題後的成功經驗，這不僅可以增強學生學好數學的信心，還可以使他們深刻地感受到自己所學的數學知識都是有用的，這對於學生的良好數學學習態度之形成，是相當有幫助的。故學會使用分配律的解題策略，確實能對於學生的學習風格產生正向之變化。. 三、踏入分配律研究的世界九年一貫課程綱要的附錄指出，國小的代數通常都包含於數與量的教學中，而修訂綱要是為了強調某些代數面向的課題，必須出現在教學或教科書，能和以往的課程標準做區別，例如：學生應該熟悉乘法分配律、交換律，來協助一般之心算、筆算與驗算，因此必須在代數教學時，熟悉此事實(教育部，2008)。從上述可得知，心算的活動一般會涉及到分配律的使用，而分配律與數感的教學活動有關，楊德清(2002)指出數感是一種對數字使用與解釋的感覺，計算時對正確程度的了解，也能選擇最有效的計算程序之能力。而分配律的學習即是讓學生去探索數字間的關係，避免機械式的直式計算，也是作為國中計算能力的基礎，尤其在因式分解、配方法以及多種乘法公式的單元更需要具備分配律的概念，進而培養良好的數感，增進學生學習數學的興趣與信心(張春興，2004)，這樣的數學教學才是國小教育最重要的目的。研究者曾經指導過國中二年級的學生學習因式分解，教學過程中深刻. 3.

(16) 瞭解到學生若在小學過程中沒有熟悉基礎分配律的概念，往後的國中數學學習，如：因式分解、配方法和根式運算，將會遇到許多困難，必須重新認識分配律，才能透過它來進行更多的代數計算。Tsai & Chang(2009)在臺灣做過關於數學領域代數分配律的創新教學研究，針對國中生進行實驗，因為分配律的概念學習有其難度，學生會在國小初學分配律時因過於抽象而產生迷思，致使到國中會過度類化基礎分配律，如：(A＋B)2＝A2＋B2 或 (A－B)2＝A2－B2 而產生錯誤，以真實數學教育理論(RME)為核心，採用問題中心雙環的模式教學(PCDC)，讓國中生透過生活化的衣服配對及規劃旅遊路線的問題，經由小組合作，討論並建構出內在的算則概念，因為 Tsai & Chang(2009)所列舉的教材皆能符合學生的日常經驗，故配合實驗教學的學生都能在學習後願意去嘗試更困難的代數問題，進而培養用數學思考的習慣。而 Malara & Navarra(2009)也對 8 到 10 歲的兒童施以分配律的學習研究，在分配律的表示法：a × (b+c) 或 (a×b) + (a×c)上給予各式的覺察問題，會影響兒童的心理表徵，進而選擇不同的表示法。可以見得代數分配律的學習是有必要讓學生經驗並扎實學會的。研究者為了提升使用分配律解題的學習成效，則採了 S-P 表理論來做分析，S-P 表(Student-Problem Chart, S-P Chart)是由日本學者佐藤隆博 (Takahiro Sato)在 1970 年代所創，是一種將學生的作答反應情形「圖形化」分析的方法，其目的在獲得每位學生的學習診斷類型，當作學習輔導之用。S-P 表診斷學生的作答反應組型，藉由試題注意係數(item caution index) 和學生注意係數(student caution index)，判斷不尋常的反應組型，提供診斷資料。S-P 表理論已應用在不同的年級與學科領域中：黃資貴、陳惠萍、林原宏(2009)在相關性思考之解題規則上分析研究，何英奇(1989)的精熟學習策略之實驗研究，吳婉嫕(2006)剖析高中生地理科的地圖技能，蔡秉燁、吳信梅(2004)的英語教學評量診斷，吳肇明(2009)於自然科探討學生學習狀況，Chen, Lin, Yih, & Yu(2011)對大學生的基礎數學觀念進行認知診斷，大致上都發現 S-P 表理論具有學習診斷的功能，可作為補救教學之依據。. 4.

(17) 所以據以上理由，研究者透過實驗教學，探討國小五年級學生在學會使用分配律來解多步驟問題後，學生計算正確的能力及解題之速度是否有所提升，並運用 S-P 表理論、注意係數與學生診斷分析圖，即時瞭解學生的學習類型，研究者能當下找到問題所在做補救教學，使得學生真正地學會分配律的涵義，也期望藉此研究能提供其他教育工作者在未來的數學教學上之參考。. 第二節研究目的基於以上的背景與動機，本研究擬定下列研究目的。本研究以準實驗設計為研究模式，探究在不同的教學方式下，透過分配律的解題策略學習數學之教學引導，與逐次減項之計算教學模式設計，實驗組與控制組學生學習數學「多步驟問題」單元的成效有何不同，期望讓分配律融入數學領域的教學可以提升學生的學習成效。在本研究中所要探究的學習成效分成兩個面向：一是解答數學問題的正確性，二是解答數學問題的速度，以期提供其他教育工作者在進行數學「多步驟問題」單元教學的設計參考；最後依據 S-P 表分析的結果，做為診斷學生類型之用，計算出的學生注意係數和得分百分比與學生診斷分析圖做對照，便可用來了解學生的學習狀況，並施以不同的補救教學，改善學習效果。本實驗研究之研究目的為：ㄧ、探究國小五年級學生是否因分配律融入於「多步驟問題」單元教學中，而有助於提升其解決問題的正確性。二、探究國小五年級學生是否因分配律融入於「多步驟問題」單元教學中，而有助於提升其解決問題的速度。三、利用 S-P 表分析與學生診斷分析表的結果，探討實驗組學生學習分配律之情形。四、透過質性個別晤談，瞭解學生在學習分配律上的錯誤情形。五、進行不同的補救教學，導正錯誤概念，以探究學生在學習分配律補救 5.

(18) 教學前後的學生診斷分析表之差異。. 第三節名詞釋義為使本研究所使用的名詞意義更加清楚明確，本節將對國小五年級學生、分配律概念、多步驟問題、準實驗設計、S-P 表分析理論、學生診斷分析圖、以及補救教學等名詞提出釋義及界定範圍，其內容敘述如下：. ㄧ、國小五年級學生參與研究的樣本是指ㄧ百學年度第一學期五年級的國小學生，使用的教材版本是依循九年一貫數學課程綱要之能力指標編製，且在五年級上學期之前未接受過多步驟問題與分配律的學習。. 二、分配律概念在抽象代數中，分配律(distributive law)是二元運算的一個性質，即對於一對給定的算子，其中一個分配(distribute)於另一個；即前算子對後算子進行分配，且前後的兩個表示式相等，即分配前的運算結果等於前算子直接運算後算子的項所得之結果(貓頭鷹編譯小組譯，1999)。例如：a × ( b ± c ) = ( a × b ) ± ( a × c )，因為左右兩式所得到的答案相同，故稱為乘法對加減法的分配律。. 三、多步驟問題多步驟問題是指必須使用三次以上的運算才能解決一個問題，因為有三個以上的運算，所以必須使用不同的符號來表示哪個運算是第一步被執行，哪個運算是第二步被執行，以此類推。. 四、準實驗設計真正的實驗設計應具備隨機分派與隨機抽樣受試者於實驗處理的特徵，可以達到等組的要求，也能對實驗誤差加以控制；但從事教育研究時， 6.

(19) 通常研究者無法進行真正的實驗研究，多數是自然形成的完整團體，如：學校的班級學生所形成的團體，是無法隨機選取或分派受試者的；像這樣運用現有的受試者團體當作研究對象，而非隨機將受試者分派於實驗處理的設計，就是準實驗設計。. 五、S-P 表分析理論 S-P 表(student-problem chart)稱為學生問題表，是由佐藤隆博(Takahiro Sato)於 1975 年提出。根據作答反應資料所得之診斷資料可知學生的學習成效及試題是否恰當，這種方法適用於樣本數小的班級人數之測驗資料分析。. 六、學生診斷分析圖根據 S-P 表分析的結果，教師可以根據學生的注意係數當作橫軸，以學生得分之百分比當作縱軸，繪製學生診斷分析圖。學生診斷分析圖依據學生注意係數將學生的學習情況分為六大類：學習穩定型(A 區)、粗心大意型(A’區)、努力不足型(B 區)、欠缺充分型(B’區)、學力不足型(C 區)與學習異常型(C’區)(余民寧，2000)。. 七、補救教學(remedial instruction) 補救教學是教師發現學生有學習困難之後，診斷出問題所在，藉由適合的教學活動，幫助學生克服學習障礙，達成該階段的學習目標。本研究的補救教學為一對一，並且與個別晤談併行，藉由個別晤談發現學生的迷思，進一步協助學生澄清概念。. 7.

(20) 8.

(21) 第貳章文獻探討本章共分四節，針對研究主題的文獻加以闡述。第一節介紹代數分配律的概念，第二節探討代數分配律的教與學，第三節為多步驟問題之教材分析，第四節說明 S-P 表理論、注意係數與學生診斷分析圖。. 第一節代數分配律的概念一、左分配與右分配國小學生的代數學習包括符號、代數演算、函數關係、變數變換，這些活動都是代數學習的重要內容(陳嘉皇，2007)。「美國數學教師學會」 (National Council of Teachers of Mathematics[NCTM], 2000)指出所有學生都必需要學習代數，其中代數演算是數學教育的重要題材，利用教學的過程，培養學生推理的能力。以臺灣的教育為例，九年一貫課程綱要的數學領域把國小高年級的橫式計算與簡化列為基礎教學，再來國中開始要學習代數演算，當中最關鍵的就是分配律(教育部，2008)。 Usiskin(1999)認為代數是一種語言，此種語言包含四種概念： (1)是種歸納的算術； (2)是種解決特定問題相關程序的研究； (3)是種數量之間關係的研究； (4)是種結構的研究；而 Baek(2008)認為學生使用分配律算則解決問題的過程與進行關係思考是雙向運作的，關係思考可協助學生透過等式兩邊物件運算產生的結果，驗證算則中數字的等值關係，便能更確實去理解分配律的概念，使計算更加流暢，並具有對數字做符號操弄的能力；而當分配律概念已扎根後，藉由分配律算則的模式思考，即可容易地觀察出問題之間的數量關係。綜合上述可知，分配律即是代數語言中的第三種概念─數量之間的關係，又乘法對加法的分配律可以分成左分配與右分配兩種關係，其中乘法 9.

(22) 對加法的右分配是指：「(36+7) × 5 = (36×5) + (7×5)」的分配性質，此部分的單位數不變；而乘法對加法的左分配是指：「14 × (9+8) = (14×9) + (14×8)」的分配性質，此部分的單位量不變。因為乘法對加法的左、右分配律都成立，所以在數學上，乘法對加法具有分配律的關係(蔣治邦、謝堅、陳竹村、林昭珍、吳淑娟，2002)；同理，乘法對減法也具有分配律的性質。分配律的左、右分配關係中，還可以將其細分成正向類型題和逆向類型題，正向類型題為 a × (b ± c) = (a×b) ± (a×c)，即所謂的合到分；逆向類型題為(a×b) ± (a×c) = a × (b ± c)，即所謂的分到合。郭良彥(2006)在國小六年級學生速算能力之研究中發現，學生對逆向類型題比正向類型題來的熟悉，就是分到合對於學生而言較為簡單，例如：9998×225 = (10000－2) × 225 = 100000 × 225－2，顯示學生對分配律中的正向類型題觀念不清，無法正確完成此題如：9998×225 = (10000－2) × 225 = 100000 × 225－2× 225，此部分可與括號學習做連結，亦誤用了括號多餘法則致使分配律的學習產生迷思，需要再多加釐清概念。並非任何一個運算對另一個運算的左、右分配律關係都可以成立，例如「(12+16) ÷ 4 = (12÷4) + (16÷4)」也就是說，除法對加法的右分配律是成立，但是除法對加法的左分配律是不成立的，例如「18 ÷ (3+6)≠(18÷3) + (18÷6)」。因為除法對加法的左、右分配律並非同時成立，所以在數學上，除法對加法不具有分配律的關係(蔣治邦、謝堅、陳竹村、林昭珍、吳淑娟， 2002)；同理，除法對減法也不具有分配律的性質。綜合上述可知，在數學上給定兩個任意的運算符號，如：＊與 Ο，第一個運算「＊」分配給第二個「Ο」，假設對於任意 a、b、c 三個數，會使得 a＊(bΟc) = (a＊b) Ο (a＊c)等式成立，將「×」替換掉「＊」，「±」替換掉「Ο」，則對於任意 a、b、c 三個數，a × (b ± c) = (a×b) ± (a×c)也成立。例如：7 × (3+5) = 56 且(7×3) + (7×5)=56，也就是說 7 × (3+5) = (7×3) + (7×5) ，所以此定律即為左分配；同理，右分配也成立(Columbia Electronic Encyclopedia, 2011)。. 10.

(23) 二、與括號概念有關的用法謝如山(2001)指出括號用於代數運算有以下四種情況： (ㄧ)規範運算的先後順序； (二)結合律的表現； (三)分配律的表現； (四)形成符號改變；其中的第三種用法是以這個符號表示分配律。分配律的意義是不使用括號時，一個數字能分配給其他兩個數字，所產生的兩個數字結果能相加或相減。例如：算式 4 × (6+9) = 4×6 + 4×9，括號的功能是 4 要同時與 6 和 9 相乘。與括號有關的題型有兩個重要的決定因素，一個是括號的位置，另一個是運算符號間的變化。這兩個因素影響了括號法則的關係，然而分配律的題型有六種，當括號置於前兩個數字時，有四種題型均具備分配律的特性，但當括號放於後兩個數字時，就產生錯誤。本研究所探討的題型以乘法的分配律為主，以表 2-1-1 述之。表 2-1-1 分配律運算的括號題型分配律運算的括號題型(反白部分即為本研究的題型的括號題型反白部分即為本研究的題型) 反白部分即為本研究的題型括號題型. 乘法. 除法. (11＋6) × 3 分配律通的題型. (19－7) × 4. (24＋8) ÷ 4. 12 × (5＋3). (15－6) ÷ 3. 68 × (8－2) 35 ÷ (3＋4). 分配律不通的題型. 21 ÷ (9－2) 括號的學習常與分配律的操作技巧做連結，因此學生對括號概念的深入瞭解是有其必要性的，倘若瞭解錯誤，如括號的多餘使用，學生錯用了. 11.

(24) 此法則，誤認為算式 7 × (4＋5)和 7 × 4＋5 是相等的，就等同於對分配律的概念產生迷思，此部分即是本研究在後續將其納入迷思概念之補救教學的原因，故學生在學會分辨各種使用括號的情境之後，才能正確的使用分配律等代數定律。. 第二節代數分配律代數分配律的分配律的教與學ㄧ、代數分配律的教導在數學教材教法(甯平獻主編，2010)ㄧ書中曾提到教師於乘法對加、減法分配律的教學，宜透過適當情境引導學生察覺乘法對加、減法的左、右分配。教師藉由「幾個十幾個ㄧ的幾倍」解題方法的限制，如：27 × 4 = (. )中的被乘數 27 拆成 2 個十 7 個ㄧ，分別計算 2 個十的 4 倍和 7 個ㄧ的. 4 倍後，再求和數，即可得到答案，用這樣的限制方法協助學生具有右分配的隱含經驗，而左分配也可再用上述的方式引導學生具有左分配的隱含經驗，當學生有足夠的「累又十倍及又ㄧ倍」之往上數解題技巧後，才可能在日後的學習中覺察乘法對加、減法的左、右分配；學生若能熟練並活用分配律，將有助於未來數學概念的學習。 Carpenter, Levi, Franke, & Zeringue(2005)則聚焦在觀察題目的關係與表示方法上，不同於以往採用一步驟一步驟地方式計算答案，這種教學模式稱之為關係聯想。以研究兩位中年級的學生，主要在提供許多機會讓學生學會關係聯想，並以分配律的聯想為目標。研究分成 6 個步驟：1.聚焦關係聯想勝過於計算答案、2.等式聯想、3.聯想式思考、4.發展關係聯想、 5.學會使用分配律、6.探索學生如何瞭解分配律，其中的第 6 個步驟，他們呈現一組數字讓學生進行關係聯想：9×4 = (4×4) + (5×4)，學生準確地完成上述問題的聯想，但因為數字量太小，深怕學生是用計算的方式回答問題，故將問題的數字量加大：(7×146) + (8×146) = (k×146)，試問 k 等同於多少？學生回答：「將 7+8 = 15，而 146 有 15 個」，學生已能夠利用關係聯想的方式學會分配律並運用於題目，他們假設學生若有機會繼續去發展用 12.

(25) 聯想式的方式思考，將會減少錯誤，如：(x+y) 2 = x 2 + y 2，有助於將來在正式代數的深究。 Watson(1993)也指出在整數乘法算則中，三大定律有交換律、結合律及分配律，其中尤以分配律的教學較為困難，因為它牽涉到兩種運算─加法和乘法，所以大部分的學生在學習分配律時只是一味地背誦公式，無法真正辨識出分配律可以被使用的時機，而教師使用教科書教學時，也未能找尋到適當的例題去刺激學生發覺分配律的應用機會。故教師須想方設法讓學生學會辨認分配律使用時機與詢問學生如何利用它來進行心算解決問題，才是學習分配律的真諦。. 二、代數分配律的學習臺灣現行數學教材規定五年級學生要能理解乘法對加法的分配律，並應用於簡化心算。因此，數學作業的練習題裡，常出現有關分配律的問題，如：長方體表面積的算則，及加、乘法之應用。陳嘉皇(2010)指出在學習乘法問題解題的過程中，學生若能將分配律加以一般化及驗證，那麼在國中代數的學習上會有較佳的理解；例如：能夠瞭解 34 × 6 = 30×6＋4×6，便能運用相似的推理性質解決代數問題，如：34x = 30x＋4x，以及能解決 34×65 = (30＋4) × (60＋5) = (30×60)＋(30×5)＋(4×60)＋(4×5)，將可利用基礎分配律的知識解決像(a＋b)(c＋d) = ac＋ad＋bc＋bd 之雙重分配律代數問題。 Baek(1998)則指出乘法分配律概念的教學，最基本的是讓學生能對問題中有關聯的數字加以分解與合成，部分學生能把一組數據分解成非十的數字相乘，如：16×5 的組合，將 16 拆成 12+1+1+1+1 的方式再去乘以 5，就可瞭解到學生已能使用分配律解題，甚至於學生一次拆解兩組數字，此即臺灣國中的數學教材所引導的雙重分配律概念，如：26×39 分解成 20×30、20×9、6×30、及 6×9，如此的創意可見得學生不僅學會了基礎分配律，更靈活運用它來解題。. 13.

(26) Vermeulen, Olivier, & Human(1996)也指出學生在學習代數的觀念基本上是有困難的，困難點在於辨識且要能使用它來做組織學習。組織學習包含表面性和系統性，若是能達到系統性地組織學習，對於日後較困難的代數學習會有正向的影響力。所以他們發現學生在體認分配律時須經過許多不同的學習階段，並且為此做了長達 5 年的研究，運用具體的教學策略，結合計算器，讓學生更容易體認出分配律，此研究結果顯示具體的教學策略確實可提升學生察覺出需要使用到分配律情境的比率。. 第三節多步驟問題之教材分析一、九年一貫課程之能力指標九年一貫數學課程綱要之能力指標是將各種學習能力分不同年級階段所設定，為了更加詳細的敘述各年級階段所需具備的能力，便詮釋出更進一步的分年細目。前四項主題的能力指標以三碼編排，其中第一碼表示主題，第二碼表示階段，第三碼則是能力指標的流水號，表示該細項下指標的序號；而分年細目也以三碼編排，第一碼表示年級，第二碼表示主題，第三碼為分年細目的流水號(教育部，2008)。本研究所探究之五年級學生學習多步驟問題的相關能力指標及分年細目如表 2-3-1、表 2-3-2、表 2-3-3 及表 2-3-4 所示：. 14.

(27) 表 2-3-1 多步驟問題的先備知識之能力指標多步驟問題的先備知識之能力指標第二階段能力指標(國小階段能力指標國小三國小三至四年級) 年級數與量 N-2-07 能做整數四則混合運算，理解併式，並解決生活中的問題。代數 A-2-03 能在四則混合計算中，運用數的運算性質。表 2-3-2 多步驟問題的先備知識之分年細目多步驟問題的先備知識之分年細目第二階段分年細目(國小階段分年細目國小四國小四年級) 年級能在具體情境中，解決兩步驟問題，並學習併式的 4-n-04. 4-n-05. N-2-07. 記法與計算。能做整數四則混合計算(兩步驟)。. N-2-07 A-2-03. 4-a-02. 能在四則混合計算中，運用數的運算性質。. N-2-07. 表 2-3-3 多步驟問題之能力指標多步驟問題之能力指標第三階段能力指標(國小五至六年級第三階段能力指標國小五至六年級) 國小五至六年級數與量 N-3-02 能熟練整數四則混合運算，並解決生活中的三步驟問題。代數能在具體情境中，理解乘法對加法的分配律與其他乘除混合計算 A-3-01. 之性質，並運用於簡化計算。. 15.

(28) 表 2-3-4 多步驟問題之分年細目多步驟問題之分年細目第三階段分年細目(國小五年級第三階段分年細目國小五年級) 國小五年級 5-n-02. 能在具體情境中，解決三步驟問題，並能併式計算。. N-3-02 A-3-01. 5-n-03. 能熟練整數四則混合計算。. N-3-02 A-3-01. 能在具體情境中，理解乘法對加法的分配律，並運 N-3-02 5-a-01. 用於簡化計算。. A-3-01. 能在具體情境中，理解先乘再除與先除再乘的結果 5-a-02. 5-a-03. 相同，也理解連除兩數相當於除以此兩數之積。能熟練運用四則運算的性質，做整數四則混合計算。. A-3-01 N-3-02 A-3-01. 以上所呈現之列表包含學習多步驟問題的前置經驗與本研究相關的能力指標，本研究的實驗設計以五年級的能力指標為主，故教學活動即依據五年級的能力指標與分年細目做設計，四年級的能力指標與分年細目在本研究中屬於學生的先備知識，多步驟問題的學習共分成四個概念層次做說明。(詳見表 3-4-1). 二、「多步驟問題」教材的呈現 (ㄧ)多步驟問題的單元重點多步驟問題的單元重點在於學生開始學習用併式方法紀錄問題，教師指導學生用逐次減項的原則做解題紀錄，課程當中已蘊含整數四則運算的基本共識：括號要先算，再來是先乘除後加減，最後才是由最左往最右，多步驟問題的課程意義並不是要求學生寫出完全相同的解題紀錄，而是經由討論的過程，讓學生闡述出自己的做法，只要記法合理符合題意，就可 16.

(29) 以採用，是故幫助學生看得懂別人的解法，也協助將自己的想法讓他人理解，以便於做數學溝通，即是多步驟問題的單元精要(國立編譯館主編， 1993)。. (二)現行教材的分析依據九年一貫課程綱要數學領域之能力指標所編製的多步驟問題之數字量有其限制範圍，分年細目 5-n-01 指出五年級是整數直式計算的總結，應熟練乘法直式計算之算則，評量上不用處理太多位數的大數，只要學生能熟練四位數乘以三位數以內的計算即可；分年細目 5-n-03 也指出數量範圍雖然可以配合年級而擴大，但應避免過度繁雜又重複的練習(教育部，2008)；基於上述的分年細目，是故現行的教材依循著課綱的要求做設計，所撰寫的數字量也侷限在四位數乘以三位數以內，甚至於更小，如此對於本研究所要讓學生觀察數字之關係後並善用分配律算則來解決問題的目的無特別助益，學生僅利用乘法直式算則就可算出答案，便無需對分配律有更多的瞭解。以下表呈現為研究者任教學校所使用之教材的多步驟問題之題目：表 2-3-5 部編版多步驟問題的教材題目使用教材. 題目 75＋75 × 2－75 × 3. 25 × 98. 五年級上學期. (500 + 1) × 14 21 × 29 ＋ 21 註：教材題目僅列出一部分。資料來源：國家教育研究院 (2011)。國民小國民小學數學教師手冊第九冊。臺南：翰林。學數學教師手冊第九冊 17.

(30) 表 2-3-5 中的題目數字量對於國小五年級學生而言明顯過小，以第一個題目為例：75＋75×2－75×3，五年級學生僅運用多步驟的逐次減項之解題原則，將原式 75＋75×2－75×3 逐次減項寫成＝75＋150－225＝225－225 ＝0，便可以輕鬆地算出答案；與引導學生利用分配律概念解題，將原式 75＋75×2－75×3 寫成＝75×(1＋2－3)＝75×0＝0 的過程對照，較無明顯的簡化差異，故現行教材的設計，無法讓學生深刻感受到學會分配律的益處和意義。. 上述內容提供給研究者對於本研究的發想，後續研究者將部編本的教材做修正，自行編寫一個教學活動設計，進行一連串的實驗教學，透過問題情境的安排，指導語的限制，如：僅能使用心算解答，以及數字量的加大，幫助學生學習分配律的概念，達到所預期的效果。. 第四節 S-P 表理論、表理論、注意係數與學生診斷分析圖注意係數與學生診斷分析圖一、S-P 表理論 (一) S-P 表的意義 S-P 表分析法是日本學者佐藤隆博(Takahiro Sato)於 1970 年代所創，利用「圖形化」的方法分析每位學生及每個試題的作答反應組型，試著以幾個指標數據作為診斷或判讀該反應組型是否異常的一種測驗分析方法。更進一步地說明，S-P 表分析係針對每位學生與每個試題的作答反應組型所產生的注意係數，與整份測驗卷的差異係數做分析，注意係數與差異係數這二項指標都是用來協助教師診斷學生表現、試題的品質以及教學成果的重要資訊，也可將這些指標作為改進教學、編製教材及輔導學生之參考(佐藤隆博，1996)。一份測驗不僅在探討其是否屬於優良的試題而已，重要的是提供教師如何利用試題的分析來了解學生的學習問題所在，以便讓教師能提出各種輔導措施，實施更有效的教學。 18.

(31) (二) S-P 表的編製流程教師於任教班級收集一門科目的 N 名學生 n 個試題作答狀況，經過評分後(答對者給 1，答錯者給 0)，會得到一個未經任何處理的 N × n 的原始得分矩陣資料，此稱為 S-P 原始資料表。將原始資料表依照每位學生得分總分高低，由上往下依序排列，如有總分相同時，依照座號順序排列。接下來按照試題答對人數多寡，由左(答對人數最多之試題排在最左邊)到右依序排列，遇有相同得分的試題，依照題號順序排列。最後根據每位學生總分，從左向右數出與總分相同的試題個數，在右邊畫上一條界線，由高分往低分畫出每位學生總分所對應的界線，再將這些界線的下方利用直線連接，則會形成一條曲線，即稱為「S 曲線」；同理，依據每道試題的答對人數，從上往下數出與答對人數相同的學生個數，在下邊畫上一條界線，由左端往右端分別畫出每道試題的答對人數所對應之界線，也會形成一條曲線，即稱為「P 曲線」(Sato, 1974)，如圖 2-4-1。學生 S5 S2 S3 S6 S8 S9 S4 S7. 2 1 1 1 1 1 1. 4 1 1 1 1 1 1. 8 1 1 1 1 1 1. 9 1 1 1 1 1 1. 題目 5 3 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1. 7 1 1 1 0 1 1. 10 1 1 1 1 1 1. 1 1 0 1 1 1 1. 6 總分 1 10 1 9 1 9 1 9 0 9 0 9. 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1. 8 8. S10 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 S1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 答對人數 10 10 10 10 9 8 8 8 6 5. 7 6. 圖 2-4-1 畫出 S 曲線(實線)與 P 曲線(虛線)，重疊部分(粗線). S 曲線是指學生得分的累加分佈曲線，是用來區分學生答對與答錯的分界線。而 P 曲線是指試題答對人數的累加分佈曲線，是用來區分試題答 19.

(32) 對與答錯人數的分界線。排列在 S-P 表左上方者，代表能力較好的學生與較簡單之試題，大多數是被期望答對的試題，所以這個區域應該出現大多數的 1。相反的，在 S-P 表右下方者，應該出現大多數的 0(藤原秀雄，1980)。當 S 曲線以左或 P 曲線以上部分都出現為 1，一般稱這種情況為「完美量尺」(perfect scale)的反應組型，此時可以發現 S 曲線與 P 曲線將會重疊在一起。但實際上這種完美量尺是不太可能出現，大部分的反應組型皆會出現不規則或不尋常之情形。為瞭解這種不尋常或異常的程度，即利用一些量化指標的分析來加以解釋，其中差異係數便是分辨異常程度的一種方式(游森期、余民寧，2006)。. 二、注意係數注意係數(caution index)是 S-P 表針對「個別」學生與試題所使用的另一種數據，可分為學生注意係數(caution index for students，簡稱 CS)與問題注意係數(caution index for items，簡稱 CP)兩種。它是用來作為判斷學生或試題在反應組型中是否有異常現象的指標，教師可利用這些指標來瞭解學生或試題的狀況和問題所在(李敦仁、余民寧，2007)。所謂的注意係數是指 S-P 表中實際反應組型與完美反應組型間的差異，占完美反應組型的最大差異之一種比值，其數學定義可用下列公式來表示(佐藤隆博，1996)：注意係數＝. [實際反應組型與完美反應組型間的差異] [完美反應組型的最大差異]. 最大差異旨在給定此組型的平均值時，最為不規則的狀態，這種定義方法以 S-P 表的邊際次數(即各個學生的總分或試題之答對人數)為基準變量來表示，因此上述公式也可表示如下：注意係數＝. [完美反應組型與基準變量之共變數 ] − [實際反應組型與基準變量之共變數] [完美反應組型與基準變量之共變數 ] − [隨機反應組型與基準變量之共變數]. 20.

(33) 上述[隨機反應組型與基準變量之共變數]一項，在計算時會有差異產生，因此以期望值來表示較為適當，而在此種情況下的期望值為 0。所以上述公式又可表示如下(佐藤隆博，1996)：注意係數＝1－. 實際反應組型與基準變量之共變數完美反應組型與基準變量之共變數. 因此試題與學生注意係數的計算公式分別如下： N. ∑ ( y )( y ) − ( y )(µ ) ij. 第 j 題試題問題注意係數：CPj＝1－. i. j. i =1 yj. ∑ y − ( y )(µ ) i. j. i =1. yij：學生 i 在第 j 題的答題狀況 yi：學生 i 的總分 yj：試題 j 的答對人數 μ：學生平均得分 CPj＝. 試題j對應於P曲線上方答「 0」的學生總分之和 ] - [試題j對應於P曲線下方答「 1」的學生總分之和 ] [試題j在P曲線上方各學生總分之和] - [試題j之答對人數 ] × [學生之平均得分 ]. [. n. ∑ ( y )( y ) − ( y )(µ ' ) ij. 第 i 個學生之學生注意係數：CSi＝1－. j. i. j =1 yi. ∑ y − ( y )(µ ' ) j. i. j =1. yij：學生 i 在第 j 題的答題狀況 yi：學生 i 的總分 yj：試題 j 的答對人數 μ'：試題平均答對人數 CSi＝. 學生i對應於S曲線左方答「0」的試題之答對人數之和] - [學生i對應於S曲線右方答「 1」的試題之答對人數之和] [學生i在S曲線左方各試題之答對人數之和] - [學生i之總分] × [試題之平均答對人數 ]. [. 一般注意係數的值均為正值，當為完美反應組型時，注意係數為 0；當為隨機反應時則會接近 1。有時注意係數的值也有可能大於 1，此時，其反應組型呈現逆轉現象。因此，當注意係數越大時，表示反應組型為不 21.

(34) 尋常或有異常的情況較嚴重；反之，當注意係數越小時，則表示不尋常或有異常的情況較不嚴重，故在容許的誤差範圍內，有下列的判斷標準(余民寧，1997)： (ㄧ)當注意係數(CP 或 CS)介於 0~0.5 之間時，表示該試題或學生的反應組型之不尋常情況並不嚴重，屬於正常程度。 (二)當注意係數在 0.5~0.75 之間時，則顯示不尋常的情況已是嚴重狀況，教師應加以注意。 (三)當注意係數大於 0.75 時，則呈現出不尋常的情況已是非常嚴重，教師應更加特別注意。. 三、學生診斷分析圖依據 S-P 表分析的結果，可據以作為診斷學生學習類型之用，以學生的注意係數當橫軸，學生得分的百分比當縱軸，再根據每名學生的這兩項數據值，將其標示在如圖 2-4-2 所示的座標圖裡。這個座標圖，即是學生診斷分析圖，教師可借助它來說明如何利用測驗分析的訊息，幫助診斷學生的學習狀況及學習類型(Lin & Chen, 2006)。 100﹪ 學生得分百分比. 75﹪. 50﹪. A 學習良好穩定性高 B 學習尚稱穩定，需要再用功一點. A’ 粗心大意，不細心造成錯誤 B’ 偶爾粗心，準備不充分，需要再努力. C 學力不足，學習不夠充分，需要更加努力. C’ 學習極不穩定，具有隨興的讀書習慣，對考試內容沒有充分準備. 0. 0.50 學生注意係數. 圖 2-4-2 學生診斷分析圖 22. 1.00.

(35) 圖 2-4-2 所示的意思是：整個學生診斷分析圖將學生的學習狀況分成六類，即：A、A’、B、B’、C 和 C’，這個學生診斷分析圖可以提供教師診斷個別學生的學習狀況，明瞭他們的學習困難所在，以便作為個別輔導或進行補救教學的參考依據。陳蘊斌、蔡長霖、周崇勤、莊淑鈴與吳彥霖 (2009)指出這六個區域的涵義分別代表六種不同的學習類型，它們的特性可以分別說明如下：. (ㄧ)A 類型→學習穩定型學生凡資料分析結果，學生的特徵落入 A 區者，即表示該學生的學習狀況十分良好，多半是班上程度較好、學習成就較高、測驗表現屬於正常的學生。這類型學生，通常是教師心目中的小老師或一次學習亦可達精熟程度之代表人物。對於這類學生，教師只要予以勉勵，就可維持他們持續的穩定學習。 (二)A’類型→粗心大意型學生凡資料分析結果，學生的特徵落入 A’區者，即表示該學生的學習狀況稍欠穩定，雖然他們仍是班上程度較好的學生，但考試卻常因為粗心大意，而造成ㄧ些不經意的錯誤，值得教師或研究者注意。這類型學生往往過於心急，因此粗心是他們的重要特徵，教師很容易發現即使在簡單的試題上，他們也有可能不細心而答錯。對於這類學生，教師只要提醒他們有如此的狀況，並且叮嚀他們在作答後要仔細檢查才交卷，以矯正其粗心的習慣，便可以促使他們的學習趨於穩定。. (三)B 類型→努力不足型學生凡資料分析結果，學生的特徵落入 B 區者，即表示該學生的學習狀況尚稱良好，只不過不像 A 區者表現那麼好，努力程度較為不足，需要再多用功一點。這類型學生多半是屬於班上中上程度的，由於他們的學習尚稱穩定，但可能因為努力不夠，致使考試成績不如 A 區學生理想。對於這類學生，教師只要提示方向，多給予指導語，鼓勵他們要勤奮努力，便可激 23.

(36) 勵其學習成果漸上層樓。. (四)B’類型→欠缺充分型學生凡資料分析結果，學生的特徵落入 B’區者，即表示該學生的學習準備不夠充分，偶爾也會粗心犯錯，學習漸趨不穩，努力較為不夠，值得教師或研究者注意。這類型學生兼具粗心大意與用功不夠的特性，其作答反應組型逐漸呈現不尋常的情況，值得教師或研究者注意。對於這類學生，教師需要提醒他們留意作答結果，仔細檢查後才交卷，以避免不必要的犯錯；同時，鼓勵他們更加努力用功，多花一點時間準備考試，這些學生也可以逐漸達到穩定的學習狀況。. (五)C 類型→學力不足型學生凡資料分析結果，學生的特徵落入 C 區者，即表示該學生的基本學力不足，學習不夠充分，用功程度也不足，以致於跟不上其他學生而造成學習成就偏低。這類型學生的基本問題，是在於他們過去並沒有奠定良好的基礎或知識背景，即所謂先備知識不足，因此，在後續較高深內容的學習上倍感吃力，需要加倍努力才能趕上其他學生。對於這類學生，教師需要給予他們更充分的時間去學習或準備，甚至需要額外去輔導其不足的基礎常識，並多給一些補充教材的練習機會，這些學生的學習狀況才有逐漸改善的可能；否則，在一般時間壓縮的教學情境下，這類學生的學習機會多半會被犧牲掉，成為學習成就偏低的一群人，如此就容易有習得無助感的心情。. (六)C’類型→學習異常型學生凡資料分析結果，學生的特徵落入 C’區者，則表示該學生的學習極不穩定，具有隨興的讀書習慣，對考試內容沒有充分準備，考試成績時好時壞，作答的反應組型奇特，需要教師或研究者特別予以注意。這類型學生具有隨意的讀書習慣，對考試較不太在乎，也不太去準備，更有可能以作 24.

(37) 弊、盲目猜題、或亂作答的反應方式，來應付考試。對於這類學生，教師宜針對他們進行個別補救教學，讓他們再學習，有時還需要與行政配合，一同進行心理與學業輔導診斷，再決定是否需要重新教學、補救不足的基本學識、或接受更專業的輔助治療，教師對他們的學業輔導總是最費心，但成效卻不見得會如預期來的顯著。教師在根據學生的注意係數進行學習診斷分析時，最好輔以配合日常生活對學生的觀察和記錄，來作綜合性的判讀，才能做更立體性與全面性的解釋。. 25.

(38) 26.

(39) 第參章研究方法與工具本章分為研究架構、研究設計與流程、研究對象、研究工具及資料的分析與處理等五節，以下進行闡述與說明。. 第一節研究架構本實驗教學是採用「準實驗設計」（quasi-experimental designs）。在教學實驗中，礙於行政與教學的考量，無法因為進行實驗研究採取隨機分派受試者而重新編班，僅能就現有的班級做實驗分組，儘可能將完整的受試者團體的實驗誤差予以控制(張稜曄、易正明，2005；張稜曄，2007)，表 3-1-1 為本研究的研究架構表，以「多步驟問題」試卷之前、後測(1)成績和前、後測(1)時間差進行單因子共變數分析和獨立樣本 t 檢定，探究實驗組與控制組的學習成效。表 3-1-1 融入分配律教學的融入分配律教學的實驗研究架構表自變項. 控制變項. 依變項. （教學法）. （中介變項）. （效標變項）. 實驗組─. 起點行為. 融入分配律教學控制組─ 逐次減項教學. 授課時間（五節課）教學單元（多步驟問題）. 「多步驟問題」試卷後測(1). 授課教師. 準實驗設計可以在生活的情境中進行，但是研究者必須明確瞭解有關研究中所不能控制的因素，小心考慮這些變因對實驗效果影響的可能性。因此，本實驗教學的研究設計共分為四個變項：. 一、自變項將研究對象分為實驗組和控制組，兩組學生在學習多步驟問題自編教 27.

(40) 材因分配律教學的融入而有不同成效，兩組的教學方式說明如表 3-1-2。. 表 3-1-2 兩組學生教學方式分析表組別. 實驗組. 控制組. 教學方式. 融入分配律的解題策略教學. 逐次減項教學. 二、共變項「多步驟問題試卷」前測在教學實驗前，為了扣除兩組學生在教學前已具備多步驟問題逐次遞減項的解題能力，擬以「多步驟問題」試卷的前測成績為共變項。得分指標，成績越高，表示學生在多步驟問題的學習成就上越高；反之則越低。. 三、依變項「多步驟問題試卷」後測(1) 在教學實驗後，進行「多步驟問題」試卷後測(1)，以此為得分指標，成績越高，表示學生在多步驟問題的學習成就上越高；反之則越低。. 四、控制變項 (一)教學單元研究者以現行教科書部編版五上「多步驟問題」單元教材為藍本，進行自編教學活動設計，進行實驗教學。. (二)授課教師本研究採取準實驗設計，但在學校行政的考量下，實驗組與控制組的教學者由原班級任教師擔任。實驗組由研究者擔任教學，控制組則由另三位同學年教師擔任。 28.

(41) 共同參與實驗研究的教師與研究者平日互動溝通良好，常互相研討學生問題。為使此次實驗教學公平、合理，四人在研究期間也特別就相關問題討論，茲將四人討論的內容分析如下： 1.教學前：就整個自編教材的課程架構、教學流程、教學內容的設計、練習作業的安排及多步驟問題試卷的方向等進行討論。 2.教學中：就教師教學方式、學生學習問題、學習困難與教學互動中的內容進行溝通。 3.教學後：就兩組學生在練習作業─數學習作上的表現結果，討論教學策略的引導是否需要加強或修正。希望藉由四人的充分討論，讓實驗組與控制組學生對於「多步驟問題」的學習不因分配律的解題策略融入，而造成學習內容上有所差異，影響了試卷後測(1)比較的客觀性。圖 3-1-1 是本研究的架構圖。. 29.

(42) 閱讀有關分配律教學與學習等概念的相關研究及文獻. 實驗教學研究架構自變項組. 實驗組. 融入分配律教學. 別. 控制組. 逐次減項教學. 試卷前測. 2.教學內容. 共變項. 控制變項. 「多步驟問題」. 1.教學者. 「多步驟問題」試卷後測(1) 依變項. 1.探究教學後兩組學生的後測(1)成績是否有差異？ 2.探究教學後兩組學生在處理「多步驟問題」試卷的測驗時間是否會縮短，明顯提升解題的速度？. 將後測(1)成績運用 S-P 表理論做分析，之後再將學生的注意係數當作橫軸，以學生得分的百分比當作縱軸，對照學生診斷分析圖進行類型判定，並隨機篩選學生進行晤談與補救教學，最後施以「多步驟問題」試卷後測 (2)，確認其診斷分析表有所改善，即此分析法適用於研究者的補救教學。圖 3-1-1 研究架構圖. 第二節研究設計與流程本研究的實施程序分為準備階段、實驗教學階段、進行晤談與補救教學階段，最後並施以「多步驟問題」試卷後測(2)，探究其學生診斷分析表的差異之完成階段。實施流程如圖 3-2-1 所示。 30.

(43) 確定研究主題. 確定研究對象整理分配律相關概念教學活動的設計與編寫雙向細目表. 編製多步驟問題試卷. 專家建議. 準備階段. 蒐集並閱讀文獻. 試題預試與相關分析專家審定後確認試題. 實驗組分配律融入教學. 控制組逐次遞減項教學. 多步驟問題試卷後測(1) 資料整理以 S-P 表分析將樣本分學生學習診斷類型個別晤談兼補救教學比較多步驟問題試卷後測(2)收集資料. 比較樣本的學習診斷類型變化撰寫研究報告圖 3-2-1 研究流程圖 31. 完成階段. 以 S-P 表分析將樣本分學生學習診斷類型. 實驗教學階段補救教學階段. 多步驟問題試卷前測.

(44) ㄧ、準備階段 (ㄧ)確定研究主題：蒐集並閱讀相關文獻，擬定研究計劃。 (二)確定研究對象：以研究者任教的學校做樣本取樣，蒐集研究對象的相關資料。 (三)編製研究工具：教學活動的設計、試題編製及相關題目的撰寫。. 二、實驗教學階段 (ㄧ)前測階段：教學前針對實驗組與控制組實施「多步驟問題」試卷前測活動。 (二)教學階段：依教學活動設計進行融入分配律教學的解多步驟問題之單元。（教學活動設計詳見附錄ㄧ） 1.控制組：教師以教學活動設計為內容指導學生學習多步驟問題，引導學生用併式方法紀錄問題，並用逐次減項的原則解決問題，教師盡量呈現多種問題類型的討論，確認學生對於問題紀錄格式或逐次減項的記法沒有產生困難。 2.實驗組：教師以教學活動設計為內容指導學生學習多步驟問題，引導學生用併式方法紀錄問題，並用逐次減項的原則解決問題，教師盡量呈現多種問題類型的討論，確認學生對於問題紀錄格式或逐次減項的記法沒有產生困難。教師於教學過程中，介入了教導學生觀察題目中數字間的關係，題目中若隱含代數分配律的概念，則可配合逐次減項的記法，利用分配律算則進行運算，達到簡化計算過程的目的。 (三)後測(1)階段：教學後針對兩組學生實施「多步驟問題」試卷的後測(1)活動。 32.

(45) 三、補救教學階段 (ㄧ)晤談與補救教學階段：根據實驗組學生的後測(1)成績做 S-P 表分析，再將其注意係數與得分百分比對照學生診斷分析圖，獲得學生對於融入分配律解多步驟問題的數學學習之診斷資料，將學生分類，做為研究者實施晤談與補救教學的參考，晤談過程中透過學生在後測(1) 所產生的錯誤進行澄清教學，導正其錯誤概念。 (二)後測(2)階段：最後則進行後測(2)活動，分析其學生的分配律概念是否已熟習。. 四、完成階段整理文獻資料，分析實驗組與控制組在「多步驟問題」試卷之前、後測(1)的表現，並討論實驗組經過補救教學後的學習成效，形成結論與建議，完成論文。. 第三節研究對象現行國民小學各版本有關多步驟問題的單元，自國小五年級才開始接觸，且在學習多步驟問題的單元前需要有兩步驟問題之前置經驗，故選擇的研究對象以國小五年級學生為主。. ㄧ、預試樣本為使試題符合並貼近測驗的原意，且因研究者所任教之學校班級數不多，故參考專家意見後，多步驟問題試卷的前、後測(1)與後測(2)分別由研究者任教學校之六年級三個班與同為西屯區的某ㄧ所學校之六年級二個班共 143 位學生做為前、後測(1)預試樣本，而後測(2)的施測對象則找臺中市南屯區某ㄧ所學校之六年級三個班共 96 位學生做為預試樣本。施測前也和協助施測的教師詢問過各校的教材使用情況，雖然版本編排不盡相 33.

(46) 同，但教材內容相同，確認各校六年級學生皆已學過多步驟問題與分配律概念，故在試題文字的辨釋與解讀上沒有問題。以表 3-3-1 說明參加試題預試的學校及學生人數的分配。表 3-3-1 預試樣本分析表測驗名稱. 「多步驟問題」試卷. 備註. 參與學校. 任教學校. 西屯區某校. 南屯區某校. 參與班級數. 3個. 2個. 3個. 六年級是指 100 學年度入學. 預試樣本個數. 82 人. 61 人. 96 人. 的學生。. 二、研究樣本本研究以現行數學課程部編版五上第八單元「多步驟問題」為藍本，進行自編教學設計，並以此設計做教學實驗研究；研究樣本以研究者任教之臺中市某國民小學五年級共四個班級的學生作為研究對象，其中 C 班為實驗組，共 30 人，A、B、D 班為控制組，共 80 人，四班共 110 名學生。下表 3-3-2 為研究樣本人數分配表。表 3-3-2 研究樣本人數分析表班別. 組別. 人數. 合計. 五年Ａ班. 實驗組. 30 人. 30 人. 五年 B 班五年 C 班. 26 人 25 人. 控制組. 五年 D 班. 29 人. 34. 80 人.