第四章 列車時刻表穩定性分析
4.1 以 Max-Plus 代數模化列車時刻表
鐵路系統能模化成以max-plus代數描述之離散事件系統(descrete event system),系統由 事件集合 E 與事件之發生時刻限制式所構成。 系統中每個事件 Ei = (Ti, Li, Si), i = 1 · · · |E|
是一個三元有序對, Ti 是事件的類型, 可分為出發、 抵達二種, 而通過事件則視為一個出發事件 和一個抵達事件的組合,其出發時刻等於抵達時刻。 這是因為如果發生延誤時即使是通過的列車 也可能被迫停留在站內, 所以還是把通過分為兩事件為宜, 而且在敘述時也比較簡明。 Li 是事 件對應的列車路線, Si 是事件發生的車站。 對每一個事件Ei ∈ E 定義 xi 是其發生時刻, di 是 時刻表表定的抵達、 出發或通過時刻。 事件與事件的關係則可以用限制式表示。 在 max-plus代 數的架構下, 鐵路運轉的限制可以表示成線性方程組。
不同的鐵路系統有不同的運轉限制, 即使在同一個鐵路系統中, 運轉的限制依不同路段、 運 轉的條件和方式也會不同, 例如在臺鐵系統中有些路段是單線運轉, 有些是雙線運轉, 列車間交 互影響的方式也就不一樣。 以下詳細說明各種限制如何以max-plus代數表示,實際應用時應依 具體情況加以取捨, 甚至略為修正以符合系統特性。
假設 Ei, Ej, Ek∈ E 是系統中的事件:
1. 列車續進限制:若Ei, Ej 是同一列車在相鄰兩站的出發和抵達事件,假設該列車的站間運 轉時間是aji ,則Ei 與Ej 滿足: xj ≥ aji⊗ xi = aji+ xi 。 也就是說 Ej 的發生時刻不 早於Ei 的發生時刻加上站間運轉時間。
2. 列車停站限制:若Ei, Ej 是同一列車在同一站的抵達和出發事件,假設該列車於該站的停 站時間是 aji ,則 Ei 與Ej 滿足: xj ≥ aji⊗ xi 。
3. 出發時隔限制: 若 Ei, Ej 是同一站的出發事件, 且 Ej 是Ei 的下一個出發事件, 假設該 站的最小出發時隔是 aji ,則 Ei 與Ej 滿足: xj ≥ aji⊗ xi 。
4. 進站時隔限制: 若 Ei, Ej 是同一站的抵達事件, 且 Ej 是Ei 的下一個抵達事件, 假設該 站的最小進站時隔是 aji ,則 Ei 與Ej 滿足: xj ≥ aji⊗ xi 。
5. 站內軌道及月台數限制: 如果站內的軌道都有列車使用時, 則下一列車就必須等候有列車 出發後才可以進站。 考慮列車抵達和通過二種情況, 列車抵達時必須有臨月台的軌道可用 方能進站, 而通過的列車只要有軌道可用就可以進站, 因此早抵達的列車的出站時刻會限 制後來列車的到站時刻。 舉例來說, 如果站內只有一軌道, 則列車的進站時刻就不能早於
前一列車的出發時刻加上同股道到開時隔; 若站內有二軌道, 則列車的進站時刻就不能早 於前方第二列車的出發時刻加上同股道到開時隔。 如果前方列車有追越的情況, 那麼該列 車出發後站內還有列車, 可以看成是軌道數減少。 上述限制能以下面的方法表達: 設站內 有 u 個臨月台軌道和 v 個不臨月台軌道, 該站的同股道到開時隔為 a 。 若 Ei 是出發事 件,Ei′ 是 Ei 對應的列車在 Si 的抵達事件,並且在 Si 追越了c列列車,1則
(a) 令Ej 為Ei′ 發生後該站的第 u − c個需停靠月台的抵達事件,則xj ≥ a ⊗ xi 。 (b) 令Ek 為Ei′ 發生後該站的第 u + v − c 個抵達事件, 則xk ≥ a ⊗ xi 。
因為時刻表是給定的, 所以每一站列車的抵達和出發順序也是確定的, 若兩列車預定同時 抵達, 則任選一個次序即可, 不過選擇較早離開之列車先抵達會比較好, 如此可以避免追 越的現象,於是 Ej, Ek 可以唯一確定。 不論是單線或複線運轉的情況,月台和軌道可能只 供其中一個方向使用, 也可能是兩個方向共用。 如果沒有兩方向共用的軌道, 只要把兩個 方向分開處理即可。 若存在共用軌道, 則先將兩方向的限制式都先分別寫下來, 兩個方向 都要把共用的軌道算進軌道數, 然後不考慮方向的問題, 把全部列車和軌道都算進來, 再 寫一次對應的限制式。 因為列車既要滿足兩方向各自的限制, 也要滿足車站內軌道總數的 限制, 所以兩組限制式合起來就描述了有共用軌道的情況。 不過這樣並沒有考慮到站內月 台及軌道配置方式的差異,一個解決的方式是對不同的配置方式給予不同的到開時隔以反 映其影響。
6. 表定時刻限制: 列車的出發時刻不可以早於時刻表上預定的時刻, 所以有 xi ≥ di 。 在沒 有其他限制條件下, 通常鐵路運轉時不會要求列車不可以提早抵達, 因此抵達時刻可以沒 有這項限制。
7. 單線運轉限制: 單線運轉時兩站間的區間一次只能有一列車進入, 下一列車必須等前列車 離開此區間後方能進入。 對某個區間而言, 從給定的時刻表可以知道所有進入此區間之列 車和進入的順序。 假設 Ei 是某列車離開區間的事件, 實際上就是其中一端車站的抵達事 件, 而 Ej 是跟隨 Ei 的下一個進入區間的事件, 也就是其中一端車站的出發事件。 如果 Ei 和 Ej 是同向列車, 那麼令 aji 是號誌作動所需的時間, 若 Ei 和 Ej 是對向列車, 則 令aji 是該站的反向到開時隔, 於是把限制式寫下來就是 xj ≥ aji⊗ xi 。
8. 禁止列車於同一軌道追越: 列車不得在同一軌道上追越其他列車, 這能模化為列車順序的 限制。 如果站間只有一軌道可供同一方向列車使用(例如單線或複線運轉),則先離站的列 車就要先抵達, 於是若在同一車站中 Ej 是 Ei 的下一個出發事件, 且兩出發事件是同一 方向的列車, Ej′ 和Ei′ 為對應的下一站之抵達事件, 就必須滿足 xj′ ≥ xi′ 。 若站間有二 軌道以上可供同方向列車使用時 (例如雙單線運轉或複複線), 列車可以用另一軌道追越
1這裡 「追越」 指的是列車比較晚抵達卻比較早出發的情況,並不限定要同向的列車。
其他列車,就沒有這個限制。
表
4.1:虛擬時刻表
車站\列車 T1 下 T2 上 T3 下 T5 下 T7 下 T8 上
A 7:00 1 7:20 15
7:05 2 8:05 9 7:23 16 8:00 23 8:40 29 9:55 35 B 7:15 3 7:55 10 7:30 17 8:10 24 8:50 30 9:45 36 7:20 4 7:50 11 7:30 18 8:12 25 8:52 31 9:42 37 C 7:30 5 7:40 12 7:37 19 8:22 26 9:02 32 9:32 38 7:40 6 7:35 13 7:37 20 8:25 27 9:05 33 9:30 39 D 7:50 7 7:25 14 7:44 21 8:35 28 9:15 32 9:20 40
7:52 8 7:50 22
接下來考慮系統中的限制式。 首先是列車續行和停站限制, 以列車 T1 為例, 從車站 A 開 始,有以下的限制
x2 ≥ 5 ⊗ x1 x3 ≥ 9 ⊗ x2
x4 ≥ 5 ⊗ x3 x5 ≥ 9 ⊗ x4
x6 ≥ 5 ⊗ x5 x7 ≥ 9 ⊗ x6 x8 ≥ 5 ⊗ x7
其他列車都可以仿照上述的方式將限制式寫出來。 比較特別的是 T3 在車站B 及車站 C不停, 所以在這兩站的停站限制就是
x17 ≥ 0 ⊗ x18 x20≥ 0 ⊗ x19
列車抵達和出發時隔以 A 站為例如下, 左邊是到站時隔, 右邊是離站時隔。
x15 ≥ 2 ⊗ x1 x16≥ 2 ⊗ x2
x35 ≥ 2 ⊗ x9 x23 ≥ 2 ⊗ x16
x29 ≥ 2 ⊗ x23
因為車站 C 到車站D 之間是單線區間, 因此有單線運轉的限制如下: x20 ≥ 2 ⊗ x13 x6 ≥ 1 ⊗ x21
x27 ≥ 1 ⊗ x7 x33≥ 1 ⊗ x28 x40 ≥ 2 ⊗ x34
列車 T2 和 T7 以及 T5 和 T8 有接續關係, 其最小整備時間為20分, 所以列車接續限制是 x29≥ 20 ⊗ x9 x40 ≥ 20 ⊗ x28
接著是車站內月台及軌道數限制, 車站 A、 B 和 D 都沒有兩方向共用軌道, 比較單純。 但車站 C有一個不臨月台的軌道, 要分兩階段來處理。 以車站C為例,首先是下行方向的限制式
x26≥ 1 ⊗ x6 x32≥ 1 ⊗ x27
上行方向則是 x39 ≥ 1 ⊗ x12 。 把全部列車一起考慮時, 列車出發的次序是 T3、 T1、 T2、 T5、 T7、 T8, 不過只有 T3 可以使用不臨月台的軌道, 因此只需考慮 T3 的限制式即可,就是
x26≥ 1 ⊗ x20
至於不能在同一軌道上追越的限制, 仔細寫下來後會發現限制式中的發生時刻變數與列車進站 時隔限制式相同,這表示時刻表中列車順序沒有在站間運轉時改變,也就是沒有列車於站間追越 其他列車, 於是兩種限制式相加後 (⊕) 會等於列車進站時隔之限制式, 故可忽略不計。 最後還 有表定時間的限制, 把所有的限制式寫在一起, 就得到 x = A ⊗ x ⊕ d 型式的方程組, 而30頁
的圖4.1是A 的 precedence graph。 ♦