結果分析與討論

計算結果主要是餘裕矩陣與每個事件的穩定商數, 本節討論這些數據的意義。

時刻表模化後共有₁₁₉₃₂個事件_, 所以餘裕矩陣是一個11932×11932的矩陣 _R, 矩陣中的 每個元素_rij 代表了事件 _Ej 到事件 _Ei 有多少餘裕。 舉例來說_, 如果台北站某列車的出發事件 編號為10, 桃園站的另一列車之抵達事件編號為_20,則矩陣中的 _r20,10 就代表前一個事件到後 一個事件間的餘裕。 換句話說就是前一事件可以延誤 _r20,10 而不影響到後一事件。 如果 _rij 是

∞, 即餘裕為無窮大_, 則表示事件 _Ej 的延誤不會影響到 _Ei 。 若餘裕是負值_, 則表示系統會自 己產生延誤, 該事件就無法準點。 另外值得一提的是_, 如果有在列車在站間追越其他列車或於軌 道數不足的站進行追越等, 則擬反矩陣不存在,² 這個情況下 Jacobi iteration 中不收歛的元可 視為 _∞,於是相對應的餘裕就是 _−∞。 餘裕是負無窮大也就表示時刻表根本無法運行_, 這一點 可以用來找出時刻表中不合理之處。

在₄₃頁的表5.2是一部分的餘裕矩陣。 事件1–5依序分別為南下₂₁₃₃次區間車七堵的出發 事件、 百福的抵達事件、 百福的出發事件、 五堵的出發事件和五堵的抵達事件。 事件_50–55為南 下₁₁次莒光號以及事件_98–102是南下₁₀₄₉次自強號從七堵到五堵的出發與抵達事件。 以表_5.2 的第₁行為例_, 這一行是事件₁的延誤衝擊向量_, 表示事件₁可以發生多少延誤而不影響其他事

2參見34頁的討論。

表

餘裕矩陣示意

rij 1 2 3 4 5 · · · 50 51 52 53 54 55 · · · 1 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 2 30 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 3 30 0 0 ∞ ∞ · · · ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ · · · 4 60 30 30 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 60 30 30 0 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

... ... . .. ...

50 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 51 660 ∞ ∞ ∞ ∞ 0 0 ∞ ∞ ∞ ∞ 52 570 540 540 ∞ ∞ 30 30 0 ∞ ∞ ∞ 53 570 540 540 ∞ ∞ · · · 30 30 0 0 ∞ ∞ · · · 54 540 510 510 480 480 60 60 30 30 0 ∞ 55 540 510 510 480 480 60 60 30 30 0 0

... ... . .. ...

98 1680 ∞ ∞ ∞ ∞ 1020 1020 ∞ ∞ ∞ ∞ 99 1530 1500 1500 ∞ ∞ 990 990 960 ∞ ∞ ∞ 100 1530 1500 1500 ∞ ∞ · · · 990 990 960 990 ∞ ∞ · · · 101 1500 1470 1470 1440 1440 1020 1020 990 990 960 ∞ 102 1500 1470 1470 1440 1440 1020 1020 990 990 960 990

... ... ... . ..

表

事件說明、 穩定商數與容許延誤示意表

事件編號 1 2 3 4 5 50 51 52 53 54 55 98 99 100 101 102

車次 _{2133 11 1049}

車種 區間 莒光 自強

車站 七堵 百福 百福 五堵 五堵 七堵 七堵 百福 百福 五堵 五堵 七堵 百福 百福 五堵 五堵 事件類型 出發 抵達 出發 抵達 出發 抵達 出發 抵達 出發 抵達 出發 出發 抵達 出發 抵達 出發 表定時刻4:33.0 4:36.5 4:37.0 4:40.0 4:40.5 4:43.0 4:46.0 4:50.0 4:50.0 4:52.5 4:52.5 5:05.0 5:08.5 5:08.5 5:11.0 5:11.0 容許延誤 540 510 510 480 480 810 810 780 780 750 750 120 90 150 150 210 穩定商數 8.6 9.1 9.0 9.3 9.2 9.7 9.1 9.7 9.7 10.0 10.0 8.0 8.4 8.4 8.7 8.7 附註_: 餘裕矩陣之單位為秒_, 表_5.3的表定時刻中_.0為₀₀秒_{, .5}為₃₀秒。 容許延誤為在不影響其 他列車的條件下該事件可以發生多少延誤_,單位亦為秒。

件。 例如第₁行的第₅₁個元素是_660,所以₂₁₃₃次區間車如果在七堵延誤超過₆₆₀秒出發就會導 致₁₁次莒光號在七堵出發也隨之延誤。 第₁行的第98個元素為_1680,表示若2133次區間車在七 堵的出發延誤超過₁₆₈₀秒就會導致₁₀₄₉次自強號在七堵出發也延誤。 第₁列是事件₁的延誤敏 感向量_, 表示其他事件可以發生多少延誤而不影響事件₁。 餘裕矩陣的第₁列除了第₁行外都是

∞, 表示其他事件的延誤都不會影響事件_1,這其實是因為事件₁是整個時刻表中最早的事件。

在餘裕矩陣的同一行中找出最小的值, 就可以知道該行對應的事件可以允許多少延誤而不 影響其他事件。 不過實務上更在意的是可以允許多少延誤而不影響其他 「列車」_, 這只要在找最 小值時去除同一列車的那幾列_, 這樣就得到表_5.3最後一列的容許延誤_, 即在不影響其他列車的 條件下該事件可以發生的延誤量。

進一步如果某個事件發生了延誤,就在相對應的那一行中找出餘裕小於延誤量的元素,這些 元素所在的位置就是會被影響的事件。 用這個想法就可以依式_(4.6)計算穩定商數。 從定義_4.8 穩定商數就表示系統當恢復準點的快慢_, 本研究計算時設定初始延誤為₅分鐘_, 於是事件的穩定 商數就是當該事件發生₅分鐘的延誤時系統恢復準點所需的時間除以₅分鐘_,所以從穩定商數可 以看出當該事件發生延誤時對整個系統的影響有多大。 表5.2最後一列列出一部分事件的穩定商 數_, 例如事件₁的穩定商數為_8.6, 表示當事件₁發生₅分鐘的延誤時_, 在沒有運轉整理的情況下 系統要_5×8.6即₄₃分鐘後才會恢復準點。

穩定商數可以作為評估時刻表穩定性的一個指標_, 例如全體事件的穩定商數平均就可以用 來表示時刻表整體的穩定度。³本研究的時刻表全體事件穩定商數平均值為_7.271,也就是說如果 系統隨機發生一個₅分鐘的延誤_, 在沒有運轉整理的情況下平均約₃₆分鐘後系統才能恢復到準 點。 也可以將每個車站的事件分開來看_, 從不同車站的事件穩定商數之差異來找出比較不穩定的 區間。 表5.4是每個車站所有列車穩定商數之平均值, 從表中也可以見到在中間車站的穩定商數 明顯比較高_,靠近基隆和新竹兩端的車站穩定商數比較低_,這是因為在終點站延誤不會傳播到其 他列車_,如果考慮列車的運用時可能就不會是這樣的結果。 從各站穩定商數平均值可以觀察可能 的瓶頸車站,例如桃園站及前幾站的上行部分穩定商數明顯比鶯歌高出許多_,表示桃園站可能是 上行方向的瓶頸。

除了從車站的角度分析_,還可以檢視每一列車的穩定商數最大值_,找出使時刻表不穩定的列 車以謀求改善之道。 例如結果中有不少列車的穩定商數最大值都在₁₂左右_, 這表示發生₅分鐘 的延誤,系統在一小時後才能恢復準點,對於這些列車就可以考慮調整時刻表或事先準備運轉整 理方案以減少延誤傳遞。

實際應用時由於餘裕矩陣十分龐大_,很難逐一去檢視_,本研究建議計算時可以將結果標記於

3如果能知道初始延誤的機率分佈當然更好,就可以用模擬來得到整個時刻表的平均穩定商數的估計值。

表

各車站穩定商數平均值

車站 基隆 三坑 八堵 七堵 百福 五堵 汐止 汐科 南港 松山 下行 7.085 8.025 7.808 8.351 9.027 9.040 9.177 9.911 9.986 9.979 上行 0.131 1.048 1.210 2.266 3.182 3.772 4.543 4.999 5.795 6.409 平均 3.634 4.562 4.509 5.320 6.126 6.425 6.877 7.473 7.906 8.204 車站 台北 萬華 板橋 樹林 山佳 鶯歌 桃園 內壢 中壢 埔心 下行 9.121 8.630 8.248 8.352 8.989 8.991 8.017 7.488 7.167 6.454 上行 7.594 8.358 8.725 9.022 9.210 9.627 10.669 10.908 10.934 10.549 平均 8.360 8.509 8.486 8.687 9.100 9.309 9.343 9.198 9.050 8.502 車站 楊梅 富岡 湖口 新豐 竹北 新貨 新竹 平均

下行 5.734 4.676 3.731 2.741 1.733 0.781 0.213 7.390 上行 9.826 9.799 9.492 9.408 9.369 8.586 7.756 7.151 平均 7.780 7.237 6.612 6.074 5.541 4.663 3.984 7.271

20 20

21 21

22 22 Qidu

Baifu Wudu Xizhi Xike

Nangang Songshan

Taipei Wanhua

Banqiao

Shulin

Shanjia

Yingge

Taoyuan

圖

帶有穩定性標記的運行圖

運行圖上_, 如此一來從運行圖中就能直接得到相關的資訊。 標記的方式可以視需要自行設計_, 以 下是一個例子_, 圖_5.1是七堵到桃園一部分的運行圖, 圖中加上了有關穩定性的標記。 標記顏色 表示容許延誤的多寡_,綠色為₁₀分鐘以上_,黃色為_5-10分鐘_, 橘色是_0-5分鐘_,紅色則為負值_!負 值表示該事件不僅不能延誤_, 還要提早發生才不會影響其他列車_, 這不是很合理_, 可能的原因包 括計算時設定之運轉時隔過小或是排班太緊湊。 標記的大小則表示穩定商數的量_,愈大穩定商數 就高。 從圖中各列車的穩定性可以一目瞭然, 有助於尋找時刻表不穩定之處。