週期時刻表的穩定性分析

本節簡短地討論 _Goverde 如何對週期列車時刻表進行穩定性分析_, 內容是整理自_[20], 符 號的用法均按原始論文_, 並不加以更動_, 而在_[19]中有更詳細的討論。 除了說明理論的內容之外_, 也討論其方法的限制_,以及不能直接應用在臺鐵系統上的理由。

2.3.1

以

線性系統模化列車時刻表

考慮一個週期時刻表(或稱定型化時刻表), 其週期為 _{T ,} 通常是60分鐘。 時刻表中的事件 i = (Ei, Li, Si)是一個三元有序對。_Ei 是事件的類別_,分成出發、 抵達和通過三種_,而抵達和通 過的時刻可以直接從上一個出發時間加上列車運行時間得到_, 所以只要考慮出發事件就可以了。

而_Li 是事件 _i 對應的列車路線_{, Si} 是其發生的車站。

令xi(k) 是事件i第k 週期的實際出發時刻, di(k) 是事件i時刻表中預定的出發時刻。 而 xi(0)和_di(0)分別是事件 _i的第一個週期實際出發時刻和第一個週期表定出發時刻。

事件必須在滿足若干的限制條件後才能發生。 第一個限制條件是列車不可以比表定的時刻 早出發_, 即 _{xi(k) ≥ di(k)} 。 因為是週期時刻表_, 所以可以得到 _{di(k) = di}(0) + k · T , 或是以

max-plus 代數的形式表示為

p 是最大的週期落差_, 又稱為這個系統的階_(order)。 定義回溯算子 (backward-shift operator) γ 使得 γx(k) = x(k − 1), 並且 _γ^lx(k) = x(k − l)。 所以式 _(2.1)可以表示成 刻的限制, 則我們得到以下的齊次線性系統 (homogeneous linear system):

x(k) =

2.3.2 Timed Event Graph

Timed event graph是一種帶有標記_(mark)的有向圖_(digraph), 可用於表示及分析動態 系統。 文中作者將列車時刻表系統以time event graph表示_, 再以圖論演算法進行穩定性分析。

2. 一個 _enabled 的 transition firing 時會移除一個指向它的邊的標記並加入一個標記到由 它出發的邊。

x1(k) ≥ x3(k) ⊗ 28 和表定出發時刻的限制是 _{x1(k) ≥ d1(k)} 。 全部寫在一起並把不等號換成

圖

2.3.3

穩定性分析

文中作者對列車時刻表穩定的定義是_: 列車延誤可以在週期中藉由時刻表中的緩衝而減少_, 並能在有限時間內回到原來的表定時刻上運行。 從上面的定義出發_, 從而有下述二個定理_: Theorem 1. ⁵令_{A(γ) =}^Lp_l=0Alγ^l 是不可約的多項式矩陣_,⁶且 _G(A0) 不包含圈 _(acyclic)。 則_A(γ) 存在唯一的廣義特徵值 (generalized eigenvalue) λ > ε 和有限個特徵向量 _{v > ε} 使 得_A(λ⁻¹) ⊗ v = v ,⁷而且 λ 等於 ^G(A(γ))的最大平均週期 (maximum cycle mean)

η = max

ξ∈C

w(ξ) µ(ξ)

其中的_C 是^G_(A(γ)) 中所有基本圈⁸的集合_{, w(ξ)} 是圈 _ξ 的權重_{, µ(ξ)}是圈_ξ 內標記總數。

Theorem 2. 令 _{A(γ) =} ^Lp_l=0Alγ^l 是多項式矩陣且最大之廣義特徵值為 _λ0 。 則系統_(2.2) 是穩定的若且唯若 _{λ0 < T} 。

第一個定理提示了 _G(A0) 的重要_, 用 timed event graph 的語言來說_, 就是圖中不可以 有沒有標記的圈, 否則有些事件就永遠不會發生。 以列車時刻表的觀點言之就是某些列車無法 發車_, 塞在路上了 _(deadlock)。 換句話說_, 如果時刻表不是週期時刻表時_, 從前面的敘述可知 G(A(γ)) = G(A0)於是這個分析就失效了_,因為這個timed event graph上沒有標記根本不會 運作。

第二個定理則告訴我們, A(γ)的最大廣義特徵值 λ₀ 就是這個時刻表容許的最小週期時間, 所以當_λ0 小於時刻表週期_T 時表示此時刻表有_{T − λ0} 的餘裕時間_,反之則沒有餘裕時間所以 是不穩定的。 再從第一個定理可以知道_,這個_λ0 是G(A(γ))中耗時最多的路徑長度_,也就是完 成一個週期的最小時間。 這也告訴我們這個方法不適於直接用來分析像台鐵這樣的系統,就算我 們用一天(甚至是一個星期)作為一個週期,要完成一個週期所需的最小時間也一定遠小於一天 (或一星期_),而且實務上也很少有列車延誤影響到下一天的運行。 所以如果我們用這個方法來分 析臺鐵的時刻表_,一定會得到穩定的結論 ₍即_{λ0 < T ),} 然而這個結論是沒有什麼用處。

作者還定義了三種穩定度的指標如下_: 1. ρ = λ0/T

2. ∆₁ = T − λ₀ ⁹

3. ∆2 滿足_{(∆2 ⊗ A(T}⁻¹_{)) ⊗ v = v}

5定理的標號是原始論文中的標號。

6也就是相應的timed event graph是強連通的(strongly connected)!

7注意這裡的^λ−1 其實就是−λ, 後面的^T−1亦同,因為在max-plus代數中的指數是通常代數中的乘法。

8基本圈(elementary circuits)是指在圈中每個頂點只經過一次的圈。

9原文中的 ^λ₀ 誤為^λ,據_[19]改正。

2.3.4

可實現的列車時刻表

列車時刻表並不一定都是可以實現的_, 有可能某一個出發事件兩次發生所需的最小時間比 一個週期要大_, 於是這個時刻表就不可能準點。 作者給出了一個可實現的充分必要條件_:

Theorem 4. 一個週期時刻表在系統_(2.2)中是可實現的(realizable) 若且唯若其初始時刻 _d0 滿足_{d0 ≥ A(T}⁻¹_{) ⊗ d0} 。

作者也證明了可實現的時刻表其最大特徵值 _λ0 至多就是 _T 。 也就是說可實現的時刻表除 了λ₀ = T 的情況外是穩定的。

2.3.5

時刻表的穩健度

和恢復矩陣

在這篇文章中_, 作者認為穩健度決定於事件彼此影響的程度 (accessibility) 以及餘裕時間 (slack time) 的多寡。 因此為了討論時刻表的穩健度_, 作者引入了恢復矩陣 _{R = (rij), rij} 是事 件_i 到事件 _j 的恢復時間, 即所有路徑上餘裕時間之最小值, 於是有以下的定理_:

Theorem 6. 若系統_(2.2)是穩定的_, 則

rij = d⁰_i − d⁰_j − [A⁺_T]ij

其中 _A⁺_{T = A}⁺_(T⁻¹_{) = [}^Lp_l=0AlT⁻¹_]⁺ 。

恢復矩陣的行、 列和對角線元素還可以有以下的解釋:

1. 延誤衝擊向量 (delay impact vectors): R 中的第 _j 行是事件 _j 到其他事件的恢復時間_, 所以可以表示事件 _j 延誤造成對其他事件衝擊的程度。

2. 延誤敏感向量 (delay sensitivity vectors): R 中的第 i 列是其他事件到事件 i 的恢復時 間_, 所以是表示事件 _i 對其他事件之延誤的敏感程度。

3. 循環恢復時間 (circulation recovery times): R 中之對角線元素是每個事件循環一次的 恢復時間。

其中的循環恢復時間可以視為是一種穩健度的指標_,和之前所用的穩定度指標來比較_,循環 恢復時間是局部的指標_, 對每一個事件會有不同的值_, 而_λ0、 _ρ 等是時刻表整體的指標。

2.3.6

延誤傳遞

因為每種列車在每個路段的最小運轉時間並不能從時刻表中知道_, 作者採用了二種方式來 計算,第一種是以排定的時刻表時間作為最小運行時間;另外一種方式是把表定運行時間依經驗 折減 _7% 作為最小運行時間。 在上述兩種方式下_,分別算出了平均週期最大的四條列車路徑_, 也 就是餘裕時間最小的列車路徑。

為了知道系統中影響穩定性的最關鍵因素_,作者考慮不同的限制式組合_,來分析每一種限制 式對時刻表穩定性的影響。 結論是取消等候旅客轉乘限制和使用額外的車輛 (也就是放鬆車輛 使用的限制₎ 能有效地增進穩定性_;而減少列車的整備時間和轉乘時間則沒有明顯的效果。

最後作者計算了一個延誤傳遞的例子。 同樣的_,作者也考慮放鬆其中的一些限制式來觀察其 效果。 最後作者表示這個方法可以應用到即時的列車延誤分析上。

2.3.8 Goverde

方法的長處與侷限

Goverde方法最大的優點是其模化能力相當強,許多實務上的限制都可以被納入這個架構。

像是列車與人員的運用、 車輛的連結與分解、 等候旅客轉乘等考慮都可以寫成 _max-plus 代數 的式子。 因此應用時可以根據系統的特性、 資料的詳略及應用目的等考量選擇所需的限制式。 另 外其演算法相當有效率_, 可以在短時間內計算龐大的路網_, 也能作為運轉整理時的輔助。

Goverde 的方法不適用於非週期時刻表, 其理由已於2.3.3節中詳述, 所以不能直接用於臺 灣鐵路系統。 另外一個值得討論的是 _Goverde 的模化只考慮列車的出發時刻_, 因為他假定抵達 和通過時刻就是列車的上一個出發時刻加上固定的站間運轉時間。 但是實務上經常因為各種因 素使得列車在站間運轉時發生延誤_,進而影響到其他列車的站間運轉時間,所以這樣的簡化在分 析延誤傳遞時會有問題。 我們以圖_2.3來說明_, 圖中粗實線表示列車表定的運轉曲線_, 虛線表示 延誤發生時的運轉曲線。 圖_2.3顯示了在車站₂發生列車追越的情形_, 如果先行的慢車發生延誤_, 如圖中的虛線所示_, 於是後方的快車被迫延後進站_, 其站間的運轉時間因延誤而增加_, 所以抵達 和通過的時刻不再是上一個出發時刻加上站間運轉時間。 因為不考慮抵達時刻,所以進站時隔的 要求無法被反映出來_, 於是前方的慢車延誤不會影響快車通過_, 這是不合理的現象。 即使把慢車 運轉時的延誤視為上一站的出發延誤_,問題仍然存在。 如圖中所示_,如果快車的後方還有一慢車_, 在這個情境下延誤不會影響到後方的慢車_,但如果將運轉延誤視為上一站的出發延誤_,那麼就會 使後方的慢車也受到影響。 從上面這個例子可以知道, 還是應該把列車的抵達和通過時刻都考慮 進來_, 才比較符合鐵路系統的實際狀況。