應用 Max-Plus 代數分析鐵路時刻表穩定性

全文

(1)國立交通大學交通運輸研究所碩士論文應用 Max-Plus 代數分析鐵路時刻表穩定性 Applying Max-Plus Algebra to Analyze Stability of Railway Timetables. 研究生: 邱戊吉指導教授: 黃台生老師. 中華民國九十九年六月.

(2)

(3) 應用 Max-Plus 代數分析鐵路時刻表穩定性 Applying Max-Plus Algebra to Analyze Stability of Railway Timetables. 研究生: 邱戊吉. Student: Chiu, Wu-Chi. 指導教授: 黃台生. Advisor: Huang, Tai-Sheng. 國立交通大學交通運輸研究所碩士論文. A Thesis Submitted to Institute of Traffic and Transportation College of Management Science National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Master in Science June 2010 Taipei, Taiwan, Republic of China. 中華民國九十九年六月.

(4) 本論文所引用之各商標及商品名稱分屬其合法註冊公司所有, 絕無侵權之意, 特此聲明。. Some rights reserved. 本著作使用 Creative Commons 「姓名標示-非商業性-相同方式分享」授權條款台灣 3.0 版, 授權您可自由重製、散布、展示及演出本著作及創作衍生著作, 惟需遵照下列條件: • 姓名標示您必須按照作者或授權人所指定的方式, 保留其姓名標示。 • 非商業性您不得為商業目的而使用本著作。 • 相同方式分享若您改變、轉變或改作本著作, 僅在遵守與本著作相同的授權條款下, 您始得散布. 由本著作而生的衍生著作。使用或散布本著作時, 您必須向他人清楚說明本著作所適用的授權條款。如果您取得著作權人之許可, 這些條件中任一項都能被免除。您合理使用的權利及其他的權利, 不因上述內容而受影響。更詳細的授權條款請見附件光碟或 http://www.creativecommons.org.tw 。附件光碟中之程式與程式碼以 GNU General Public License Version 2 授權, 使用前請務必詳閱附件光碟隨附之授權條款以瞭解授權之範圍與限制。本論文全文以 TEX/LATEX/cwTEX 排版製作。.

(5) 應用 Max-Plus 代數分析鐵路時刻表穩定性學生: 邱戊吉. 指導教授: 黃台生. 國立交通大學交通運輸研究所碩士班. 要. 摘. 在列車高度密集的鐵路系統中, 列車的延誤經常會影響到其他列車, 如何防止延誤不斷地擴散是鐵路經營管理的重要課題。時刻表穩定性指的是當延誤發生時系統恢復準點的能力, 分析穩定性有助於延誤的管理。 Max-plus 代數可以用於分析鐵路時刻表穩定性, 但過去這方面的研究都假設時刻表為週期時刻表, 本研究則去除這個假設以應用於非週期時刻表。本研究將鐵路系統模化為 max-plus 線性系統, 證明可運行的時刻表系統可以求解並能計算出餘裕矩陣與穩定商數, 餘裕矩陣和穩定商數可以用於衡量時刻表穩定性。本研究也比較了兩種求解 max-plus 系統的演算法, 分別給出其複雜度。本研究以臺鐵基隆–新竹路段之時刻表為實例進行穩定性分析, 最後指出穩定性分析可以應用於時刻表選擇及調整、運轉整理、設施改善方案評估以及列車服務可靠度分析。. i.

(6) Applying Max-Plus Algebra to Analyze Stability of Railway Timetables Student: Chiu, Wu-Chi. Advisor: Huang, Tai-Sheng. Institute of Traffic and Transportation National Chiao Tung University. Abstract Delay of a train would cause delay of another train in dense railway traffic. How to prevent the spread of delays is an important issue of railway management. In railway systems, stability of railway timetable means the ability of recovery from delays. Stability analysis can help management of delays. Max-plus Algebra can be used to analyze the stability of timetables, but previous researches assumed that the timetable is periodic. This thesis drops the periodicity to make the method can apply to non-periodic timetables. Railway systems can be modeled as max-plus linear systems, and a system of operational timetable can be solved and obtain the slack matrix and stability quotients, which can be used to measure the stability. This thesis describes two algorithms to solving max-plus linear systems and gives the complexity of these algorithms. A case-study of the Taiwan Railway Administration on Keelung–Hsinchu section is implemented. Finally, this method can be used to timetable selection and adjustment, rescheduling, assessment of infrastructure improvement and analysis of reliability.. ii.

(7) 誌謝二年前在各種因緣巧合之下誤打誤撞進到交研所是我始料未及的。然而一路走到現在能夠順利完成學業, 有太多人要感謝。首先要感謝我的指導教授黃教授台生, 不論是課堂上的授業還是論文寫作時的悉心指導, 都令我受益良多。在論文寫作的過程中, 與老師的討論讓我更能把握論文主題, 澄清了許多概念。還有也要感謝老師包容我在排版上的堅持, 我才能拋開 M$ 的難用軟體。感謝二位口試委員王局長國材與賴教授勇成的寶貴意見, 特別要感謝賴老師提示我穩定性分析這個研究主題, 以及幫忙取得許多參考資料。在交研所的這段期間, 謝謝所上所有老師的教導與關心, 也從各位老師的課堂上學到許多。還要感謝所辦洪姐、柳姐與何姐在行政程序上的協助和平日的照顧, 以及班上所有同學的加油打氣。這本論文能夠編排完成要感謝 Donald Knuth, Leslie Lamport 和吳聰敏以及所有參與發展 TEX/LATEX/cwTEX 的人員開發出如此完善的排版系統。我無法想像如果沒有這套系統, 我要花費多少時間與心力排版大量的數學式與交互參照, 還有版面會多麼慘不忍睹。研究過程中, 難免遭遇許多疑難雜症, 從數學問題到電腦當機不一而足, 感謝所有費心幫忙解決困難的朋友們。也要謝謝一路陪伴在我身邊的家人與朋友, 謝謝你們的支持和鼓勵。. 謹以此論文獻給我最摯愛的朋友. 邱戊吉庚寅仲夏謹誌於三峽寓所. iii.

(8)

(9) 目. 錄. 摘要 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·. i. 英文摘要 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ii 誌謝 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · iii 目錄 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · v 表目錄 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · vii 圖目錄 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · vii 符號表 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · viii 第一章緒論 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1 1.1. 研究背景與動機 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·. 1. 1.2. 研究目的與課題 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·. 2. 1.3. 研究範圍與限制 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·. 2. 1.4. 研究架構 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·. 3. 1.5. 研究方法與流程 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·. 3. 第二章文獻回顧 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5 2.1. 鐵路系統穩定性、可靠度和穩健度的相關研究 · · · · · · · · · · ·. 5. 2.2. Max-Plus 代數理論簡介 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·. 6. 2.3. 週期時刻表的穩定性分析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·. 9. 2.4. 臺鐵之相關研究 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 16. 第三章鐵路系統的穩定性 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 19 3.1. 鐵路系統的組成與運轉 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 19. 3.2. 列車時刻表的排班限制 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 20. 3.3. 延誤與餘裕 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 21. 3.4. 列車時刻表的穩定性 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 22 v.

(10) 第四章列車時刻表穩定性分析 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 25 4.1. 以 Max-Plus 代數模化列車時刻表 · · · · · · · · · · · · · · · · · · 25. 4.2. Rnmax 中的序關係 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 29. 4.3. 求解列車時刻表系統 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 32. 4.4. 餘裕矩陣與穩定性指標 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 35. 4.5. 有關演算法的討論 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 36. 4.6. 穩定性方析方法比較 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 38. 第五章實例研究與應用 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 39 5.1. 研究範圍概況 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 39. 5.2. 模化與計算 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 39. 5.3. 結果分析與討論 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 42. 5.4. 穩定性分析之應用 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 46. 第六章結論與建議 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 47 6.1. 結論 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 47. 6.2. 後續研究建議 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 47. 參考文獻 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 49 索引 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 53 附件 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 54. vi.

(11) 表. 目. 錄. 表 4.1. 虛擬時刻表 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 28. 表 5.1. 臺鐵基隆–新竹段各車站軌道數資料 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 40. 表 5.2. 餘裕矩陣示意· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 43. 表 5.3. 事件說明、穩定商數與容許延誤示意表 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 43. 表 5.4. 各車站穩定商數平均值 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 45. 圖. 目. 錄. 圖 1.1. 研究架構 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·. 3. 圖 1.2. 研究流程 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·. 4. 圖 2.1. 範例路網示意圖 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11. 圖 2.2. Timed event graph · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12. 圖 2.3. 列車追越時產生的問題 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 17. 圖 3.1. 穩定平衡與不穩定平衡示意圖 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 22. 圖 4.1. 虛擬時刻表之 precedence graph · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 30. 圖 5.1. 帶有穩定性標記的運行圖 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 45. vii.

(12) 符號表以下列出本論文所使用之符號及簡短的解釋, 各符號定義之細節請參閱內文。另外在文獻回顧時, 符號均依照原始論文的用法, 可能與本列表有所不同。 ⊕ ⊗. Max-plus 代數的運算, 定. e. Max-plus 代數之單位元. 義為 a ⊕ b = max(a, b). E. 時刻表系統所有事件的集合. Max-plus 代數的運算, 定. Ei. 時刻表系統的事件. ε. Max-plus 代數的零元. E , En. Max-plus 代數的零矩陣. G(A). A 的 precedence graph. I, In. Max-plus 代數的單位矩陣. i, j, k. 區別不同事件之下標. 義為 a ⊗ b = a + b aij. Max-plus 代數矩陣的元. A. Max-plus 代數矩陣, 也表. 示時刻表系統 A+ ∗. def. = lim A ⊕ A2 ⊕ · · · ⊕ Ak k→∞. A. A 的擬反矩陣. Ak. A 的 k 次方. A. def. AT. 矩陣 A 的轉置. b, y. Rnmax 的向量. di. 事件的表定時刻. d. 時刻表向量. δi. 事件 Ei 的延誤量. ∆. def. (k). 2. Mn (Rmax ) Max-plus 矩陣集 k. = I ⊕A ⊕A ⊕···⊕A. = [δ1 ⊗ d1 , · · · , δn ⊗ dn ]T. viii. N. 自然數集. O(n) 等. Big O 記號, 見[14]. rij. 餘裕矩陣的元. R. 餘裕矩陣. R. 實數集. S. 定義為 sij = dj − di + aij. xi. 事件的發生時刻. x. 發生時刻向量.

(13) 第一章 1.1. 緒論. 研究背景與動機. 現代化的軌道運輸以其安全、準時、高運量等特性, 在許多城市及地區擔負起主要大眾運具的角色。在臺灣, 高鐵已經是西部地區南來北往的大動脈; 臺鐵除了是東部地區最重要的交通工具之一, 在西部都會區也正朝捷運化的方向轉型; 而臺北及高雄的捷運系統讓都市內交通更加方便; 機場捷運和臺中捷運也將在幾年後加入營運的行列。可以說, 軌道運輸在臺灣運輸系統中之角色將會愈加重要。時刻表編製是軌道營運中相當重要的一環, 時刻表有以下的功能[22]: 1. 使設施設備達到最佳運用。 2. 讓列車運轉行為可以預測。 3. 提供旅客列車到發資訊。 4. 作為行車控制、車輛人員排班的依據。. 當軌道運轉系統車次密集時, 列車在路線上發生衝突的機會也就增加; 旅客量多的時候列車也容易因等候旅客上下車而產生延誤。在列車密集的軌道運轉系統裡, 可謂是牽一髮而動全身。基於安全的考量, 列車的運轉控制有閉塞區間、最小時隔、速限等諸多方式, 因此任何延誤都有可能造成許多其他列車也隨之延誤。一旦列車延誤相當嚴重時, 這個時刻表就無法達成前述的功能, 營運者無法預測列車的運轉, 旅客也無從得知正確的發車資訊。要防止列車延誤不斷地擴大, 解決之道可能是增加路線容量或改善時刻表的排點。但是前者要投入相當多的資源以建置基礎設施或增備車輛人員, 相較之下改善時刻表就成了比較經濟迅速的作法。因此編製一個「穩定」的時刻表非常重要。「穩定」依 Goverde 的定義是指: 當軌道運輸系統中發生有限的延誤後, 能夠在有限的時間內回復到準點狀態[20]。當然如果愈快回復到準點, 就可以認為這個系統愈穩定。而準點是指列車的發車時間或到達時間與時刻表所定的時間相同, 因此在不考慮其他使列車誤點的因素時, 穩定的時刻表就是一個使軌道運輸系統列車運行穩定的時刻表。如何知道一個時刻表穩不穩定呢? 直覺上來看, 如果在排點時給每一列車預留比較多的餘裕時間, 那麼這個時刻表就比較穩定。或者換個角度來看, 路線容量的利用率低, 則這個時刻表比較穩定。臺灣在這方面的研究比較少, 周學怡以模擬的方法來分析臺鐵列車運行可靠性[1], 不過這篇研究中是分析列車數少與路線容量低的南迴線, 雖然該研究的計算中將列車數增加到容量上 1.

(14) 限, 但是作者並沒有進行演算法複雜度分析, 如果用到西部幹線上則不知能否在短時間內模擬龐大的可能狀況。穩定性與容量的關係歐洲學者做了不少研究, Mattsson 對相關的成果做了一份整理[25], 大部分研究用的方法主要有解析模式和微觀模擬兩種。 De Kort 研究荷蘭的一段高速鐵路, 在給定可靠度要求(reliability requirement) 下, 以隨機 max-plus 方法計算出路段的容量[15]。不過因為例子的規模比較小, 列車也不像臺鐵一般有複雜的組成, 要直接應用於臺灣的鐵路比較難。 Vromans 則考慮異質的(heterogeneous) 列車組成, 定義了兩種列車同質性 (homogeneity) 的指標, 並利用模擬得到同質性指標愈高則鐵路系統愈可靠的結論[31]。 Salido. 也定義了幾種指標用於比較時刻表的穩健度(roboustness), 不過這些指標都是以直觀的想法定義, 比較缺乏實證支持[30]。 Delorme 則是用最短路徑的方法來分析一個站內列車延誤時造成的影響, 是一種局部的穩定性分析[16, 17]。 Goverde 則以 max-plus 代數來分析列車時刻表的穩定性[19, 20], 上述幾篇文獻中最令人感興趣的是 Goverde 的作法。 Goverde 把鐵路系統以 max-plus 代數模化成一個線性系統來求解, 進而得到一系列與列車穩定性有關的指標, 似乎還沒有見過這套方法應用在國內的軌道研究。不過 Goverde 的方法還是有些不足之處, 主要的問題是該研究中假設時刻表是週期時刻表(periodic timetable, 或譯為定型化時刻表), 然而傳統鐵路常以一天以上的週期排班, 延誤要影響到下一個週期的機會不大, 因此在這個假設下的分析結果有其運用上的侷限。基於上述的問題, 本研究希望在前人文獻的基礎上進一步發展, 以 max-plus 代數建立一個能應用於臺灣鐵路系統的時刻表穩定性分析方法。. 1.2. 研究目的與課題. 本研究之目的是在 Goverde 的研究成果之上, 以 max-plus 代數建立一個能應用於臺灣鐵路系統的時刻表穩定性分析方法。具體的研究課題如下: 1. 了解鐵路運轉原理。 2. 回顧列車時刻表穩定性與 max-plus 代數的相關研究, 了解以 max-plus 代數分析列車時. 刻表穩定性的基本原理。 3. 建立一套適用於臺灣列車時刻表穩定性分析之方法。 4. 以臺鐵系統為例, 分析時刻表穩定性之狀況及相關特性, 並提出相關的應用。. 1.3. 研究範圍與限制. 本研究擬以傳統鐵路系統為研究對象, 也將以臺鐵基隆—新竹路段為實例進行列車時刻表 2.

(15) 的穩定性分析, 因為臺鐵的系統較為完整, 其軌道與月台配置、列車組成、行車控制方式均較捷運與高鐵多樣完整, 研究結果代表性較高, 也可以應用到捷運和高鐵。從相關資料中可知鐵路系統大部分的延誤並不大,1 而且運轉整理也不在本研究的範圍之內, 因此本研究假定延誤量均不大所以不用進行運轉整理, 也就是說不改變列車運行的順序。. 1.4. 研究架構. 本研究的架構如圖 1.1 所示, 其核心為列車運行模式之模化和時刻表穩定性分析。列車運行必須依據鐵路列車的運行限制和編製完成之時刻表來模化, 建構列車運行模式和穩定性分析的方法以 max-plus 代數為基礎, 利用 max-plus 線性系統來模化列車的運行, 並藉由求解該線性系統來分析列車時刻表的穩定性, 進一步可以分析列車延誤事件對鐵路系統的影響。. Max-Plus 代數. 列車運行限制. Max-Plus 線性系統. 模化列車時刻表. 求解 Max-Plus 系統. 時刻表穩定性分析. 列車時刻表. 列車延誤. 穩定性分析之應用. 圖 1.1: 研究架構. 1.5. 研究方法與流程. 本研究以 max-plus 代數理論建立鐵路列車時刻表的穩定性分析方法。研究的工作從蒐集的相關資料和文獻開始, 了解鐵路系統的運轉規則, 儘量使模化結果可以反應實際狀況。另一方面則要探討 max-plus 代數理論, 並了解如何以 max-plus 理論模化列車時刻表。在資料與理論的基礎上, 將以 max-plus 代數理論發展一套適用於傳統鐵路系統的穩定性分析方法。並從臺鐵的資料中決定實作時要考慮的項目及限制, 然後撰寫程式實作此方法。利用 1. 例如參見[5]第20 頁以下的表格, 不過從中也可以看出臺鐵延誤的發生頻率有多麼頻繁。. 3.

(16) 該程式以現有的資料進行臺鐵時刻表之穩定性分析, 並提出穩定性分析的應用方向。最後是本研究的結論和後續研究之建議。本研究的流程可以用圖 1.2 表示。. 發展鐵路時刻表之穩定性分析理論蒐集整理臺鐵的列車運轉和時刻表資料. 撰寫穩定性分析程式. 決定模化應包含的內容與限制. 以臺鐵資料進行時刻表穩定性分析. 以 max-plus 理論模化鐵路列車時刻表. 結果討論及應用. 探討 max-plus 理論及其應用於鐵路系統之原理. 結論與建議. 圖 1.2: 研究流程. 4.

(17) 第二章 2.1. 文獻回顧. 鐵路系統穩定性、可靠度和穩健度的相關研究. 在這一節中將回顧鐵路系統穩定性、可靠度和穩健度的相關研究, 三個概念雖然有所不同, 但是也有許多類似的地方, 所以在此一併討論。許多成果都是歐洲學者的研究, Mattsson 整理了一些相關成果, 指出列車穩定性的研究方法主要有解析模式和微觀模擬兩種[25]。在相關研究中, 每個作者用語並不一致, 常見的用語有 stability、 robustness、 reliability 等, 但是即使用同樣的字彙, 但是其中的概念卻不一定相同。例如 reliability 也常用於路網的的可靠度, 指的是當路網在路線中斷時保持運能的程度。需要指出的是本文中的穩定性為鐵路系統在發生延誤時回復準點之能力或可能性, 而回顧文獻時則保持原作者的用語。用模擬來研究鐵路系統已經發展相當長的一段時間, 也有不少鐵路系統模擬的商業軟體。例如 Simone 就是一個可以用來分析列車時刻表穩定性的軟體, 在輸入路網和時刻表及初始延誤等參數後, 它能以模擬的方法計算延誤傳播的狀況[27]。用不同的初始延誤重覆模擬程序, 統計結果後就能得到鐵路系統的準點率, 準點率可以作為穩定性的一個指標。國內周學怡之研究也是用模擬來探討列車運行的可靠性, 這篇文章中作者模擬了列車的跟車、錯車、會車和低級列車等候高級列車等規則。在假設列車延誤的分佈下, 作者進行了100 次模擬, 也是統計準點率來分析時刻表的可靠性[1]。這篇研究中的例子是分析列車數少的南迴線, 即使作者考慮到南迴線列車數極少, 以各車種同比例增加的方式將路線利用率調整成100%, 雙向合計仍只有 78 列車。且作者並沒有對其演算法進行複雜度分析, 如果用到西部幹線上不知道能否在合理時間內模擬龐大的運行系統。 Vromans 則考慮異質的 (heterogeneous) 列車組成, 以模擬的方式分析減少不同車種間速. 度差的效果, 定義了兩種列車同質性 (homogeneity) 的指標, 分別是每個站列車的「最小出發間隔時間倒數和」以「及最小抵達間隔時間倒數和」, 這兩個值愈大就表示列車的班距愈小。最後作者利用模擬列車運行得到同質性指標愈高則鐵路系統愈可靠的結論[31]。除了模擬之外, 另外一類是以解析方法來分析鐵路系統的穩定性, 方法有圖論(graph theory)、等候理論 (queuing theory)、 max-plus 代數、統計分析與隨機最佳化 (stochastic optimization) 等幾類。 Delorme 用最短路徑的方法來分析一個站內列車延誤時造成的影響, 是一種局部的穩定性. 分析[16, 17]。文章標題中的 “at station level” 意思是指穩定度分析在一個局部的範圍來進行 5.

(18) 的, 而不是考慮整體的路網。所謂的局部是指在一個車站裡, 從站內配線、號誌轉轍器連鎖、列車行駛路線等可以知道列車間是不是有可能發生衝突(conflict), 然後求出這個衝突會在前車延誤多少時間後才會發生。於是可以在一個站內構造一個圖來表示列車間的關係, 這個圖的頂點是列車, 兩個頂點間存在一有向邊則表示它們可能會有衝突, 邊上的權重代表前列車可以容許的最大延誤, 當延誤超過這個值就會發生衝突。於是用這個圖就可以來計算當某個列車發生了延誤時, 會如何影響到其他的列車。計算的方法當然是在圖中找最短路徑。 Huisman 考慮在一段軌道上有不同速度之列車要競爭軌道的使用權, 列車的抵達是一個. 隨機過程, 在軌道上的運行時間也是一個機率分布。給定相關的機率分布後計算列車延誤期望值[24]。作者在不同的假設下給出運行時間的解, 可以用來分析鐵路系統在不同的列車數、異質性(即速度組成)、初始延誤、列車順序和緩衝時間對列車延誤的影響。 De Kort 研究荷蘭的一段約 100 公里高速鐵路[15], 這一段鐵路中有三個長隧道, 最長的一. 個長達7 公里。雖然隧道都是雙線的, 但是為了安全的考量, 不允許隧道中同時有兩列車。在給定可靠度要求 (reliability requirement) 下, 作者建立了一個隨機 max-plus 方法來計算出該路段的容量。而文中的可靠度要求大概可以解釋成準點率。不過因為例子的規模比較小, 作者不考慮場站的影響, 列車也不像臺鐵一般有複雜的組成, 要應用於臺灣的鐵路比較難。 Goverde 以 max-plus 代數方法研究列車的穩定性[19, 20], 也是本研究主要參考的對象,. 內容會在 2.3 節詳述。. 2.2. Max-Plus 代數理論簡介. Max-plus 代數是 dioid 的一種特例[18], 它的發展是來自於1960 年代之圖論研究, 當時是. 為了解決圖中的路徑尋找問題。而 Baccelli et al. 在 1993 年的經典著作中則闡述了離散動態系統和 max-plus 代數系統的關係, 是 max-plus 代數的一個重要應用方向[13]。另一個應用方向是求解 Hamilton-Jacobi-Bellman 偏微分方程(HJB PDEs), 這類型的 PDE 可用於描述一些非線性控制系統[26], 這與本研究之主題較不相干, 因此就不詳述了。本節將簡介 max-plus 代數理論的基礎, 內容主要整理自[18]和[19]。定義 2.1 (Max-Plus 代數). 定義 max-plus 代數 Rmax = (R ∪ {−∞}, ⊕, ⊗) 是在集合 R ∪ {−∞} 上定義兩個運算: a ⊕ b = max(a, b), a ⊗ b = a + b 所構成的代數結構。1. k. 定義 2.2 (Rmax 的單位元和零元). 定義 Rmax 的零元(zero element) ε = −∞ 及單位元 (identity) e = 0 。. k. 1. 這個名詞其實會引起一些誤會, 因為這個結構並不是代數理論中的「代數(algebra)」! 而是半體 (semifield)。只是文獻中已經普遍如此稱呼, 本論文也只好跟著用了, 有關的細節可以見[18]。. 6.

(19) 定義 2.3 (Rmax 上的指數). 若 a ∈ Rmax , k ∈ N, 定義 ak = |a ⊗ ·{z · · ⊗ a} 。 k 次. k. Max-plus 代數具有許多與實數運算相同的性質, 但也有些性質和實數系大不相同, 這些性. 質都可以簡單地由定義導出, 下面不加證明地列舉一些有用的性質。首先是一些和實數系相同的性質: 性質 2.1. a, b, c ∈ Rmax , 則 1. a ⊕ (b ⊕ c) = (a ⊕ b) ⊕ c, 2. a ⊕ b = b ⊕ a,. a ⊗ (b ⊗ c) = (a ⊗ b) ⊗ c (結合律). a⊗b= b⊗a. (交換律). 3. a ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c) (分配律) 4. ε ⊕ a = a ⊕ ε = a 5. e ⊗ a = a ⊗ e = a. 以下這些則是實數系沒有的: 性質 2.2. a, b ∈ Rmax , k ∈ N, 則 1. a ⊕ a = a. (Idempotency)2. 2. a ⊗ ε = ε ⊗ a = ε 3. a ⊕ b ≥ a, a ⊕ b ≥ b 4. (a ⊕ b)k = ak ⊕ bk. 我們也可以在 Rmax 上進行矩陣的運算。定義 2.4 (Max-Plus 代數上的矩陣運算). 以下的矩陣每個元均為 Rmax 中的元素: 1. 若 A = (aij ), B = (bij ) 均為 m × n 矩陣, 定義 A ⊕ B 為 m × n 矩陣, 其元素為 [A ⊕ B]ij = aij ⊕ bij = max(aij , bij ) 2. 若 A = (aij ) 為 m × l 矩陣, B = (bij ) 為 l × n 矩陣, 定義 A ⊗ B 為 m × n 矩陣, 其. 元素為 [A ⊗ B]ij =. l M. aik ⊗ bkj = max {aik + bkj } k=1,...,l. k=1. 3. 記 Mn (Rmax ) 為所有 n × n 矩陣構成的集合。 2. 這個性質在理論上有舉足輕重的地位, 也是 dioid 與其他代數結構最不一樣之處, 進一步可參閱[13]、 [18]。. 7.

(20) 4. 定義 En ∈ Mn (Rmax ) 是 ⊕ 的單位元, 即 ∀A ∈ Mn (Rmax ), A ⊕ En = En ⊕ A = A , 以. 及 In ∈ Mn (Rmax ) 是 ⊗ 的單位元, 即 ∀A ∈ Mn (Rmax ), A ⊗ In = In ⊗ A = A 。用矩陣寫下來就是 . ε ···   .. . . En =  . .  ε ···. . ε  ..  . ,  ε. .    In =    . e ε ··· ε ε .. .. e ··· .. . . . .. ε .. .. ε ε ··· e. 當矩陣的維度不重要或清楚不致誤解時, 下標 n 則省略。.        . 5. 若 A ∈ Mn (Rmax ), k ∈ N, 定義 Ak = A . . ⊗ A} 和 A(k) = I ⊕ A ⊕ A2 ⊕ . . . ⊕ Ak , | ⊗ .{z k. 0. (0). 另外定義 A = A. 次. = In. 6. 對於 A ∈ Mn (Rmax ) 如果. L∞. l l=1 A. +. A =. ∞ M. = A ⊕ A2 ⊕ A3 ⊕ · · · 收歛, 定義 Al = A ⊕ A2 ⊕ A3 ⊕ · · ·. l=1. 如果上式的右邊不收歛, 則 A+ 沒有意義。. k. 以下討論 max-plus 代數結構在圖論中的意義, 下面兩個定義描述圖和矩陣要如何對應。定義 2.5 (相鄰矩陣). G 為一個有 n 個頂點的簡單有向圖(simple directed graph), 每個頂點對應一個從 1 到 n 的編號, 且每個邊都給定一個權重。那麼 G 的相鄰矩陣 (adjacency matrix) A ∈ Mn (Rmax ) 定義為 [A]ij = aij = 從頂點 i 到頂點 j 的邊之權重, 如果沒有邊從 i 到 j 則 aij = ε 。另外定義 aii = e 。. k. 定義 2.6 (A 的 Precedence graph3 ). A = (aij ) ∈ Mn (Rmax ), 定義 A 的 Precedence graph G(A) 為有 n 個頂點的簡單有向圖, 每個頂點對應於一個從 1 到 n 的編號。若 aij 6= ε, 則從編. 號 j 的頂點到編號 i 的頂點有一個邊權重為 aij 。. k. 以下的定理說明了 max-plus 代數與最長路徑問題的關係。定理 2.1. G 是有 n 個頂點的簡單有向圖, A 是其相鄰矩陣, 則 1. 對任意的正整數 k, [Ak ]ij 是所有從頂點 j 到頂點 i 恰包含 k 個邊的路徑中, 每邊權重. 總和最大的路徑之權重和。如果 j 到 i 沒有滿足條件的路徑, 則 [Ak ]ij = ε 。 2. 若 A+ 存在, 則 [A+ ]ij 是從頂點 j 到頂點 i 的所有路徑中, 每邊權重總和最大的路徑之. 權重和。如果 j 到 i 沒有路徑, 則 [A+ ]ij = ε 。 3. 不同文獻有不同用語, 例如 underlying graph, associated graph of A 。. 8.

(21) 證明. 第一個部分敘述以數學歸納法證之。當 k = 1 時, 從 A 的定義 aij 就是連接 j 到 i 的邊之權重, 因為 G 是簡單圖, j 到 i 最多只有一條邊, 所以敘述自然成立。設 k = k ′ > 1 且 k ′ < n 時敘述成立。當 k = k ′ + 1, 我們知道 n M ′ ′ k ′ +1 k′ [Ak ]il ⊗ alj = max {[Ak ]il + alj } [A ]ij = [A ⊗ A]ij = l=1...n. l=1. ′. ′. 若 [Ak ]il 6= ε , 從歸納假設知 [Ak ]il 就是從 l 到 i 恰含 k ′ 條邊路徑中權重和最大值, 所有從 j 到 ′. i 恰含 k ′ +1 條邊的路徑可以分成前 k ′ 條邊和最後一條邊兩部分, 因此 maxl=1...n {[Ak ]il +alj }. 就是從頂點 j 到頂點 i 恰包含 k ′ + 1 個邊的路徑中, 每邊權重總和最大的路徑之權重和。在此 ′. 如果 alj = ε, 則 maxl=1...n {[Ak ]il + alj } = ε, 也就是說如果沒有從 j 到 l 的邊, 就沒有從 j 到 ′. ′. l 再經過 k ′ 條邊連接到 i 的路徑。若 [Ak ]il = ε , 則同樣有 maxl=1...n {[Ak ]il + alj } = ε 。綜. 合以上討論知道對 k = k ′ + 1 敘述也成立, 於是由數學歸納法原理可以知道敘述對所有 k ∈ N 成立。第二個部分是第一部分的直接推論, 由 A+ 的定義知 [A+ ]ij = aij ⊕ [A2 ]ij ⊕ [A3 ]ij ⊕ · · · , 這就是從 j 到 i 不論包含多少邊的路徑中權重和最大之值。. . 在前面的定理中, 若把權重解釋為長度, 那麼 A+ 的元就代表了最長路徑的長度。為了簡化敘述起見, 在後文中的權重就直接以長度稱之。. 2.3. 週期時刻表的穩定性分析. 本節簡短地討論 Goverde 如何對週期列車時刻表進行穩定性分析, 內容是整理自[20], 符號的用法均按原始論文, 並不加以更動, 而在[19]中有更詳細的討論。除了說明理論的內容之外, 也討論其方法的限制, 以及不能直接應用在臺鐵系統上的理由。. 2.3.1. 以 Max-Plus 線性系統模化列車時刻表. 考慮一個週期時刻表(或稱定型化時刻表), 其週期為 T , 通常是 60 分鐘。時刻表中的事件 i = (Ei , Li , Si ) 是一個三元有序對。 Ei 是事件的類別, 分成出發、抵達和通過三種, 而抵達和通. 過的時刻可以直接從上一個出發時間加上列車運行時間得到, 所以只要考慮出發事件就可以了。而 Li 是事件 i 對應的列車路線, Si 是其發生的車站。令 xi (k) 是事件 i 第 k 週期的實際出發時刻, di(k) 是事件 i 時刻表中預定的出發時刻。而 xi (0) 和 di (0) 分別是事件 i 的第一個週期實際出發時刻和第一個週期表定出發時刻。. 事件必須在滿足若干的限制條件後才能發生。第一個限制條件是列車不可以比表定的時刻早出發, 即 xi (k) ≥ di(k) 。因為是週期時刻表, 所以可以得到 di (k) = di (0) + k · T , 或是以 9.

(22) max-plus 代數的形式表示為 di (k) = di (0) ⊗ T k. 其次是列車出發的時刻應大於上一站出發加上站間運轉時間及站內停等時間, 若事件 i 和 j 是同一路線 (即 Li = Lj ) 中, 相鄰二站的出發事件, j 在 i 的前一站, 令 aij 是事件 j 於前一站的出發時刻加上站內停等時間, 所以這個限制就是 xi (k) ≥ aij + xj (k − µij ), 或寫成 xi (k) ≥ aij ⊗ xj (k − µij ). 其中的 µij 指週期落差 (period delay), 用以表示若上一個出發時刻和這一個出發時刻不在同一週期發生時, 兩個時刻相隔多少週期,4 其求法為 aij + dj (0) − di (0) µij = T 兩出發時刻在同一週期時則 µij = 0 。其他例如列車交會、待避、轉乘接駁、車輛連結和分解、行車最小時隔等都可以仿照上面的方式把限制式寫下來。如果假設列車在滿足上述所有條件後立即開車, 把所有的限制寫在一起就是 xi (k) = max(max(aij + xj (k − µij ))) = j. n M. (aij ⊗ xj (k − µij )) ⊕ di (k). j=1. 其中如果事件 j 不限制 i, 則 aij = ε 。把所有事件的發生時刻寫成一個向量 x(k), 我們可以把上面的式子用矩陣形式表達: x(k) =. p M. (Al x(k − l)) ⊕ d(k). (2.1). l=0. p 是最大的週期落差, 又稱為這個系統的階 (order)。定義回溯算子 (backward-shift operator) γ 使得 γx(k) = x(k − 1), 並且 γ l x(k) = x(k − l) 。所以式 (2.1) 可以表示成 x(k) =. p M. (Al x(k − l)) ⊕ d(k) =. Lp. l=0. Al γ l x(k) ⊕ d(k) = A(γ)x(k) ⊕ d(k). (2.2). l=0. l=0. 其中 A(γ) =. p M. Al γ l 稱為 γ 的多項式矩陣 (polynomial matrix)。如果不考慮表定出發時. 刻的限制, 則我們得到以下的齊次線性系統 (homogeneous linear system): x(k) =. p M l=0. 4. Al x(k − l) =. p M l=0. 若時刻表不是週期時刻表, 當然就沒有週期落差可言。. 10. Al γ l x(k) = A(γ)x(k). (2.3).

(23) 2.3.2. Timed Event Graph. Timed event graph 是一種帶有標記 (mark) 的有向圖 (digraph), 可用於表示及分析動態. 系統。文中作者將列車時刻表系統以 time event graph 表示, 再以圖論演算法進行穩定性分析。 Timed event graph G = (T , P, µ, w) 包含了四個部分, T 是 transition 的集合, 即圖. 的頂點。 P 是 place 的集合, 是圖的邊。 µ 是初始的標記, 即每個邊於初始狀態時標記的數目。最後的 w 是每個邊的保持時間 (holding time), 也就是邊的權重, 通常代表該過程所需的時間。它是以標記的變動來表示系統的動態行為, 變動規則是以下兩階段的 firing rule: 1. 若每個指向 transition i 的邊都含有至少一個保持時間已到的標記, 則此 transition 是 enabled。 2. 一個 enabled 的 transition firing 時會移除一個指向它的邊的標記並加入一個標記到由. 它出發的邊。前述的列車時刻表系統也可以看成是一種 timed event graph。從時刻表系統構造相對應之 timed event graph 的方式如下: 每個出發事件是一個 transition, 邊則由系統的多項式矩陣來決定, 若 [Al ]ij = wij 6= ε, 則 transition j 到 i 間連上一個保持時間為 wij 且有 l 個標記的有向邊。這個相應的 timed event graph 記為 G (A(γ)) 。. Line 1 2 2 b. 50. 26 2. b. x1. x4. b. 2. b. x3 1. Line 2. b. 1 x2. 2. 2 b. 26. S1. 2 2. Line 3. b. 55. b. S2. 圖 2.1: 範例路網示意圖例 2.1. 假設有一個如圖 2.1 的鐵路系統, 包含了三條路線、兩個車站和四個出發事件 (x1 到 x4 )。三條路線的運行時間分別為 50、26、55 分鐘, 而停靠時間均為 2 分鐘, 在站內還要預留 2 分鐘. 的轉乘時間, 最後是最小出發時隔為 1 分鐘, 四個事件的表定時刻依序為 31、 30、 0、 1, 即 d(0) = [31, 30, 0, 1]T 。. 首先考慮 x1 的限制。 Line 1 給出了 x1 (k) ≥ x1 (k − µ11 ) ⊗ 50 ⊗ 2, 其中的 µ11 = ⌈(52 + 31 − 31)/60⌉ = 1 。類似地 x1 和 x2 的最小出發時隔則為 x1 (k) ≥ x2 (k) ⊗ 1 。還有 11.

(24) x1 (k) ≥ x3 (k) ⊗ 28 和表定出發時刻的限制是 x1 (k) ≥ d1 (k) 。全部寫在一起並把不等號換成. 等號就是 x1 (k) = (52 ⊗ x1 (k − 1)) ⊕ (1 ⊗ x2 (k)) ⊕ (28 ⊗ x3 (k)) ⊕ d1 (k). 以同樣的方式寫下其他出發事件之限制式為: x2 (k) = (52 ⊗ x1 (k − 1)) ⊕ (28 ⊗ x3 (k)) ⊕ d2 (k) x3 (k) = (28 ⊗ x2 (k − 1)) ⊕ (57 ⊗ x4 (k − 1)) ⊕ d3 (k) x4 (k) = (28 ⊗ x2 (k − 1)) ⊕ (1 ⊗ x3 (k)) ⊕ (57 ⊗ x4 (k − 1)) ⊕ d4 (k). 上面的式子表示成矩陣的型式如下:    ε 1 28 ε        ε ε 28 ε    x(k) ⊕  x(k) =      ε ε ε ε      ε ε 1 ε. 52. ε. ε. ε. .   52 ε ε ε   x(k − 1) ⊕ d(k)  ε 28 ε 57   ε 28 ε 57. 其多項式矩陣則為: . . 52γ 1 28 ε      52γ ε 28 ε   A(γ) = A0 ⊕ A1 γ =     ε 28γ ε 57γ    ε 28γ 1 57γ. 從上面的多項式矩陣可以得到這個系統的 timed event graph 如圖 2.2。. x3. 57 •. 28 1. x1 • 52. • 28. 28. 57 •. 1 28 • 52. x2. 圖 2.2: Timed event graph 12. x4. ♦.

(25) 2.3.3. 穩定性分析. 文中作者對列車時刻表穩定的定義是: 列車延誤可以在週期中藉由時刻表中的緩衝而減少, 並能在有限時間內回到原來的表定時刻上運行。從上面的定義出發, 從而有下述二個定理: Theorem 1. 5 令 A(γ) =. Lp. l=0. Al γ l 是不可約的多項式矩陣,6 且 G(A0 ) 不包含圈 (acyclic)。. 則 A(γ) 存在唯一的廣義特徵值 (generalized eigenvalue) λ > ε 和有限個特徵向量 v > ε 使得 A(λ−1 ) ⊗ v = v ,7 而且 λ 等於 G (A(γ)) 的最大平均週期 (maximum cycle mean) η = max ξ∈C. w(ξ) µ(ξ). 其中的 C 是 G (A(γ)) 中所有基本圈8 的集合, w(ξ) 是圈 ξ 的權重, µ(ξ) 是圈 ξ 內標記總數。 Theorem 2. 令 A(γ) =. Lp. l=0 Al γ. l. 是多項式矩陣且最大之廣義特徵值為 λ0 。則系統 (2.2). 是穩定的若且唯若 λ0 < T 。. 第一個定理提示了 G(A0 ) 的重要, 用 timed event graph 的語言來說, 就是圖中不可以有沒有標記的圈, 否則有些事件就永遠不會發生。以列車時刻表的觀點言之就是某些列車無法發車, 塞在路上了 (deadlock)。換句話說, 如果時刻表不是週期時刻表時, 從前面的敘述可知 G (A(γ)) = G(A0 ) 於是這個分析就失效了, 因為這個 timed event graph 上沒有標記根本不會. 運作。第二個定理則告訴我們, A(γ) 的最大廣義特徵值 λ0 就是這個時刻表容許的最小週期時間, 所以當 λ0 小於時刻表週期 T 時表示此時刻表有 T − λ0 的餘裕時間, 反之則沒有餘裕時間所以是不穩定的。再從第一個定理可以知道, 這個 λ0 是 G (A(γ)) 中耗時最多的路徑長度, 也就是完成一個週期的最小時間。這也告訴我們這個方法不適於直接用來分析像台鐵這樣的系統, 就算我們用一天 (甚至是一個星期) 作為一個週期, 要完成一個週期所需的最小時間也一定遠小於一天 (或一星期), 而且實務上也很少有列車延誤影響到下一天的運行。所以如果我們用這個方法來分. 析臺鐵的時刻表, 一定會得到穩定的結論 (即 λ0 < T ), 然而這個結論是沒有什麼用處。作者還定義了三種穩定度的指標如下: 1. ρ = λ0 /T 2. ∆1 = T − λ0. 9. 3. ∆2 滿足 (∆2 ⊗ A(T −1 )) ⊗ v = v 5. 定理的標號是原始論文中的標號。也就是相應的 timed event graph 是強連通的 (strongly connected)! 7 注意這裡的 λ−1 其實就是 −λ, 後面的 T −1 亦同, 因為在 max-plus 代數中的指數是通常代數中的乘法。 8 基本圈(elementary circuits) 是指在圈中每個頂點只經過一次的圈。 9 原文中的 λ0 誤為 λ, 據[19]改正。 6. 13.

(26) 2.3.4. 可實現的列車時刻表. 列車時刻表並不一定都是可以實現的, 有可能某一個出發事件兩次發生所需的最小時間比一個週期要大, 於是這個時刻表就不可能準點。作者給出了一個可實現的充分必要條件: Theorem 4. 一個週期時刻表在系統 (2.2) 中是可實現的(realizable) 若且唯若其初始時刻 d0. 滿足 d0 ≥ A(T −1 ) ⊗ d0 。. 作者也證明了可實現的時刻表其最大特徵值 λ0 至多就是 T 。也就是說可實現的時刻表除了 λ0 = T 的情況外是穩定的。. 2.3.5. 時刻表的穩健度(robustness) 和恢復矩陣 (recovery matrix). 在這篇文章中, 作者認為穩健度決定於事件彼此影響的程度 (accessibility) 以及餘裕時間 (slack time) 的多寡。因此為了討論時刻表的穩健度, 作者引入了恢復矩陣 R = (rij ), rij 是事. 件 i 到事件 j 的恢復時間, 即所有路徑上餘裕時間之最小值, 於是有以下的定理: Theorem 6. 若系統 (2.2) 是穩定的, 則 rij = d0i − d0j − [A+ T ]ij L + + −1 其中 A+ ) = [ pl=0 Al T −1 ] 。 T = A (T. 恢復矩陣的行、列和對角線元素還可以有以下的解釋: 1. 延誤衝擊向量 (delay impact vectors): R 中的第 j 行是事件 j 到其他事件的恢復時間,. 所以可以表示事件 j 延誤造成對其他事件衝擊的程度。 2. 延誤敏感向量 (delay sensitivity vectors): R 中的第 i 列是其他事件到事件 i 的恢復時. 間, 所以是表示事件 i 對其他事件之延誤的敏感程度。 3. 循環恢復時間 (circulation recovery times): R 中之對角線元素是每個事件循環一次的. 恢復時間。其中的循環恢復時間可以視為是一種穩健度的指標, 和之前所用的穩定度指標來比較, 循環恢復時間是局部的指標, 對每一個事件會有不同的值, 而 λ0 、 ρ 等是時刻表整體的指標。 14.

(27) 2.3.6. 延誤傳遞. 作者提出了一個計算列車延誤傳遞的方法。首先把一個時刻表系統寫成以下的型式:    x(k) = A(γ)x(k) ⊕ d(k) k ∈ N      d(k) = d ⊗ T k k∈N 0 (2.4) −1   z(k) = D (k) ⊗ x(k) k ∈ N      x(1− ) = x , x(l) = x 1−p ≤l ≤0 1 l. 其中 D−1 (k) = diag((d1 (k))−1 , . . . , (dn (k))−1 ), 或者用矩陣表示為   −1 (d (k)) E   1   .. D −1 (k) =  .    −1 E (dn (k)). 所以 zi (k) = (di (k))−1 ⊗ xi (k) = xi (k) − di(k), 即 z(k) 是延誤向量 (delay vector), 表示了. 系統的延誤狀況。在此需要解釋的是第四行的初始條件。在這裡假設當下的時間為 t0 ∈ [0, T ), 而前 p 個週期的狀態 x0 , x−1 , . . . , x1−p 是已知的 (p 是系統的階數)。但是因為 t0 ∈ [0, T ), 所以在第一個週期中, 我們只知道在 t0 之前的狀態, 於是 x1 是有一部分是確定的, 另一部分則是要計算的對象, 所以在式子中的 x(1− ) 表示 x1 在 t0 之前的狀態。 n×n 定義 A∗ = 接著只要解式 (2.4) 就可以知道延誤傳遞的情況。對矩陣 A ∈ Rmax. 作者得到以下的結果:. Ln−1 l=0. Al 。. Theorem 7. 考慮可實現的時刻表系統 (2.4), 且 G(A0 ) 不包含圈, 則 {x(k)}k∈N 可以用下面. 的式子遞迴地決定: x(1) =. A∗0. ⊗. x1 ⊕. p M l=1. x(k) =. p M. Al x1−l. !. ⊕ d(1). A∗0 Al x(k − l) ⊕ d(k), ∀k ≥ 2. l=1. 定義 settling period ks = min{k ∈ N|x(k + l) = d(k + l), 1 ≥ l ≥ p}, 即在經過 ks 個週期後, 系統回復到準點的狀態。而有關延誤的許多資訊都可以由此計算, 例如個別列車或車站的延誤狀況等。. 2.3.7. 實例研究. 作者用 2000/2001 年度荷蘭鐵路網和時刻表作為計算的實例。整個系統有 729 個站 (包含各種列車的衝突點, 例如軌道交會點、可動式橋樑等), 分析的時段是上午尖峰。模化為 timed event graph 後, 包含 3536 個 transition、 25472 個 place 以及 12429 個 token, 系統階數是 2。 15.

(28) 因為每種列車在每個路段的最小運轉時間並不能從時刻表中知道, 作者採用了二種方式來計算, 第一種是以排定的時刻表時間作為最小運行時間; 另外一種方式是把表定運行時間依經驗折減 7% 作為最小運行時間。在上述兩種方式下, 分別算出了平均週期最大的四條列車路徑, 也就是餘裕時間最小的列車路徑。為了知道系統中影響穩定性的最關鍵因素, 作者考慮不同的限制式組合, 來分析每一種限制式對時刻表穩定性的影響。結論是取消等候旅客轉乘限制和使用額外的車輛 (也就是放鬆車輛使用的限制) 能有效地增進穩定性; 而減少列車的整備時間和轉乘時間則沒有明顯的效果。最後作者計算了一個延誤傳遞的例子。同樣的, 作者也考慮放鬆其中的一些限制式來觀察其效果。最後作者表示這個方法可以應用到即時的列車延誤分析上。. 2.3.8. Goverde 方法的長處與侷限. Goverde 方法最大的優點是其模化能力相當強, 許多實務上的限制都可以被納入這個架構。. 像是列車與人員的運用、車輛的連結與分解、等候旅客轉乘等考慮都可以寫成 max-plus 代數的式子。因此應用時可以根據系統的特性、資料的詳略及應用目的等考量選擇所需的限制式。另外其演算法相當有效率, 可以在短時間內計算龐大的路網, 也能作為運轉整理時的輔助。 Goverde 的方法不適用於非週期時刻表, 其理由已於 2.3.3 節中詳述, 所以不能直接用於臺. 灣鐵路系統。另外一個值得討論的是 Goverde 的模化只考慮列車的出發時刻, 因為他假定抵達和通過時刻就是列車的上一個出發時刻加上固定的站間運轉時間。但是實務上經常因為各種因素使得列車在站間運轉時發生延誤, 進而影響到其他列車的站間運轉時間, 所以這樣的簡化在分析延誤傳遞時會有問題。我們以圖 2.3 來說明, 圖中粗實線表示列車表定的運轉曲線, 虛線表示延誤發生時的運轉曲線。圖 2.3 顯示了在車站 2 發生列車追越的情形, 如果先行的慢車發生延誤, 如圖中的虛線所示, 於是後方的快車被迫延後進站, 其站間的運轉時間因延誤而增加, 所以抵達和通過的時刻不再是上一個出發時刻加上站間運轉時間。因為不考慮抵達時刻, 所以進站時隔的要求無法被反映出來, 於是前方的慢車延誤不會影響快車通過, 這是不合理的現象。即使把慢車運轉時的延誤視為上一站的出發延誤, 問題仍然存在。如圖中所示, 如果快車的後方還有一慢車, 在這個情境下延誤不會影響到後方的慢車, 但如果將運轉延誤視為上一站的出發延誤, 那麼就會使後方的慢車也受到影響。從上面這個例子可以知道, 還是應該把列車的抵達和通過時刻都考慮進來, 才比較符合鐵路系統的實際狀況。. 2.4. 臺鐵之相關研究. 近年有關國內的軌道研究以鐘志成、李治綱等學者的一系列研究報告最為詳盡[7, 8, 9, 10, 16.

(29) 車站1. 慢車. 快車. 慢車. 車站2. 車站3. 圖 2.3: 列車追越時產生的問題 11, 12]。除了[12]是排班的研究外, 其他都是容量分析。報告中詳細蒐集了臺鐵的路線、車輛、場. 站和運轉方式等資料並加以分析, 相當具有參考價值。在[7]中, 作者建立了一個解析模式來分析臺鐵的軌道容量, 並實際計算臺鐵基隆到新竹路段的容量。其方法是把全部的路段先分成許多子路段, 對每個子路段計算最小運轉時隔, 計算不同的車種的運轉曲線及組成比例、站內的月台配置、站間運轉時間、號誌變換時間等, 然後求出每個路段單位時間內最多可以通過的列車數。最後取全路段的最小值就是全路段的容量。而[8]則把前述的研究成果轉換成以旅客數為單位的容量, 方法是調查每一種車種的乘載量分佈, 就可以估計出每列車的載客數, 進而換算成以旅客數為單位的容量。後續研究[9, 10, 11]則是前期研究的應用, 包括了模式改善與簡化、容量分析程式、容量分析手冊編製、列車服務可靠度分析等。另外[12]的主要成果是利用基因演算法建立一套臺鐵的列車排班模式。. 17.

(30)

(31) 第三章 3.1. 鐵路系統的穩定性. 鐵路系統的組成與運轉. 鐵路系統包含了「路線」、「車輛」、「場站」、「號誌保安系統」等部分。列車或車輛運轉所必需的通路稱為路線, 包括軌道及道岔等。臺鐵依據軌道數的多寡及運轉方式, 將路線區分為單線、複線、雙單線及多線等。單線是車站間只有一股軌道供列車雙向運轉。複線則是有兩股軌道分別供不同方向的列車行駛, 而且每股軌道的列車運行方向是固定的, 不能逆向行駛。雙單線和複線一樣有兩股軌道, 不同的是兩股軌道都可以雙向運轉, 如同兩單線一般, 故稱為雙單線。路線上軌道數在三股以上的多線比較少見, 通常是在非常繁忙的區間才有, 例如日本 JR 東海道之東海道本線就是複複線, 每方向有兩股軌道。臺鐵目前則已經沒有多線的區間。道岔通常設置於在路線的銜接點及車站內, 是列車變換行駛軌道的設施, 有了道岔列車才能進入正確的路線、停靠到正確的月台。鐵路車輛行駛在路線上以運送旅客, 在路線上的車輛是以編組的列車為運轉之單位。不同列車依鐵路單位的營運需求, 會有不同的行駛速度和停站。例如臺鐵的列車中, 就有自強、莒光、電車· · · 等不同等級的列車, 其速度和停站都不同。但是如果在路線上有許多不同速度的列車行駛會使路線容量減少, 這是因為如果速度慢的列車先出發, 下一列速度快的列車就要等候較長的時隔才可以出發, 以確保不會追撞前車。因此在運量高的都市軌道系統中, 同一路線上通常只使用一種速度的列車以增進運輸效率。而臺鐵的列車種類多, 在排班時有九種速度別, 也使臺鐵系統的排班和運行變得十分複雜[7]。場站是列車停車進行上下客、交會待避其他列車的地點, 而場站內月台和軌道路線數量是影響列車運行的關鍵因素之一。車站內的月台數會影響到列車進出站的時隔, 也會影響到列車能否進行追越和待避作業。例如若月台或軌道數不足, 在這個站快車就不能追越慢車, 或是列車會和對向列車有衝突等。號誌的功能是指示列車的行止, 防止列車發生衝突, 因此運轉中列車必須隨時遵守號誌的指示以保持列車間的距離。不同的號誌系統會使得列車間的容許間隔不同, 影響列車運轉時隔與軌道容量甚鉅。早期的號誌多以人工手作的方式為之, 依賴人員聯繫與確認, 效率較差。現在則多以自動化的號誌設備取代之, 雖然提高了效率與軌道容量, 使得列車可以密集運轉, 但是一旦號誌系統發生故障則容易對列車運轉造成嚴重影響。運轉為列車於路線上行駛的過程, 有時也稱為行車。為了保障列車在軌道上運轉之安全, 所 19.

(32) 採行間隔列車的方法稱為行車制度[4]。隨著技術的發展, 行車制度也從早期依賴人員確認到現在全面自動化, 除了較為安全外, 也減少列車運轉時不必要的停等, 增進運轉的效率。目前臺鐵大部分的區間都已經採行中央控制行車制度(CTC), 在此制度下列車行動完全依號誌指示, 而所有號誌和道岔轉轍器均統一由行控中心控制, 路線上所有列車都集中調度以提高效率。大部分鐵路系統的行車制度都採行某種形式的閉塞制度, 閉塞制度的基本概念是把路線分成一些區間, 每區間只容許一列車進入以分隔列車, 當列車進入每一個區間前, 必須確認該區間內是否有其他列車佔用軌道, 而辦理確認的手續稱為閉塞 (block), 管制其他列車進入的區間稱為閉塞區間。閉塞制度可分為固定區間閉塞制和移動區間閉塞制兩種, 目前技術較成熟且廣被採用的是固定區間閉塞制, 臺鐵也採用此種閉塞制度。這個方法是將路線分成固定的區間, 每區間長度均要大於列車的煞車距離, 每個時刻區間內只容許一列車進入, 如果區間內有列車占用, 區間外方的號誌會告知其他列車不得進入該區間, 以達到列車分隔的目的。而移動式閉塞區間則是利用通訊和定位的技術, 確認每列車的位置和速度, 計算出適當的安全距離, 再據以指示其他列車運行, 如果兩列車距離過近就會指示後方列車減速。臺北捷運的中運量系統目前就採用移動式閉塞區間。應用移動式閉塞區間的系統並不多, 而且列車間的交互影響也比固定式閉塞區間複雜, 因此本研究只考慮固定式閉塞區間制。. 3.2. 列車時刻表的排班限制. 列車時刻表是列車運轉的依據, 通常包含了每列車於每一站的抵達和出發時間, 列車必須按照時刻表上排定的時間運行。為了列車運轉的安全與順暢以及營運上的需求, 在排班時會有許多的限制, 這些限制又可以分成下述的幾類[12]: 1. 排班時間限制: 基於營運的需求, 會限制列車的出發或抵達時間要在某個範圍或時間點上。. 例如早上 8:00 左右在臺北站開出一列自強號的要求即屬於此類限制。列車排班時間限制可以非常嚴苛, 也可以適度的放寬, 例如可以要求該次列車必須於早上 8:00 準時從臺北站開出, 或只要求 8:00 左右開出。但過於嚴苛的限制可能導致排班問題無解, 因此列車排班時間限制通常是一個範圍, 僅對於高等級列車才會有嚴格的限制。 2. 列車續進限制: 即列車抵達下一站的時刻不小於其於前一站的離站時刻加上兩站間之最. 小運轉時間。不同的列車可以有不一樣的運轉時間, 像是高級列車的運轉時間通常比低級列車短。另外也會視列車在前後兩站是否停車給予不同的站間運轉時間, 這樣就有「停停」、「停-通」、「通-停」和「通-通」四種組合。例如「停-通」就表示列車在出發站停車, 而到達站通過的運轉時間, 餘依此類推。這個限制也可以看成是對列車速度的限制。 3. 停站時間限制: 列車在車站的停車時間必須足以讓所有旅客上、下車, 因此有最短停車時 20.

(33) 間的限制。若列車不停站, 則最小停站時間為零。有時候列車可能會因交會或待避等原因而必須在車站停留較久的時間, 但由於過長的停車時間容易導致旅客不耐, 且從運轉的角度而言, 亦顯得沒有效率, 因此列車的停站時間一般會有最長時間限制。但是在折返或終點站可能會需要進行整備或變換方向及軌道行駛, 所以會容許會較長的停站時間。 4. 運轉時隔限制: 為了使列車能夠安全地行駛於路線上, 鐵路系統藉由閉塞制度來管制列車. 的運轉, 以確保列車間保持安全的間距, 因此會有運轉時隔的限制。這是列車排班及運轉時最重要的限制條件, 在列車運轉過程中的任何時刻、任何地點均必須滿足。但是排班的實務上只要在列車容易發生衝突的地方加以限制就可以了, 例如出發時隔、進站時隔、道岔時隔等。 5. 月台及軌道配置限制: 一段軌道及一個月台在一個時間點上只能有一列車占用, 另外複線. 運轉的路線上列車不能使用對向軌道。 6. 其他限制條件: 例如車輛的運用、列車間旅客轉乘的銜接等。可以視營運上的要求增加限. 制條件, 但是限制條件愈多, 排班的問題也就愈複雜。這些限制又可以分成「硬性」和「軟性」兩種。硬性限制主要源於安全上的要求, 因此一定要滿足, 例如運轉時隔、列車速度、月台及軌道配置限制等。軟性限制是因為營運上的需求, 例如排班時間限制, 這並沒有安全上的顧慮, 所以通常比較寬鬆, 必要時可以予以放寬。. 3.3. 延誤與餘裕. 鐵路系統中的延誤可以分成兩種, 原始延誤(primary delay) 和次生延誤 (secondary delay)。原始延誤是指列車在運轉或停等的過程發生的延誤, 其原因可以是來自系統內部或外部。. 而次生延誤則是指因為延誤的列車由於運轉上的限制而造成其他列車也發生延誤, 例如延誤的列車阻擋到其他列車, 或是使有接續關係的列車也發生延誤 (如同一車輛的回程)。原始延誤通常是源於人為操作不當、機械故障、旅客上下車的延誤、施工、重大事故等, 欲減少原始延誤須由加強營運管理下手, 不在本研究的探討範圍內。而藉由在時刻表中配置適當的餘裕, 次生延誤在原始延誤不大的情況下是可以控制在合理範圍內。當然, 如果發生重大的事故使路線中斷, 再多餘裕都無濟於事, 但是大部分的原始延誤都不大, 因此在排班時加入適當的餘裕很重要。一個與餘裕不同的概念是表定等候時間 (scheduled waiting time), 表定等候時間是指列車因為號誌、路線或車輛因素而等候的時間, 例如在追越及單線區間交會時, 列車要等候另一列車時增加的停等時間。從表面上看時刻表中不論是加入餘裕或是表定等候時間, 都使列車運轉時間增加, 但是餘裕有吸收延誤的功能, 表定等候時間則否, 其性質並不相同, 有必要加以區別。 21.

(34) 3.4. 列車時刻表的穩定性. 穩定性的概念源自於物理中關於平衡狀態的研究, 舉一個簡單的例子, 見圖 3.1, 圖中的 A 和 B 兩質點分別靜止於山頂與山谷, 均處於力平衡的狀態。但是質點 A 若受到一點水平的外力干擾, 就會脫離平衡; 反之質點 B 即使受到一點外力, 仍可以保持在平衡狀態附近。所以質點 A 的平衡是不穩定平衡, 而質點 B 是穩定平衡。粗略的說, 一個系統為穩定的意思是: 若系統的初始狀態離平衡狀態不遠, 則系統的狀態軌跡 (state trejactory)1 在任何時間都能保持在平衡狀態附近[2]。更進一步的說, 當系統的狀態會收歛到平衡狀態時, 則稱系統為漸近穩定的(asymptotic stable)。 A. B. 圖 3.1: 穩定平衡與不穩定平衡示意圖將這個概念應用到鐵路系統上, 列車的出發時刻可以視為系統的狀態, 當給定了一個可運行的時刻表時, 準點就是一個平衡狀態。而列車時刻表的穩定性就是當列車發生延誤時, 系統是否可以自動地回復到準點, 可以回復到準點為穩定, 反之為不穩定。一個時刻表穩定與否的關鍵因素在於餘裕時間的多寡, 餘裕時間多則系統趨向穩定, 反之則趨向不穩定。在 Goverde 的研究中[19, 20], 考慮的是週期時刻表, 每個週期列車出發時刻是系統的狀態, 藉由計算每個週期內的餘裕時間以判定時刻表系統是否穩定。這也是一種漸近穩定的概念, 若週期內有餘裕時間, 那麼有限的延誤就可以在有限個週期內恢復過來。但是如果不是週期時刻表, 漸近穩定的概念就無用武之地了, 因為系統有起始和結束, 當所有列車都抵達終點後, 就沒有準點與否的問題。因此對於非週期列車時刻表, 探討穩定性應從局部著手, 對不同的列車、車站和時段分別檢視餘裕時間是否充足。具體地說就是對於一列車而言: 1. 於某處發生原始延誤時需要多久系統才能恢復準點? 2. 延誤會影響多少其他列車? 即次生延誤有多少? 1. 簡單的說就是指系統狀態隨時間的變化情形。. 22.

(35) 3. 可以容許多少延誤而不影響其他列車?. 穩定度是指穩定的程度, 若原始延誤發生後能迅速回到準點狀態, 次生延誤較少, 以及容許的延誤量較多, 則穩定度好, 反之則穩定度差。如果列車本身即使沒有發生延誤仍會造成其他列車延誤, 那麼就是不穩定的, 這也表示時刻表一定不會準點, 站在旅客的立場, 不穩定的時刻表基本上不能被接受。另外在文獻中也常見到列車服務的可靠度, 簡單地說可以視為是列車的準點率或可用率。表面上看起來可靠度和穩定度很有關係, 但是嚴格說來其實兩者之間不必然相關。即使是一個不甚穩定的時刻表, 如果系統營運十分良好, 原始延誤很少, 那麼可靠度可以很高; 反之如果時常生事故, 即使時刻表的穩定度很好, 可靠度還是相當差, 所以兩者是不一樣的概念。對鐵路營運單位而言, 提高時刻表穩定度和時刻表可靠度都很重要。. 23.

(36)