Max-Plus 代數理論簡介

Max-plus 代數是 _dioid 的一種特例_[18], 它的發展是來自於₁₉₆₀年代之圖論研究_, 當時是 為了解決圖中的路徑尋找問題。 而Baccelli et al. 在₁₉₉₃年的經典著作中則闡述了離散動態系 統和 max-plus 代數系統的關係_, 是 _max-plus 代數的一個重要應用方向_[13]。 另一個應用方向 是求解 Hamilton-Jacobi-Bellman偏微分方程(HJB PDEs), 這類型的 _PDE 可用於描述一些 非線性控制系統_[26], 這與本研究之主題較不相干_, 因此就不詳述了。 本節將簡介 _max-plus 代 數理論的基礎_, 內容主要整理自_[18]和_[19]。

定義 2.1 (Max-Plus 代數_). 定義 _max-plus 代數 _Rmax = (R ∪ {−∞}, ⊕, ⊗) 是在集合 _{R ∪} {−∞} 上定義兩個運算: a ⊕ b = max(a, b), a ⊗ b = a + b 所構成的代數結構。¹ _k 定義 _{2.2 (Rmax} 的單位元和零元_). 定義 _Rmax 的零元(zero element) ε = −∞ 及單位元

(identity) e = 0。 _k

1這個名詞其實會引起一些誤會,因為這個結構並不是代數理論中的 「代數(algebra)」! 而是半體(semifield)。 只是文獻中已經普遍如此稱呼,本論文也只好跟著用了,有關的細節可以見[18]。

定義 _{2.3 (Rmax} 上的指數_). 若 _{a ∈Rmax, k ∈N,}定義 _a^k = a ⊗ · · · ⊗ a

| {z }

k次

。 _k

Max-plus 代數具有許多與實數運算相同的性質_, 但也有些性質和實數系大不相同_, 這些性

質都可以簡單地由定義導出, 下面不加證明地列舉一些有用的性質。 首先是一些和實數系相同的 性質:

性質 2.1. a, b, c ∈Rmax, 則

1. a ⊕ (b ⊕ c) = (a ⊕ b) ⊕ c, a ⊗ (b ⊗ c) = (a ⊗ b) ⊗ c (結合律) 2. a ⊕ b = b ⊕ a, a ⊗ b = b ⊗ a (交換律)

3. a ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c) (分配律₎ 4. ε ⊕ a = a ⊕ ε = a

5. e ⊗ a = a ⊗ e = a

以下這些則是實數系沒有的_: 性質 2.2. a, b ∈ Rmax, k ∈N, 則

1. a ⊕ a = a (Idempotency)² 2. a ⊗ ε = ε ⊗ a = ε

3. a ⊕ b ≥ a, a ⊕ b ≥ b 4. (a ⊕ b)^k= a^k⊕ b^k

我們也可以在 _Rmax 上進行矩陣的運算。

定義 2.4 (Max-Plus 代數上的矩陣運算_). 以下的矩陣每個元均為 _Rmax 中的元素_: 1. 若A = (aij), B = (bij) 均為 m × n 矩陣_, 定義A ⊕ B 為_{m × n} 矩陣_, 其元素為

[A ⊕ B]ij = aij ⊕ bij = max(aij, bij)

2. 若_{A = (aij)} 為 _{m × l} 矩陣_{, B = (bij)} 為 _{l × n} 矩陣_, 定義 _{A ⊗ B} 為 _{m × n} 矩陣_, 其 元素為

[A ⊗ B]ij = Ml

k=1

aik⊗ bkj = max

k=1,...,l{aik+ bkj} 3. 記^M_n(Rmax) 為所有_{n × n} 矩陣構成的集合。

2這個性質在理論上有舉足輕重的地位,也是dioid與其他代數結構最不一樣之處,進一步可參閱[13]、[18]。

4. 定義 ^E_{n∈ Mn(Rmax)} 是_⊕ 的單位元_, 即_{∀A ∈ Mn(Rmax), A ⊕ En= En⊕ A = A ,} 以

3不同文獻有不同用語,例如underlying graph, associated graph of A。

證明_. 第一個部分敘述以數學歸納法證之。 當 _{k = 1} 時_, 從_A 的定義 _aij 就是連接 _j 到_i 的邊 之權重_, 因為 _G 是簡單圖, j 到_i 最多只有一條邊_, 所以敘述自然成立。

設 _{k = k}^′ _{> 1}且 _k^′ _{< n} 時敘述成立。 當_{k = k}^′ _{+ 1,} 我們知道 [A^k′+1]ij = [A^k′⊗ A]ij =

Mn l=1

[A^k′]il ⊗ alj = max

l=1...n{[A^k′]il+ alj}

若[A^k′]il 6= ε ,從歸納假設知[A^k′]il就是從l到i恰含k^′條邊路徑中權重和最大值,所有從_j到 i恰含_k^′₊₁條邊的路徑可以分成前_k^′ 條邊和最後一條邊兩部分_,因此_{maxl=1...n{[A}^k′_]il+alj} 就是從頂點_j 到頂點 _i 恰包含_k^′_{+ 1} 個邊的路徑中_, 每邊權重總和最大的路徑之權重和。 在此 如果_{alj = ε,} 則_{maxl=1...n{[A}^k′_{]il+ alj} = ε,}也就是說如果沒有從_j 到_l 的邊_,就沒有從 _j 到 l 再經過 _k^′ 條邊連接到 _i 的路徑。 若 _[A^k′_{]il = ε ,} 則同樣有 _{maxl=1...n{[A}^k′_{]il+ alj} = ε} 。 綜 合以上討論知道對 _{k = k}^′_{+ 1} 敘述也成立_, 於是由數學歸納法原理可以知道敘述對所有 _{k ∈N} 成立。

第二個部分是第一部分的直接推論, 由_A⁺ 的定義知 [A⁺]ij = aij ⊕ [A²]ij ⊕ [A³]ij ⊕ · · · , 這就是從 _j 到_i 不論包含多少邊的路徑中權重和最大之值。  在前面的定理中_, 若把權重解釋為長度_,那麼 _A⁺ 的元就代表了最長路徑的長度。 為了簡化 敘述起見_,在後文中的權重就直接以長度稱之。