第二章 文獻探討
第五節 代數的發展與教材內容之探討
壹、代數的起源發展與知識結構
代數的起源最早可以追溯到古巴比倫的時代，當時已有人使用代數的方法來 做 數 學 計 算 ， 他 們 運 用 未 知 數 來 列 出 方 程 式 並 求 解 。 代 數 之 父 希 臘 數 學 家 Diophantus 在公元 300 年左右完成了數學史上最早的代數著作，提出了以文字符 號作為運算工具的思考模式。而中國也在很早的一些數學問題中，便有了代數運 算的出現，例如：《九章算術》一書中的「算術」所指的即是代數。「Algebra」
一字源自於阿拉伯文“ al-jabr ”，代表「恢復或還原」的意思，如解方程式時在等 號兩邊所做的等量加減，就有恢復、還原之意。
對於代數的概念和意義，很多專家學者們都提出了他們的見解。項武義 (1995) 認為代數學是在算術中「數」與「運算」的基礎上有系統的發展起來的。羅浩 源 (1997) 提出代數的主軸在引入符號，使得整數四則運算的算式得以化簡和 歸類。Steffe (1989) 認為代數是將算術重新再組織 (reorganization) 的過程，而代 數的解題程序是將數與量藉由等量公理，把一個等價關係變到另一個等價的關 係。Sfard (1995) 認為代數與通則化的數學運算程序有關，其本身包含兩個重 要主題：一是以符號來表徵的代數式；另一個是解題的運算方法。Linchevski (1995) 研究表示代數的學習內容應包含算數式子的簡化、通則化、數量結構、
等式及文字題等五個主題。廖瓊菁 (2001) 研究指出代數是數學的一支， 它是 一門將算術精簡及通則化的學科，以數字、變數及運算所組成的數學語言，來 將數字關係和數學結構符號化。代數的概念結構，應包含數概念、文字符號概 念及符號表徵的運算三個子概念，其包含內容如圖 2-5 所示。Usiskin (1999a, 1999b)認為代數是種「語言」(language)，具有以下四種概念：
(一) 代數是「已經歸納的算數」。例如 4＋5＝5＋4 可以歸納成 a＋b＝b＋a (將數
學式子一般化)。
(二) 代數是「解決特定問題有關步驟的研究」。例如 a＋2＝6 ，a＋2－2＝6－2，
a＝4 (經由一定的程序，來找出答案)。
(三) 代數是「數量之間關係的研究」。例如面積公式 (A＝L×W) 描述了長、寬與 面積之間的關係。
(四) 代數是「數學結構的研究」。例如代數可以敘述實數的運算特質之結構，如 a( b＋c)＝ab＋ac。
從代數發展歷史的觀點來看， 代數是一種算數符號化的歷程，依時間可以將 其分為三個不同的發展階段 (王懷權，1987； 趙文敏，1985； Harper, 1987; Kieran, 1992)：
(一) 文字修辭代數階段 (rhetorical algebra stage)：
在此階段，人們以口語化的語言來描述解特定方程式的過程，並沒有使 用特殊的符號或記號 (sign) 來表示未知數。
(二) 省略文辭代數階段 (syncopated algebra stage)：
人們開始用文字符號來代表未知量 (unknown quantities) ，使用省略 的符號代替語言，例如使用 p 代表加， m 代表減。此時數學家主要關注 的是文字符號的特定性 (identity)，而非一般性 (general) 的表達，他們只 求特定方程式的解，並沒有求出方程式的一般解，所以在此階段縮寫符號 系統並沒有重大的發展。
(三) 符號代數階段 (symbolized algebra stage)：
數學運算開始進入符號化階段，數學家們開始以文字符號來表示數 學問題的一般解，並使用代數來証明數字間的關係，例如以ax2+bx c+ =0 代表所有的一元二次方程式。
圖2-5 代數概念之知識架構圖 (廖瓊菁，2001) 代數概念
數概念 文字符號概念 符號表徵的運算
【活動材料層次】
1.感官活動期 2.象徵活動期 3.抽象活動期
【運思活動層次】
1.序列性合成運思 2.累進性合成運思 3.部分─全體運思 4.測量運思
1.文字符號為可算 出的值
2.文字符號可忽略 而不用
3.文字符號當作物體 4.文字符號當作特定
的未知數
5.文字符號當作一般 化的數字
6.文字符號當作變數
1.運算的程序 (1) 表徵未知數 (2) 形成代數式 (3) 形成方程式 (4) 解方程式 2.解方程式的概念與
方法
(1) 等號的概念 (2) 等量公理 (3) 逆運算 (4) 移項法則
貳、學生學習代數上常發生的困難
由算術進入到代數，除引入了文字符號來做運算之外，更重要的是意味著數 學的學習將從具體情境轉換到抽象化與形式化的概念，因此常造成學生在學習代 數時會遇到相當多的困難。Kieran (1992) 認為，學生在代數學習上有二大迷思概 念：一是對等號意義，尚停留在算術階段的「得到」；一是對未知數的認知，將 符號當成一個特定的物性或標誌。Knuth and Stephens (2006) 認為在算術與代數的 轉換過程中，其對等號意義轉換的不適應是造成學習代數的主要困難之一。
在文字符號方面，Brenner and Moseley (1997) 研究指出，學生在剛開始學習 代數時，對於使用文字符號來代表未知量做運算的過程中，常發生許多錯誤。王 如敏 (2004) 研究指出，許多學生對文字符號缺乏有意義的了解，會做數學符號的 運算，但卻不懂運算過程所代表的數學意義。袁媛 (1993) 和謝和秀 (2001) 的研 究認為，許多國中一年級的學生對將文字符號「當作一般化的數字」及「當作變 數」這兩類概念，均感到相當的困難，顯示國中一年級的學生尚無法處理這兩類 概念的問題。
在化簡代數式方面，Booth (1988)、黃寶彰 (2002) 指出初學代數的學童在運 算代數式化簡時常出現一些非系統性 (unsystematic) 的錯誤，例如在化簡2a+5b 時，常常會得到7ab這種答案。戴文賓、邱守榕 (1998) 研究發現學生在運算去括 號的展開化簡問題時，有時括號外的數字只記得和括號內的第一項相乘，而忽略 第二項以後，或者括號外為負號時未變號。例如把5( X－2)化簡成5X－2；或是把 Y－3(X－2)化簡成Y－3X－6。Kieran (1992) 認為這是因為初學代數的學生傾向由 左向右閱讀一個代數式，而未發現括號的必要性。
另外在方程式列式與解題方面，Kieran (1992) 認為學童在初學代數時很難深 入的了解算式中真正的數學含意，因此其解題過程有時會受到一些算術上迷思概 念的影響。Ekenstam and Nilsson (1979) 以200個中學生為研究對象，發現有82%的
人可以解出 X
30＝6，但是只有48%的人可以解出 X
4 ＝3，原因在於：第一題學生可 以利用嘗試錯誤的方法求出解，但第二題不行。像這種非正式方法的使用，在學 習代數時就會遭遇障礙。
廖瓊菁 (2001) 研究指出，學生在學習代數概念時，較容易發生的學習困難如 下：(1)對等號意義的解讀錯誤。(2)計算題中，以「a－□＝b」及「a÷□＝b」這兩 類問題的難度最高，也是學生最容易出現錯誤，顯示學生無法將逆運算概念應用 於這兩種題型中。(3)解文解題時，常不能以文字符號來表示未知的數量關係，並 依題意中的已知條件來列出關係式。(4)即使是計算能力好的學生在文字題解題 時，都可能因為不瞭解題意造成解題失敗。莊松潔 (2004) 研究則歸納出學童在學 習代數時的迷思概念一共有以下五點：(1)對於等號的狹義解讀。(2)文字符號意義 的迷思概念，例如不同文字代表不同數字。(3)拒絕接受像「3a＋7」這種含有未知 數的答案，且出現許多文字與數字混合化簡的錯誤。(4)解等號兩邊均有未知數的 方程式出現困難。(5)代數文字題轉譯成方程式的失敗。
參、九年一貫課程中代數教材的分析
一直以來，由於代數許多抽象化概念，學生被認為需具備某些基本的能力 之後才能學習它，因此，在過去的國小課程教材 (民國 82 年課程標準) 中，代 數教材較少被重視。而進入 21 世紀後，各國為了提升學生基本能力，增進國 家競爭力，無不亟思課程內容的改革與教學方法的精進。教育部 (2000) 為了 培養國小學童觀察數量關係，以及展現數量關係數學結構之能力，在民國 89 年所提出的《九年一貫課程暫行綱要草案》中，順應世界的潮流，將許多代數 的概念向下延伸至小學 (陳嘉皇，2006) 。根據九年一貫課程綱要，代數的能力 指標如表2-4 所示。
表2-4 代數主題之能力指標
指標 能力指標內容
A-1-01 能在具體情境中，認識等號兩邊數量一樣多的意義與＜、
＝、＞的遞移律。
A-1-02 能在具體情境中，認識等號兩邊數量一樣多的意義與＜、
＝、＞的遞移律。
A-1-03 能將具體情境中的單步驟問題列成算式填充題，並解釋式 子與原問題情境的關係。
A-1-04 能理解加減互逆，並運用於驗算與解題。
A-1-05 能在具體情境中，認識乘除互逆。
A-2-01 能在具體情境中，認識乘除互逆。
A-2-02 能理解乘除互逆，並運用於驗算與解題。
A-2-03 能理解乘除互逆，並運用於驗算與解題。
A-2-04 能使用中文簡記式記錄常用的公式。
A-3-01 能做基本的代數運算。
A-3-02 能理解並應用等量公理。
A-3-03 能用x、y、…等符號表徵生活中的未知量及變量。
A-3-04 能用含未知數的等式或不等式，表示具體情境中的問 題，並解釋算式與原問題情境的關係。
A-3-05 能理解生活中常用的數量關係，並恰當運用於解釋問題 或將問題列成算式。
A-3-06 能發展策略，解決含未知數之算式題，並驗算其解的合 理性。
A-3-07 能運用變數表示式，說明數量樣式之間的關係。
A-3-08 能熟練一元一次方程式的解法。
A-3-09 能檢驗、判斷一元一次不等式的解並描述其意義。
A-3-10 能理解二元一次方程式的意義。
A-3-11 能理解平面直角座標系，並畫出線型函數圖形。
A-3-12 能運用直角座標系及方位距離來標定位置。
A-3-13 能熟練二元一次聯立方程式的解法並理解其解的意義。
A-3-14 能利用一次式解決具體情境中的問題。
A-4-01 能熟練乘法公式。
A-4-02 能認識多項式，並熟練其四則運算。
A-4-03 能理解勾股定理及熟練其應用。
表2-4 代數主題之能力指標 (續) A-4-04 能熟練多項式的因式分解。
A-4-05 能熟練一元二次整係數方程式的解法。
A-4-06 能理解二次函數的圖形及應用。
A-4-07 能理解拋物線之對稱性。
資料來源：教育部 (2003) 九年一貫數學課程綱要
在國小部分，過去的課程主要將代數教材的學習安排在六年級，九年一貫 課程綱要則由一到九年級在每個學習階段都安排了代數相關概念的教學，更提 早引入一些代數概念：包括運用未知數作數學表式、加強變數的概念、理解等 量公理等，希望能有助於銜接國中的代數教學。文字符號的認識是學好代數的 一個關鍵點，因此在未知數符號的引入上，九年一貫課程綱要在第一階段的學 習即由一般算式填充題中的 ( ) 來引入□的意義，再漸進的由較具體的符 號 (△、□、…甲、乙、…) 類化至抽象英文符號 ( x、y、z、… )。另外，九 年一貫課程綱要特別強調培養學邏輯思考和抽象推理的能力，以期學生能將代
在國小部分，過去的課程主要將代數教材的學習安排在六年級，九年一貫 課程綱要則由一到九年級在每個學習階段都安排了代數相關概念的教學，更提 早引入一些代數概念：包括運用未知數作數學表式、加強變數的概念、理解等 量公理等，希望能有助於銜接國中的代數教學。文字符號的認識是學好代數的 一個關鍵點，因此在未知數符號的引入上，九年一貫課程綱要在第一階段的學 習即由一般算式填充題中的 ( ) 來引入□的意義，再漸進的由較具體的符 號 (△、□、…甲、乙、…) 類化至抽象英文符號 ( x、y、z、… )。另外，九 年一貫課程綱要特別強調培養學邏輯思考和抽象推理的能力，以期學生能將代