研究動機

本研究目的在應用模糊集群分析和模糊取向的詮釋結構模式，分析國小一到 三年級學童，在數學代數主題分年細目之階層結構。研究者運用模糊集群分析，

依據受試者對分年細目的精熟度，將受試者加以分群，圖繪出各群組受試者的分 年細目 ISM 圖，並探討不同群組分年細目 ISM 圖之特徵。本章旨在闡述本研究 之動機、目的及對本研究所提及之相關名詞作釋義。

第一節 研究動機

在進入二十一世紀且處於高度文明化的世界中，數學知識與數學能力，已逐 漸成為日常生活及職場裡應具備的基本能力。而數學教育目的，便是要讓每個學 生能夠擁有正確的數學概念以提昇數學能力。所以，有意義及有效率的數學學習 相當重要 (教育部，2003)。為了國家發展的需求及對社會期待的回應，教育部於 2001 年 1 月公佈了「國民中小學九年一貫課程暫行綱要」，對於教育的精神與課 程的內容做出重大的革新，也為我國國民教育的發展帶來史無前例的巨大變革 (吳寶桂，2004)。九年一貫課程強調以學習者為主體，以知識的完整面為教育的主 軸，以終身學習為教育的目標。在數學課程方面，除了將學科名稱改為學習領域 之外，並將九年一貫課程數學學習領域分成「數與量」、「圖形與空間」、「統 計與機率」、「代數」和「連結」五大主題，以及具體操作 (一至三年級)、具體 表徵 (四至五年級)、類化具體表徵 (六至七年級)、符號表徵 (八至九年級)四個階 段 (教育部，2001)。而為了銜接高中職課程總綱，教育部在修正暫行綱要裡的部 份課程內容後，於2004 年 8 月正式實施「數學領域課程綱要」，作為我國推動中 小學數學教育的方針。在民國82 年制訂的國小數學課程標準中，有關代數的相關 內容比較少，常常造成學生在進入國中後產生代數學習上的斷層與不適應。新的

課程綱要在國小部分，提早引入一些代數概念，包括運用未知數作數學表式、加 強變數的概念、理解等量公理等，希望能有助於銜接國中的代數教學。

Vergnaud (1997) 認為由算術進入到代數之學習階段，首先要面對的困難是 學習辨認新的數學物件。但由於學生在做算術時，多採取直覺的方法式來解決 問題，對於算術和代數之間文字符號的意義瞭解與運用方法常產生疑問，因而 無法順利地從算術階段轉換到代數階段 (Kieran, 1992)。另外，進入代數領域 後，學生除了要學習文字符號的意義與運算，同時還需要了解未知數、方程式、

變數等新的概念，因此國內外許多研究指出，學生在學習代數上常常發生困 難，且依學生之能力不同而有差異 (王佳文，1995；袁媛，1993；廖瓊菁，2001；

謝和秀，2001； Brenner & Moseley, 1997; Kieran, 1992)。在數學抽象化與形式 化學習的重要轉換階段中，代數學習是此階段之焦點，代數的學習對數學的推 論、歸納、演繹能力的培養，有著極大的關係 (林曉芳，1999)。而回顧以往對 於代數學習的相關研究可發現，研究焦點多為量化統計考驗與質性晤談，對於 以知識結構角度去分析學習者概念建構情形以及呈現個別的知識結構，則較少 相關研究及探討。因此進行國小學童代數內容之概念結構研究，以提供數學教 材和教學之參考，實有必要與可行之處 (陳紹銘，2006)。

在探討知識結構的研究方面，有許多方法論可以用來分析測量學生知識的概 念結構，如概念構圖 (concept mapping)、次序理論 (ordering theory, 簡稱OT)、

詮 釋 結 構 模 式 (interpretive structural modeling, 簡 稱 ISM) 、 徑 路 搜 尋 法 (pathfinder)、試題關聯結構 (item relational structure, 簡稱IRS) 和規則空間 (rule space) 等。其中，ISM是一個相當重要且有效的方法。ISM分析法是由 Warfield (1976) 根據元素之間的關係矩陣，所提出一種將元素階層化表示的方 法，其最早被運用在社會系統工學 (social system engineering) 中。佐藤隆博 (1987) 則舉出許多ISM分析法在教育領域中課程與學習的應用之實例，其主要 優點為，透過ISM分析法不但可將教學者腦中抽象的教學要素轉變為具體化的

關聯構造階層圖，亦能夠透過學習者概念元素彼此之間的關係，得到整體概念 的結構圖 (鍾靜蓉，2002)。國內有許多有關ISM分析法的實證研究 (許天維、

林原宏，1994；廖信德，1998；蔡秉燁、鍾靜蓉，2003)。不過ISM分析法中的 元素關係只限於二元關係，並且只能得到整體受試者的概念結構圖，使其在應 用上受到限制。林原宏 (2005) 結合模糊理論 (fuzzy theory) 與察覺的模糊邏 輯模式 (fuzzy logical model of pereption, 簡稱FLMP) 提出模糊取向的詮釋結 構模式，透過概念之間隸屬程度的運算，配合模糊截矩陣 (α-cut)，可改進傳統 ISM分析法受限於二元資料的限制，進而個別呈現學習者之知識結構。

在從事知識結構分析時，對於彼此差異性較大之群體所做的比較分析，得到 的差異特徵更具有意義。因此，在分析知識結構之前，先進行適當的樣本分群實 有其必要。集群分析 (cluster analysis) 是將一群個體或變數，依其特性的相似程 度分為數個集群的分析方法 (Everitt, 1993)。集群分析可應用在教育的研究上，

如：在教學過程中，可依據學生的學習結果予以分群，以利進行補救教學 (林原 宏，2005)。模糊集群 (fuzzy clustering) 是將模糊理論 (fuzzy theory) 之隸屬度 (membership) 引入了集群分析的一種分析方法 (Kaufman & Rousseeuw, 1990)，無 論在心理計量或科學教育方面均逐受重視。集群分析的方法有很多，本研究所採 用的目標函數法 (objective fucntion) 是應用性很廣的方法，可描述每一個體的隸 屬度，隸屬度是決定元素之間距離的重要因素，為分類的重要依據。為了提出一 兼顧有效且能清楚觀察學習差異的知識結構分析法，本研究結合模糊集群分析與 模糊取向的詮釋結構模式，應用於分析學生分年細目之結構，作為提供教學者教 學後檢視學習成果及補救教學之參考。

基於以上敘述，本研究以國小第一階段代數主題分年細目為內涵，根據受試 者作答資料，進行模糊集群分析，再以模糊取向的詮釋結構模式理論，繪製出各 群組之分年細目 ISM 圖，以期呈現不同群組受試者之分年細目結構並比較其特 徵。