研究目的

第一章緒論

第二節研究目的

基於上述背景與動機，本研究之目的列舉如下：

一、結合模糊集群分析方法與模糊取向的詮釋結構模式理論，進行國小一到三年級數學學習領域代數分年細目的階層結構分析。

二、探討不同群組受試者的分年細目ISM圖之特徵。

三、探討不同群組的受試者其試題內的分年細目 ISM 圖之特徵。

四、比較專家與學童的分年細目ISM 圖是否有顯著之差異。

五、比較不同群組受試者其分年細目 ISM 圖之間是否有顯著之差異。

第三節名詞釋義

本節內容係將本研究所使用的重要概念及變項釋義如下：

壹、模糊理論 (fuzzy theory)

模糊理論係由 L. A. Zadeh 於 1965 年在探討人類主觀思考過程與定量化處理的方法時所提出，其概念認為許多現象並不符合二分法的邏輯，並非在「是」

與「非」之間選擇其一，而是介於是與非之間。模糊現象指的就是不精確、模稜兩可、多重意義、不確定性的意思。例如有人說“今天的風很強”、“那個人很有錢”等。但是風多大才算強呢？有多少財富才算有錢呢？每個人對它們的定義都不同，也就是說這些語意或事物的狀態，大都只和人主觀的感覺判斷有密切的關係。因此，處理實際問題時，我們將普通集合「非此即彼」的絕對隸屬關係加以擴充，利用隸屬函數 (membership function) 的觀念，以具有某種程度的真實性來描述該集合，以界定不確定性問題之模糊性質。我們令U 表示全域 (universal set)，u為一函數，即u:U →[0,1]，則U之模糊子集A的隸屬函數記為

) (x

uA ，即元素 x 屬於模糊集合 A 之程度，並在 0~1 之間取值，用來表示此元素

歸屬於各個集合程度的強弱。

貳、模糊集群分析

模糊集群分析結合模糊理論與集群分析兩者概念，以隸屬度的觀點將相似程度高的元素歸為同一個集群，藉以研究不同集群之間的差異性。常使用的分法有兩種：第一種是fuzzy c-means，例如目標函數法 (objective function)；另一種是 fuzzy equivalence relation-based clustering，例如α截矩陣法、最大樹法。

參、詮釋結構模式

詮釋結構模式是由 J. N. Warfield 於 1976 年提出，它原是社會工學的一種彙整訊息的建模方法，建構在圖形論和離散數學的基礎上，其方法乃是根據元素之間的關係矩陣來分析元素之間的關聯順序，並將其轉變為具體化及全面化的關聯結構階層圖。

肆、模糊取向的詮釋結構模式

該分析法係由林原宏 (2005) 所提出，主要是應用察覺的模糊邏輯模式 (fuzzy logic model of perception)，並結合試題反應理論 (IRT)，來計算概念間上下從屬關係 (subordination relation ) 之機率，其機率構成一模糊關係矩陣，透過 AISM 軟體進行 α-cut 截矩陣分析，並同時繪製出個別受試者概念階層結構 圖。其優點為改進傳統詮釋結構模式 (ISM) 只限於二元資料分析之缺點，並得以分析個別化之 ISM 圖特徵。

伍、知識結構

知識結構指學習者經由學習的認知歷程，將數個單一概念內化之後所形成的關聯組織，本研究運用模糊詮釋結構模式分析法，採用林原宏 (2005) 發展之 AISM 程式，繪製出學習者之分年細目結構圖，稱為分年細目 ISM 圖。

第二章文獻探討

本章共分為五節，主要根據本研究之相關理論進行探討。第一節為模糊理論；第二節為模糊集群分析；第三節為詮釋結構模式分析法；第四節為知識結構的測量；第五節為代數的發展與教材內容之探討，各節內容如下：

第一節模糊理論

模糊理論由L.A. Zadeh教授在「資訊與控制」 (Information and Control) 期刊上發表「Fuzzy Sets」而問世，不同於傳統以二元邏輯來定義事物現象的敘述方法，

而改以隸屬度 (membership) 來描述元素對集合的隸屬關係 (林原宏，2005) 。運用模糊理論的觀念可以處理許多不確定因素的現象，因此常應用於工程、人工智慧、統計等領域。而在人文社會科學的領域方面，由於人文社會科學現象無法以傳統數值模型充分合理解釋，因此模糊統計和模糊相關性日漸受到重視（吳柏林，2002）。另外在教育與心理上，亦有逐漸興起之勢 (劉湘川、簡茂發，1992)。

壹、模糊理論之基本定義

「模糊」一詞，是指「不分明」、「不明確」、「界限不清」之意 (九章編輯部，1989)。相對於古典數學的二元邏輯 (即 0 或 1) 集合論，模糊理論將元素和集合之間用隸屬度來描述，其值介於[0, 1]之間。

【定義2-1】令U表示全域 (universal set)，u為一函數，即μ:U →[0,1]，則U之模糊子集A的隸屬函數記為μA(x)，表示元素x隸屬於模糊集合A的程度。

【定義 2-2】模糊子集A的α 截集定義為：

兩個集合元素之相似程度，稱之為模糊關係 (fuzzy relation)，可用矩陣方式表示，即模糊關係矩陣，其定義如下：

步驟一：令模糊關係矩陣為 r^ij ^m ⁿ

以機率性 (probability) 來表示發生前的不確定性，可以經由機率測度函數表示

以可能性 (possibility) 來表示發生後的不確定性，可以經由模糊

第二節模糊集群分析

群集分析是一種數值分類法 (numerical taxonomy)，它與傳統分類法不同之處，在於傳統分類法的分類準則是事先決定的，而群集分析是按照自然類別 (natural grouping)，將分佈於某一計量空間 (metric space) 的點予以分類，使分類後的群集均具有同性質 (黃俊英，1995)。其主要目的，在「根據元素之間的類似或相似程度，加以分類」，讓相似程度高的元素歸為同一個集群，也就是希望「集群內元素同質性高，而集群間的元素異質性高」(林邦傑，1981)。而把集群分析和模糊理論兩者的概念結合起來，即為模糊集群分析 (Kaufman &

Rousseeuw, 1990)。

壹、模糊集群分析的演算方法

根據模糊理論所進行的集群分析方法很多，其方法各有其特性，最常見的目標函數法是應用性很廣的方法，可描述每位個體的隸屬度，但它不具階層性的性質；α 截矩陣法雖無法表示出個體的隸屬度，但它具有階層性的優點；最大樹法則可觀察出個體間的距離關係。

本研究採用FCM演算法中的「目標函數法」來進行受試者的分群。Dunn (1974) 首先以目標函數的極小值方法，引入模糊集群之概念，而Bezdek (1974) 導出一般化公式並求得一般解，並提出FCM演算法 (Bezdek, 1981)。此方法可以不必設定權重，可以直接由資料的結構特徵及相似關係找出其分類的群集，在群集分析上是一個相當有效率的工具 (張敦程，2002)。以下敘述其演算方法。

假設欲分析之個體有N 位，以n=1,2,3,L,N表示，每位個體有M 個變項，以 M

m=1,2,3,L, 表示。資料矩陣表示如下：

(

x_nm

)

_N _M

V 即為所求。目標函數所求得之極小值，可能是局部極小值 (local minimum)，因此可考慮由不同之起始值來估計參數。

以上是在類別數為C的情況下，至於類別數之選擇，使用較廣的兩個指標如下 (Bezdek, 1981)：

(一)分割係數 (partition coefficient) 分割係數F(U;C)定義為：

(二)分割亂度 (partition entropy) 分割亂度H(U;C)定義為：

貳、模糊集群分析的相關研究運用

模糊集群分析是以模糊理論為基礎的集群分析，運用在各研究領域上的例子相當的普遍，而且效果相當良好。薛道隆 (1993) 應用模糊集群分析於市場區隔，

主要是將傳統明確分類 (crisp partition) 重新建立具有重疊性的區隔方式。王佳霖 (1994) 應用模糊聚類的方法在字型辨識上。黃國亮 (1995) 探討將模糊理論應用於集群分析之理論架構及判斷法則。林志聰 (1997) 以臺灣地區上市、上櫃商銀企銀之經營績效為例進行模糊集群分類以尋求最佳投資銀行。陳弘庭 (2002) 經由模糊分群方法將問卷受訪者的態度傾向資料作分群，並利用模糊績效指標將分群結果的好壞作績效評估。王淑貞 (2006) 將複雜龐大的電力系統應用模糊集群分析方法，簡化高階模型，降低計算複雜度與困難度，進而簡化分析系統性能的程序，

節省諸多不必要的時間、人力或設備。Gath and Geva (1989) 結合模糊集群理論和最大概似估計法，提出了模糊最大概似估計 (fuzzy maximum likelihood estimation) 之二階段演算法，第一階段為一般之模糊集群分析，第二階段是根據第一階段的結果，作為最大概似估計法的起點。此外，其研究中並提出各種衡量適當分割數目的指標。Perdikaris (1996) 利用模糊集合隸屬度函數理論建立出van Hiele幾何認知發展模式。

由上述可知，運用模糊集群可衡量個體或事物間相似度或距離，建立一客觀的組群分類標準，發展描述組群的方法，近年來無論在心理計量或科學教育方面均逐漸受到重視。

第三節詮釋結構模式分析法

壹、詮釋結構模式

詮釋結構模式最早由 Warfield (1976,1977) 所提出，原為社會系統工學 (social system engineering) 之一種構造模型法 (structure modeling)。其主要在於

分析一個集合內所有元素之間的從屬關係 (subordination relation)，根據離散數學和圖形理論，結合行為科學、數學概念、團體決策 (group discussion) 及電腦輔助等領域，透過矩陣的數學運算，呈現出一個系統內全部元素的關連性，

並藉由電腦輔助運算，呈現出元素間完整的多層級結構化階層圖形 (multilevel structure ierarchy) (Warfield, 1977)。Warfield (1982) 在提出 ISM 方法數年後，

敘述有關此方法在各領域的應用，並對其數學方法做一分析，這些領域包括社

(二)傳遞閉包(transitive closure)

定義Aˆ = A⊕A²⊕A³⊕LA^P，且矩陣 Aˆ 稱為傳遞閉包。

(三)可到達矩陣(reachability matrix)

定義Aˆ⊕I = A⊕A² ⊕A³⊕LA^P ⊕I =(A⊕I)^P，其中I 表示K×K階的單位矩

【步驟一】針對^R⁽^A^k⁾和^R⁽^A^k⁾^∩^M⁽^A^k⁾的每一列，找出列相等的元素。在上表中，

先找到相對應的第 1 列A¹，則在^R⁽^A^k⁾、^R⁽^A^k⁾^∩^M⁽^A^k⁾中 A¹所在的行 (column) 與列 (row) 全部刪掉，刪除後的列與行則不再比較和尋找。

【步驟二】以相同方法再找到第 5 列A⁵，以此類推，我們再次得到A³、A⁴一組元素和A²元素。

【步驟三】將找到的元素依序列出高低層級，並依A中的元素關係，劃上箭頭，

如圖 2-1 所示，圖 2-1 中A³、A⁴是對等元素。在此，完成 ISM 圖的繪製。若ISM 圖形元素多而箭頭關係複雜，則可視研究者所需而進行圖形簡化。

圖 2-1 ISM 圖的繪製

二、詮釋結構模式在教育上的實證研究

詮釋結構模式主要功能是「建立整體概念元素之間的關係，即經由部份元素之間的關係，整合起來形成所有元素整體之關係」(許天維、林原宏，1994)。日本學者佐藤隆博在其專書「構造學習法」中，探討學科內容的知識架構與其結構的表現，將學習單元內的教材要素依學習目標先明確地細分出來後，再精確決

A3 A4

A3 A₄

定全部學習項目間彼此兩兩關聯性，透過ISM 法數學運算後，最後產生構造化教材的一種設計方法 (佐藤隆博，1987)。藉由分析認知結構之階層有向圖，ISM 分析法不但可以將教學者腦中抽象的教學要素轉變為具體化的關聯構造階層圖，

亦能夠透過學習者概念元素彼此之間的關係，得到整體概念的結構圖 (鍾靜蓉，

2002)。其用途主要可用於下列幾項 (引自許天維、林原宏，1994)：

(一)教材內容的結構化：分析教學目標，再界定次要目標，決定出各單元間教

在文檔中國小一到三年級數學學習領域代數分年細目之模糊集群與詮釋結構模式分析 (頁 14-0)

第一章 緒論

第二節 研究目的

第三節 名詞釋義