國小一到三年級數學學習領域代數分年細目之模糊集群與詮釋結構模式分析

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(1)國立臺中教育大學教育測驗統計研究所理學碩士論文. 指導教授：林原宏. 博士. 國小一到三年級數學學習領域代數分年細目之模糊集群與詮釋結構模式分析. 研究生：施勝耀. 撰. 中華民國九十七年七月.

(2) 謝. 辭. 時間過的真快，才記得剛入學時，與新認識的同學一起到學生餐廳吃飯，大家有說有笑的情景，轉眼，離別的季節已經到來，大家就要奔向不同的前程。回顧這兩年來的學習，特別要感謝指導教授－原宏老師，您認真的教學態度、嚴謹的學術研究精神、還有那高層次的幽默，總能讓我們輕鬆的學會課程的內容。三篇論文的發表與畢業論文的完成，更要謝謝老師，總是不厭其煩、一次又一次的提醒每個該注意的小細節，甚至到深夜還在修改我們的論文，讓我們能夠順利的畢業，您對學生的用心，我們永遠不會忘記。另外感謝論文口試委員楊教授凱琳、易教授正明給予懇切的建議與寶貴的指導，讓我得以更加的釐清研究問題，並使論文內容更加的完整。求學期間，家人的支持是我不斷前進的原動力，謝謝爸爸、媽媽的鼓勵，讓我在疲累時，總能繼續堅持下去；也感謝求學過程中，一起努力的同學，有你們的幫忙，讓我得以在學習的路上走的更加的平順。學無止境，終點也是起點，我將繼續努力，讓自己的人生更加的多采多姿。.

(3) 中文摘要本研究目的在應用模糊集群與模糊取向之詮釋結構模式，分析國小一到三年級學童在數學學習領域代數分年細目之階層結構關係。本研究針對臺中縣、彰化縣、南投縣一至三年級共 90 個班，2881 名學生作為研究對象，依據九年一貫課程數學代數主題一至三年級之分年細目，以研究者自編測驗為研究工具，利用模糊集群分析配合模糊取向之詮釋結構模式，根據學生作答資料加以分析並圖繪受試者之知識結構圖。研究結果發現：一、運用模糊集群分析，以受試者對分年細目的精熟度為依據，能將受試者分成適當的群數。二、模糊取向的詮釋結構模式可有效的分析個別群組之代數分年細目結構。三、不同群組的受試者，其分年細目結構不盡相同。四、不同群組的受試者，在同一試題內的分年細目結構亦不盡相同。五、根據不同群組受試者之分年細目 ISM 圖，其分年細目間的連結指向關係，可具體提供教學者規劃分組教學或作為補救教學的參考。六、以專家的分年細目 ISM 圖為參照標準，不同群組受試者的分年細目 ISM 圖皆與專家的分年細目 ISM 圖具有顯著的差異，且不同群組間的分年細目 ISM 圖亦具有顯著的差異性。本研究之結果與發現，有助於教學者瞭解一至三年級學童的代數知識結構，以及作為實施補救教學或分組教學之參考。最後，根據研究心得，研究者提出對未來研究的相關建議。. 關鍵詞：模糊理論、模糊集群、詮釋結構模式、知識結構分析、代數. I.

(4) Abstract The purpose of this study was to apply the fuzzy approach of clustering and ISM to analyze the hierarchical structure of mathematics competence indicators of algebra for first to third graders. The researcher tested 2881 first to third graders of elementary schools by using self-designed test based on mathematics competence indicators. The data of the test was analyzed based on the fuzzy approach of clustering and ISM to display the ISM graphs of examinees. The research explored and compared the hierarchical structure of mathematics competence indicators according to the results of clustering. Through the procedures of the analysis, the following conclusions were found. 1. The fuzzy clustering was a feasible way to classify examinees into appropriate clusters so that examinees of the cluster own similar features of knowledge structure. 2. The methodology of this research was a feasible way for analyzing the competence indicators of algebra. 3. The ISM graphs of examinees varied among different clusters. 4. The structure of competence indicators in each item varied with different-clustered examinees. 5. According to the individualized ISM graphs of algebra competence indicators, the linkage among competence indicators could be as references for group teaching and remedial instruction. 6. Based on the referenced standard of experts’ competence indicators structure, the ISM graphs of different-clustered examinees were quantitatively different.. II.

(5) The findings of this study should be helpful for understanding the knowledge structure of algebra competence indicators and as references for remedial instruction or group teaching. Finally, some recommendations and suggestions for future research are provided.. Keywords: Fuzzy Theory, Fuzzy Clustering, Interpretive Structural Modeling, Knowledge Structure Analysis, Algebra. III.

(6) 目錄第一章緒論…………………………………………………………....1 第一節研究動機...........................................................................................1 第二節研究目的...........................................................................................4 第三節名詞解釋...........................................................................................4. 第二章文獻探討…………………………………………………...…7 第一節模糊理論...........................................................................................7 第二節模糊集群分析………………………………………………….….10 第三節詮釋結構模式分析法......................................................................13 第四節知識結構的測量..............................................................................21 第五節代數的發展與教材內容之探討………………………..….....…29. 第三章研究方法…..............................................................................37 第一節研究架構..........................................................................................37 第二節研究對象..........................................................................................38 第三節研究工具..........................................................................................39 第四節研究流程..........................................................................................45 第五節資料分析..........................................................................................46. IV.

(7) 第四章研究結果與討論.............................................................. 51 第一節模糊集群分析………………..........................................................51 第二節不同群組分年細目指標概念 ISM 圖之比較.................................57 第三節不同群組受試者在試題內分年細目 ISM 圖之異同.....................65 第四節不同群組受試者的ISM圖與專家的ISM圖之比較…....................68. 第五章結論與建議............................................................................71 第一節結論...................................................................................................71 第二節研究限制...........................................................................................73 第三節研究建議...........................................................................................74. 參考文獻. ......................................................................................................77. 壹、中文部分...............................................................................................77 貳、日文部分...............................................................................................81 參、英文部分...............................................................................................81. 附錄…………………………………………………………………….…...….87 附錄一代數分年細目測驗……....................................................................87 附錄二受試者之模糊關係矩陣....................................................................95. V.

(8) 表目錄表 2-1 機率理論和模糊理論之比較.................................................................9 表2-2 三個網路中部分節點的圖形理論距離值………………………….....27 表 2-3 網路一和網路二的 PFC 指數之計算..................................................27 表 2-4 代數主題之能力指標........................................................................... 34 表 3-1 各地區不同學校之不同年級受試者人數一覽表......................….. 38 表 3-2 數學代數主題分年細目指標............................................................... 39 表 3-3 一年級試題與分年細目之關係矩陣................................................. 40 表 3-4 二年級試題與分年細目之關係矩陣…………….………………….41 表 3-5 三年級試題與分年細目之關係矩陣………………………………..41 表 3-6 一年級正式測驗工具之分析............................................................... 42 表 3-7 二年級正式測驗工具之分析............................................................... 43 表 3-8 三年級正式測驗工具之分析............................................................... 44 表 4-1 一年級受試者模糊集群分析之結果.................................................... 51 表4-2 一年級前20位受試者隸屬度模糊矩陣U………...…..………................ 52 表4-3 一年級受試者隸屬群組個數情形...........................................….......... 53 表 4-4 二年級受試者模糊集群分析之結果..........................................…...... 53 表 4-5 二年級前 20 位受試者隸屬度模糊矩陣 U...........................................54 表 4-6 二年級受試者隸屬群組個數情形........................................................ 55 表 4-7 三年級受試者模糊集群分析之結果.................................................... 55 表 4-8 三年級前 20 位受試者隸屬度模糊矩陣 U…………………….............. 56 表 4-9 三年級受試者隸屬群組個數情形.........................................................56 表 4-10 一年級受試者之分年細目截矩陣...............…………....................... 58 表 4-11 一年級受試者對每一個分年細目之精熟度…................................... 59 表 4-12 二年級受試者之分年細目截矩陣.................................……….…….60. VI.

(9) 表 4-13 二年級受試者對每一個分年細目之精熟度.....................……….….. 62 表 4-14 三年級受試者之分年細目截矩陣…...........................…………...…..63 表 4-15 三年級受試者對每一個分年細目之精熟度…………………………64 表 4-16 一年級不同群組的試題內分年細目階層結構…...…..………...……65 表 4-17 二年級不同群組的試題內分年細目階層結構………………….…...66 表 4-18 三年級不同群組的試題內分年細目階層結構………………………67 表 4-19 不同群組與專家的相似性係數之單一樣本 t 檢定摘要表…….…..69 表 4-20 不同群組間的相似性係數之單一樣本 t 檢定摘要表……….….….70. VII.

(10) 圖目錄圖2-1 ISM 圖的繪製…………………………………………………..…...……16 圖2-2 概念圖計分模式…………………………………………………….…....24 圖2-3 接近性矩陣與徑路搜尋法……………………………………….…....…26 圖2-4 網路一和網路二、網路三之 PFC 和 GTD 指數………….……..….......26 圖2-5 代數概念之知識架構圖…………………………………………....…….31 圖3-1 研究架構圖…………………………………………………………….…37 圖3-2 研究流程圖…………………………………………………………….…45 圖 4-1 一年級兩群組受試者對分年細目精熟度之折線圖……………………52 圖 4-2 二年級兩群組受試者對分年細目精熟度之折線圖……………………54 圖 4-3 三年級兩群組受試者對分年細目精熟度之折線圖……………………55 圖 4-4 一年級不同群組的分年細目 ISM 圖………………………………..…59 圖 4-5 一年級兩群組分年細目 ISM 圖精熟度之比較圖…………………..…60 圖 4-6 二年級兩個群組的分年細目 ISM 圖………………………………..…61 圖 4-7 二年級兩群組分年細目 ISM 圖精熟度之比較圖…………………..…62 圖 4-8 三年級兩個群組的分年細目 ISM 圖………………………………..…63 圖 4-9 三年級兩群組分年細目 ISM 圖精熟度之比較圖.…………………..…64. VIII.

(11) 第一章緒論本研究目的在應用模糊集群分析和模糊取向的詮釋結構模式，分析國小一到三年級學童，在數學代數主題分年細目之階層結構。研究者運用模糊集群分析，依據受試者對分年細目的精熟度，將受試者加以分群，圖繪出各群組受試者的分年細目 ISM 圖，並探討不同群組分年細目 ISM 圖之特徵。本章旨在闡述本研究之動機、目的及對本研究所提及之相關名詞作釋義。. 第一節研究動機在進入二十一世紀且處於高度文明化的世界中，數學知識與數學能力，已逐漸成為日常生活及職場裡應具備的基本能力。而數學教育目的，便是要讓每個學生能夠擁有正確的數學概念以提昇數學能力。所以，有意義及有效率的數學學習相當重要 (教育部，2003)。為了國家發展的需求及對社會期待的回應，教育部於 2001 年 1 月公佈了「國民中小學九年一貫課程暫行綱要」，對於教育的精神與課程的內容做出重大的革新，也為我國國民教育的發展帶來史無前例的巨大變革 (吳寶桂，2004)。九年一貫課程強調以學習者為主體，以知識的完整面為教育的主軸，以終身學習為教育的目標。在數學課程方面，除了將學科名稱改為學習領域之外，並將九年一貫課程數學學習領域分成「數與量」、「圖形與空間」、「統計與機率」、「代數」和「連結」五大主題，以及具體操作 (一至三年級)、具體表徵 (四至五年級)、類化具體表徵 (六至七年級)、符號表徵 (八至九年級)四個階段 (教育部，2001)。而為了銜接高中職課程總綱，教育部在修正暫行綱要裡的部份課程內容後，於 2004 年 8 月正式實施「數學領域課程綱要」，作為我國推動中小學數學教育的方針。在民國 82 年制訂的國小數學課程標準中，有關代數的相關內容比較少，常常造成學生在進入國中後產生代數學習上的斷層與不適應。新的. 1.

(12) 課程綱要在國小部分，提早引入一些代數概念，包括運用未知數作數學表式、加強變數的概念、理解等量公理等，希望能有助於銜接國中的代數教學。 Vergnaud (1997) 認為由算術進入到代數之學習階段，首先要面對的困難是學習辨認新的數學物件。但由於學生在做算術時，多採取直覺的方法式來解決問題，對於算術和代數之間文字符號的意義瞭解與運用方法常產生疑問，因而無法順利地從算術階段轉換到代數階段 (Kieran, 1992)。另外，進入代數領域後，學生除了要學習文字符號的意義與運算，同時還需要了解未知數、方程式、變數等新的概念，因此國內外許多研究指出，學生在學習代數上常常發生困難，且依學生之能力不同而有差異 (王佳文，1995；袁媛，1993；廖瓊菁，2001；謝和秀，2001； Brenner & Moseley, 1997; Kieran, 1992)。在數學抽象化與形式化學習的重要轉換階段中，代數學習是此階段之焦點，代數的學習對數學的推論、歸納、演繹能力的培養，有著極大的關係 (林曉芳，1999)。而回顧以往對於代數學習的相關研究可發現，研究焦點多為量化統計考驗與質性晤談，對於以知識結構角度去分析學習者概念建構情形以及呈現個別的知識結構，則較少相關研究及探討。因此進行國小學童代數內容之概念結構研究，以提供數學教材和教學之參考，實有必要與可行之處 (陳紹銘，2006)。在探討知識結構的研究方面，有許多方法論可以用來分析測量學生知識的概念結構，如概念構圖 (concept mapping)、次序理論 (ordering theory, 簡稱OT)、詮釋結構模式 (interpretive structural modeling, 簡稱 ISM) 、徑路搜尋法 (pathfinder)、試題關聯結構 (item relational structure, 簡稱IRS) 和規則空間 (rule space) 等。其中，ISM是一個相當重要且有效的方法。ISM分析法是由 Warfield (1976) 根據元素之間的關係矩陣，所提出一種將元素階層化表示的方法，其最早被運用在社會系統工學 (social system engineering) 中。佐藤隆博 (1987) 則舉出許多ISM分析法在教育領域中課程與學習的應用之實例，其主要優點為，透過ISM分析法不但可將教學者腦中抽象的教學要素轉變為具體化的. 2.

(13) 關聯構造階層圖，亦能夠透過學習者概念元素彼此之間的關係，得到整體概念的結構圖 (鍾靜蓉，2002)。國內有許多有關ISM分析法的實證研究 (許天維、林原宏，1994；廖信德，1998；蔡秉燁、鍾靜蓉，2003)。不過ISM分析法中的元素關係只限於二元關係，並且只能得到整體受試者的概念結構圖，使其在應用上受到限制。林原宏 (2005) 結合模糊理論 (fuzzy theory) 與察覺的模糊邏輯模式 (fuzzy logical model of pereption, 簡稱FLMP) 提出模糊取向的詮釋結構模式，透過概念之間隸屬程度的運算，配合模糊截矩陣 (α-cut)，可改進傳統 ISM分析法受限於二元資料的限制，進而個別呈現學習者之知識結構。在從事知識結構分析時，對於彼此差異性較大之群體所做的比較分析，得到的差異特徵更具有意義。因此，在分析知識結構之前，先進行適當的樣本分群實有其必要。集群分析 (cluster analysis) 是將一群個體或變數，依其特性的相似程度分為數個集群的分析方法 (Everitt, 1993)。集群分析可應用在教育的研究上，如：在教學過程中，可依據學生的學習結果予以分群，以利進行補救教學 (林原宏，2005)。模糊集群 (fuzzy clustering) 是將模糊理論 (fuzzy theory) 之隸屬度 (membership) 引入了集群分析的一種分析方法 (Kaufman & Rousseeuw, 1990)，無論在心理計量或科學教育方面均逐受重視。集群分析的方法有很多，本研究所採用的目標函數法 (objective fucntion) 是應用性很廣的方法，可描述每一個體的隸屬度，隸屬度是決定元素之間距離的重要因素，為分類的重要依據。為了提出一兼顧有效且能清楚觀察學習差異的知識結構分析法，本研究結合模糊集群分析與模糊取向的詮釋結構模式，應用於分析學生分年細目之結構，作為提供教學者教學後檢視學習成果及補救教學之參考。基於以上敘述，本研究以國小第一階段代數主題分年細目為內涵，根據受試者作答資料，進行模糊集群分析，再以模糊取向的詮釋結構模式理論，繪製出各群組之分年細目 ISM 圖，以期呈現不同群組受試者之分年細目結構並比較其特徵。. 3.

(14) 第二節研究目的基於上述背景與動機，本研究之目的列舉如下：一、結合模糊集群分析方法與模糊取向的詮釋結構模式理論，進行國小一到三年級數學學習領域代數分年細目的階層結構分析。二、探討不同群組受試者的分年細目ISM圖之特徵。三、探討不同群組的受試者其試題內的分年細目 ISM 圖之特徵。四、比較專家與學童的分年細目 ISM 圖是否有顯著之差異。五、比較不同群組受試者其分年細目 ISM 圖之間是否有顯著之差異。. 第三節名詞釋義本節內容係將本研究所使用的重要概念及變項釋義如下：. 壹、模糊理論 (fuzzy theory) 模糊理論係由 L. A. Zadeh 於 1965 年在探討人類主觀思考過程與定量化處理的方法時所提出，其概念認為許多現象並不符合二分法的邏輯，並非在「是」與「非」之間選擇其一，而是介於是與非之間。模糊現象指的就是不精確、模稜兩可、多重意義、不確定性的意思。例如有人說“今天的風很強”、“那個人很有錢”等。但是風多大才算強呢？有多少財富才算有錢呢？每個人對它們的定義都不同，也就是說這些語意或事物的狀態，大都只和人主觀的感覺判斷有密切的關係。因此，處理實際問題時，我們將普通集合「非此即彼」的絕對隸屬關係加以擴充，利用隸屬函數 (membership function) 的觀念，以具有某種程度的真實性來描述該集合，以界定不確定性問題之模糊性質。我們令 U 表示全域 (universal set)， u 為一函數，即 u : U → [0,1] ，則 U 之模糊子集 A 的隸屬函數記為 uA( x) ，即元素 x 屬於模糊集合 A 之程度，並在 0~1 之間取值，用來表示此元素. 4.

(15) 歸屬於各個集合程度的強弱。. 貳、模糊集群分析模糊集群分析結合模糊理論與集群分析兩者概念，以隸屬度的觀點將相似程度高的元素歸為同一個集群，藉以研究不同集群之間的差異性。常使用的分法有兩種：第一種是 fuzzy c-means，例如目標函數法 (objective function)；另一種是 fuzzy equivalence relation-based clustering，例如α截矩陣法、最大樹法。. 參、詮釋結構模式詮釋結構模式是由 J. N. Warfield 於 1976 年提出，它原是社會工學的一種彙整訊息的建模方法，建構在圖形論和離散數學的基礎上，其方法乃是根據元素之間的關係矩陣來分析元素之間的關聯順序，並將其轉變為具體化及全面化的關聯結構階層圖。. 肆、模糊取向的詮釋結構模式該分析法係由林原宏 (2005) 所提出，主要是應用察覺的模糊邏輯模式 (fuzzy logic model of perception)，並結合試題反應理論 (IRT)，來計算概念間上下從屬關係 (subordination relation ) 之機率，其機率構成一模糊關係矩陣，透過 AISM 軟體進行 α-cut 截矩陣分析，並同時繪製出個別受試者概念階層結構圖。其優點為改進傳統詮釋結構模式 (ISM) 只限於二元資料分析之缺點，並得以分析個別化之 ISM 圖特徵。. 伍、知識結構知識結構指學習者經由學習的認知歷程，將數個單一概念內化之後所形成的關聯組織，本研究運用模糊詮釋結構模式分析法，採用林原宏 (2005) 發展之 AISM 程式，繪製出學習者之分年細目結構圖，稱為分年細目 ISM 圖。. 5.

(16) 6.

(17) 第二章文獻探討本章共分為五節，主要根據本研究之相關理論進行探討。第一節為模糊理論；第二節為模糊集群分析；第三節為詮釋結構模式分析法；第四節為知識結構的測量；第五節為代數的發展與教材內容之探討，各節內容如下：. 第一節模糊理論模糊理論由L.A. Zadeh教授在「資訊與控制」 (Information and Control) 期刊上發表「Fuzzy Sets」而問世，不同於傳統以二元邏輯來定義事物現象的敘述方法，而改以隸屬度 (membership) 來描述元素對集合的隸屬關係 (林原宏，2005) 。運用模糊理論的觀念可以處理許多不確定因素的現象，因此常應用於工程、人工智慧、統計等領域。而在人文社會科學的領域方面，由於人文社會科學現象無法以傳統數值模型充分合理解釋，因此模糊統計和模糊相關性日漸受到重視（吳柏林，2002）。另外在教育與心理上，亦有逐漸興起之勢 (劉湘川、簡茂發，1992)。. 壹、模糊理論之基本定義「模糊」一詞，是指「不分明」、「不明確」、「界限不清」之意 (九章編輯部，1989)。相對於古典數學的二元邏輯 (即 0 或 1) 集合論，模糊理論將元素和集合之間用隸屬度來描述，其值介於[0, 1]之間。【定義 2-1】令 U 表示全域 (universal set)， u 為一函數，即 μ : U → [0,1] ，則 U 之模糊子集 A 的隸屬函數記為 μA( x) ，表示元素 x 隸屬於模糊集合 A 的程度。. 7.

(18) 【定義 2-2】模糊子集 A 的 α 截集定義為： Aα = {x μA( x) ≥ α} , 0 ≤ α ≤ 1. A 的 α 截集的隸屬度函數 μAα (x) 為： ⎧1 , μA( x) ≥ α ⎩0 , μA( x) < α. μA ( x) = ⎨ α. 貳、模糊關係矩陣兩個集合元素之相似程度，稱之為模糊關係 (fuzzy relation)，可用矩陣方式表示，即模糊關係矩陣，其定義如下：【定義 2-3】假設論域 X 有 M 個元素，論域 Y 有 N 個元素，則用來描述 X 與 Y 兩集合元素間的關係模糊關係矩陣 (fuzzy relation matrix) 可表示為：. ⎡ r11 ⎢ . R=⎢ ⎢ . ⎢ ⎣rM 1. . . r1 N ⎤ . . . ⎥⎥ = (rij ) m × n . . . ⎥ ⎥ . . rMN ⎦. 其中 rij = fR(x, y) : X × Y → [0,1] 【定義 2-4】如果上述 R = (rij ) m × n 滿足下列三項條件，則稱為 R 為等價矩陣。 1.反身性： rij =1 (i=1,2,3…..,n)，即主對角線上元素都是 1。 2.對稱性： rij = rji ，即 R 為對稱矩陣。 3.遞移性：R。 R⊆ R ，即 R 包含它與它自身的合成。. 參、模糊截矩陣 α截矩陣 (α-cut) 係將模糊關係矩陣轉換為二元關係矩陣，其計算步驟如下：. 8.

(19) ⎡ r11 ⎢ . ⎢ 步驟一：令模糊關係矩陣為 R = ⎢ . ⎢ ⎣rM 1. . . r1 N ⎤ . . . ⎥⎥ = (rij ) m × n . . . ⎥ ⎥ . . rMN ⎦. 步驟二：給定一實數α (0≤ α ≤1)，則模糊關係矩陣R之α截矩陣為 ⎧1 , rij ≥ α R α = (rijα ) I × J 且 rijα = ⎨ ⎩0 , rij < α. ，其中 0 ≤ α ≤ 1. 本質上，模糊理論和機率理論都是研究不確定性的問題 (Zimmermann, 1991) ，其二者之間有某些相同和相異之處，若將模糊理論和機率理論加以比較，可綜合如表 2-1：. 表 2-1 機率理論和模糊理論之比較 (引自林原宏，2002b) 項目. 機率理論. 模糊理論. 理論基礎. 機率理論 (probability). 可能性理論 (possibility). 以機率性 (probability) 來表示. 以可能性 (possibility) 來表示發. 發生前的不確定性，可以經由機. 生後的不確定性，可以經由模糊. 率測度函數表示. 測度函數表示. 具事前觀點，機率是指發生前不. 具事後觀點，模糊是指發生後仍. 確定性，但發生後即確定. 有不確定性. 數值. [0,1]之間的機率值. [0,1]之間的隸屬度值. 聯集運算. 採加法. 取最大值. 交集運算. 採乘法. 取最小值. 目的. 性質. 9.

(20) 第二節模糊集群分析群集分析是一種數值分類法 (numerical taxonomy)，它與傳統分類法不同之處，在於傳統分類法的分類準則是事先決定的，而群集分析是按照自然類別 (natural grouping)，將分佈於某一計量空間 (metric space) 的點予以分類，使分類後的群集均具有同性質 (黃俊英，1995)。其主要目的，在「根據元素之間的類似或相似程度，加以分類」，讓相似程度高的元素歸為同一個集群，也就是希望「集群內元素同質性高，而集群間的元素異質性高」(林邦傑，1981)。而把集群分析和模糊理論兩者的概念結合起來，即為模糊集群分析 (Kaufman & Rousseeuw, 1990)。. 壹、模糊集群分析的演算方法根據模糊理論所進行的集群分析方法很多，其方法各有其特性，最常見的目標函數法是應用性很廣的方法，可描述每位個體的隸屬度，但它不具階層性的性質；α 截矩陣法雖無法表示出個體的隸屬度，但它具有階層性的優點；最大樹法則可觀察出個體間的距離關係。本研究採用FCM演算法中的「目標函數法」來進行受試者的分群。Dunn (1974) 首先以目標函數的極小值方法，引入模糊集群之概念，而Bezdek (1974) 導出一般化公式並求得一般解，並提出FCM演算法 (Bezdek, 1981)。此方法可以不必設定權重，可以直接由資料的結構特徵及相似關係找出其分類的群集，在群集分析上是一個相當有效率的工具 (張敦程，2002)。以下敘述其演算方法。假設欲分析之個體有 N 位，以 n = 1,2,3,L, N 表示，每位個體有 M 個變項，以 m = 1,2,3,L, M 表示。資料矩陣表示如下：. 10.

(21) ⎡ x 11 ⎢ x X = ⎢ 21 ⎢ M ⎢ ⎢⎣ x N 1. L x 1M ⎤ L x 2 M ⎥⎥ = ( x nm ) N × M M M ⎥ ⎥ L x NM ⎥⎦. x 12 x 22 M x N2. 在 C 個類別 ( C ≥ 2 ) 下，個體的隸屬度矩陣為： ⎡ u 11 ⎢ u U = ⎢ 21 ⎢ M ⎢ ⎢⎣u C 1. L u 1N ⎤ L u 2 N ⎥⎥ M M ⎥ ⎥ L u CN ⎥⎦. u 12 u 22 M u C2. 各類別之中心為： ⎡ v 11 ⎢ v V = ⎢ 21 ⎢ M ⎢ ⎣⎢v C 1. v 12 v 22 M v C2. L v 1M ⎤ L v 2 M ⎥⎥ = (vcm )C × M M M ⎥ ⎥ L v CM ⎦⎥. 定義一個目標函數，根據此目標函數求其極小值： N. C. Jq (U ,V ) = ∑∑ (u cn) q d 2 (c, n) n =1 c =1. 其中： M. 2 2 d (c, n) = ∑ ( x nm − v cm) m =1. q 值會影響隸屬度值， q 值愈大，則分割愈模糊； q 值愈小，則分割愈明確. (Zimmermann, 1991)。經驗上 q 值取 [1.25,5]較佳 (Pal & Bezdek, 1995)。接下來以 Lagrange’s multipliers 方法，求 J q (U ,V ) 之極小值，可得 ucn 、 vcm 的關係式如下： 1. ucn =. ⎤ q −1 ⎡ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢M ⎢ ( x − v )2 ⎥ nm cm ⎥⎦ ⎢⎣ ∑ m =1 1. ⎤ q −1 ⎡ C ⎢ ⎥ 1 ⎥ ⎢ ∑ M 2 ⎢ l =1 ( xnm − vlm ) ⎥ ∑ ⎥⎦ ⎢⎣ m =1. 11.

(22) N. vcm =. ∑ (u n =1. cn. ) q ( xnm ). N. ∑ (u n =1. cn. )q. 若： M. ∑ (x. nm. 2 − v cm) = 0. m =1. 則： u cn = 1 且 u c 'n = 0 , ∀ c' ≠ c. 利用迭代法 (iteration)，選擇 u cn 、 vcm 的起始點 (initial value) 和決定收歛的標準，並進行迭代，直到 u cn 、 vcm 收歛。最後所得的隸屬度矩陣 U 和類別之中心矩陣 V 即為所求。目標函數所求得之極小值，可能是局部極小值 (local minimum)，因. 此可考慮由不同之起始值來估計參數。以上是在類別數為 C 的情況下，至於類別數之選擇，使用較廣的兩個指標如下 (Bezdek, 1981)： (一)分割係數 (partition coefficient) 分割係數 F (U ; C ) 定義為： F (U ; C ) =. 1 N C ∑∑ (u cn)2 N n =1 c =1. 此數值的範圍是. 1 ≤ F (U ; C ) ≤ 1 ；在實際應用中，當其較大值時，為較佳的分 C. 割數。 (二)分割亂度 (partition entropy) 分割亂度 H (U ; C ) 定義為： H (U ; C ) =. −1 N C ∑∑ ucnln(ucn) ， ∀ucn ≠ 0 N n =1 c =1. 此數值的範圍是 0 ≤ H (U ; C ) ≤ ln(C ) ；在實際應用中，當其較小值時，為較佳的分割數。本研究即以這兩項指標做為分群的參考依據標準。. 12.

(23) 貳、模糊集群分析的相關研究運用模糊集群分析是以模糊理論為基礎的集群分析，運用在各研究領域上的例子相當的普遍，而且效果相當良好。薛道隆 (1993) 應用模糊集群分析於市場區隔，主要是將傳統明確分類 (crisp partition) 重新建立具有重疊性的區隔方式。王佳霖 (1994) 應用模糊聚類的方法在字型辨識上。黃國亮 (1995) 探討將模糊理論應用於集群分析之理論架構及判斷法則。林志聰 (1997) 以臺灣地區上市、上櫃商銀企銀之經營績效為例進行模糊集群分類以尋求最佳投資銀行。陳弘庭 (2002) 經由模糊分群方法將問卷受訪者的態度傾向資料作分群，並利用模糊績效指標將分群結果的好壞作績效評估。王淑貞 (2006) 將複雜龐大的電力系統應用模糊集群分析方法，簡化高階模型，降低計算複雜度與困難度，進而簡化分析系統性能的程序，節省諸多不必要的時間、人力或設備。Gath and Geva (1989) 結合模糊集群理論和最大概似估計法，提出了模糊最大概似估計 (fuzzy maximum likelihood estimation) 之二階段演算法，第一階段為一般之模糊集群分析，第二階段是根據第一階段的結果，作為最大概似估計法的起點。此外，其研究中並提出各種衡量適當分割數目的指標。Perdikaris (1996) 利用模糊集合隸屬度函數理論建立出van Hiele幾何認知發展模式。由上述可知，運用模糊集群可衡量個體或事物間相似度或距離，建立一客觀的組群分類標準，發展描述組群的方法，近年來無論在心理計量或科學教育方面均逐漸受到重視。. 第三節詮釋結構模式分析法壹、詮釋結構模式詮釋結構模式最早由 Warfield (1976,1977) 所提出，原為社會系統工學 (social system engineering) 之一種構造模型法 (structure modeling)。其主要在於. 13.

(24) 分析一個集合內所有元素之間的從屬關係 (subordination relation)，根據離散數學和圖形理論，結合行為科學、數學概念、團體決策 (group discussion) 及電腦輔助等領域，透過矩陣的數學運算，呈現出一個系統內全部元素的關連性，並藉由電腦輔助運算，呈現出元素間完整的多層級結構化階層圖形 (multilevel structure ierarchy) (Warfield, 1977)。Warfield (1982) 在提出 ISM 方法數年後，敘述有關此方法在各領域的應用，並對其數學方法做一分析，這些領域包括社會學、人類學、心理學及哲學。其分析方法與在教育領域方面的應用，茲分別加以敘述。一、ISM 分析方法假設欲分析的系統內有 K 個元素，且已知其中任意兩元素 Ai 與 A j 的二元關係，以 A = (aij )K ×K 表示。若 aij = 1 ，表示 Ai 從屬於 A j ，即 Ai 為 A j 的下階元素；若 aij = 0 ，表示 Ai 不為 A j 之下階元素。ISM 分析方法的要點為 (林原宏，2005)：. (一)矩陣的運算 ( 2) ( 2) ( 2) ⎡a11 a12 L a1K ⎤ ⎢ ( 2) ( 2) ( 2) ⎥ a 21 a 22 L a 2 K ⎥ 2 ⎢ = = (a ij( 2 ) )K × K A 兩個矩陣 A 的運算的結果定義為 ⎢ M ⎥ M M M ⎢ ( 2) ( 2) ( 2) ⎥ ⎣a K 1 a K 2 L a KK ⎦ K. A2 矩陣內的元素 aij( 2 ) = ∑ aik a kj = ai1 ⊗ a1 j ⊕ ai 2 ⊗ a 2 j ⊕ L ⊕ aiK ⊗ a Kj k =1. 上式中 ⊗ 和 ⊕ 的運算，定義如下： ⎧0 x⊗ y =⎨ ⎩1. else if x = 1 and y = 1. ⎧0 x⊕ y = ⎨ ⎩1. if x = 0 and y = 0 else. (二)傳遞閉包(transitive closure) 定義 Aˆ = A ⊕ A2 ⊕ A3 ⊕ L AP ，且矩陣 Aˆ 稱為傳遞閉包。 (三)可到達矩陣(reachability matrix). 14.

(25) 定義 Aˆ ⊕ I = A ⊕ A2 ⊕ A3 ⊕ L AP ⊕ I = ( A ⊕ I ) P ，其中 I 表示 K × K 階的單位矩陣。把如下的矩陣 R ，稱為可到達矩陣。 R = Aˆ ⊕ I = ( A ⊕ I ) P = A ⊕ A 2 ⊕ A 3 ⊕ L A P ⊕ I = ( A ⊕ I ) P +1 = A ⊕ A 2 ⊕ A 3 ⊕ L A P ⊕ A P +1 ⊕ I. (四) ISM 圖的繪製以 A1 至 A5 元素為例 (佐籐隆博，1987)。這五個元素之關係，假設可用矩陣 A 表示；經過上述的傳遞閉包運算後，則相對應的可到達矩陣為 R ，分別為： ⎡0 ⎢0 ⎢ A = ⎢1 ⎢ ⎢0 ⎢⎣1. 0 0 0 0 0. 0 1 0 1 0. 0 1 1 0 0. 0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 1⎥ 0⎥⎦. ⎡1 ⎢1 ⎢ R=⎢1 ⎢ ⎢1 ⎢⎣1. 0 1 0 0 0. 0 1 1 1 0. 0 1 1 1 0. 0⎤ 1⎥⎥ 1⎥ ⎥ 1⎥ 1⎥⎦. 為便於繪製 ISM 圖，將矩陣整理如下： R ( Ak ). Ak. 0. 0. R( Ak ) ∩ M ( Ak ). M ( Ak ). 0. 0. A1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. A2 0. 0. 0. A3 A4. 0. 0. 0. A3 A4 0. A2. A3 A4. 0. 0. 0. A3 A4 0. A2. A3 A4 A5. 0. 0. A1 A2. A3 A4. A5. 0. A2. 0. 0. A1. 0 A3 A4 A5. 0. A2. A4. A1. 0 A3 A4 A5. 0. A5. A1. 0. 0. A1. A1. A2. A1 A2. A3. A3 A4. 0. 0. A5. A5. 0. 0. A5. R( Ak ) ：是 A 的可到達矩陣，在可到達矩陣中，若元素為 1，則填上表示被指向. 的元素代號；在可到達矩陣中，若元素為 0，則保持為 0。 M ( Ak )：就 R( Ak ) 矩陣中， M ( Ak ) 的每一列，表示指向該列元素的所有其它元素。 R( Ak ) ∩ M ( Ak ) ：是 R( Ak ) 和 M ( Ak ) 兩矩陣的交集，兩矩陣相對應位置若同時存在. 該元素，則填出該元素；否則填上 0。而製作圖 2-1 的 ISM 的方法步驟為：. 15.

(26) 【步驟一】針對 R( Ak ) 和 R( Ak ) ∩ M ( Ak ) 的每一列，找出列相等的元素。在上表中，先找到相對應的第 1 列 A1，則在 R( Ak ) 、 R( Ak ) ∩ M ( Ak ) 中 A1 所在的行 (column) 與列 (row) 全部刪掉，刪除後的列與行則不再比較和尋找。【步驟二】以相同方法再找到第 5 列 A5 ，以此類推，我們再次得到 A3 、 A4 一組元素和 A2 元素。【步驟三】將找到的元素依序列出高低層級，並依 A 中的元素關係，劃上箭頭，如圖 2-1 所示，圖 2-1 中 A3 、 A4 是對等元素。在此，完成 ISM 圖的繪製。若 ISM 圖形元素多而箭頭關係複雜，則可視研究者所需而進行圖形簡化。. A1. A1. A5. A5. A4. A3. A4. A3 A2. A2. 圖 2-1. ISM 圖的繪製. 二、詮釋結構模式在教育上的實證研究詮釋結構模式主要功能是「建立整體概念元素之間的關係，即經由部份元素之間的關係，整合起來形成所有元素整體之關係」(許天維、林原宏，1994)。日本學者佐藤隆博在其專書「構造學習法」中，探討學科內容的知識架構與其結構的表現，將學習單元內的教材要素依學習目標先明確地細分出來後，再精確決. 16.

(27) 定全部學習項目間彼此兩兩關聯性，透過 ISM 法數學運算後，最後產生構造化教材的一種設計方法 (佐藤隆博，1987)。藉由分析認知結構之階層有向圖，ISM 分析法不但可以將教學者腦中抽象的教學要素轉變為具體化的關聯構造階層圖，亦能夠透過學習者概念元素彼此之間的關係，得到整體概念的結構圖 (鍾靜蓉， 2002)。其用途主要可用於下列幾項 (引自許天維、林原宏，1994)： (一)教材內容的結構化：分析教學目標，再界定次要目標，決定出各單元間教材內容的結構。 (二)編授教材內容：由教學者決定教材內容的目標層次關係，以由下往上累積元素關係的方式，此方式可幫助教學者檢視教學目標之間的順序關係。 (三)學習者知識的結構化：以學習者本身的概念結構為主，在已知學習者概念元素彼此之間的關係時，可利用 ISM 分析法，以得到整體概念的結構圖。在教育相關領域，對於ISM分析有許多相當深入的研究與應用，如： Tatsuoka (1995) 利用ISM法分析出具階層性的知識結構。Hawthorme and Sage (1975) 應用ISM法於教育決策上，整合不同團體在高等教育課程計畫的意見，研究結果顯示ISM法能有效的呈現計畫中實施方案的階層順序性。吳信義 (1998) 以ISM 分析高職「基本電學」科目，建構出教材的相關結構，並將其電腦化以協助教師從事課程設計。廖信德 (1998) 探究原住民 (以南投縣仁愛鄉為例) 國小四至六年級數學科基本學力指標，以ISM統整數學教育家們對國小四至六年級數學概念之意見，據以繪製成數學概念結構圖，作為設計問卷之參考。鍾靜蓉 (2002) 以ISM進行教材內容的分析，發現結構化的上課教材能增加教師教學的系統性與邏輯性。蔡秉燁 (2004) 運用ISM之階層有向圖理論，架構出學習項目的相關順序，建置了高中數學補救教學教材的「學習路徑 (learning path)」與「學習地圖 (learning map)」。由上述可知，ISM法能有效的運用於教育相關領域，如課程、教材內容與教育決策，呈現相關內容元素之階層順序性，有助於教學與學習。. 17.

(28) 貳、模糊取向的詮釋結構模式傳統集合論所定義元素與集合的關係為二維邏輯，元素是否隸屬於某一個集合的答案只有「是」與「否」。然而在探討兩個元素，如概念的關係時，我們會發現有時難以單純使用二分法來加以敘述，因為其間存在某些不確定性，一些模糊的空間，此種關聯現象無法以傳統數值模型充分合理解釋。而 ISM 分析法所定義的元素關係為二元關係，應用於概念之間指向與否的探討就會產生許多限制，因此，在探討概念結構為目的之前提下，ISM 法有其改進的必要。Tazaki and Amagasa (1979) 以模糊理論為基礎，發展出模糊結構模式 (fuzzy structural modeling, FSM)。Yamashita (1997) 根據模糊推理 (fuzzy reasoning) 與模糊結構模式 (fuzzy structural modeling)，此模式係以模糊理論為基礎的 ISM 分析，發展一套有關高中畢業生的升學與就業輔導的生涯決定模式 (career decision-making model) 量表。溫坤禮 (2000) 提出將 ISM 法中二值關係改為多值關係，可利用模糊理論之模糊集，將處於 0 至 1 之間的集合，取 0 到 1 之間的任意值為元素的特徵值，以模糊集合的隸屬度 (membership) 加以處理，以掌握不確定因素。林原宏 (2005) 所提出之模糊取向詮釋結構模式分析法，乃是以基於模糊觀點的察覺的模糊邏輯模式，運算出配對刺激屬於某一典型的機率，再以模糊理論其可擴展二元關係限制的特性，衡量概念間從屬程度。而察覺的模糊邏輯模式之特色在於描述心理運作過程中，在某些向度因子組合下，判斷各刺激 (stimulus) 的特徵之組合，其與典型 (prototype) 之間的符合機率程度 (Massaro & Cohen, 1993)。模糊取向之詮釋結構模式分析法可針對模糊關係元素，計算其為上下從屬關係 (subordination relation) 機率計算，進行模糊取向的 ISM 分析，呈現個人化的概念矩陣。分析方法如下 (林原宏，2005)：【步驟一】確定所分析的元素單位為試題或概念，假設共有 M 個試題且所有試題所測量的概念總數為 L 個。. 18.

(29) 【步驟二】在選定的試題反應理論模式下，能力值 θ k 受試者在第 m 題的答對機率為 Pm (θ k ) ，依察覺的模糊邏輯模式，計算該受試者的模糊關係矩陣如下： 1. 若所分析的元素單位為試題，則能力值 θ k 受試者的模糊關係矩陣為 D(θ k ) = [ pij (θ k )]M ×M ， pij (θ k ) 為符合試題 i 指向試題 j 的機率。依察覺的模糊邏輯. 模式意義，令 ci = Pi (θ k ) 且 o j = 1 − Pj (θ k ) ，所以可得： pij (θ k ) = p( ci , o j ) =. ci o j ci o j + (1 − ci )(1 − o j ). =. Pi (θ k ) [1 − Pj (θ k )] Pi (θ k )[1 − Pj (θ k )] + [1 − Pi (θ k )]Pj (θ k ). 2.若所分析的元素單位為概念，則能力值 θ k 受試者的模糊關係矩陣為： D(θ k ) = [ pij (θ k )]L×L ， pij (θ k ) 為符合概念 i 指向概念 j 的機率。依每一試題測得該. 概念與否的關係，設概念個數為 L 個，可形成一個二元關係的試題概念屬性矩陣(attribute matrix) A = ( a ml ) M ×L ， a ml = 1 表示第 m 題包含概念 l ，亦即有測到概念 l ； a ml = 0 表示第 m 題沒有包含概念 l ，亦即沒有測到概念 l 。 M. 令 SA = ( ∑ a ml )1×L = (a•l )1×L 表示每一概念被測得出現的總數之矩陣。因此，能力值 m =1. θ k 之受試者在每個概念的精熟度為： MA(θ k ) = [ Pm (θ k )]1×M [. a ml. a •l. ]M ×L = [mal (θ k )]1×L 。依察覺的模糊邏輯模式意義，令. ci = mai (θ k ) 且 o j = 1 − ma j (θ k ) ，所以可得： pij (θ k ) = p( ci , o j ) =. ci o j ci o j + (1 − ci )(1 − o j ). =. mai (θ k ) [1 − ma j (θ k )] mai (θ k )[1 − ma j (θ k )] + [1 − mai (θ k )]ma j (θ k ). 【步驟三】選定 α 值且 0 ≤ α ≤ 1 ，將模糊關係矩陣為 D(θ k ) = [ pij (θ k )]M ×M 或. 19.

(30) D(θ k ) = [ pij (θ k )]L×L 進行截矩陣分析。例如分析的單位為概念，則： ⎧1 , ⎩0 ,. Dα (θ k ) = [ pα ij (θ k )] L× L 且 pijα (θ k ) = ⎨. pij (θ k ) ≥ α. ，其中 0 ≤ α ≤ 1. pij (θ k ) < α. 【步驟四】將步驟三所得的模糊關係截矩陣進行 ISM 分析，為提供圖形可讀性，可進行 ISM 圖簡化，假設元節素 Ai 指向 A j 有多條路徑 (path)，則去除直接指向並保留間接指向的路徑。例如：. Aj. Am. Aj. Am 簡化. Al. Ak. Al. Ai. Ak Ai. 【步驟五】在給定 α 值，可獲得能力值 θ k 之受試者的 ISM 圖。因此，可獲得不同能力值之個人化試題或概念的 ISM 圖。陳紹銘 (2006) 應用模糊取向的詮釋結構模式分析國小六年級學童的等量公理概念之階層結構，結果發現：(1)國小六年級學童等量公理的知識結構具有階層性；(2)學童的等量公理概念結構圖因能力值的不同而有明顯的差異存在；紀順雄應用模糊取向的詮釋結構模式，分析國小六年級學童的分數加法概念結，其研究結果有助於教學者瞭解學童的分數加法知識結構，以及實施補救教學或分組教學之參考。綜合上述可知，將模糊取向的詮釋結構模式，應用於知識或概念從屬關係之探討，的確是一個可行的方法。本研究結合上述模糊集群與模糊的詮釋結構模式，以整體群組的模糊中心向量取代個別受試者在每個概念的精熟度，用以. 20.

(31) 求得整體群組的分年細目 ISM 圖，並加以比較。. 第四節知識結構的測量所謂知識結構 (knowledge structure) 是指存在長期記憶中的認知結構，個人透過建構、修正和重組知識結構，進而影響學習表現 (江淑卿，1997； Johnson, Goldsmith & Teague, 1994)。知識結構是相關知識概念的關係和組織，當個體在特定領域的知識愈具結構化，則愈可促進相關知識的建構或產生新的知識，從知識結構的組織特性中，可以看出不同的專技程度，例如：專家在某特定領域的知識結構，可能比一個生手更為一貫、更為抽象 (Chi, Glaser, & Rees, 1982)。Larkin (1980) 比較物理領域的專家與生手在解決動力學問題上的方法，就發現專家在知識組織和解題策略方面與生手有所不同。由於知識結構的特性可以反應出不同的專技程度或學習狀態，因此，認知心理學家莫不積極致力於探索人類的知識結構、瞭解人類的學習機制和開發更有效的學習方法，以提高人類的學習成效。目前針對測量知識結構方法論之探討研究眾多，對於某些特殊領域知識 (domain-specific knowledge) 的分析，近年來常有學者專家利用結構性取向 (structural approach) 來探究。所謂結構性取向，是試圖把人的知識、概念單位之間，用一個有系統的聯結關係來表示，一般人常稱的知識結構圖、概念結構圖，便是結構取向的知識探究方法 (林原宏，1996) 。結構性取向的分析，一般可分為三個部分 (Goldsmith, Johnson, & Acton, 1991)，分別為「引出知識」 (knowledge elicitation)、「表徵知識結構」(knowledge representation)、以及「評量知識結構」(evaluation of knowledge representation)。「引出知識」指以某種方法讓受試者表現出對某些概念、以及對概念間關係的了解情形，其目的是評量個人對相關概念的理解，而其方法很多，諸如字元連結 (word association)、序列回憶 (ordered recall)、卡片分類 (card sorting) 或. 21.

(32) 給兩兩概念之間的相近程度給予一個數值。由此可以瞭解每個概念配對之間的接近程度，或取得其接近性資料 (proximity data)，以作進一步分析。「表徵知識結構」指將被引出的知識以某種方法表徵出其結構。例 Goldsmith et al. (Goldsmith, 1991; Acton, Johnson, & Goldsmith, 1994) 發展「徑路搜尋法」，建構概念間的接近性資料，找出知識結構。「評量知識結構」則是將經轉化後的知識表徵和專家的知識結構做比較，而比較的方法有三個取向 (approach)，第一，是將表徵給予一個數值的高低；其次，是將受試者的表徵與該領域的內容知識結構加以比較；第三，是進行專家與生手知識結構的比較。在比較的方法上，徑路搜尋法是經常運用的一種方法。如 Goldsmith (1991) 依據集合理論設計出「相似性係數」(closeness index, 簡稱 PFC 或 C 指數)，作為評量兩個知識結構差異的指標。另外，Novak and Gowin (1984) 則依據概念構圖的原理，設計出概念圖比對時的計分標準，以比較兩個概念結構圖的異同，做為評量知識結構的依據。以下就概念構圖與徑路搜尋法做簡要之介紹。. 壹、概念構圖 (concept mapping) 美國康乃爾大學 J. D. Novak 致力研究出一套作為教學、學習及評量的工具，稱為「概念構圖 (concept mapping)」(Novak & Gowin, 1984)。概念構圖由命題 (proposition) 所組成，每一個命題含有兩個概念節點 (concept node)，以連結語 (relation link) 加以連結。概念在概念圖中呈現階層 (hierarchy) 結構，一般化的概念排在上層，較特定的概念則排在下層，而最下層往往是最具體或最特殊的概念。此外，概念叢集 (cluster) 與概念叢集之間可透過「橫向連結」(cross link) 加以連結。由於橫向連結會讓整體概念架構產生新的變化，因此可代表概念上的創新或者觀念的新詮釋 (黃台珠，1994)。. 22.

(33) 概念構圖法 (concept mapping) 因為符合認知心理學的知識表徵理論 (knowledge representation)、建構主義 (constructivisim) 的知識建構論，以及教育心理學的有意義學習說 (meaningful learning)，因此是目前科學教育界及教育心理界應用頗為廣泛的一種教學和學習策略 (黃湃翔、江新合，2001)。其將學習活動從過去的機械式學習轉變為目前的有意義學習，而評量方法也從傳統紙筆測驗轉換成以評量概念間結構為主的圖形評量法（余民寧， 1 9 9 7 ）。以概念構圖對學生知識進行評量，大致可分為兩個方向：一是將學生概念圖與專家概念圖作比較；一是利用概念構圖以了解學生學習時，知識結構的改變情形 (宋德忠、林世華、陳淑芬、張國恩，1998)。其計分方式大多以 Novak and Gowin (1984) 所發展出來的計分方式為藍本，再加上個別研究者的研究目的採取修正或不同的加權計分方式 (余民寧、陳嘉成、潘雅芳，1996； Markham, Mintzes, & Jones, 1994; Ruiz-Primo & Shavelson, 1996; Stuart, 1985)，圖 2-2 乃是一般概念構圖計分方式的例子。從學生的知識概念所繪製的概念圖中，教師可以了解學生知道了什麼？不知道什麼？產生了哪些迷思概念？概念構圖可提供建構主義學者一種新的評量方式，用來評量學習者的知識結構及變化 ( Wallance & Mintzes, 1990)。藉由學生前後所繪製概念圖的比較，再配合與學生的晤談，教師可發覺學生概念改變的情形。有關概念構圖的研究相當多，國內有許多在教學方面的應用，例如：謝真華 (1999) 使用概念構圖於國小四年級學童自然科的學習，結果顯示其學習成效優於傳統學習。蕭若蘭 (2005) 採Ausubel的意義學習論，並用Novak and Gowin (1984) 所提出的概念構圖教學策略，來比較概念構圖教學與傳統教學法對學生學習社會學習領域成效上的差異，以及瞭解學生對社會學習領域概念構圖教學的反應與評價，結果發現：一、概念構圖教學在社會學習領域成效上優於傳統教學法；二、概念構圖教學策略適用於社會學習領域的教學與評量；三、學生對社會學習領域概念構圖教學的反應與評價多為正面。賴美娟 (2006) 採漸進式的方式實施合. 23.

(34) 作式概念構圖，結果有利於促進國小自然科學習成就、學習保留及學習態度之發展。概念構圖為一可行且易於運用在教學現場的知識結構分析法。對教學者而言，可做為課程規劃、評量、診斷與實施補救教學的工具；對學生而言，它提供一種結構化的學習方式，可提升學習表現。. 主要中心概念. 聯結. 聯結. 第一階層. 一般化概念. 聯結. 一般化概念. 聯結. 一般化概念. 聯結. 聯結. 第二階層. 交叉連結. 具體概念. 具體概念. 聯結. 例子. 關係 (有效而且重要)：階層 (有效而且重要)：交叉聯結 (有效而且重要)：舉例 (有效而且重要)：總計： 30 分. 具體概念. 聯結. 例子. 1×8=8 5 × 2 = 10 10 × 1 = 10 1×2=2. 圖2-2 概念圖計分模式 (資料來源：修改自John & Brian (1999)). 24.

(35) 貳、徑路搜尋法 (pathfinder) 徑路搜尋網路分析是美國新墨西哥州立大學計算研究實驗室的領導人 Schvaneveldt及研究小組，依據網路模式和圖形理論式所發展而成 (Schvaneveldt & Durso, 1981; Schvaneveldt, Durso & Dearholt, 1985)，用來建構和分析知識結構。在徑路搜尋法中，節點用來表示概念，而概念與概念間的距離為概念之關聯關係，其以路徑的最短距離作為兩個節點間的距離 (Acton, Johnson, & Goldsmith, 1994)，在概念間的距離上之權重值為兩概念的關聯程度。徑路搜尋法利用節點 (node) 和連結 (linking) 將單一概念連接成概念群，再構成整個知識網路結構。徑路搜尋法的主要重點在於比較不同受試者知識結構之差異，它通常是將受試者的知識結構圖和參照的知識結構圖進行比較，而參照結構可以根據研究需要選擇個人或團體平均的知識結構。至於比較兩個徑路搜尋網路的相似程度， Goldsmith and Davenport (1990) 認為可以區分為兩種方式，第一種是以圖形理論為基礎，計算節點之間距離的相關程度，採用此理論為基礎的演算方式可以得到圖形理論距離指數 (graph-theoretic distance, 簡稱GTD) 和接近性指數 (proximity index, 簡稱PRX) ；第二種則以集合理論 (set theory) 為基礎，計算兩個網路中相鄰節點交集與聯集的商數平均值，採用此理論為基礎的演算方式則可得到相似性指數 (closeness index, 簡稱PFC或C指數)。 GTD指數在求得兩個徑路搜尋網路中，概念間之距離的相關，並且以相關程度來表示兩個徑路搜尋網路的相似性，因此，若求得之GTD值越大，則表示兩個網路越相似；PFC指數則在求出兩個網路各節點共有的鄰近節點，並將鄰近節點的交集合除以聯集合，若所得的PFC值愈大，則表示兩個網路愈相似；PRX值是直接以評定量尺所獲得的接近性矩陣，求兩個網路接近性矩陣對應值之相關係數，PRX 值越大，也表示兩個網路越相似 (涂金堂，2000)。藉由這三種指數可以用來判斷受試者知識結構和參照知識結構的相似程度。茲以Goldsmith, Jonson, and Acton. 25.

(36) (1991) 所舉的例子，如圖2-3和圖2-4所示，分別說明這三種相似指數。. PFNET. 接近性矩陣（dissimilarity）. A B C D E. A 0 1 3 2 3. B 1 0 1 4 6. C 3 1 0 5 5. D 2 4 5 0 4. A. E 3 6 5 4 0. B. E. C. D. 圖 2-3 接近性矩陣與徑路搜尋法 (Goldsmith et al., 1991). 網路一 A PFC=.43 GTD=.79. B D. F. G. 網路二. 網路三. A. A B. D. E. PFC=.74 GTD=.42. C. E. C F. B G. D. E. C F. G. 圖2-4 網路一和網路二、網路三之PFC和GTD指數 (改寫自Goldsmith et al., 1991) GTD的指數範圍由0至1，數值愈大表示兩個網路愈相近。GTD指數是以徑路連結鍊的數目作為計算的單位，如表2-2呈現了圖2-4中的PFNET之三個網路節點之間距離值的計算方式。. 26.

(37) 表2-2 三個網路中部分節點的圖形理論距離值徑路 A-B A-E A-F. 網路一 1 2 2. 網路二 1 1 3. 網路三 1 2 3. 將表2-2中網路一和網路二各節點的距離值計算其相關係數，就可得到GTD指數值0.79。 PRX指數是直接計算兩個網路相鄰矩陣 (接近性矩陣) 的相關程度，以相關係數表示兩個網路的相似程度。即求受試者的接近性矩陣與參照的接近性矩陣相互對應元素的積差相關係數，就可得到PRX指數，其值介於0至1之間，指數愈大，表示兩個網路結構愈相似。 PFC指數的計算要先求出兩個網路各節點的鄰近節點，將鄰近節點的交集除以聯集，總合其商數加以平均即可獲得PFC指數，其計算公式如下： PFC(A,B)＝. Αi I Βi 1 ∑ n i∈I Αi U Βi. 其中A、B 表示徑路搜尋網路，為共有節點數，I 代表網路所有節點的集合、 i 為網路節點。PFC的指數計算方式如表2-3所示。表2-3 網路一和網路二的PFC 指數之計算節點 A B C D E F G. 鄰近節點交集聯集網路一網路二集合大小集合大小 {B,C} {B,D,E {B} 1 {B,C,D,E} 4 {A,D, E} {A,C} {A} 1 {A,C,D,E} 4 {A, F,G} {B, ,G} {F,G} 2 {A,B,F,G} 4 {B} {A} Φ 0 {A,B} 2 {B} {A} Φ 0 {A,B} 2 {C} {C} {C} 1 {C} 1 {C} {C} {C} 1 {C} 1. 商數 1÷4 1÷4 2÷4 0÷4 0÷4 1÷1 1÷1. 商數總合為3.0，C值=3.0/7=.43，Φ表示空集合。 (改寫自Goldsmith et al., 1991). 27.

(38) 許多在教育和教學上的分析採用徑路搜尋法，用來評估學生的學習成效與教學的有效性 (Goldsmith & Davenport, 1990; Rowe & Cooke, 1995; Choo & Curtis, 2000; Curtis & Davis, 2003)。江淑卿 (1997) 應用徑路搜尋法探討學生和國小教師知識結構和文章理解能力之間的關係，結果顯示知識結構和科學文章的理解能力具有顯著的相關。宋德忠、林世華、陳淑芬、張國恩 (1998) 應用徑路搜尋法針對大學生對學習理論的知識結構進行研究，結果發現 PFC 指數能有效的區別不同學習成就的學生。Gomez and Housner (1992) 應用徑路搜尋法對準教師的知識結構和教授的知識結構進行比較，發現 PFC 指數、GTD 指數、PRX 指數皆和準教師的學期成績有顯著的相關。黃湃翔、江新合 (2005) 針對徑路搜尋網路法應用於概念診斷評量之可行性評估研究，結果顯示徑路搜尋法確實能反映學生對相關概念不正確理解，更可以得到傳統紙筆測驗所無法顯現的資訊。涂金堂 (2005) 則針對國小六年級學生的認知風格與知識結構進行探究，發現場地獨立者的學業成就得分顯著高於場地依賴者的學業成就分數，且知識結構與學業成就有顯著的正相關，三種知識結構指標 (PRX 指數、GTD 指數、PFC 指數) 的數值越大，其學業成就表現越佳由以上所述可知，以徑路搜尋法來分析受試者的知識結構，可以獲得知識結構與學習表現的關係，進而達到診斷評量的目的。比較受試者和專家的知識結構，分析兩者知識結構圖的特徵，則能提供受試者學習方向與教學者教學策略之參考。. 28.

(39) 第五節代數的發展與教材內容之探討壹、代數的起源發展與知識結構代數的起源最早可以追溯到古巴比倫的時代，當時已有人使用代數的方法來做數學計算，他們運用未知數來列出方程式並求解。代數之父希臘數學家 Diophantus 在公元 300 年左右完成了數學史上最早的代數著作，提出了以文字符號作為運算工具的思考模式。而中國也在很早的一些數學問題中，便有了代數運算的出現，例如：《九章算術》一書中的「算術」所指的即是代數。「Algebra」一字源自於阿拉伯文“ al-jabr ”，代表「恢復或還原」的意思，如解方程式時在等號兩邊所做的等量加減，就有恢復、還原之意。對於代數的概念和意義，很多專家學者們都提出了他們的見解。項武義 (1995) 認為代數學是在算術中「數」與「運算」的基礎上有系統的發展起來的。羅浩源 (1997) 提出代數的主軸在引入符號，使得整數四則運算的算式得以化簡和歸類。Steffe (1989) 認為代數是將算術重新再組織 (reorganization) 的過程，而代數的解題程序是將數與量藉由等量公理，把一個等價關係變到另一個等價的關係。Sfard (1995) 認為代數與通則化的數學運算程序有關，其本身包含兩個重要主題：一是以符號來表徵的代數式；另一個是解題的運算方法。Linchevski (1995) 研究表示代數的學習內容應包含算數式子的簡化、通則化、數量結構、等式及文字題等五個主題。廖瓊菁 (2001) 研究指出代數是數學的一支，它是一門將算術精簡及通則化的學科，以數字、變數及運算所組成的數學語言，來將數字關係和數學結構符號化。代數的概念結構，應包含數概念、文字符號概念及符號表徵的運算三個子概念，其包含內容如圖 2-5 所示。Usiskin (1999a, 1999b)認為代數是種「語言」(language)，具有以下四種概念： (一) 代數是「已經歸納的算數」。例如 4＋5＝5＋4 可以歸納成 a＋b＝b＋a (將數. 29.

(40) 學式子一般化)。 (二) 代數是「解決特定問題有關步驟的研究」。例如 a＋2＝6 ，a＋2－2＝6－2， a＝4 (經由一定的程序，來找出答案)。 (三) 代數是「數量之間關係的研究」。例如面積公式 (A＝L×W) 描述了長、寬與面積之間的關係。 (四) 代數是「數學結構的研究」。例如代數可以敘述實數的運算特質之結構，如 a( b＋c)＝ab＋ac。從代數發展歷史的觀點來看，代數是一種算數符號化的歷程，依時間可以將其分為三個不同的發展階段 (王懷權，1987；趙文敏，1985； Harper, 1987; Kieran, 1992)： (一) 文字修辭代數階段 (rhetorical algebra stage)：在此階段，人們以口語化的語言來描述解特定方程式的過程，並沒有使用特殊的符號或記號 (sign) 來表示未知數。 (二) 省略文辭代數階段 (syncopated algebra stage)：人們開始用文字符號來代表未知量 (unknown quantities) ，使用省略的符號代替語言，例如使用 p 代表加， m 代表減。此時數學家主要關注的是文字符號的特定性 (identity)，而非一般性 (general) 的表達，他們只求特定方程式的解，並沒有求出方程式的一般解，所以在此階段縮寫符號系統並沒有重大的發展。 (三) 符號代數階段 (symbolized algebra stage)：數學運算開始進入符號化階段，數學家們開始以文字符號來表示數學問題的一般解，並使用代數來証明數字間的關係，例如以 ax 2 + bx + c = 0 代表所有的一元二次方程式。. 30.

(41) 代數概念. 數概念. 【活動材料層次】 1.感官活動期 2.象徵活動期 3.抽象活動期【運思活動層次】 1.序列性合成運思 2.累進性合成運思 3.部分─全體運思 4.測量運思. 文字符號概念. 符號表徵的運算. 1.文字符號為可算. 1.運算的程序 (1) 表徵未知數. 出的值 2.文字符號可忽略. (2) 形成代數式 (3) 形成方程式. 而不用 3.文字符號當作物體 4.文字符號當作特定. (4) 解方程式 2.解方程式的概念與. 的未知數 5.文字符號當作一般化的數字 6.文字符號當作變數. 方法 (1) 等號的概念 (2) 等量公理 (3) 逆運算 (4) 移項法則. 圖 2-5 代數概念之知識架構圖 (廖瓊菁，2001). 31.

(42) 貳、學生學習代數上常發生的困難由算術進入到代數，除引入了文字符號來做運算之外，更重要的是意味著數學的學習將從具體情境轉換到抽象化與形式化的概念，因此常造成學生在學習代數時會遇到相當多的困難。Kieran (1992) 認為，學生在代數學習上有二大迷思概念：一是對等號意義，尚停留在算術階段的「得到」；一是對未知數的認知，將符號當成一個特定的物性或標誌。Knuth and Stephens (2006) 認為在算術與代數的轉換過程中，其對等號意義轉換的不適應是造成學習代數的主要困難之一。在文字符號方面，Brenner and Moseley (1997) 研究指出，學生在剛開始學習代數時，對於使用文字符號來代表未知量做運算的過程中，常發生許多錯誤。王如敏 (2004) 研究指出，許多學生對文字符號缺乏有意義的了解，會做數學符號的運算，但卻不懂運算過程所代表的數學意義。袁媛 (1993) 和謝和秀 (2001) 的研究認為，許多國中一年級的學生對將文字符號「當作一般化的數字」及「當作變數」這兩類概念，均感到相當的困難，顯示國中一年級的學生尚無法處理這兩類概念的問題。在化簡代數式方面，Booth (1988)、黃寶彰 (2002) 指出初學代數的學童在運算代數式化簡時常出現一些非系統性 (unsystematic) 的錯誤，例如在化簡2a+5b 時，常常會得到7ab這種答案。戴文賓、邱守榕 (1998) 研究發現學生在運算去括號的展開化簡問題時，有時括號外的數字只記得和括號內的第一項相乘，而忽略第二項以後，或者括號外為負號時未變號。例如把5( X－2)化簡成5X－2；或是把 Y－3(X－2)化簡成Y－3X－6。Kieran (1992) 認為這是因為初學代數的學生傾向由左向右閱讀一個代數式，而未發現括號的必要性。另外在方程式列式與解題方面，Kieran (1992) 認為學童在初學代數時很難深入的了解算式中真正的數學含意，因此其解題過程有時會受到一些算術上迷思概念的影響。Ekenstam and Nilsson (1979) 以200個中學生為研究對象，發現有82%的. 32.

(43) 人可以解出. 4 30 ＝6，但是只有48%的人可以解出＝3，原因在於：第一題學生可 X X. 以利用嘗試錯誤的方法求出解，但第二題不行。像這種非正式方法的使用，在學習代數時就會遭遇障礙。廖瓊菁 (2001) 研究指出，學生在學習代數概念時，較容易發生的學習困難如下：(1)對等號意義的解讀錯誤。(2)計算題中，以「a－□＝b」及「a÷□＝b」這兩類問題的難度最高，也是學生最容易出現錯誤，顯示學生無法將逆運算概念應用於這兩種題型中。(3)解文解題時，常不能以文字符號來表示未知的數量關係，並依題意中的已知條件來列出關係式。(4)即使是計算能力好的學生在文字題解題時，都可能因為不瞭解題意造成解題失敗。莊松潔 (2004) 研究則歸納出學童在學習代數時的迷思概念一共有以下五點：(1)對於等號的狹義解讀。(2)文字符號意義的迷思概念，例如不同文字代表不同數字。(3)拒絕接受像「3a＋7」這種含有未知數的答案，且出現許多文字與數字混合化簡的錯誤。(4)解等號兩邊均有未知數的方程式出現困難。(5)代數文字題轉譯成方程式的失敗。. 參、九年一貫課程中代數教材的分析一直以來，由於代數許多抽象化概念，學生被認為需具備某些基本的能力之後才能學習它，因此，在過去的國小課程教材 (民國 82 年課程標準) 中，代數教材較少被重視。而進入 21 世紀後，各國為了提升學生基本能力，增進國家競爭力，無不亟思課程內容的改革與教學方法的精進。教育部 (2000) 為了培養國小學童觀察數量關係，以及展現數量關係數學結構之能力，在民國 89 年所提出的《九年一貫課程暫行綱要草案》中，順應世界的潮流，將許多代數的概念向下延伸至小學 (陳嘉皇，2006) 。根據九年一貫課程綱要，代數的能力指標如表 2-4 所示。. 33.

(44) 指標 A-1-01 A-1-02 A-1-03 A-1-04 A-1-05 A-2-01 A-2-02 A-2-03 A-2-04 A-3-01 A-3-02 A-3-03 A-3-04 A-3-05 A-3-06 A-3-07 A-3-08 A-3-09 A-3-10 A-3-11 A-3-12 A-3-13 A-3-14 A-4-01 A-4-02 A-4-03. 表2-4 代數主題之能力指標能力指標內容能在具體情境中，認識等號兩邊數量一樣多的意義與＜、＝、＞的遞移律。能在具體情境中，認識等號兩邊數量一樣多的意義與＜、＝、＞的遞移律。能將具體情境中的單步驟問題列成算式填充題，並解釋式子與原問題情境的關係。能理解加減互逆，並運用於驗算與解題。能在具體情境中，認識乘除互逆。能在具體情境中，認識乘除互逆。能理解乘除互逆，並運用於驗算與解題。能理解乘除互逆，並運用於驗算與解題。能使用中文簡記式記錄常用的公式。能做基本的代數運算。能理解並應用等量公理。能用x、y、…等符號表徵生活中的未知量及變量。能用含未知數的等式或不等式，表示具體情境中的問題，並解釋算式與原問題情境的關係。能理解生活中常用的數量關係，並恰當運用於解釋問題或將問題列成算式。能發展策略，解決含未知數之算式題，並驗算其解的合理性。能運用變數表示式，說明數量樣式之間的關係。能熟練一元一次方程式的解法。能檢驗、判斷一元一次不等式的解並描述其意義。能理解二元一次方程式的意義。能理解平面直角座標系，並畫出線型函數圖形。能運用直角座標系及方位距離來標定位置。能熟練二元一次聯立方程式的解法並理解其解的意義。能利用一次式解決具體情境中的問題。能熟練乘法公式。能認識多項式，並熟練其四則運算。能理解勾股定理及熟練其應用。. 34.

(45) A-4-04 A-4-05 A-4-06 A-4-07. 表2-4 代數主題之能力指標 (續) 能熟練多項式的因式分解。能熟練一元二次整係數方程式的解法。能理解二次函數的圖形及應用。能理解拋物線之對稱性。資料來源：教育部 (2003) 九年一貫數學課程綱要. 在國小部分，過去的課程主要將代數教材的學習安排在六年級，九年一貫課程綱要則由一到九年級在每個學習階段都安排了代數相關概念的教學，更提早引入一些代數概念：包括運用未知數作數學表式、加強變數的概念、理解等量公理等，希望能有助於銜接國中的代數教學。文字符號的認識是學好代數的一個關鍵點，因此在未知數符號的引入上，九年一貫課程綱要在第一階段的學習即由一般算式填充題中的 (. ) 來引入□的意義，再漸進的由較具體的符. 號 (△、□、…甲、乙、…) 類化至抽象英文符號 ( x、y、z、… )。另外，九年一貫課程綱要特別強調培養學邏輯思考和抽象推理的能力，以期學生能將代數能力運用於「數與量」、「圖形與空間」、「統計與機率」等其他的主題上 (教育部，2003)。. 35.

(46) 36.

(47) 第三章研究方法與步驟第一節研究架構本研究結合模糊集群分析和模糊取向的詮釋結構模式，分析國小一到三年級學童在數學代數主題分年細目之階層結構，基本架構圖如圖 3-1 所示。. 根據九年一貫課程綱要數學代數分年細目. 模糊集群分析. 分析不同群組受試者之分年細目模糊關係矩陣相關文獻之探究. 施測進行α-cut截矩陣分析並繪製各群組受試者之分年細目 ISM圖. 編製試題比較不同群組受試者分年細目ISM圖之結構. 圖3-1 研究基本架構圖. 37.

(48) 第二節研究對象本研究對象為國民小學一至三年級學生，來自臺中縣兩所小學、臺中市兩所小學、彰化縣六所小學、豐原市一所小學和南投縣一所小學，各縣市學校的受試者人數分配如表 3-1 所示。一年級部分，計有 30 班 936 名；二年級部分，計有 30 班 942 名；三年級部分，計有 30 班 1003 名。表 3-1 各地區不同學校之不同年級的受試者人數一覽表學校代號. 位居地區. 一年級. 二年級. 三年級. 總計. School_01. 臺中縣. 63. 63. 64. 190. School_02. 臺中縣. 91. 91. 92. 274. School_03. 臺中市. 133. 137. 141. 411. School_04. 臺中市. 64. 64. 67. 195. School_05. 彰化縣. 185. 186. 206. 577. School_06. 彰化縣. 63. 64. 67. 194. School_07. 彰化縣. 63. 63. 69. 195. School_08. 彰化縣. 63. 62. 67. 192. School_09. 彰化縣. 63. 62. 68. 193. School_10. 彰化縣. 61. 61. 65. 187. School_11. 豐原市. 62. 63. 67. 192. School_12. 南投縣. 25. 26. 30. 81. 936. 942. 1003. 2881. 總計. 38.