研究流程

本研究之實施步驟以流程圖呈現，如圖3-2 所示：

圖3-2 研究流程圖 選取施測學校

自編代數分年細目指標測驗 歸納代數知識概念

專家、國小教師審查試題

修正試題以成正式試題

蒐集與探討相關文獻 分析現行教材

預試

正式施測

施測結果

分析不同群組受試者之分年細目 模糊關係矩陣

分析並比較不同群組之分年細目 ISM圖

撰寫報告

進行α-cut截矩陣分析並繪製各 群組受試者之分年細目ISM圖

進行模糊集群分析

第五節 資料處理分析

本研究之資料處理分析包含五個部分：IRT模式分析、模糊集群分析、模糊 取向之詮釋結構分析、分年細目ISM圖的比較以及資料分析之重點。茲將分析方 式說明如下：

壹、IRT模式分析

一、適合度考驗

應用試題反應模式 (IRT) 分析軟體BILOG-MG，輸入受試者的原始作答資 料進行模式之適合度考驗，設定α=.001情況下，一到三年級在one-parameter logic model (1PL) 下各有8、12、6 題試題的Chi-square值達顯著水準；在two-parameter logic model (2PL) 下有各有2、 4、3題試題的Chi-square值達顯著水準；在 three-parameter logic model (3PL) 下則各有4、5、4題試題的Chi-square值達顯著水 準，因此，本研究較適合以2PL模式進行研究資料之分析。

二、計算受試者對分年細目的精熟度矩陣

1.將原始作答反應，以BILOG-MG分析所得的受試者能力值、鑑別度參數、難度 參數，以2PL模式進行分析，可到得能力值θ 的受試者在M個試題上的答對機率_k 矩陣為

[

^P₁^(θ_k^{) P}₂^(θ_k^{) ... P}_M^(θ_k⁾

]

。

2.假設有M個試題，共測量L個分年細目，可形成一個二元關係的試題分年細目 屬性矩陣 (attribute matrix)A=(a_ml)_M×L，如表3-3、表3-4、表3-5所示。

3. 令 ^M _{L l L}

m

ml a

a

SA _{× • ×}

=

=

=

∑

^{1 1}

1

) ( )

( 表示測量分年細目l的總題數之矩陣。因此，能力值θ_k 之受試者在每個分年細目的精熟度矩陣為：

[ ]

各群組之中心向量，以察覺的模糊邏輯模式 (fuzzy logical model of perception，

簡稱 FLMP) 運算分析。

三、將分年細目截矩陣作詮釋結構模式分析，繪製出各群組的分年細目ISM圖。

肆、分年細目 ISM 圖的比較

本 研 究 在 進 行 分 年 細 目ISM 圖 之 比 較 ， 分 年 細 目 ISM 圖 量 化 的 方 法 採 Goldsmith, Johnson and Action (1991) (林原宏、游森期，2006)的集合交集與聯集之 比值計算，其公式如下：

四、分析受試者的分年細目ISM圖與專家的分年細目ISM圖之相似性係數，並 探討是否具有顯著差異。

五、分析不同群組受試者分年細目ISM圖之間的相似性係數，探討是否具有顯 著差異。

第四章 研究結果與討論

本章在呈現研究結果的分析與討論，根據本研究目的，共分為四節。第一節 為模糊集群分析；第二節是不同群組的分年細目ISM圖之比較；第三節是分析不 同群組受試者在試題內分年細目ISM圖之異同；第四節是不同群組受試者之間的分 年細目ISM圖，以及與專家的分年細目ISM圖差異性之統計檢定。

第一節 模糊集群分析

將一至三年級施測所得的資料，分別以 2 群、3 群、4 群、5 群、6 群進 行模糊集群分析運算，取收斂標準為10⁻⁵、q=2，分析結果如下：

壹、一年級受試者的資料分析

全體受試者以分成 2 群為最佳，此時分割係數F(U;C)值為 0.839096 最大，

分割亂度H(U;C)值為 0.274677 最小，分析結果如表 4-1 所示。

表4-1 一年級受試者模糊集群分析之結果 )

C

; U (

F H(U;C)

2 群 0.839096 0.274677

3 群 0.760091 0.430772

4 群 0.692887 0.574248

5 群 0.635141 0.714161

群組數

6 群 0.591604 0.826376

群組1 V1＝［0.445109 0.386004 0.404951］

兩個群組的群

中心向量值 群組2 V2＝［0.929111 0.91037 0.852695］

以受試者對分年細目的精熟度為變數，進行集群分析，所得的群中心向量，

代表該群組受試者對分年細目精熟度的高低。由上表可知，群組 2 的受試者對分 年細目的精熟度高於群組 1 的受試者。將兩群組受試者對分年細目的精熟度繪製 成折線圖，如圖4-1 所示。

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1 2 3 分年細目

精 熟

度 群組1

群組2

圖4-1 一年級兩群組受試者對分年細目精熟度之折線圖

另外，受試者的隸屬度模糊矩陣U 如表 4-2 所示 (由於篇幅限制，在此僅列 出前20 筆受試者資料)。

表4-2 一年級前20位受試者隸屬度模糊矩陣U

受試者編號 群組1 隸屬度 群組2 隸屬度 隸屬群組

s001 0.929484 0.070516 1 s002 0.394688 0.605312 2 s003 0.194934 0.805066 2 s004 0.032371 0.967629 2 s005 0.038924 0.961076 2 s006 0.016182 0.983818 2 s007 0.840676 0.159324 1 s008 0.019139 0.980861 2 s009 0.219126 0.780874 2 s010 0.018482 0.981518 2 s011 0.016182 0.983818 2 s012 0.016182 0.983818 2 s013 0.13255 0.86745 2 s014 0.999311 0.000689 1 s015 0.446768 0.553232 2 s016 0.885266 0.114734 1 s017 0.08675 0.91325 2 s018 0.840787 0.159213 1 s019 0.999311 0.000689 1 s020 0.475056 0.524944 2

當受試者之群組 1 隸屬度大於群組 2 隸屬度時，即代表該受試者隸屬於群組 1；反之則隸屬於群組 2。表 4-3 表示一年級 936 位受試者隸屬二群組人數之情形，

分群結果：隸屬於群組1 有 245 位受試者，其平均答對題數為 5.9 題；隸屬於群組 2 有 691 位受試者，其平均答對題數為 12.9 題。

表4-3 一年級受試者隸屬群組個數情形

群組 人數 最低答對題數 最高答對題數 平均答對題數 標準差

群組1 245 0 9 5.90 2.86

群組2 691 8 15 12.90 1.80

貳、二年級受試者的資料分析

全體受試者以分成 2 群為最佳，此時分割係數 F(U;C)值最大為 0.782571，

分割亂度 H(U;C)值最小為 0.353079，分析結果如表 4-4 所示。

表4-4 二年級受試者模糊集群分析之結果 )

C

; U (

F H(U;C)

2 群 0.782571 0.353079

3 群 0.688383 0.545753

4 群 0.610114 0.725835

5 群 0.565241 0.858648

群組數

6 群 0.54459 0.948362

群組1 V1＝［0.564102 0.261639 0.507016 0.387506］

兩個群組的群

中心向量值 群組2 V2＝［0.948799 0.83056 0.908758 0.867049］

由上表可知，群組2的受試者對分年細目的精熟度高於群組1的受試者。兩群 組受試者對分年細目的精熟度，其折線圖如圖4-2所示。

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1 2 3 4 分年細目

精 熟

度 群組1

群組2

圖4-2 二年級兩群組受試者對分年細目精熟度之折線圖

受試者的隸屬度模糊矩陣U如表4-5所示 (由於篇幅限制，在此僅列出前20筆 受試者資料)。

表4-5 二年級前20位受試者隸屬度模糊矩陣U

受試者編號 群組1 隸屬度 群組2 隸屬度 隸屬群組

s001 0.040641 0.959359 2 s002 0.367093 0.632907 2 s003 0.289681 0.710319 2 s004 0.799601 0.200399 1 s005 0.124811 0.875189 2 s006 0.902893 0.097107 1 s007 0.189904 0.810096 2 s008 0.983517 0.016483 1 s009 0.720416 0.279584 1 s010 0.720416 0.279584 1 s011 0.848969 0.151031 1 s012 0.818406 0.181594 1 s013 0.767304 0.232696 1 s014 0.087246 0.912754 2 s015 0.598668 0.401332 1 s016 0.012986 0.987014 2 s017 0.040641 0.959359 2 s018 0.57304 0.42696 1 s019 0.087246 0.912754 2 s020 0.887922 0.112078 2

表 4-6 表示二年級 942 位受試者隸屬二群組人數之情形，分群結果：隸屬於

受試者的隸屬度模糊矩陣U如表4-8所示 (由於篇幅限制，在此僅列出前20筆 受試者資料)。

表4-8 三年級前20位受試者隸屬度模糊矩陣U

受試者編號 群組 1 隸屬度 群組 2 隸屬度 隸屬群組

s001 0.028255 0.971745 2 s002 0.310563 0.689437 2 s003 0.112643 0.887357 2 s004 0.951821 0.048179 1 s005 0.007198 0.992802 2 s006 0.007198 0.992802 2 s007 0.028255 0.971745 2 s008 0.909845 0.090155 1 s009 0.048034 0.951966 2 s010 0.048034 0.951966 2 s011 0.048034 0.951966 2 s012 0.310563 0.689437 2 s013 0.871084 0.128916 1 s014 0.902635 0.097365 1 s015 0.048034 0.951966 2 s016 0.01796 0.98204 2 s017 0.972905 0.027095 1 s018 0.969423 0.030577 1 s019 0.555103 0.444897 1 s020 0.943568 0.056432 1 表 4-9 表示三年級 1003 位受試者隸屬二群組人數之情形，分群結果：隸屬於 群組 1 有 349 位受試者，其平均答對題數為 4.8 題；隸屬於群組 2 有 654 位受試者，

其平均答對題數為 10.4 題。

表4-9 三年級受試者隸屬群組個數情形

群組 人數 最低答對題數 最高答對題數 平均答對題數 標準差

群組 1 349 0 9 4.80 2.47

群組 2 654 6 13 10.40 2.00

由以上分析可知，一至三年級的受試者均以分為兩個群組為最佳，且群組 2 的受試者之平均答對題數均較群組 1 的受試者之平均答對題數為高，顯示群 組 1 可視為低分組、群組 2 則為高分組。而使用目標函數法之集群分析，可以得 知每一位受試者隸屬於哪一個群組，有助於教師實施分組教學。

第二節 不同群組分年細目 ISM 圖之比較

將群中心向量做 FLMP 運算，再經由 AISM 軟體分析後，可分別獲得一到三 年級兩個群組受試者之分年細目 ISM 圖，分別如圖 4-4、圖 4-6、圖 4-8 所示。

根據圖 4-4、圖 4-6 和圖 4-8，兩群組受試者之分年細目 ISM 圖，其結構與 及特徵共同的部分可歸納為以下數點：

(一)兩個不同群組的分年細目 ISM 圖，其分年細目所在的階層位置，以及彼此 的連結指向關係都不盡相同。

(二)群組 1 之受試者，對每個分年細目的精熟度皆低於整體受試者；群組 2 之受 試者，對每個分年細目的精熟度皆高於整體受試者。

(三)在同一群組的分年細目 ISM 圖內，受試者對越低階層的分年細目之精熟度 越高。

以下列出一至三級的資料分析，並分別討論分年細目 ISM 圖其結構與特徵：

壹、一年級受試者的資料分析

表 4-10 一年級受試者之分年細目截矩陣 (取α= .60)

分年細目 A1 A2 A3

A1 1 1 1 A2 0 1 0

群組

1

A3 0 1 1

分年細目 A1 A2 A3

A1 1 1 1 A2 0 1 1

群組

2

A3 0 0 1

由圖 4-4 可知：

(一)分年細目 1 (能在具體情境中，認識等號兩邊數量一樣多的意義) 在群 組 1 與群組 2 的分年細目 ISM 圖中，同樣位於第一層級，表示兩群組 的受試者均對分年細目 1 的精熟度最高。

(二)分年細目 2 (能在具體情境中，認識加法的交換律、結合律，並運用於 簡化計算) 在群組 1 的分年細目 ISM 圖中，為最高層的分年細目，顯 示群組 1 的受試者對其精熟度最低。

(三)群組 2 的受試者則對分年細目 3 (能在具體情境中，認識加減互逆) 的精 熟度最低。

＜第三層＞--- .378

＜第一層＞--- .443

＜第三層＞--- .837

群組1 群組2

圖4-4 一年級不同群組的分年細目ISM圖 表4-11 一年級受試者對每一個分年細目之精熟度 分年細目

編號

包含該分年細目之 試題編號

全體受試者 平均精熟度

群組1 受試者 平均精熟度

群組2 受試者 平均精熟度 1 1、2、3、4、5、6、

7 0.796 0.443 0.916

2 6、7、8、9、10 0.762 0.378 0.901 3 1、2、3、4、5、11、

12、13、14、15 0.725 0.404 0.837

為了更清楚比較不同群組受試者，其對分年細目精熟度的高低，本研究進 一步整理一至三年級全體受試者、群組1 受試者、群組 2 受試者對每一個分年細 目的平均精熟度如表4-11、表 4-13、表 4-15 所示，並繪製成圖 4-5、圖 4-7、圖 4-9。

＜第二層＞--- .404 ＜第二層＞--- .901

＜第一層＞--- .916

精 熟 度

0 群組 1

0.5 群組 2

1 圖4-5 一年級兩群組分年細目 ISM 圖精熟度之比較圖

貳、二年級受試者的資料分析

表4-12 二年級受試者之分年細目截矩陣 (取α= .60)

分年細目 A1 A2 A3 A4

A1 1 1 0 1 A2 0 1 0 0 A3 0 1 1 1

群組

1

A4 0 1 0 1

分年細目 A1 A2 A3 A4

A1 1 1 1 1 A2 0 1 0 0 A3 0 1 1 1

群組

2

A4 0 0 0 1 由圖 4-6 可知：

(一) 分年細目 1 (能用＜、＝與＞表示數量大小關係，並在具體情境中認識 遞移律) 在群組 1 與群組 2 的分年細目 ISM 圖中，皆位於第一層級，

表示分年細目 1 是兩群組受試者最容易達精熟且最基礎的能力。

(二) 分年細目 2 (能將具體情境中單步驟的加、減問題列成算式填充題，並

解釋式子與原問題情境的關係) 在群組 1 與群組 2 的分年細目 ISM 圖 中，皆位於最高層級，顯示分年細目 2 為兩群組受試者較難以精熟的 能力。

(三)不同群組之 ISM 圖其每層之分年細目數量不盡相同，且分年細目亦有所 差異。觀察圖4-6 可發現，能力值較高的群組 2 其分年細目 ISM 圖中最 上層之分年細目數量較多，而下層的分年細目數較少。此結果與陳紹銘 (2006) 針對六年級學童所做的等量公理概念之模糊詮釋結構模式分析探 討和祝淑梅 (2007) 針對國小高年級學童所做的小數概念階層之模糊詮釋 結構模式分析所得到的研究結果相同。

群組1

群組2

圖4-6 二年級兩個群組的分年細目ISM圖

＜第二層＞--- .896

＜第一層＞--- .952

＜第三層＞--- .254

＜第三層＞--- .841 ~ .851

＜第二層＞--- .376

＜第一層＞--- .498 ~ .517

表4-13 二年級受試者對每一個分年細目之精熟度 分年細目

編號

包含該分年細目之 試題編號

全體受試者 平均精熟度

群組1 受試者 平均精熟度

群組2 受試者 平均精熟度

1 1、2、3、4、5 0.824 0.517 0.952 2 6、7、8、9、10 0.658 0.254 0.841 3 11、12、13、14、15 0.788 0.498 0.896 4 6、7、8、9、10、16、

17、18、19、20 0.721 0.376 0.851

0 群組 1

0.5

群組 2

1

圖 4-7 二年級兩群組分年細目 ISM 圖精熟度之比較圖 精 熟 度

參、三年級受試者的資料分析

表4-14 三年級群受試者之分年細目截矩陣 (取α= .60)

分年細目 A1 A2

A1 1 0

群組

1 A2 1 1

分年細目 A1 A2

A1 1 1

群組

2 A2 0 1

由圖 4-8 可知：

(一)不同群組其兩個分年細目的指向關係恰好相反。

(二)分年細目 1(能將具體情境中單步驟的乘、除問題列成算式填充題，並能解釋

(二)分年細目 1(能將具體情境中單步驟的乘、除問題列成算式填充題，並能解釋

在文檔中 國小一到三年級數學學習領域代數分年細目之模糊集群與詮釋結構模式分析 (頁 55-0)