Gawned(1990)認為，每一個數學教室皆有其獨特的文化，課室中的經驗亦不同於 學習者的校外經驗。研究者認為，教師的教學策略與課程掌控的確會影響學生的學習，
但並不意味著課堂的上課形式需要受到教師的主導，故傳統以教師為中心的教學是值得 再三省思的。且 NCTM（1989）強調，教師應當持續強調行而不是知，數學觀念應當是一 種探究導向的態度，由學生自己發掘問題，而不是由老師提出來問的。故本研究乃融合 了 Vygotsky 近側發展區的理念，與新皮亞傑學派（Neo-Piaget）對同儕互動的看法，
認為互動的同伴應當與自己在平等的立場下互動，才能順利的提昇學生的數學能力，並 由學生自己提出問題，作為同儕討論與數學對話之題材。
本研究旨在建立數學同儕鷹架理論，並進而驗證理論、修正理論，或可提供教師於 教學實務的反省與參考的依據。由於本研究採多重個案分析法，依據研究目的，本章將 研究結果與討論依照以下四節敘述。第一節個案 A，第二節個案 B，第三節個案 C，第 四節綜合討論。
第一節 個案 A
壹、學習成果分析
一、質性資料分析
許多研究者皆提到鷹架理論在大班教學中實施的困難（李永吟、單文經，1995；
Lerman, 1996; 潘世尊，1997），主要是在於班上學生的人數多，每個學生的「近側發 展區」皆不相同，要搭起適合每個學生的學習鷹架幾乎是不可能的事。而基於鷹架理論 所發展出來的合作學習，雖然將人數降低到每組只有 4~6 人，透過小組合作學習的方式，
讓同儕之間相互教與學的影響來提升整體的學習狀況，包括學科本身的知識、社會性溝 通及協調的技巧，然而在實際的運作上，卻常因為小組成員缺乏對合作學習的了解及技 巧的訓練，導致目標不一致，人多嘴雜，向心力不足，學習機會不均等、部分學生參與 度不高、只分工不合作的現象，而無法達到預期的學習效果，喪失了原本合作學習中同 儕相互激勵的美意（黃善美、黃萬居，2003）。人數更少的同儕交互指導（Reciprocal Peer Tutoring），或同儕師徒制（Peer Mentoring），依照黃善美、黃萬居（2003）的歸納發 現，在同儕指導的學習內容方面，以數學及語文學科的學習指導居多，主要在幫助其知 識記憶、理解與應用的低層次認知，少論及到高層次的分析、綜合與評價的認知行為。
且在運用同儕教學策略時，教師都想極力在幫助學習落後的學生，卻往往忽略了對高學 習成就學生在執行教導之前做過任何的指導與訓練，包括心態、溝通、互動等社會性技 巧，而他們指導的過程中也極少得到額外的學習幫助或激勵。此外，在同一個班級內指 派個別學生指導，也造成了分類及標籤學生的現象。因此，研究者認為，學習當中相當 重要的是學習鷹架要符合個體的近側發展區，且應是透過社會互動進行。若只是透過模 仿，又不符合個體的近側發展區，人數再少，也不能完全的學習。因此，本研究在學生 的小組討論之後，再加上整個班級的數學對話，希望能為學生架起足夠的學習鷹架。透 過學生在數學解題思維當中所呈現出的困難，與數學同儕鷹架的作用，以了解數學同儕
鷹架的運作情況。
個案班級的學生在整個教學歷程當中，總共提出了 31 個他們認為難以解決的題目，
但其中有部分題目屬於同一類形的類似題，因此研究者在此僅以有代表性的題目作為例 證，呈現在課堂中數學同儕鷹架的運作狀況。茲分述如下：
【例證 A01】
題目：
一等差數列ａ1、ａ2、…ａ100….。已知ａ70-ａ57<0，那麼下列選項何者正確？
（A）ａ43-ａ69 >0
（B）ａ42-ａ51 <0
（C）ａ18+ａ51>ａ21+ａ48
（D）ａ12+ａ13>ａ9+ａ34
原先第五組學生認為這個題目屬於題目不夠清楚，無法解題的情形。
師：你認為少了什麼？
S3：它有給我們等差數列ａ1、ａ2、…ａ100…. 所以我們知道總共有 100 項，但是 公式裡面ａn =ａ1+(n-1)d ，裡面沒有ａ1、ａ100、也沒有 d ，應該作不出來才 對（課前晤談轉錄 2004/03/04）。
由晤談資料當中可以看出，學生的解題在公式這裡，出現了解題的障礙。第五組學
生在看到問題之後的數學思維變化情形原為：
問題情境→ 轉譯 → 數學化 → 形式思維→中斷
而 S31 在講解的對話中，首先提出的數學同儕鷹架是後設認知思維，他讓其他學習 同儕知道關鍵在哪裡，可以怎麼來解題，因而獲得了解決。
S31:….題目的關鍵是在「ａ70-ａ57<0」，因為知道這樣以後，就知道公差是負的。
S4：你怎麼知道公差是負的？
S17：把它換一下就知道了啊！因為ａ70-ａ57<0，那就是ａ1+69d -（ａ1+56d）
<0，就可以算出 12d<0，d<0 了啊！
S22：…對哦！只要知道 d 是負的，其他每一項去化簡一下就可以知道答案了。….
（錄音錄影轉錄 2004/03/09）
在此段數學對話當中，可以看到數學同儕鷹架亦提供了概念思維，讓學生回到較基 本的層次去想，由 an = a1+(n-1)d，表示之後再利用關係對照思維，幫學生補上了在原 先的思維與形式思維之後的落差，事實上，原先的公式只需要再代換進去，就可以解出 答案了。
問題情境→ 轉譯 → 數學化→【數學同儕鷹架】後設認知思維 →【數學同儕鷹架】
概念思維→【數學同儕鷹架】關係對照思維→ 形式思維→ 解題成功。
【例證 A02】
題目為：
在 11 和 x 之間插入七個數，使之成等差數列，若插入的第五個數是 1，求 X=？
例證二是由第三組的學生提出，屬於「等差中間項」類型的題目，由於在教學歷程 中出現了 3 個等差中間項的例題，僅以較有代表性的題目作說明。在學生原有的想法當 中，雖然看出了「等差中間項」的題型，就想要帶入公式去求解，但卻發現題目少給了 條件，所以不能做，卻未進一步去思考其他的可能性。
師：你們認為這一題，難的地方在哪裡？
S11:這一題是等差中間項的題目，照理說可以用他的公式算出 d= b-a/m+1，可是 在這裡，b、d 都不知道，就沒有辦法算了（課前晤談轉錄 2004/03/04）。
在此可以看出，由此可以看出第三組學生在這個題目中，呈現出相當固著的 形式思維，亦即，看到等差中間項，就想到相關公式，但是當此路不通之際，學 生就束手無策了。正如林雅慧（2001）所提出的看法，傳統的課室教學帶給學生 的影響，便是學生失去創造思考以及邏輯推理的能力，Moje（1995）認為在課室 中因為教師的嚴格限制，會使學生喪失利用新學習的語言進行溝通的能力。Lemke
（1990）則認為，一般教師習慣利用教師提問、學生回答、教師評鑑，即所謂的 三部曲的對話（triadic dialogue）的方式來營造讓學生參與回答的情境。很顯 然的，當教師提問時，已經限制了學生的思考方向，而教師的評鑑，更讓學生相 信教師的權威感以及必存有正確答案的觀念。而這種想法尤其容易根深於認真聽 講，循規蹈矩的學生。學生在看到問題之後的數學思維變化情形，與例證A01即為 相似：
問題情境→ 轉譯 → 數學化 → 形式思維→中斷
首先上台提供數學同儕鷹架的是 S3，S3 並未以「等差中間項」作為解題的必要公 式。
S3：ㄟ…a1 是 11，第 5 個數是 1 嘛！那就 11+5d=1 所以公差 d 就取-2，要求 x 就 是 11 加上 8 乘以負 2 就是負 5。
S18：S3，那邊為什麼要加 5d？
S3：因為他是全部的第六個數，所以插入的第 5 個數，是全部的第 6 個數，所以 要加 5 個 d。(台)
S7：所以， x 是代表第 9 個數，要加上 8d 去算就可以了（錄音錄影轉錄 2004/03/09）。
S3 將學生的思維轉回較基本的定義來解題，先提供了轉化思維作為數學同儕鷹架，
讓學生從定義出發，把題目中所描述的文字，轉化為數學式子，並用關係連結思維讓學 生知道，插入的第五個數，是全部的第六個數，再配合學生既有的數學概念，就能成功 的解題。其所提供的數學同儕鷹架可表示如下：
問題情境→【數學同儕鷹架】轉化思維 → 數學化 →【數學同儕鷹架】後設認知 思維 →【數學同儕鷹架】關係對照思維 →【數學同儕鷹架】關係連結思維→ 既有數 學概念 → 解題成功。
另一位提供數學同儕鷹架的是 S32，他所用的方式是直接以定義列出來做，而並未 使用公式來解題。
S32：我覺得既然是講到等差，用定義一定可以做出來的。因為是在 11 和 x 之間 插入 7 個數，那你就在 11 和 x 之間放 7 個數進去，因為插入的第 5 個數是 1，你 就會發現 11 和 1 之間有 5 個間隔，所以，(11-1)÷5=2 ，每個間隔都是 2，所以 從 11 開始，每個間隔就減 2，
11 , a1, a2, a3, a4, 1 ,a6, a7, x
所以就是 11 ,9 ,7 ,5 ,3 ,1 ,-1, -3, -5 , x 就是-5 （錄音錄影轉錄 2004/03/09）。
S32 也是將學生的思維轉回較基本的數學概念思維，從等差數列的定義來看，因為 等差數列最基本的定義是指，兩個數之間，如果後項減去前項的差都相等，就是等差數 列。因此，S32 用直觀性思維一個一個將數字列出來解題，是相當容易理解的。正如同 Fischbein(1987)強調的，在數學學習歷程當中，不可忽略直觀層面的數學活動，他認 為直觀是一種理論，意味超乎直接取得訊息，可由已知去推演未來，且直觀是經驗的綜 合，具有整體性與立即性，可立即控制行為。這樣的經驗讓學生發現「…公式好像也不一 定好用，有時候還是要用定義來想…」（S11 數學日記 2004/03/09）；「…難怪老師都一直說，不要死背公 式，定義弄清楚比較重要，這幾題其實用定義算就可以了，根本不用背那麼多東西。」（S20 數學日記
2004/03/09）其所提供的數學同儕鷹架可表示如下：
問題情境→ 轉譯 → 數學化 →【數學同儕鷹架】後設認知思維 → 既有數學概念
→【數學同儕鷹架】概念思維→【數學同儕鷹架】直觀思維 → 解題成功。
【例證 A03】
題目：
（1、1、2、3、5、8、13、21…）從第三個數開始，每個數都是前兩個數之和，求 第 200 項是多少？
第四組的學生對於這個數列的看法，認為雖有規則，但是卻和他們以前所看過的不 同，不知道用什麼較快的方法去做，雖然按照規則一個一個列出，一定可以做出來，但
第四組的學生對於這個數列的看法，認為雖有規則，但是卻和他們以前所看過的不 同，不知道用什麼較快的方法去做，雖然按照規則一個一個列出，一定可以做出來，但