數學中的樣式與規律 - 數學同儕鷹架理論之發展與驗證

近三十年來，關於邏輯推理能力的研究雖備受國內外學者重視，但大部分集中在比例推理與類比推理方面，關於樣式推理（pattern reasoning）的研究，不僅國內缺乏相關研究，就連國外學者對於這部分的研究也少之又少。然而，樣式推理活動不僅強調從數量規律為起點的歸納推理，並可衍生演繹推理的活動(Fernandez, &

Anhalt, 2001)，也就是學生根據問題中的線索，透過歸納推理來找出樣式、確認樣式，更進一步將樣式一般化（generalize），而後以此樣式規則達成解題目的。推理是思維活動一大重要形式，成為了心理學研究的範疇，心理學學者們多研究推理的過程，即推理規則（rule）在頭腦中的表徵與應用，但屬於認知心理學範疇中相關樣式推理的研究甚少，故本研究乃以樣式與規律為素材來探討數學同儕鷹架在樣式推理的認知歷程中的運作與影響。

壹、樣式與規律的內涵

樣式一詞的英文原文是pattern，然而一般英文字典對pattern的翻譯有「圖案、

花樣、式樣」，在數學上有人譯成模式，有人主張樣式，近來甚至有人根據 pattern 在數學獨特的性質與諧音稱為「胚騰」（曹亮吉，2003），只是無論翻譯名稱為何，pattern 與規律性密不可分的關係是無庸置疑。張春興（1989）以認知心理學的觀點來解釋 pattern，意指在極短時間內對字形、符號或圖形等刺激能夠辨別認識。本研究為方便讀者閱讀及避免混淆，均將pattern用數學界常用樣式一詞翻譯之，且將它視為一種廣義的規律性，而不是普遍的數學律則。

樣式標示了物件間隱藏的規律關係，而這些物件並不必然是圖畫式的，也可以是數字、抽象的關係、甚至是思維模式。以數學教育角度來看，研究者發現，Owen(1995) 大略將樣式區分為以下三種類型，此三類型均會出現在國中數學課程中。

一、重複樣式（repeating patterns）

此樣式重點在於循環或重複（cycle）的概念(Owen, 1995)，意指一系列特定的特質，例如顏色、形狀、方向、大小、聲音、數字或其他元素會一直重複出現，例如紅色―紅色―藍色或是正方形―三角形―圓形―正方形―三角形 ― 圓形。此循環不僅可以在單一特質上，也可以多個特質一起變化，例如 Threlfall(1999)曾經指出「□

○ □ ○ □ ○ □ ○ □ ○ □ ○ □ ○ □ ○」，在大小特質上的變化是「小、小、大、小、大、大、小、大」週期長度為8的循環，而在形狀特質上的變化是「方、圓、方、圓、方、圓」週期為2的循環，於是兩個特質的規律組成起來就

會呈現上述的樣子。只要學習者能夠找出其重複樣式的循環週期，即可使用相同單位去辨認、複製及創造重複樣式。但由於國中數學課程中，逐漸引入文字符號並作抽象邏輯思維，因此，重複樣式類型的題目對學生而言，困難度較低，在本次教學歷程中，

出現次數也較少。

二、結構樣式（structural patterns）

此樣式強調結構的存在(Owen, 1995)，結構意味著概念之間的聯繫，也就是從一組有關連性的事物中發現一些特質。例如會問說5是如何組成的？也就是再問5可以有幾種不同的組成方式？此時則有 4+1＝5、3+2＝5、2+3＝5、1+4＝5 的答案出現，甚至可以分成更多群，例如 1＋1＋3＝5、1＋1＋1＋2＝5、或是 2＋2＋1＝5，所謂的結構樣式就存在於前述一組有關連性的等式中，因而，在國中以後的等量公理之類的等式，或不等式都存在著一些性質，例如 a1＞b1，a2＞b2，則a1＋a2＞b1＋b2等，

其實都是屬於結構樣式的議題。結構樣式的察覺看似容易，對那些尚以算術思維為重的學習者來說有時卻很困難，乃因學習者受課程重視數的計算及數量關係之影響，多無法超越算則的重複運算的困境，以致於無法透徹理解數與運算背後潛藏的結構樣式，因此孩童需培養代數思維，才得以讓相聯繫的概念間產生結構性的改變。

三、增長樣式（growing patterns）

此樣式是用可預測的方式來改變一個數值，例如樹的年輪每年都會增加一圈 (Copley, 1998；2003)，此預測方式亦為一系列項目中所隱藏的一套規則，規則隱含著運算，使得前項透過規則的應用可衍生出後項，而後形成一系列項目，各個項目均

具有數量意義。其內涵於 Owen (1995)的分類中稱為序列（sequences），研究者認為兩者所述一致，故統稱增長樣式。增長樣式的發生常不是線性的，所以學習者很容易在自然環境中發現它們的存在，直到樣式完全形成(Copley, 1998；2003)。

在正式課程活動中，此類型以數字序列（以下簡稱數列，series）最為典型，如等差數列、等比數列、巴斯卡三角形數。數列意指一系列非重複的數值，隨著一種規則增長所組成(Owen, 1995)，例如「5，10，15，20，…」，是開始於5，每項次為前一項次加5的數列，或是「14，24，34，…」，則是開始於14，每項次為前一項次加 10的數列。另外也可以發展三角形數（3，6，10，15）、正方形數（如 4，9，16，

25）等課程內容，此是藉由圖形變化轉化為數量關係，所創造出的數列，三角形數為下圖，數列的數量關係隱含邊長與個數關係，正方形數亦然。

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在本研究中，由於是要學生提出他們在數學學習歷程中，認為較困難的題目，因此，

在學生所提出的問題當中，以結構樣式與增長樣式類型為主。

貳、「樣式與規律」在代數學習領域的重要性

傳統代數在國中的課程編排上，數學內容多以邏輯結構為主，由淺入深以螺旋式的方式來進行，無非是希望學習者能奠定日後學習數學的基礎，但學習者的認知心理邏輯卻往往被忽視，例如：老師經常在學習者還沒掌握到符號的意義時，便操作了一大堆的符號，學習者並未從具體的算術過渡到抽象的代數，因此往往只知其然卻不知其所以然。算術處理的是具體的數目，代數處理的卻是抽象的符號，從算術要過渡到代數的符號時，中間一定要歷經變動的算術，也就是真正的代數想法。想法比符號運算重要的多，當代數想法成熟後，符號運算才會有意義，自然就會落實。但是反觀傳統教學，並沒有把代數思維交代清楚，而且教學活動中很少提供具體情境，讓學生過渡到數學符號的抽象思考，因此，大多數的學習者對數學符號感到恐懼，只會抽象的代數運算，卻不知道代數運算的意義何在，更遑論要學習者將符號一般化了。同時，

許多研究（Booth, 1988; Greenes & Findell, 1999; 李美蓮，2004; 李佩玟，2006）

指出大部分的國、高中生接觸到正式的代數內容之前，代數主題的前置經驗可說相當貧乏，從具體操作到抽象公式之間，此學習歷程中的轉型現象，也很少被教學者注意到，因此，在以算術為基礎的課程轉化為以抽象代數想法或理解為重的學習過程裡，

學習者都普遍的感到困難。

教學不應該是沿襲一成不變的技術，傳授抽象的書本知識，而是在社會文化脈絡之中，不斷互動與反思、繼續改造的過程，當學習者從事數學解題時，常視一些現象為特殊獨立的物件，少主動察覺物件之間的潛在關係，所以教師所扮演的角色，更顯得重要，即充分瞭解學習者的數學思考，提供例行性與非例行性的佈題，以及教材教具的充分運用等，幫助學習者建構概念（黃幸美，1997；林達森，2002）。再者，Vygotsky

認為學習者在與他人的互動過程中能發展新的能力，思考活動是由人際互動的歷程轉變為個人內化的知識，藉著與老師、父母以及其他學習者的合作和互動，學習者可以積極建構新的心智能力（Berk & Winsler, 1995）。而樣式規律的教學活動，應該培養的是帶得走的數學能力，是如何思考、分析、歸納並應用的代數思維，而不是解題技巧。如果還是老師示範解題、學生模仿，學習效果並不大，一旦題目出現變化，學生就不知所措了。大部分的情況，學習者還是會以自然事物現象的既有經驗為基礎，

因此，教師應儘可能留意學習者的自然想法，並以此作為基礎進行問題的解決，而老師如何帶領學習者解題成功，此時的角色更顯得重要。同時，教師也要培養學習者具有豐富的表徵能力，能夠去闡述解決問題的過程及結果。

根據研究者以往的教學經驗，可以發現代數一直是學習者感到抽象的，符號對學習者而言並不具有太大意義，更不會利用代數解決問題。NCTM（1988）強調代數教學的概念：代數是對算術的歸納、數量關係、解決問題的學習，也就是說代數教學的效果，能幫助我們用語言來表達數學內容，以代數式清晰表達各數量的關係，利用代數將問題具體化。依皮亞傑的階段論來分，六、七年級的學生思維方式為具體運思，正為形式運思做準備，處於具體到抽象的階段，所以教學上所重視的代數學習範圍裡，

哪些具體活動有助於發展該階段學生的代數思維，相當值得關切！其中樣式與規律的探究，其本質與代數思維不謀而合，恰能幫助學生從具體過渡到抽象思維。

物體具有數量與形狀，再抽象為數與形；而數學就是研究數、量、形的學問，探尋它們的性質與規律（蔡聰明，1995）。而美國國家研究會議（National Research

Council, 簡稱 NRC）強調數學乃是一門尋找規律的學科，透過數學方法使我們理解事物，從中認識規律、了解資料以及做出小心的推理，所以數學是訓練思考與溝通、判斷與推理的學門（NRC, 1989）。

在引入符號教學之前，數學教學應提供機會讓學生去發現樣式規律，引導學生注重數量與形的聯繫，讓學生在具體實測與直觀中，獲得數、量、形的概念，在思考的過程中發現原則是一種歸納的思考，再以原則去操作是演繹的思考，歸納和演繹是人類解決問題的兩大能力，所以讓學生經驗發現的過程，進而發現數學的原則是不可免

在文檔中數學同儕鷹架理論之發展與驗證 (頁 82-100)