第四章 研究結果與分析
第三節 倍數概念階層結構圖之特徵與差異
概念 3、5、8 1、3、5、8 1~10
概念精
熟度 .46~.53 .49~.57 .00 或 1.00 概念
該群集之代表，如表 431 所示。
表 431 倍數各集群受試者代表資料
概念 所屬集群 受試者編號 SV
48 .0153 Ma 群
17 .0241 70 .0595 Mb 群
23 .4142
8 .0139
倍數
Mc 群
36 .4011
壹、倍數概念之低精熟組 Ma 群
Ma 群之兩位受試者代表為編號 48 及編號 17 之受試者，其作答反應組 型如表 432 所示。
表 432 受試者 48 與 17 之作答反應組型 倍數概念試題
大題 一 二 三
受試者
題號 2 4 3 2 4 6
答對 題數
48 0 1 1 1 0 0 3
17 0 1 1 1 0 1 4
將二位受試者之作答反應組型經由 CAISM 程式分析後得到其倍數概念 相鄰矩陣，如表 433 及表 434 所示。
表 433 受試者 48 之倍數概念相鄰矩陣
概念編號 M1 M2 M3 M4 M5 M6
M1 0 0 0 0 0 0
M2 1 0 0 0 0 0
M3 1 0 0 1 0 1
M4 0 0 0 0 0 0
M5 1 0 0 1 0 1
M6 0 0 0 0 0 0
表 434 受試者 17 之倍數概念相鄰矩陣
概念編號 M1 M2 M3 M4 M5 M6
M1 0 0 0 0 0 0
M2 1 0 0 0 0 0
M3 1 1 0 1 0 1
M4 1 0 0 0 0 0
M5 1 1 0 1 0 1
M6 1 0 0 0 0 0
由 CAISM 程式繪出的二位受試者之倍數概念階層結構圖，如圖 431 及圖 432 所示。
圖 431 低精熟組 Ma 群受試者 48 之倍數概念階層結構圖
圖 432 低精熟組 Ma 群受試者 17 之倍數概念階層結構圖
由受試者之概念階層結構圖，分析出二位受試者概念結構上的異同，進 一步歸納低精熟組 Ma 群之共同特徵如下：
一、概念階層結構圖特徵
(一)概念階層：受試者 48 的概念階層為二層，受試者 17 的概念階層則 為三層，兩者之概念 3 與概念 5 皆位於最下層，而概念 4 與概念 6 也位於同一層。
(二)概念聯結：二位受試者之概念 2 能聯結至概念 1，概念 3 與概念 5 均能聯結至概念 1、概念 4 與概念 6，而受試者 17 的三層概念，層 與層概念間均有聯結，即下層概念均為上層概念之先備概念。
二、低精熟組 Ma 群受試者特徵
(一)概念精熟度：「能判斷兩數的公倍數」 與 「能判斷兩數的最小公倍數」
兩概念較易達精熟。
(二)概念聯結：「能計算出某數的倍數」是「能判斷某數的倍數」的先備 概念；「能判斷兩數的公倍數」與「能判斷兩數的最小公倍數」是
「能判斷某數的倍數」、「能計算出兩數的公倍數」與「能計算出兩 數的最小公倍數」的先備概念。
貳、倍數概念之中精熟組 Mb 群
Mb 群之兩位代表為編號 70 及編號 23 之受試者，其作答反應組型如表 435 所示。
表 435 受試者 70 與 23 之作答反應組型 倍數概念試題
大題 一 二 三
受試者
題號 2 4 3 2 4 6
答對 題數
70 1 1 1 1 1 0 5
23 1 1 1 1 0 0 4
將二位受試者之作答反應組型經由 CAISM 程式分析後得到其倍數概念 相鄰矩陣，如表 436 及表 437 所示。
表 436 受試者 70 之倍數概念相鄰矩陣
概念編號 M1 M2 M3 M4 M5 M6
M1 0 1 1 1 1 1
M2 1 0 1 1 1 1
M3 1 1 0 1 1 1
M4 1 1 1 0 1 1
M5 1 1 1 1 0 1
M6 0 0 0 0 0 0
表 437 受試者 23 之倍數概念相鄰矩陣
概念編號 M1 M2 M3 M4 M5 M6
M1 0 1 1 1 1 1
M2 1 0 1 1 1 1
M3 1 1 0 1 1 1
M4 0 0 0 0 0 0
M5 1 1 1 1 0 1
M6 0 0 0 1 0 0
由 CAISM 程式繪出的二位受試者之倍數概念階層結構圖，如圖 433 及圖 434 所示。
圖 433 中精熟組 Mb 群受試者 70 之倍數概念階層結構圖
圖 434 中精熟組 Mb 群受試者 23 之倍數概念階層結構圖
由受試者之概念階層結構圖，分析出二位受試者概念結構上的異同，進 一步歸納中精熟組 Mb 群之共同特徵如下：
一、概念階層結構圖特徵
(一)概念階層：受試者 70 的概念階層為二層，受試者 23 的概念階層則 為三層，兩者之概念 1、概念 2、概念 3 與概念 5 位於同一層，概 念 4 與概念 6 則位於不同階層，且位於下層概念精熟度均為 1.00。
(二)概念聯結：二位受試者位於下層之概念 1、概念 2、概念 3 與概念 5 四個概念為等價關係，且都聯結到概念 6，而二位受試者之下位階 層概念均能聯結到上位階層概念。
二、中精熟組 Mb 群受試者特徵
(一)概念精熟度：「能判斷兩數的公倍數」、「能計算出某數的倍數」、「能 判斷兩數的公倍數」與「能判斷兩數的最小公倍數」四個概念達完 全精熟。
(二)概念聯結：位於下層的「能判斷兩數的公倍數」、「能計算出某數的 倍數」、「能判斷兩數的公倍數」與「能判斷兩數的最小公倍數」四 個概念為等價關係，且均為「能計算出兩數的最小公倍數」的先備 概念，且下層概念皆為上層概念的先備概念。
參、倍數概念之高精熟組 Mc 群
Mc 群之兩位代表為編號 8 及編號 36 之受試者，其作答反應組型如表 438 所示。
表 438 受試者 8 與 36 之作答反應組型 倍數概念試題
大題 一 二 三
受試者
題號 2 4 3 2 4 6
答對 題數
8 1 1 1 1 1 1 6
36 1 1 1 0 0 1 4
將二位受試者之作答反應組型經由 CAISM 程式分析後得到其倍數概念 相鄰矩陣，如表 439 及表 4310 所示。
表 439 受試者 8 之倍數概念相鄰矩陣
概念編號 M1 M2 M3 M4 M5 M6
M1 0 1 1 1 1 1
M2 1 0 1 1 1 1
M3 1 1 0 1 1 1
M4 1 1 1 0 1 1
M5 1 1 1 1 0 1
M6 1 1 1 1 1 0
表 4310 受試者 36 之倍數概念相鄰矩陣
概念編號 M1 M2 M3 M4 M5 M6
M1 0 1 1 1 1 1
M2 0 0 0 0 0 0
M3 1 1 0 1 1 1
M4 1 1 1 0 1 1
M5 1 1 1 1 0 1
M6 1 1 1 1 1 0
由 CAISM 程式繪出的二位受試者之倍數概念階層結構圖，如圖 435 及圖 436 所示。
圖 435 高精熟組 Mc 群受試者 8 之倍數概念階層結構圖
圖 436 高精熟組 Mc 群受試者 36 之倍數概念階層結構圖
由受試者之概念階層結構圖，分析出二位受試者概念結構上的異同，進 一步歸納高精熟組 Mc 群之共同特徵如下：
一、概念階層結構圖特徵
(一)概念階層：受試者 8 的概念階層僅一層，且各概念呈現完全精熟，
精熟度皆為 1.00，受試者 36 的概念階層為二層，僅概念 2 之精熟 度為.00，其餘概念精熟度皆為 1.00。
(二)概念聯結：二位受試者各概念間均有聯結，且受試者 8 之各概念為 等價關係，受試者 36 則在下層的概念間有等價關係。
二、高精熟組 Mc 群受試者特徵
(一)概念精熟度：除「能計算出某數的倍數」外，概念 1、概念 3、概念 4、概念 5 與概念 6 均達完全精熟。
(二)概念聯結：於下階層中，各概念間均有聯結，互為等價概念。
肆、不同倍數集群概念階層結構圖之比較
將上述三個倍數集群的概念階層結構圖之特徵統整如表 4311，分析比 較三個集群，並將結果歸納如下：
一、概念「能判斷兩數的公倍數」與「能判斷兩數的最小公倍數」於不同分 群中精熟度均較高，Mb 群與 Mc 群甚至達完全精熟，此二概念位於階層 之最下層，為其它概念的先備概念，亦為最基礎之概念。
二、不同集群之概念 3「能判斷兩數的公倍數」與概念 5「能判斷兩數的最 小公倍數」均聯結至概念 1「能判斷某數的倍數」，Mb 群與 Mc 群中，
此三概念為等價關係，而 Mc 群與 Mb 群其概念間之聯結關係比 Ma 群多 。
表 4311 不同倍數集群概念階層結構圖特徵比較
Ma 群 Mb 群 Mc 群
低精熟組 中精熟組 高精熟組
階層 二層或三層 二層或三層 一層或二層