國小六年級學生因數與倍數概念結構認知診斷與分群探討
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(2) 摘要 因數與倍數的概念是抽象的，常使教師在教學上遇到瓶頸，學生亦容易 產生許多迷思概念及學習困難，而本研究應用概念詮釋結構模式分析方法， 以國小六年級學童為對象，進行因數與倍數概念階層結構之探討，以提供教 材編製、教學分組及補救教學等之參考。研究者以自編之「因數與倍數概念 診斷測驗」為研究工具，將施測結果進行模糊集群分析，探討不同集群學童 之概念階層結構圖。研究結果如下： 一、因數概念精熟度低於倍數概念精熟度。 二、概念詮釋結構模式分析因數與倍數概念結構是可行的。 三、不同集群受試者之因數概念階層結構圖有所差異。 四、不同集群受試者之倍數概念階層結構圖有所差異。 本研究之結果與發現，有助於教學者瞭解學童之因數與倍數概念結構， 進一步提供教學者設計教材及對學童進行補救教學。最後，根據研究發現與 心得，提出對未來相關研究之建議。. 關鍵字：因數、倍數、概念詮釋結構模式、模糊集群、認知診斷. I .
(3) II.
(4) Clustering and Cognition Diagnosis of Concept Structure on Factor and Multiple for Sixth Graders Students Abstract The concept of factor and multiple is abstract. Such that, teachers often encounter a problem and stndents are also confused. The purpose of this study was to analyze the individualized hierarchical structures of factor and multiple concepts for sixth graders by using the Concept Advanced Interpretive Structural Modeling(CAISM). The researcher designed the factor and multiple concepts test and fuzzy clustering was adopted to clusters students. Finally, the researcher compared the differences of the individualized hierachical structures among different clusters. The results of this research were as follows. 1. The proficiency of factor concept is lower than multiple concept. 2. It is a feasible method to analyze the concept structure by CAISM. 3. Different clusters indicate differences of the concept structures of factor. 4. Different clusters indicate differences of the concept structures of multiple. The findings of this study might be helpful for understanding the concept structures of factor and multiple and as references for teaching design or remedial instruction. Finally, some suggestions for future research are provided. . Keywords: factor, multiple, concept advanced interpretive structural modeling, fuzzy clustering, cognition diagnosis.. III .
(5) 目錄 第一章 緒論 ...................................................................................................... 1 第一節 研究動機 ....................................................................................... 1 第二節 研究目的 ....................................................................................... 3 第三節 名詞解釋 ....................................................................................... 3 第二章 文獻探討 .............................................................................................. 5 第一節 因數與倍數概念研究.................................................................... 5 第二節 概念詮釋結構模式...................................................................... 19 第三節 模糊集群分析 ............................................................................. 21 第三章 研究方法 ............................................................................................ 25 第一節 研究架構 ..................................................................................... 25 第二節 研究對象 ..................................................................................... 26 第三節 研究流程 ..................................................................................... 26 第四節 研究工具 ..................................................................................... 28 第五節 資料處理 ..................................................................................... 36 第四章. 研究結果與分析............................................................................... 39 . 第一節 因數與倍數概念精熟度之模糊集群分析................................... 39 第二節 因數概念階層結構圖之特徵與差異........................................... 43 第三節 倍數概念階層結構圖之特徵與差異........................................... 54 第四節 因數與倍數概念階層結構圖之綜合比較................................... 65 第五章. 結論與建議 ...................................................................................... 81 . 第一節. 結論........................................................................................... 81 . 第二節. 研究限制 ................................................................................... 83 . 第三節. 建議........................................................................................... 84. IV .
(6) 參考文獻.......................................................................................................... 85 壹、中文部分 ........................................................................................... 85 貳、外文部分 ........................................................................................... 89 附錄.................................................................................................................. 93 附錄一 國小六年級因數倍數測驗試題 .................................................. 93. V .
(7) 表目錄 表 211 因數、倍數之相關定義 .................................................................. 5 表 212 公因數、公倍數之相關定義........................................................... 7 表 213 最大公因數、最小公倍數之相關定義 ........................................... 9 表 214 64 年與 82 年數學課程因倍數教材編排 .................................... 10 表 215 92 年與 97 年因數與倍數相關概念之分年細目..........................11 表 216 97 年課程綱要因數與倍數相關概念之分年細目說明 ............... 12 表 217 各版本因數與倍數相關單元教學目標摘要表.............................. 14 表 321 受試樣本人數分配表 .................................................................... 26 表 341 試題屬性矩陣和作答反應矩陣舉例 ............................................. 30 表 342 分年細目之因數概念內容............................................................. 32 表 343 分年細目之倍數概念內容............................................................. 32 表 344 試題與因數概念之關係矩陣......................................................... 33 表 345 試題與倍數概念之關係矩陣......................................................... 33 表 346 預試試題之分析 ............................................................................ 35 表 347 正式施測試題之分析 .................................................................... 36 表 411 因數概念分群之分割係數與分割亂度 ......................................... 39 表 412 倍數概念分群之分割係數與分割亂度 ......................................... 39 表 413 因數概念分群之群中心 ................................................................ 40 表 414 倍數概念分群之群中心 ................................................................ 40 表 415 各集群人數統計表 ........................................................................ 42 表 416 因數與倍數各集群人數綜合統計表 ............................................. 43 表 421 因數各集群受試者代表資料......................................................... 42 表 422 受試者 194 與 41 之作答反應組型 ............................................... 42. VI .
(8) 表 423 受試者 194 之因數概念相鄰矩陣 ................................................. 43 表 424 受試者 41 之因數概念相鄰矩陣................................................... 45 表 425 受試者 33 與 7 之作答反應組型................................................... 47 表 426 受試者 33 之因數概念相鄰矩陣................................................... 48 表 427 受試者 7 之因數概念相鄰矩陣..................................................... 48 表 428 受試者 4 與 75 之作答反應組型................................................... 51 表 429 受試者 4 之因數概念相鄰矩陣..................................................... 51 表 4210 受試者 75 之因數概念相鄰矩陣 ................................................. 52 表 4211 不同因數集群概念階層結構圖特徵比較.................................... 54 表 431 倍數各集群受試者代表資料......................................................... 55 表 432 受試者 48 與 17 之作答反應組型 ................................................. 55 表 433 受試者 48 之倍數概念相鄰矩陣................................................... 56 表 434 受試者 17 之倍數概念相鄰矩陣................................................... 56 表 435 受試者 70 與 23 之作答反應組型 ................................................. 58 表 436 受試者 70 之倍數概念相鄰矩陣................................................... 59 表 437 受試者 23 之倍數概念相鄰矩陣................................................... 59 表 438 受試者 8 與 36 之作答反應組型................................................... 61 表 439 受試者 8 之倍數概念相鄰矩陣..................................................... 62 表 4310 受試者 36 之倍數概念相鄰矩陣 ................................................. 62 表 4311 不同倍數集群概念階層結構圖特徵比較.................................... 65 表 441 因數與倍數綜合分群人數比較表 ................................................. 66 表 442 受試者代表於因數與倍數集群之隸屬度 ..................................... 66 表 443 各集群受試者代表之作答反應組型 ............................................. 67 表 444 受試者 62 概念相鄰矩陣 .............................................................. 67 表 445 受試者 23 概念相鄰矩陣 .............................................................. 69 VII .
(9) 表 446 受試者 175 概念相鄰矩陣............................................................. 70 表 447 受試者 204 概念相鄰矩陣............................................................. 72 表 448 受試者 221 概念相鄰矩陣............................................................. 73 表 449 受試者 109 概念相鄰矩陣............................................................. 75 表 4410 受試者 12 概念相鄰矩陣............................................................. 76 表 4411 受試者 80 概念相鄰矩陣............................................................. 77 表 4412 受試者 9 概念相鄰矩陣 .............................................................. 78 表 4413 因數與倍數概念綜合比較表....................................................... 80. VIII .
(10) 圖目錄 圖 311 研究架構圖.................................................................................... 25 圖 331 研究流程圖.................................................................................... 27 圖 341 概念詮釋結構模式演算流程圖..................................................... 29 圖 342 兩位受試者的概念銓釋結構圖舉例 ............................................. 30 圖 411 因數概念各群中心概念精熟度折線圖 ......................................... 41 圖 412 倍數概念各群中心概念精熟度折線圖 ......................................... 41 圖 421 低精熟組 Fa 群受試者 194 之因數概念階層結構圖 .................... 46 圖 422 低精熟組 Fa 群受試者 41 之因數概念階層結構圖 ...................... 46 圖 423 中精熟組 Fb 群受試者 33 之因數概念階層結構圖...................... 49 圖 424 中精熟組 Fb 群受試者 7 之因數概念階層結構圖........................ 49 圖 425 高精熟組 Fc 群受試者 4 之因數概念階層結構圖........................ 52 圖 426 高精熟組 Fc 群受試者 75 之因數概念階層結構圖 ...................... 53 圖 431 低精熟組 Ma 群受試者 48 之倍數概念階層結構圖..................... 58 圖 432 低精熟組 Ma 群受試者 17 之倍數概念階層結構圖..................... 58 圖 433 中精熟組 Mb 群受試者 70 之倍數概念階層結構圖 .................... 60 圖 434 中精熟組 Mb 群受試者 23 之倍數概念階層結構圖 .................... 60 圖 435 高精熟組 Mc 群受試者 8 之倍數概念階層結構圖....................... 63 圖 436 高精熟組 Mc 群受試者 36 之倍數概念階層結構圖..................... 63 圖 441 受試者 62 概念階層結構圖........................................................... 68 圖 442 受試者 23 概念階層結構圖........................................................... 69 圖 443 受試者 175 概念階層結構圖......................................................... 71 圖 444 受試者 204 概念階層結構圖......................................................... 72 圖 445 受試者 221 概念階層結構圖......................................................... 74. IX .
(11) 圖 446 受試者 109 概念階層結構圖......................................................... 75 圖 447 受試者 12 概念階層結構圖........................................................... 76 圖 448 受試者 80 概念階層結構圖........................................................... 78 圖 449 受試者 9 概念階層結構圖............................................................. 79. X .
(12) 第一章 緒論 紙筆測驗的評量方式是教學現場中很常使用的一種檢視教師教學效果 及學生學習成果的方法，測驗成績可以明確呈現學生在團體中的相對位置， 亦可依整體的施測成績判別教學及學習的成效，但卻較難表達出學生的概念 結構，亦無法提供教師一個改善教學的明確著力點，為此，本研究以 Lin, Hung and Huang(2006) 所 提 出 的 概 念 詮 釋 結 構 模 式 (concept advanced interpretive structural modeling,CAISM)為方法，以因數與倍數概念為研究內 容，將施測結果以圖形方式呈現出學生的概念階層結構與概念間之連接情 形，且進一步利用分群方法進行概念結構類型分群，瞭解各分群學生概念結 構情形，進而提供教學者進行補救教學或教學分組之參考。本章針對研究動 機、研究目的及名詞解釋三節加以闡述。. 第一節 研究動機 在 92 年數學學習領域課程綱要中，最先出現因數、倍數這兩個名詞是 在五年級的分年細目 5n03「能理解因數、倍數、公因數與公倍數」中，課 綱將因數倍數概念編排在高年級課程，對學生而言，必定是需要相當的基礎 概念及數學能力。黃國勳、劉祥通(2003)指出學童學習因數教材是困難的， 原因之一是因數概念屬於抽象概念，不易直接透過觀察獲得。另外，林原宏、 何欣玫(2005)的研究，發現學童對於因數與倍數概念存在許多錯誤類型。有 研究者發展出因數與倍數迷思概念的診斷工具，研究結果發現學童在解題過 程中存在許多錯誤解題策略及迷思概念(林珮如，2002；邱慧珍，2002)。可 以見得因數與倍數的確是學習者以及教學者均需要花費較多心思的課程。再 者，約分、擴分以及最簡分數等簡化計算的技巧，需熟練質因數分解、最大 公因數及最小公倍數等概念(教育部，2003)。可見因數與倍數概念對於往後 的課程而言是極重要的基礎，其教材地位非常重要。. 1 .
(13) 92年課程綱要實施要點之評量指出，針對學童個人的評量結果，教師可 以分析學生既有的知識與經驗，也可從學生發生的錯誤，回溯其學習上的問 題並加以輔導修正。因此，要瞭解學生的學習成效，便要對學生進行評量， 現行評量方式又以紙筆測驗最為普遍，而紙筆測驗的成績並無法讓教師知道 學生是因為先備知識不足，或在哪個概念上不精熟，還是在哪些概念間產生 混淆。有鑑於此，新興的評量方式中，概念構圖評量(余民寧，1997；Novak, 1984)、認知診斷評量(余民寧，1995)等，便著重於探索學生的知識結構，希 望能探究學生知識的本質，進而提出補救教學策略，幫助學生學習。而認知 心理學把諸多的焦點放在人類知識結構或概念結構上，加上心理計量學及人 工智慧之研究的迅速發展，許多研究已使用多種方法於知識結構的分析(林 原宏，1996)，例如，概念詮釋結構模式(concept advanced interpretive structural modeling, CAISM)、概念構圖(concept mapping)、試題關聯結構(item relational structure, IRS)、詮釋結構模式(interpretive structural modeling, ISM)、次序理 論(ordering theory, OT)、徑路搜尋法(pathfinder)、學生問題表(studentproblem chart, SP)等。其中ISM分析法為J. N. Warfield提出的處理複雜系統之元素的 圖形階層化方法(Warfield, 1976, 1982)，其在教育上應用於課程單元的階層結 構化及試題的階層結構關係(林原宏、許天維，1994；林原宏，2009；蔡秉 燁，2007)，可以讓教師將教材概念元素，根據階層排列出教學的次序，但ISM 分析基於整個樣本的訊息，只呈現整體的概念階層結構圖，並無法呈現學生 個別的概念階層結構圖(林原宏，2009)。林原宏(2006)利用詮釋結構模式發 展出概念詮釋結構模式(CAISM)，其依據受試者的反應組型，根據向量比對 (vector matching)和模糊理論(fuzzy theory)之計算方法，以概念精熟度及圖形 結構呈現個別化之概念階層結構圖，此種方式可以讓教師清楚看出每位學生 的概念階層結構圖及概念學習的先後次序關係，並能從中暸解學生各概念之 精熟度。已有研究者利用概念詮釋結構模式分析法進行研究(王佩芬、林原 2 .
(14) 宏、易正明，2008；李青芷，2009；莊惠雯，2009；黃雅琦，2009；鄭佩郡， 2008)，均能有效呈現學生之個別化概念階層結構圖，並能作為分組教學或 補救教學之參考，因此本研究運用概念詮釋結構分析法探討學生在因數倍數 上之概念階層結構差異。. 第二節 研究目的 基於上述研究動機，本研究以國小六年級學童為對象，探究學童因數與 倍數之概念結構，依測驗將學童分群，並進行分析。本研究之目的分述如下： 一、進行學童在因數與倍數概念表現的描述性分析。 二、探討各集群受試者在因數概念階層構圖之特徵。 三、分析不同集群之受試者間因數概念階層構圖之異同。 四、探討各集群受試者在倍數概念階層構圖之特徵。 五、分析不同集群之受試者間倍數概念階層構圖之異同。 六、比較因數與倍數各集群間受試者概念階層結構圖之特徵與異同。. 第三節 名詞解釋 壹、因數與倍數相關名詞 本研究中提及之因數與倍數相關的名詞，係由教育部於 92 年公佈之九 年一貫課程數學課程綱要之標準名詞解釋中提及，各名詞解釋分述如下： 一、因數：一不為零的整數甲若能整除另一整數乙，甲稱為乙的因數。國小 階段只學習正因數，國中階段則引進負因數的學習。 二、倍數：一不為零的整數甲若能整除另一整數乙，乙稱為甲的倍數。國小 階段只學習正倍數。國中階段則引進負倍數的學習。 三、公因數：一整數甲同為兩個以上整數的因數時，則甲為這些數的公因數。 四、最大公因數：公因數中最大者即稱為最大公因數，最大公因數一定為正 整數。. 3 .
(15) 五、公倍數：一整數乙為兩個以上的整數的倍數時，乙稱為這些數的公倍數。 六、最小公倍數：在所有正公倍數中最小者稱為最小公倍數。 七、質數：一大於 1 的正整數只有 1 及本身兩個正因數時，稱為質數。 八、合數：又稱合成數，大於 1 的正整數中不是質數者稱之。 九、互質：兩正整數除 1 外無其他公因數者稱為兩數互質。 十、質因數：是質數又是某數的因數，稱為某數的質因數。. 貳、概念詮釋結構模式 Lin et al.(2006)根據概念向量比對和模糊理論等計算方法，並利用詮釋 結構模式(ISM)的階層結構運算法則(Warfield, 1976, 1982)，提出概念詮釋結 構模式(CAISM)，此模式可就受試者的測驗資料，以數值和圖形結構呈現出 個人化概念階層結構(individualized concept hierarchy structure)。. 參、模糊集群分析 模糊集群分析是由模糊理論與集群分析兩者的概念結合起來(Kaufman, & Rousseeuw, 1990)，模糊理論是 Zadeh (1965)首先發展出來的，模糊理論將 元素和集合之間用 0 到 1 之間的隸屬度來描述。集群分析是利用元素間相似 程度，將之分類在各個群體中，使在同一個集群內的元素同質性高，而不同 的集群之間卻有顯著的差異(林邦傑，1981；林清山，1985)。根據模糊理論 所進行的集群分析方法很多，本研究以目標函數法(objective function method) 進行模糊集群分析。. 4 .
(16) 第二章 文獻探討 本章文獻探討的部分將針對本研究之相關理論進行探究。共分三節，分 別為因數與倍數概念研究、概念詮釋結構模式及模糊集群分析，各節內容分 述如下：. 第一節 因數與倍數概念研究 壹、因數倍數相關概念 一、因數、倍數 國內外研究者及教育單位對於因數與倍數的定義以及計算方法各有不 同的解釋，如表 211 所示，但探討的重點均與乘、除法基本原理有所關聯， 且國小階段探討的範圍以正整數為限。 (一)相關定義 表 211 因數、倍數之相關定義 出處. 概念相關敘述 所謂的因數，主要是探討在正整數的條件下，可以乘法性地組 成一個總量的所有可能單位量之情形。所謂的倍數，主要是探. 謝堅 (1993) . 討在正整數的條件下，以一個指定的數為單位量最為基準，可 以乘法性地組成那些量。 因數是「向內探討組成一個正整數的單位量」 ，而倍數則是「向 外探討以一個正整數為單位量，可以生成哪些正整數」. 5 .
(17) 表 211 因數、倍數之相關定義(續) 出處. 概念相關敘述 因數問題是指定一個正整數，詢問以哪些正整數為單位量，可 以乘法性地合成這個指定的正整數。相對的，倍數問題是指定 一個正整數做為單位量，可以乘法性地合成這個指定的正整數。. 教育部 . 在數學上，是以除法原理(若有 a、b 兩個正整數，則必可找到 . (1993) . q、r 兩個非負整數，滿足 a＝b×q＋r 的關係，且 b＞r≧0)為基 礎，透過判斷 a 是否能夠整除 b(餘數是否為 0)的方式，引入因 數與倍數的定義：設 a、b 是兩個正整數，若 a＝b×q＋r，其中 q 是正整數且 r＝0，則稱 b 是 a 的因數，或稱 a 是 b 的倍數」 。 一不為零的整數甲若能整除另一整數乙，甲稱為乙的因數，乙. 教育部 稱為甲的倍數。國小階段祇學習正因數、正倍數，國中階段則 (2003) . 引進負因數、負倍數的學習。. 教育部 . 一正整數 a 若能整除另一正整數 b，a 稱為 b 的因數，b 稱為 a . (2008) . 的倍數。. 部編本國 中第 1 冊 若 m 能夠整除 n，則 m 稱為 n 的因數， n 稱為 m 的倍數。 (2011) A natural number b is said to divide n if n = bc for some natural Stillwell number c. We also say that b is a divisor of n, and that n is a (2000) multiple of b. . (二)因數與倍數的計算方法 一個正整數的因數與倍數的計算方法以用乘法的觀點，亦可以用除法的. 6 .
(18) 觀點來求得，若能利用乘除互逆的關係( a ´ b = c Þ a = b ´ c ，b、c 是 a 的因數， 則 c 是 a、b 的倍數)的這種特殊技巧，就可以達到事半功倍的效果。(Billstein, Libeskind & Lott,1993；謝堅，1993；劉祥通、黃國勳，2003；賴容瑩，1995)。. 二、公因數、公倍數 公因數與公倍數的定義建立於因數與倍數的基礎上，主要探討二個以上 的數共同的因數與倍數，各研究者、教育單位及教科書業者對於公因數與公 倍數的定義如表 212 所示。 (一)相關定義 表 212 公因數、公倍數之相關定義 出處. 概念相關敘述 所謂的公因數，主要是探討在正整數的條件下，可以同時組成. 謝堅 兩個或兩個以上量的單位量；所謂的公倍數，主要是探討兩個 (1993) . 或兩個以上正整數所共同都有的倍數。 一整數甲同為兩個以上整數的因數時，則甲為這些數的公因. 教育部 數；一整數乙為兩個以上的整數的倍數時，乙稱為這些數的公 (2003) . 倍數。 一正整數 a 同為兩個以上正整數的因數時，則 a 為這些數的公. 教育部 因數；一正整數 a 同為兩個以上正整數的倍數時，則 a 稱為這 (2008) . 些數的公倍數。 幾個數共有的因數，叫做這幾個數的公因數，其中最大的那一. 部編本國 個，叫做這幾個數的最大公因數；幾個數共有的倍數，叫做這 中第 1 冊 幾個數的公倍數，其中最小的那一個，叫做這幾個數的最小公 (2011) . 因數。. 7 .
(19) 表 212 公因數、公倍數之相關定義(續) 出處. 概念相關敘述 . Stillwell If natural numbers a and b have a common divisor d, then (2000) . a = a ¢d and b = b ¢d . (二)公因數與公倍數的計算方法 以 100 學年度翰林版數學教科書為例，其利用列舉法，找出兩個整數的 公因數，而利用不同長度的積木，排成相同長度的情境，讓學生理解公倍數 的意義。謝堅(1995)認為在課程安排上可以透過下列三種問題情境，幫助學 童逐步形成公因數的概念：(一)在方陣排列問題中，探討兩個方陣的可能連 接方式；(二)透過包含除及等分除的情境問題，先要求學童分別找出兩相異 量各自的可能等分組的方式，再透過比較各自的等分組方式，解決等分組的 可能數值問題；(三)在倍的問題情境下，給定兩總量，透過比較各自可能的 單位量數值，找出相同單位量的可能數值。. 三、最大公因數、最小公倍數 最大公因數與最小公倍數的定義建立於公因數與公倍數的定義上，各研 究者、教育單位及教科書業者對於公因數與公倍數的定義如表 213 所示。 亦即在探討所有公因數與公倍數中的特殊值。 (一)相關定義. 8 .
(20) 表 213 最大公因數、最小公倍數之相關定義 出處. 概念相關敘述. 謝堅 (1993) 教育部 (2003)、 教育部 (2008) . 最大公因數是透過比較公因數間的大小所產生；最小公倍數是 透過比較公倍數間的大小所產生。 公因數中最大者即稱為最大公因數，最大公因數一定為正整 數；在所有正公倍數中最小者稱為最小公倍數。. 幾個數共有的因數，叫做這幾個數的公因數，其中最大的那一 部編本國 個，叫做這幾個數的最大公因數；幾個數共有的倍數，叫做這 中第 1 冊 幾個數的公倍數，其中最小的那一個，叫做這幾個數的最小公 (2011) 因數。 . (二)最大公因數與最小公倍數的計算方法 賴容瑩(1995)整理出求出最大公因數及最小公倍數的方法有下列幾種： (1)排列因(倍)數法。(2)短除法。(3)質因數分解法。(4)輾轉相除法。(5)等值 分數法。92 年課程綱要國小部分只提及第一種的排列因(倍)數法，直到 97 課程綱要才於六年級加入短除法的教學。. 貳、課程分析 國內課程標準幾十年來歷經幾次重大改革，以下針對數學學習領域，依 據 64 年、82 年與 92 年課程標準之因數與倍數相關課程進行探討，並比較 97 年修正綱要之差異。. 9 .
(21) 表 214 64 年與 82 年數學課程因倍數教材編排 64 年數學課程因倍數教材編排 年段. 單元 名稱. 五上. 1. 利用「方陣排列」與 「等分組」情境，經 驗因數的意義。 因數 2. 質數和合數的意義。 3. 公因數與最大公因數 的意義。 4. 互質的意義。 1. 倍數的意義。 2. 倍數與最小公倍數的 倍數 意義。 3. 奇數與偶數的意義。 1. 約分的意義(公因數的 應用)。 分數 2. 通分的意義(最小公倍 數的應用)。. 82 年數學課程因倍數教材編排 單元名 稱. 教材內容. 1. 利用「方陣排列」與 線段圖 「等分組」情境，經 驗因數的初步概念。. 因數與 倍數 五下 比 . 擴分與 約分 . 六上. 教材內容. 1. 因數的意義。 2. 倍數的意義。 1. 公因數與最大公因數 的意義。 2. 倍數與最小公倍數的 意義。 1. 約分的意義(公因數的 應用)。 2. 通分的意義(最小公倍 數的應用)。 . (資料來源：國立編譯館，1991、1992、1999、2000 版). 由表 214 可知，(一)因數與倍數的概念都是在剛升上高年級的五年級 上學期開始接觸。(二)教材順序：1.因數皆先於倍數；2.因數、公因數、最大 公因數或倍數、公倍數、最小公倍數。(三)82 年教材在國小階段未編排質數、 10 .
(22) 合數及互質的概念。(四)82 年教材編排拉長因數與倍數的教學時程，改善 64 年教材編排集中於五年級上學期之缺點。因數是較為抽象的概念，而五年級 的學童正處於皮亞傑(Piaget, 1969)的認知發展理論(cognitive development)中 的「具體運思期」和「形式運思期」的過渡階段，因此教材適合安排此階段。. 表 215 92 年與 97 年因數與倍數相關概念之分年細目 92 年課程綱要 分年 細目. 97 年課程綱要 分年 細目. 內容. 能進行 2 個一數、5 個一 數、10 個一數等活動。 2n08 能理解九九乘法。 能理解除法的意義，運用 ÷、＝作橫式紀錄(包括有餘 3n04 數的情況)，並解決生活中 的問題。 1n07 . 1n07 2n08 . 3n05 . 5n04 5n03 . 能理解因數、倍數、公因 數與公倍數。 . 5n05 . 能認識質數、合數，並作 質因數的分解(質數＜20， 6n01 質因數＜10，被分解數＜ 100)。 能認識兩數的最大公因 數、最小公倍數與兩數互 質的意義，理解最大公因 6n02 數、最小公倍數的計算方 式，並能將分數約成最簡 分數。 . 6n01 . 6n02 . 內容 能進行 2 個一數、5 個一 數、10 個一數等活動。 能理解九九乘法。 能理解除法的意義，運用 ÷、＝作橫式紀錄(包括有餘 數的情況)，並解決生活中 的問題。 能理解因數和倍數。 能認識兩數的公因數、公倍 數、最大公因數與最小公倍 數。 能認識質數、合數，並用短 除法做質因數的分解(質數 ＜20，質因數＜20，被分解 數＜100)。 能用短除法求兩數的最大 公因數、最小公倍數。 . 能認識兩數互質的意義，並 6n03 將分數約成最簡分數。(修 6n02) . (資料來源：教育部，2003、2008). 11 .
(23) 表 216 97 年課程綱要因數與倍數相關概念之分年細目說明 分年 細目. 內容及說明. 能理解因數和倍數。(修 5n03) ¾ 以 1n07(幾個一數)，2n08(九九乘法)，3n05(除法)為前置經 驗，理解因數、倍數的概念。 ¾ 五年級安排本細目與 5n05，目標在於協助學童做分數約分、 5n04 擴分、通分之計算，而非整數內在關係的理論(六年級題材)，因 此數字大小應配合分數之教學(5n07)。 ¾ 學生應學習基本的因數判別法，其中 2、5、10 較容易，3 的因 數判別法則由教師告知，11 暫不需要教學。 能認識兩數的公因數、公倍數、最大公因數與最小公倍數。(修 5n03) ¾ 用列表的方式，尋找兩數的公因數、公倍數、最大公因數、最 小公倍數。 5n05 ¾ 學童應知道兩整數的乘積一定是此兩數的公倍數，此可用於分 數之通分。 ¾ 五年級時，只是初步認識這些概念，學生只需用列表解題。短 除法算則則在六年級配合因數之短除法一起教學(6n02)。 能認識質數、合數，並用短除法做質因數的分解(質數＜20，質因 數＜20，被分解數＜100)。(修 6n01) ¾ 在 5n04，製作整數的因數表時，可以發現有一些整數不能再 被分解，這些數稱為質數，他們的因數只有 1 與自己而已。大 於 1 且不是質數的整數(或有 3 個以上因數的整數)稱為合數。 ¾ 在對一數做因數分解的練習裡，發現遇到質數就必須停下來。 同時在記錄分解的樣式及整理中，發現不管怎麼分解，形式都 6n01 一樣(見下例)。在小學時，質因數分解的乘積不寫成指數形式 ¾ 例：60＝6×10＝(2×3)×(2×5)＝2×2×3×5，或 60＝15×4＝(3×5)×(2×2)＝2×2×3×5 ¾ 牽涉因數分解的細目(參見 6n02)，都應遵循如下原則：質因數 ＜20，被分解數＜100。 ¾ 學童應熟悉 2、3、5、7、11、13、17、19 在 100 以內的倍數。 ¾ 最後，將上述經驗整合為常用的短除法算則。可以要求學童將 最後的分解由小到大排列，但使用短除法時則不應對順序設限。. 12 .
(24) 表 216 97 年課程綱要因數與倍數相關概念之分年細目說明(續) 分年 細目. 內容及說明. 能用短除法求兩數的最大公因數、最小公倍數。(修 6n02) ¾ 最大公因數、最小公倍數的初步教學，以列舉觀察為主，熟悉 其意義(5n05)。本細目則更進一步以 6n01 求質因數的短除法 6n02 經驗，發展以短除法計算兩數最大公因數與最小公倍數的方 法，數目大小原則參見 6n01。 ¾ 學童應在過程中觀察到互質的意義(6n03)。 ¾ 小學只處理兩個數的最大公因數和最小公倍數。 能認識兩數互質的意義，並將分數約成最簡分數。(修 6n02) ¾ 兩數的最大公因數是 1 稱為互質。注意區辨互質與質數的不同。 例如：14 與 15 雖然都是合數，但兩者互質。 6n03 ¾ 知道透過約分，可以將分數化成分子和分母互質的分數，稱為 最簡分數。 ¾ 在六年級容許的因倍數範圍中，應要求學童將分數化為最簡分 數。 (資料來源：教育部，2003、2008). 由表 215 及表 216 可知，(一)乘法與除法為學習因數與倍數之前置經 驗。(二)97 年綱要將 92 年剛要之部份分年細目之概念再細分。(三)短除法的 教學由國中階段移至小學六年級。因此，要瞭解因數與倍數的概念最重要的 是要先瞭解其子概念－整數的乘除法，若未具備乘除法能力，則學習因數與 倍數概念便會產生困難(劉秋木，1996)。. 參、現行教材分析 美國 NCTM(2004)(National Council of Teachers of Mathematics)的學校數 學的原則與標準(Principles and Standards for School Mathematics)認為 68 年 級 的 學 生 應 該 能 使 用 因 數 、 倍 數 、 質 因 數 分 解 及 互 質 來 解 決 問 題 。 NCTM(2000)對於因數與倍數的敘述有二：(一)能根據數字的性質描述特. 13 .
(25) 性：辨別不同數字有不同的特性。例如：能被 2 整除的數稱為偶數；只有兩 個因數的數稱為質數。(二)能分析因數、倍數及質數以解決問題：對因數、 倍數及質數進行計算及分析，完成問題的解題程序或推論。例如：說明為何 任意數的各個位數的和是 3 的倍數，該數必能被 3 整除。 國內現行數學領域教科書主要有南一、康軒和翰林三個版本，根據各版 本 100 學年度之課程計畫，統整因數與倍數相關單元之教學目標如表 217 所示，各版之教學計畫本均符合課程標準之編排，概念教學順序唯翰林版是 倍數概念先於因數概念，而也只有翰林版將質因數分解獨立為一單元教授。. 表 217 各版本因數與倍數相關單元教學目標摘要表 南一版. 康軒版. 單元二、因數和倍數 單元二、因數與倍數 1.由具體的操作活動 1.了解整除的意義與 理解因數和公因 因數的關係。 數。 2.認識正整數的因數 2.由具體的操作活動 及兩數的公因數。 理 解 倍 數 和 公 倍 3.認識正整數的倍數 五上 數。 及兩數的公倍數。 第 9 冊 4.理解因數與倍數的 關係。 5.觀察並理解倍數的 規律(2、3、5、10 的倍數)。 6.認識正整數的倍數 及兩數的公倍數。 7.因數倍數的應用。 . 14 . 翰林版 單元三、公倍數與公 因數 1. 認 識 倍 數 和 其 求 法。 2.認識公倍數和其求 法。 3. 認 識 因 數 和 其 求 法。 4.認識公因數。 5.了解因數和倍數的 關係。 6.學會判別 2、5、10 的倍數的方法。.
(26) 表 217 各版本因數與倍數相關單元教學目標摘要表(續) 南一版 一、最大公因數和最 小公倍數 1. 能 經 驗 質 數 和 合 數。 2.能察覺正整數的質 因數，並能做質因 數分解。 六上 3.能察覺正整數的最 第 11 大公因數。 冊 4.能察覺正整數的最 小公倍數。 5.能察覺 2、3、5 的 倍數。 . 康軒版 一、最大公因數與最 小公倍數 1.認識質數、合數、 質因數，並做質因 數的分解。 2.認識最大公因數和 最小公倍數。 3.了解兩數互質的意 義。 4.用質因數分解或短 除法，求最大公因 數和最小公倍數。 5. 能 應 用 最 大 公 因 數、最小公倍數， 解決生活中的問 題。 . 翰林版 一、質因數分解 1.認識質數、合數與 質因數的意義。 2.進而理解質因數 3 的判別。 3.計算質因數分解及 質因數連乘積的意 義。 二、最大公因數與最 小公倍數 1. 認 識 短 除 法 的 計 算、最大公因數的 解題，以及互質的 定義。 2.認識最小公倍數的 解題。. 肆、因數與倍數概念相關研究 因數與倍數常是國小學童容易感到學習挫折的單元，因此許多研究者便 針對此概念進行研究探討，其研究目的包括探究因數倍數概念階結構層次、 學習因數與倍數困難的原因及找出改善因數倍數教與學的方法，以下就相關 研究進行探討。. 一、探究概念結構層次之研究 吳育楨(2008)應用模糊詮釋結構模式分析法，進行小六學童因數與倍數 概念階層結構之探討，以自編的「因數與倍數概念測驗」為工具，經分析獲 得個別學童的概念階層結構圖。研究結果發現，此分析法可幫助教學者瞭解 學童的因數與倍數的概念結構，可提供教師作為分組教學課程規劃之架構，. 15 .
(27) 或是進行補救教學課程設計之參考，以提升學生的因數與倍數概念學習成 效。 綜合上述，若能瞭解學生在因數與倍數概念上的上下位概念或概念間的 關聯，便不難找到學生學習低成就之原因，進而尋求補救教學之方法。. 二、探究學童學習困難與錯誤概念之研究 Orhun(2002)分析 38 位土耳其的小六學生對於因數與倍數的解題策略， 研究結果發現學生對於語意、字彙無法瞭解，因此不能瞭解題意，另外學生 最大的困難是題意理解及符號形式的轉譯，主要是因為學生在解題過程中， 使用不正確的概念。 林珮如(2002)依據 Mayer 及 Brainbridge 解題理論和直觀法則理論自編診 斷工具，對小五學童進行施測及個別晤談，探討學童的因數迷思概念和成 因。研究的發現，國小學童在學習因數時的錯誤解題策略和原因，包括用乘 除解題時錯誤連結、用一一列出對應方式解題時，粗心或計算錯誤、缺乏閱 讀解釋問題能力以致誤解題意、採用用關鍵字解題錯誤…等。而學習因數時 的迷思概念共計有概念混淆不清、概念遺漏與概念錯誤三大類。原因包括先 備知識理解不清產生錯誤連結、相類似知識的造成混淆干擾、缺乏閱讀解釋 問題能力以致誤解題意、採用用關鍵字解題…等。 陳標松(2003)以自編研究工具「國小數學科因數倍數測驗」 ，探究小六學. 生在因數倍數問題的解題表現，比較數學學習困難和數學表現優異學生在因 數倍數問題解題之差異及解題時的迷思概念。研究的結果發現數學學習困難 學生在因數倍數問題中的主要迷思概念大概有：乘除法運算概念錯誤(系統 性錯誤和粗心錯誤)、語言概念錯誤(題意了解錯誤和專有名詞概念錯誤)、策 略概念錯誤(解題策略錯誤和隨機反應錯誤)。 劉伊祝(2008)以自編之「二階段式因數與倍數基本概念測驗」研究工具 16 .
(28) 探討小五學生在因數與倍數單元常見的錯誤類型及其成因。研究結果發現 (一)錯誤類型有(1)遺漏的錯誤。(2)概念連結的錯誤。(3)計算的錯誤。(4)文 字轉譯的錯誤。(5)不完全的計算過程。(6)看不懂題目，隨便回答。(二)錯誤 成因有(1)對專有名詞概念認知不清或混淆。(2)因在尋找因數與倍數的過程 就發生遺漏或多找，進而導致在公因數與公倍數的尋找上也會發生遺漏或多 找。(3)忽略 1 和本身均為因數。(4)忽略本身也是倍數，卻誤認 1 也是本身 倍數。(5)誤解短除法運算結果在公因數與公倍數計算上解讀。(6)運用關鍵 字解題。(7)因題意認知不清、缺乏文字轉譯能力、計算粗心或忽略題目條件 限制，導致在文字應用題上使用錯誤解題策略。 黃玉雙(2011)以五年級學童為研究對象、自編之「因數與倍數概念測驗」 試題為研究工具，探討學童在因數與倍數問題表現。研究結果發現誤原因眾 多：(1)未理解整除概念。(2)未建立因數與倍數概念。(3)誤以為某數的因數 最大不會超過某數的一半。(4)公因數與公倍數概念模糊。(5)因粗心出現遺 漏。(6)採用關鍵字解文字題。(7)因未考慮清楚題目要求而作答錯誤。(8)忽 略計算過程代表的意義。 綜合上述，可以發現學童因數與倍數單元學習困難的主要因素乃是個人 基本的前置概念不成熟以及閱讀理解能力不夠，再加上精神狀況不佳造成的 粗心錯誤等導致。. 三、改善教與學之研究 于國善(2004)針對「國小因數單元」設計補救教學活動，採個別化教學 方式進行。研究發現發展因數補救教學活動必須把握以下原則：(一)由學生 動手操作實物。(二)運用具體物，建構學生「整除」概念，並強調「順序性」。 (三)結合學生生活經驗與週遭情境，使轉譯題目時不致產生困擾。 柯重吉(2007)以 64 位小五學生為對象，進行因數倍數多媒體電腦輔助教 17 .
(29) 學，研究發現實施電腦輔助教學的學童學習成就及學習態度顯著優於一般教 學方式。 邱家麟(2008)運用激發式動態呈現教學設計(Triggerbased Animation Instructional Design, TAID)與高互動即時反饋系統(EduClick 3)兩個軟體發展 教學模組，運用於小五之補救教學，研究發現：(一)透過運用 TAID 與 EduClick 3 之因數與倍數補救教學策略，對學童具有立即、正向之成效且具有保留效 果。(二)運用資訊融入教學的方式進行因數與倍數補救教學，能提昇學童對 數學的學習動機以及增進他們對數學的自信心。三、進行補救教學時，宜採 能力分組或個別化教學，其教學成效更顯著。四、對不同的對象可採不同的 教學策略。 陳渝(2011)探討小五學童在因數與倍數補救教學的學習表現，以自編試 題為研究工具進行施測與訪談，再進行補救教學，以「畢業旅行」的擬真實 情境包裝課程。經由前測、後測、學習單、錄音、錄影等資料的蒐集與分析， 研究結果發現：(一)透過實物的輔助與教師的引導，可幫助學童理解數量間 的關係，學習數學語言的敘述方式。(二)個案學童有「直觀法則與關鍵字解 題」的情況，透過補救教學活動可改善其發生的機會。(三)透過具體物的操 作活動，可幫助學童理解文字題的題意與答案的意涵。 綜合上述不難發現，要改善學生的學習成效，可以利用多媒體教學以及 具體實物輔助，讓因數抽象的概念更容易使學生接受。 由前述因數與倍數的定義可知，因數主要是基於整除概念，倍數則是乘 法的延伸，又由基本的因數與倍數衍伸出公因數與公倍數等相關的概念，而 這些概念又是下個學習階段國中即將接觸的新概念的重要基礎，具有相當重 要的地位，也因如此，國內與美國將此相關概念置於 56 年級及 68 年級的 課程中。因數與倍數的數學相關試題並非單純一步驟的計算問題，其中參雜 了許多抽象的觀念，學生學習上便出現了許多問題，導致教師在教學上遇上 18 .
(30) 瓶頸，因此許多研究者的研究結果可以提供教學者在教學上的參考，進一步 提升因數與倍數的學習成效。. 第二節 概念詮釋結構模式 壹、基礎理論 概念詮釋結構模式(concept advanced interpretive structural modeling, CAISM)是由 Lin, Hung, & Huang (2006)提出，此模式係由詮釋結構模式 (interpretive structural modeling, ISM)衍生而出，其改善了兩部分，其一，將 詮釋結構模式以試題為單位的知識結構分析，改為以試題所欲測量的概念為 元素的知識結構分析，其二，將詮釋結構模式只能呈現整體知識階層結構圖 的缺點，進而改良能明確呈現出個別化的知識階層結構圖(林原宏，2009)。 而概念詮釋結構模式的基本演算法則是根據概念向量比對(concept vector matching)和模糊理論(fuzzy theory)等計算方式，輸入受試者的測驗資料，並 且利用詮釋結構模式的階層結構運算法則(Warfield, 1976, 1982)，呈現出以數 值及圖形階層結構方式，進而提供個人化的概念階層結構(individualized concept hierarchy structure)訊息。. 貳、概念詮釋結構模式的相關研究 王佩芬、易正明、林原宏 (2008) 應用概念詮釋結構模式分析國小四年 級學童的除法概念結構，探討不同能力的學童之除法概念結構，並對答對總 分相同但反應組型不同的受試者，進行除法概念結構圖的比較。研究結果發 現，學童的除法概念圖具有階層結構之特徵，總分相同的受試者，其概念結 構圖仍有很大的差異。 鄭佩郡(2008)應用概念詮釋結構模式，分析國小六年級資賦優異與普通. 19 .
(31) 班兩類學生的面積概念結構，並依概念精熟度分組，分析各組學生的概念結 構特徵並比較不同組別間學生的概念結構。研究結果顯示使用概念詮釋結構 模式進行分析是可行的，並發現資賦優異與普通班學生面積概念結構是有差 異的，且不同組別學生的面積概念結構圖也有所不同，而概念間的連結關係 可做為教材授課順序的參考，學童個別的面積概念結構亦可做為補救教學或 分組教學之參考。 李青芷(2009)提出「加權概念詮釋結構模式」 ，此方法除原有概念詮釋結 構模式之數值與圖形結構的呈現外，還能計算知識結構圖中每個概念的權重 值，並應用此法分析國小二年級學童數與量分年細目概念結構圖，再根據模 糊集群分組，探討不同集群受試者之結構圖特徵。研究結果顯示「加權概念 詮釋結構模式」能提供更多訊息，而不同集群受試者在數概念以及量概念結 構圖上均有其特徵，此研究結果可提供教師對個別學生進行認知診斷和補教 教學亦可供課程設計之參考。 黃雅琦(2009)應用概念詮釋結構模式探討國小六年級學童在分數及小數 的數感概念結構，並透過模糊集群分析進行分群，挑選學童進行個別晤談及 補救教學，再施以複本測驗，最後比較補救教學前後學童概念結構之變化。 研究結果顯示所有受測者在分數及小數的數感發展略顯薄弱，而各群組學童 的數感概念發展各有特徵，此法亦有助教學者瞭解學童的數感概念結構，以 做為教材編製與補救教學之參考，顯示概念詮釋結構模式具教育研究之實用 性。 莊惠雯(2009)應用概念詮釋結構模式分析國小二年級學童時間概念的知 識結構，利用模糊集群分析將受試者分群，以探討各群的知識結構特性，再 挑選學童進行補救教學，之後進行後測，比較進行補救教學前後概念詮釋結 構圖之異同。研究結果顯示運用概念詮釋結構圖可進行個別化的教學診斷， 以作為補救教學之參考，而補救教學後，受試者之概念結構與概念精熟度皆 20 .
(32) 有差異。 賴盈州(2011)探討國中七年級學生比與比例式的概念結構，根據課程綱 要之分年細目歸納出之概念屬性編製測驗工具，並以 SP 表進行分群，再以 概念詮釋結構模式分析。研究結果顯示各群組學生在比與比例式的概念各有 其特徵，而概念結構圖可進行個別化的概念診斷。 江孟聰(2011)採用多元計分 SP 表分析理論與多元計分概念詮釋結構模 式探討國小五年級探討不同學習類型學童幾何概念結構圖之特徵。研究結果 顯示不同學習類型或不同反應組型受試者的幾何概念階層結構圖在概念階 層數、概念屬性及概念的連結皆有明顯的差異，而答對題數相同的受試者， 其概念階層結構圖會有所差異，再者，個人化概念階層結構圖可以幫助教師 找出學習困難點或迷思概念，進而實施補救教學。 綜合以上各研究者之研究，概念詮釋結構模式能提供個別化的概念階層 結構及各概念精熟度，以利於教學者發現學童學習之困難，進而依問題規劃 補救教學。. 第三節 模糊集群分析 壹、集群分析 集群分析(cluster analysis)又稱聚類分析，其主要目的是將相似程度高的 元素歸為同一個集群，也就是希望「集群內元素同質性高，而集群間的元素 異質性高」(林邦傑，1981；林清山，1985)。 集群分析依目的之不同，可區分為階層集群分析(hierarchical clustering method)和非階層集群分析(nonhierarchical clustering method)。階層集群分析 基本上又可分為分裂法(division method)和凝聚法(agglomerative method)；而 非階層集群分析則以 k 平均法(kmeans)較為常見(林原宏，1996；張建邦，. 21 .
(33) 1993；Everitt, 1993)。. 貳、模糊理論 模 糊 理 論 係 由 Zadeh (1965) 首 先 提 出 的 ， 邏 輯 上 採 用 多 元 邏 輯 (contunuous logic)，它突破了二元邏輯只有真假或對錯的非此即彼現象，允 許許多漸進的值及過度的形式，以 0 到 1 之間的隸屬度(membership)來描述 現象，而「模糊」指的是「不分明」、 「不明確」、「界限不清」之意(九章編 輯部，1989)。模糊集合指用來表示界線或邊界不分明的具有特定性質事物 的集合(馮國臣，2007)，U 表示論域， m 為一函數，即 m : U ® [ 0 , 1 ] ， A 是則 U 上 之模糊子集，其隸屬函數記為 m A (x ) ，表示元素 x 隸屬於模糊集合 A 的程度。當論 域為有限集時， A 可表示為： A =. m A ( x 1 ) m A ( x 2 ) x 1 . +. x 2 . +L+. m A ( x n ) x n . 當論域為無限集時， A 可表示為： A = ò. m A ( x ) . U . x . 其中「＋」與「 ò 」符號並不表示和與積分，而是表示各元素與歸屬度之間對 應的關係。模糊理論提出後，已於工程、人工智慧及統計方法等論領域有相. 關研究，更影響社會科學的資料分析(Law, 1996; Law, 1997; Yen, 1996)。. 參、模糊集群分析 模糊集群分析就是集群分析和模糊理論兩概念的結合，也就是將隸屬度 的觀點應用於集群分析中(Kaufman, and Rousseeuw, 1990)，模糊集群的分析 分法有許多種，各具特色，常見的有目標函數法、α截矩陣與最大樹法。 本研究使用之模糊集群分析程式(FCUT)係由林原宏、黃國榮(2003)所研發， 採用的分析分法為適用於大樣本資料的目標函數法，Bezdek(1973)導出一般 22 .
(34) 化公式，欲分析之個體有 N 位，每位個體有 M 個變項，集群數為 C( C ³ 2 )， 隸屬度矩陣為 U ，集群中心矩陣為 V 。定義一個一般化目標函數： N. C. q . M . J q( U , V ) = åå ( u cn ) d ( c , n ) ， d ( c , n ) = å ( x nm - v cm ) 2 2 . 2 . n =1 c =1 . m =1 . 以 Lagrange’s multipliers 方法，求 J q ( U , V ) 之極小值。令： N C N C é ù q F = åå (u cn ) d 2 ( c , n ) + å êl n ( å u cn - 1 ) ú n =1 c =1 n =1 ë c =1 û N C M N C é é ù q 2 ù = åå ê( u cn ) å ( x nm - v cm ) ú + å êl n ( å u cn - 1 ) ú n =1 c =1 ë m =1 û n =1 ë c =1 û. 針對參數進行偏微分求極值，得到參數 u cn 、 vcm 之關係式：. é 1 ê ê å ( x - v ë M . nm . 1. u cn == C. å éê d ( ( c l , , n n ) ) ùú ë d û l =1 . 2 . 1 q -1 . =. ù ú ) ú û. 1 q -1 . 2 . cm . m =1 . é ù 1 ú åê ê å ( x - v ) ú ë û. 1 q -1 . C. 2 . M . l =1 . 2 . nm . lm . m =1 . N. N. q . å ( u ) ( x v cm = . n =1 . N. å ( u cn ) . ) . nm . cn . = q . q . å ( u ) ( x . ) . nm . cn . n =1 . N. q . å ( u ) cn . n =1 . n =1 . 經過相互迭代法(iteration)迭代到 u cn 、vcm 收歛，最後所得的隸屬度矩陣 U 和 集 群 之 中 心 矩 陣 V 即 為 所 求 ( 林 原 宏 ， 2005) 。 集 群 數 C 之 選 擇 以 Bezdek( 1981)之指標判定法選取分割係數(partition coefficient)之較大值及分 割亂度(partition entropy)之較小值為較佳的分割數。. 肆、模糊集群分析的相關研究 應用模糊集群分析進行研究的領域相當廣泛，其中電機工程、管理學、. 23 .
(35) 資訊科學、農藝學、土木工程及數學教育等領域有許多運用模糊集群的研 究。其中電機工程領域有應用於字型辨識上的研究(王佳霖，1994)、指紋辨 識系統的設計(許臣君，2007)、鳥音辨識系統(黃祥恩，2005)以及電力系統 工程的研究(王淑貞，2006)。在管理學方面，蔡明穎(2011)應用模糊集群法 建構物流產業群聚分析模式，侯政乾(1999)以模糊集群方法，進行亞洲國家 商港港埠經營競爭集群分析，黃昇平(2006)利用模糊聚類進行半導體產業作 業員之工作壓力分群，提供管理者用來評估員工工作壓力之參考準則。在農 藝學領域上，鄭俊昇(1996)將模糊聚類分析應用在茶葉品質鑑定上。在數學 領域亦有相關的研究，吳純欣(2011)應用模糊集群將學生分群探討代數概 念，鄭如君(2010)結合模糊集群分析與試題關聯結構(item relational structure, IRS)，探討國小六年級學生在數學學習領域數與量分年細目概念之精熟程度 與各概念間之關聯，由上述可知，模糊集群分析的應用相當普遍，可以用來 解決生活上許多傳統二元邏輯分群方法無法處理的問題。. 24 .
(36) 第三章 研究方法 本章內容在說明本研究的設計、研究工具及資料處理，共分為五節。分 別為研究架構、研究對象、研究流程、研究工具及資料處理。. 第一節 研究架構 本研究根據九年一貫課程綱要數學學習領域(教育部，2003)，分析五、 六年級因數與倍數概念之分年細目，並參考各版本之數學領域教材，編製因 數與倍數概念診斷測驗。研究者亦同時探討相關文獻，以概念詮釋結構模式 及模糊理論為基礎，應用CAISM程式及FCUT程式進行資料分析。本研究之 研究架構圖如圖311所示。 九年一貫課程綱要. 分析方法探討. 因數與倍數 之分年細目. 編製因數與倍數 概念診斷測驗. 概念詮釋結 構模式理論. 資料分析. 因數概念分析. 倍數概念分析. 結論與建議 圖311 研究架構圖. 25 . 模糊理論.
(37) 第二節 研究對象 本研究採用概念詮釋結構模式進行學生在因數與倍數概念的認知診 斷，以瞭解學生在因數與倍數的概念結構，因此，本研究以接受過國小階段 因數與倍數單元教學的六年級學童為對象。本研究之施測對象為臺中市的學 童，尋訪願意配合此研究的三所學校及班級。預試日期為2011年5月，兩個 班級受測，共57位學生，正式施測日期為2011年6月，八個班級受測，共245 位學生，受試樣本人數分配表如表321所示。. 表321 受試樣本人數分配表. 預試. 正式施測. 區別. 學校. 班級數. 班級學生數. 學生總數. 西屯區. 甲校 . 2 . 57 . 57 . 西屯區. 甲校 . 3 . 85 . 南屯區. 乙校 . 2 . 65 . 南區. 丙校 . 3 . 95 . 245 . 第三節 研究流程 本研究之流程首先確定研究主題與研究目的，待蒐集相關文獻後，進行 文獻之探討，確定研究架構並選定以概念詮釋結構模式及模糊理論進行施測 後之資料分析編製試題並尋找施測對象，最後將施測資料以CAISM程式分析 並以FCUT程式進行分群，之後撰寫報告，研究流程圖如圖331所示。. 26 .
(38) 確定研究題目. 相關文獻探討. 確定研究架構 編製預試試題. 選擇預試對象 進行預試. 分析預試資料 修正試題. 選擇正式施測對象 正式施測. 分析正式施測資料. 以CAISM程式進行 概念詮釋結構分析. 使用 FCUT 程式 依概念精熟度分群. 撰寫報告 圖331 研究流程圖 27 .
(39) 第四節 研究工具 本研究的研究工具為CAISM與FCUT兩個程式以及研究者自編的因數 與倍數概念診斷測驗。以下就三項工具進行說明。 壹、概念詮釋結構模式及其程式 概念詮釋結構模式之程式CAISM係由Lin, Hung, & Huang (2006)提出， 該程式可以從受試者的測驗資料中，以數值及圖形結構呈現出個人化概念階 層結構。 其中所需輸入的資料為二元計分測驗之作答反應矩陣(response data matrix) X = ( x nm ) N ´M 及試題屬性矩陣(itemattribute matrix) Y = ( y ma ) M ´ A ，然 後 根 據 概 念 向 量 比 對 等 計 算 方 式 求 出 概 念 精 熟 度 矩 陣 (master concept matrix) D ，再應用模糊理論等計算出二元關係矩陣，最後進行ISM分析，並 進行ISM圖簡化。圖341為概念詮釋結構模式的演算流程圖。. 28 .
(40) 受試者原始作答資料. 作答反應矩陣 X . 試題與概念之關係. 試題屬性矩陣 Y . 典型概念矩陣 Z . 典型反應矩陣 R . 近似值矩陣 C . 標準化近似值矩陣 SC . 概念精熟度矩陣 D . 模糊關係矩陣 F n . 二元關係矩陣 F n a . ISM 分析構圖. 圖341 概念詮釋結構模式演算流程圖(資料來源：林原宏，2006) . 假設某測驗有 6 個試題，所測量的概念有 4 個，受試者人數為 8，其試. 29 .
(41) 題屬性矩陣 Y 和作答反應矩陣 X 分別如表 341 所示。 表 341 試題屬性矩陣和作答反應矩陣舉例 試題屬性矩陣 Y 試題 1 2 3 4 5 6 . 1 1 0 0 1 0 0 . 概念 2 3 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 . 作答反應矩陣 X 4 0 0 1 0 1 1 . 受試者 1 2 3 4 5 6 7 8 . 1 1 1 0 1 1 1 1 0 . 2 0 0 1 1 1 1 0 0 . 試題 3 4 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 . 5 0 0 0 0 1 0 1 1 . 6 1 0 1 0 1 0 0 1 . 如圖 342 所示，概念階層結構圖中每個圓圈內的上方整數部分代表概 念編號，而圓圈下方小數部分則是受試者該概念之概念精熟度，所有概念分 為數個階層，愈下方的階層概念精熟度愈高，若兩概念間有箭頭存在，表示 下階層概念為上階層概念之先備概念。由表 341 可知，受試者 6 的試題反 應組型是(1 1 1 1 0 0)，而受試者 7 的試題反應組型是(1 0 1 1 1 0)，兩位受試 者的總分都是 4 分，但概念階層結構圖卻是截然不同，如圖 342 所示，顯 示總分相同，但其認知結構卻不盡相同。 受試者 6 . 受試者 7 . 圖 342 兩位受試者的概念銓釋結構圖舉例. 30 .
(42) 綜合上述，概念詮釋結構模式所呈現之概念階層結構圖有幾項特點：(1) 可以呈現個人化之概念階層結構圖。(2)可以清楚看出各概念之精熟度。 (3) 可以看出各概念間之聯結。(4)可以看出概念間上下位的關係。(5)可以看出 相同得分者概念之不同。故本研究採取概念詮釋結構模式為理論基礎。. 貳、模糊集群及其程式 本研究所使用的FCUT程式是由林原宏、黃國榮(2003)所研發，是以目 標函數法為基礎的模糊集群分析程式，以Bezdek(1973)定義之一般化目標函 數 Jq ( U , V ) ，利用Lagrange’s multipliers 方法，求 J q ( U , V ) 之極小值，再進 行迭代，直到 u cn 、 vcm 收歛。因此，只需給定資料矩陣，輸入欲區分之群數、 收斂標準及q值，即可得到受試者的隸屬度矩陣、集群中心矩陣、分割係數 及分割亂度，接著根據Bezdek(1981)的指標判定法，以分割係數較大值和分 割亂度較小值，決定最適合之群數。. 參、因數與倍數概念診斷測驗 一、試題之概念結構 研究者依據九年一貫課程綱要數學學習領域(教育部，2003)的能力指 標，找出與因數、倍數相關的分年細目，再將分年細目內容細分為17項概念， 其中11個為因數概念，如表342所示。6個為倍數概念，如表343所示。. 31 .
(43) 表342 分年細目之因數概念內容 細目 代碼. 概念 編號 F1 能理解因數、倍數、公因數與公 F2 5n03 倍數。 F3 F4 分 年 細 目 內 容. 因 數 概 念 內 容 能判斷某數的因數 能計算出某數的因數 能判斷兩數的公因數 能計算出兩數的公因數 . 能認識質數、合數，並作質因數 的分解(質數＜20，質因數＜ 6n01 10，被分解數＜100)。 . F5 F6 . 能認識兩數的最大公因數、最小 公倍數與兩數互質的意義，理解 6n02 最大公因數、最小公倍數的計算 方式，並能將分數約成最簡分 數。 . 能判斷兩數的最大公因數 能計算出兩數的最大公因 F9 數 F10 能判斷兩數是否互質 F11 能將分數約成最簡分數. F7 . 能判斷某數是否為質數 能判斷某數是否為合數 能計算出某數的質因數分 解 . F8 . 表343 分年細目之倍數概念內容 細目 代碼. 5n03 . 分 年 細 目 內 容. 概念 編號. 倍 數 概 念 內 容 . 能理解因數、倍數、公因數與公 倍數。 . M1 M2 M3 M4 . 能判斷某數的倍數 能計算出某數的倍數 能判斷兩數的公倍數 能計算出兩數的公倍數 . 能認識兩數的最大公因數、最小 公倍數與兩數互質的意義，理解 6n02 最大公因數、最小公倍數的計算 方式，並能將分數約成最簡分 數。 . M5 能判斷兩數的最小公倍數 . M6 . 能計算出兩數的最小公倍 數. 在試題與概念之關係矩陣中，「1」代表該試題有測量到該概念；「0」 則代表該試題沒有測量到該概念。試題與因數概念之關係矩陣如下表344 所示，試題與倍數概念之關係矩陣如表345所示。 32 .
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