第四章 研究結果與分析
第四節 因數與倍數概念階層結構圖之綜合比較
概念 第二層
概念 4、6 第一層
概念 3、5 1、2、3、5 1、3、4、5、6 概念精
熟度 .44~.60 .00 或.50 或 1.00 .00 或 1.00 概念
聯結 3、5→4、6 1、2、3、5 相互聯結 1~6 相互聯結
第四節 因數與倍數概念階層結構圖之綜合比較
本節探討因數概念及倍數概念之綜合比較，將受試者在因數及倍數的分 群統整為九個集群，並於每個集群中挑選一受試者代表，此代表為該因數與 倍數集群中隸屬度較高者，以其因數與倍數之概念階層結構圖進行探討。
如圖 441 所示，將因數概念屬於 Fa 群且倍數概念屬於 Ma 群之集群稱 為 FaMa 群，因此隸屬於 FaMa 群的受試者共 84 人，佔全體受試者 34.29％，
而 FbMa 群佔 28.16％，上述兩群人數為多數，比例超過一半，另外 FbMc 群 比例佔 11.84％，其餘集群比例皆小於 7％。
表 441 因數與倍數綜合分群人數比較表
表 443 各集群受試者代表之作答反應組型
集群 受試者 因數試題 答對題數 倍數試題 答對題數 Fa Ma 群 62 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 5 0 1 1 1 0 0 3 Fa Mb 群 23 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 6 1 1 1 1 0 0 4 Fa Mc 群 175 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 6 1 1 1 1 1 1 6 Fb Ma 群 204 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 9 0 1 1 1 0 1 4 Fb Mb 群 221 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 8 1 1 1 1 1 0 5 Fb Mc 群 109 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 9 1 1 1 1 1 1 6 Fc Ma 群 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 0 1 1 1 1 0 4 Fc Mb 群 80 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 0 5 Fc Mc 群 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 6
壹、因數與倍數綜合分群之特徵
將九個集群之受試者代表經由 CAISM 程式分析( a =. 55 )後之相鄰矩陣 及概念階層結構圖進行分析。
一、Fa Ma 群
表 444 為受試者 62 之概念相鄰矩陣，圖 441 為受試者 62 概念階層 結構圖。
表 444 受試者 62 概念相鄰矩陣
因 數 倍 數
概念
編號 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11
概念
編號 M1 M2 M3 M4 M5 M6
F1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M1 0 0 0 0 0 0
F2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 M2 1 0 0 0 0 0
F3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 M3 1 0 0 1 0 1
F4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M4 0 0 0 0 0 0
F5 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 M5 1 0 0 1 0 1
表 444 受試者 62 概念相鄰矩陣(續)
因 數 倍 數
概念
編號 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11
概念
編號 M1 M2 M3 M4 M5 M6
F6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M6 0 0 0 0 0 0
F7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
F8 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
F9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
F10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
F11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
因數 倍數
圖 441 受試者 62 概念階層結構圖
由圖 441 分析受試者 62 因數與倍數之概念階層結構圖特徵：
(一)概念階層：受試者 62 之因數與倍數概念階層皆為二層。
(二)概念精熟度：受試者 62 之因數與倍數概念精熟度介於.48~.54 之間，該 受試者於因數及倍數集群中皆屬於低精熟組，因此精熟度偏低，其中因 數概念「能判斷某數是否為質數」及倍數概念「能判斷兩數的最小公倍 數」最易達精熟。
(三)概念聯結：除因數概念「能計算出某數的質因數分解」及「能將分數約 成最簡分數」外，皆有聯結關係，可以見得受試者 62 對於質因數分解 及約為最簡分數概念的習得與其他因數概念並無關連。而因數概念「能
判斷某數是否為質數」為多數因數概念之先備概念，因此此概念之精熟 對於受試者 62 頗為重要。
二、Fa Mb 群
表 445 為受試者 23 之概念相鄰矩陣，圖 442 為受試者 23 概念階層 結構圖。
表 445 受試者 23 概念相鄰矩陣
因 數 倍 數
概念
編號 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11
概念
編號 M1 M2 M3 M4 M5 M6
F1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 M1 0 1 1 1 1 1
F2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M2 1 0 1 1 1 1
F3 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 M3 1 1 0 1 1 1
F4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 M4 0 0 0 0 0 0
F5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M5 1 1 1 1 0 1
F6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M6 0 0 0 1 0 0
F7 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
F8 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0
F9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
F10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
F11 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
因數 倍數
圖 442 受試者 23 概念階層結構圖
由圖 442 分析受試者 23 因數與倍數之概念階層結構圖特徵：
(一)概念階層：受試者 23 之因數概念階層為二層，倍數概念階層為三層。
(二)概念精熟度：受試者 23 之因數概念精熟度介於.45~.55 之間，較為集中，
倍數概念精熟度則落差較大，綜合來說，其倍數概念精熟度優於因數概 念精熟度，其中因數概念「能判斷兩數的公因數」最易達精熟，倍數概 念「能判斷某數的倍數」、「能計算出某數的倍數」、「能判斷兩數的公倍 數」及「能判斷兩數的最小公倍數」已達完全精熟，而倍數概念「能計 算出兩數的公倍數」精熟度則為 0，可知該受試者將概念融入計算之能 力不足。
(三)概念聯結：因數概念「能判斷某數是否為合數」與所有下階層概念皆有 聯結，顯示此概念之精熟需提升所有下階層概念之精熟度，另外，因數 概念「能判斷兩數的公因數」均聯結到上階層概念，為所有上階層概念 之先備概念，可見此概念對於該生之因數概念發展極為重要。倍數概念
「能判斷某數的倍數」、「能計算出某數的倍數」、「能判斷兩數的公倍數」
及「能判斷兩數的最小公倍數」互為等價關係，且此四概念與其餘概念 直接或間接皆有聯結關係，為該生倍數概念發展之基礎。
三、Fa Mc 群
表 446 為受試者 175 之概念相鄰矩陣，圖 443 為受試者 175 概念階 層結構圖。
表 446 受試者 175 概念相鄰矩陣
因 數 倍 數
概念
編號 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11
概念
編號 M1 M2 M3 M4 M5 M6
F1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M1 0 1 1 1 1 1
F2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 M2 1 0 1 1 1 1
F3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 M3 1 1 0 1 1 1
F4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M4 1 1 1 0 1 1
F5 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 M5 1 1 1 1 0 1
表 446 受試者 175 概念相鄰矩陣(續)
因 數 倍 數
概念
編號 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11
概念
編號 M1 M2 M3 M4 M5 M6
F6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M6 1 1 1 1 1 0
F7 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
F8 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
F9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
F10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
F11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
因數 倍數
圖 443 受試者 175 概念階層結構圖
由圖 443 分析受試者 175 因數與倍數之概念階層結構圖特徵：
(一)概念階層：受試者 175 之因數概念階層為二層，倍數概念階層為一層。
(二)概念精熟度：受試者 175 之因數概念精熟度介於.46~.55 之間，倍數概念 精熟度則皆為 1.00，已達完全精熟。
(三)概念聯結：因數概念「能判斷某數是否為質數」皆聯結至所有上階層概 念，為所有上階層概念之先備概念，為該受試者因數概念發展之重要概 念，另外，所有下層概念皆聯結到因數概念「能判斷某數是否為合數」，
顯示此概念之精熟需提升所有下階層概念之精熟度。倍數概念間均互相 聯結為等價關係，該受試者之倍數概念優於因數概念。
四、Fb Ma 群
表 447 為受試者 204 之概念相鄰矩陣，圖 444 為受試者 204 概念階 層結構圖。
表 447 受試者 204 概念相鄰矩陣
因 數 倍 數
概念
編號 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11
概念
編號 M1 M2 M3 M4 M5 M6
F1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 M1 0 0 0 0 0 0
F2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M2 1 0 0 0 0 0
F3 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 M3 1 1 0 1 0 1
F4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M4 1 0 0 0 0 0
F5 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 M5 1 1 0 1 0 1
F6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 M6 1 0 0 0 0 0
F7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
F8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0
F9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
F10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
F11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
因數 倍數
圖 444 受試者 204 概念階層結構圖
由圖 444 分析受試者 204 因數與倍數之概念階層結構圖特徵：
(一)概念階層：受試者 204 之因數概念階層為二層，倍數概念階層為三層。
(二)概念精熟度：該受試者之因數概念精熟度介於.49~.58 之間，倍數概念精
熟度則介於.44~.60 之間。
(三)概念聯結：所有因數下層概念皆聯結至「能計算出兩數的最大公因數」
與「能判斷兩數是否互質」，且此二概念之精熟度相對較低，因此二概 念的精熟需要許多先備概念為基礎，而因數概念「能判斷某數的因數」
聯結至所有的上層概念，為該受試者因數概念發展之重要概念，也就是 說，該受試者須先會判斷某數的因數才能發展其它因數概念。另外，此 受試者的兩個下階層倍數概念「能判斷兩數的公倍數」及「能判斷兩數 的最小公倍數」皆與其它階層概念直接或間接的聯結，顯示此二概念為 該受試者之基礎概念。
五、Fb Mb 群
表 448 為受試者 221 之概念相鄰矩陣，圖 445 為受試者 221 概念階 層結構圖。
表 448 受試者 221 概念相鄰矩陣
因 數 倍 數
概念
編號 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11
概念
編號 M1 M2 M3 M4 M5 M6
F1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 M1 0 1 1 1 1 1
F2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M2 1 0 1 1 1 1
F3 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 M3 1 1 0 1 1 1
F4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M4 1 1 1 0 1 1
F5 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 M5 1 1 1 1 0 1
F6 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 M6 0 0 0 0 0 0
F7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
F8 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
F9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
F10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
F11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
因數 倍數
圖 445 受試者 221 概念階層結構圖
由圖 445 分析受試者 221 因數與倍數之概念階層結構圖特徵：
(一)概念階層：此受試者之因數概念階層與倍數概念階層皆為二層。
(二)概念精熟度：此受試者之因數概念精熟度介於.48~.55 之間，倍數概念精 熟度則僅概念「能計算出兩數的最小公倍數」精熟度為 0，其餘概念之 精熟度皆為 1.00，皆達完全精熟。
(三)概念聯結：該受試者之因數概念「能計算出兩數的公因數」與「能計算 出某數的質因數分解」與其它因數概念沒有任何聯結，即該受試者此二 概念之發展與其它因數概念並無關聯，而所有因數下層概念皆聯結至概 念「能判斷兩數是否互質」 ，因此，此概念的精熟需要許多先備概念為 基礎，相對亦較難達精熟。此受試者倍數概念除了「能計算出兩數的最 小公倍數」之外，其餘概念間皆互相聯結為等價關係，因此該受試者對 於計算最小公倍數較難達精熟。
六、Fb Mc 群
表 449 為受試者 109 之概念相鄰矩陣，圖 446 為受試者 109 概念階 層結構圖。
表 449 受試者 109 概念相鄰矩陣
因 數 倍 數
概念
編號 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11
概念
編號 M1 M2 M3 M4 M5 M6
F1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 M1 0 1 1 1 1 1
F2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M2 1 0 1 1 1 1
F3 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 M3 1 1 0 1 1 1
F4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M4 1 1 1 0 1 1
F5 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 M5 1 1 1 1 0 1
F6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 M6 1 1 1 1 1 0
F7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
F8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0
F9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
F10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
F11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
因數 倍數
圖 446 受試者 109 概念階層結構圖
由圖 446 分析受試者 109 因數與倍數之概念階層結構圖特徵：
(一)概念階層：此受試者之因數概念階層為二層，倍數概念階層為一層。
(二)概念精熟度：此受試者之因數概念精熟度介於.49~.58 之間，倍數概念精 熟度則均為 1.00，皆達完全精熟，明顯的該受試者倍數概念優於因數概 念。
(三)概念聯結：該受試者之因數下層概念皆聯結至「能計算出兩數的最大公
因數」與「能判斷兩數是否互質」，此概念的精熟需要許多先備概念為 基礎，相對亦較難達精熟，而「能判斷某數的因數」聯結至所有上層概 念，因此，此概念為該受試者因數概念發展之重要基礎概念，亦即須先 學會判斷某數的因數才會判斷公因數、計算最大公倍數等。
七、Fc Ma 群
表 4410 為受試者 12 之概念相鄰矩陣，圖 447 為受試者 12 概念階層 結構圖。
表 4410 受試者 12 概念相鄰矩陣
因 數 倍 數
概念
編號 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11
概念
編號 M1 M2 M3 M4 M5 M6
F1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 M1 0 0 0 0 0 0
F2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 M2 1 0 0 1 0 1
F3 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 M3 1 0 0 1 0 1
F4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 M4 0 0 0 0 0 0
F5 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 M5 1 0 0 1 0 1
F6 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 M6 0 0 0 0 0 0
F7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
F8 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1
F9 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
F10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1
F11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
因數 倍數
圖 447 受試者 12 概念階層結構圖
由圖 447 分析受試者 12 因數與倍數之概念階層結構圖特徵：
(一)概念階層：此受試者之因數概念階層為一層，倍數概念階層則為二層。
(二)概念精熟度：此受試者之因數概念精熟度皆為 1.00，均達完全精熟，倍 數概念精熟度則介於.47~.59 之間，該受試者因數概念優於倍數概念。
(三)概念聯結：該受試者之所有因數概念間均互相聯結，為等價關係。下層 倍數概念皆聯結至上層概念，即「能計算出某數的倍數」、「能判斷兩數 的公倍數」與「能判斷兩數的最小公倍數」三概念為該受試者之基礎概 念，且此三概念之發展均會影響上層概念之精熟。
八、Fc Mb 群
表 4411 為受試者 80 之概念相鄰矩陣，圖 448 為受試者 80 概念階層 結構圖。
表 4411 受試者 80 概念相鄰矩陣
因 數 倍 數
概念
編號 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11
概念
編號 M1 M2 M3 M4 M5 M6
F1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 M1 0 1 1 1 1 1
F2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 M2 1 0 1 1 1 1
F3 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 M3 1 1 0 1 1 1
F4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 M4 1 1 1 0 1 1
F5 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 M5 1 1 1 1 0 1
F6 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 M6 0 0 0 0 0 0
F7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
F8 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1
F9 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
F10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1
F11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
因數 倍數
圖 448 受試者 80 概念階層結構圖
由圖 448 分析受試者 80 因數與倍數之概念階層結構圖特徵：
(一)概念階層：此受試者之因數概念階層為一層，倍數概念階層則為二層。
(二)概念精熟度：此受試者之因數概念精熟度皆為 1.00，均達完全精熟，倍 數概念精熟度則僅「能計算出兩數的最小公倍數」精熟度為 0，其餘概 念之精熟度皆為 1.00，達完全精熟。。
(三)概念聯結：該受試者之所有因數概念間均互相聯結，為等價關係。而倍 數概念除了「能計算出兩數的最小公倍數」之外，其餘概念間皆互相聯 結為等價關係，因此該受試者對於計算最小公倍數較難達精熟。
九、Fc Mc 群
表 4412 為受試者 9 之概念相鄰矩陣，圖 449 為受試者 9 概念階層結 構圖。
表 4412 受試者 9 概念相鄰矩陣
因 數 倍 數
概念
編號 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 概念
編號 M1 M2 M3 M4 M5 M6
F1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 M1 0 1 1 1 1 1
F2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 M2 1 0 1 1 1 1
F3 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 M3 1 1 0 1 1 1
F4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 M4 1 1 1 0 1 1
F5 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 M5 1 1 1 1 0 1
表 4412 受試者 9 概念相鄰矩陣(續)
表 4412 受試者 9 概念相鄰矩陣(續)