緒論

紙筆測驗的評量方式是教學現場中很常使用的一種檢視教師教學效果 及學生學習成果的方法，測驗成績可以明確呈現學生在團體中的相對位置，

亦可依整體的施測成績判別教學及學習的成效，但卻較難表達出學生的概念 結構，亦無法提供教師一個改善教學的明確著力點，為此，本研究以  Lin,  Hung  and  Huang(2006) 所 提 出 的 概 念 詮 釋 結 構 模 式 (concept  advanced  interpretive  structural  modeling,CAISM)為方法，以因數與倍數概念為研究內 容，將施測結果以圖形方式呈現出學生的概念階層結構與概念間之連接情 形，且進一步利用分群方法進行概念結構類型分群，瞭解各分群學生概念結 構情形，進而提供教學者進行補救教學或教學分組之參考。本章針對研究動 機、研究目的及名詞解釋三節加以闡述。

第一節 研究動機

在  92  年數學學習領域課程綱要中，最先出現因數、倍數這兩個名詞是 在五年級的分年細目 5­n­03「能理解因數、倍數、公因數與公倍數」中，課 綱將因數倍數概念編排在高年級課程，對學生而言，必定是需要相當的基礎 概念及數學能力。黃國勳、劉祥通(2003)指出學童學習因數教材是困難的，

原因之一是因數概念屬於抽象概念，不易直接透過觀察獲得。另外，林原宏、

何欣玫(2005)的研究，發現學童對於因數與倍數概念存在許多錯誤類型。有 研究者發展出因數與倍數迷思概念的診斷工具，研究結果發現學童在解題過 程中存在許多錯誤解題策略及迷思概念(林珮如，2002；邱慧珍，2002)。可 以見得因數與倍數的確是學習者以及教學者均需要花費較多心思的課程。再 者，約分、擴分以及最簡分數等簡化計算的技巧，需熟練質因數分解、最大 公因數及最小公倍數等概念(教育部，2003)。可見因數與倍數概念對於往後 的課程而言是極重要的基礎，其教材地位非常重要。

92年課程綱要實施要點之評量指出，針對學童個人的評量結果，教師可 以分析學生既有的知識與經驗，也可從學生發生的錯誤，回溯其學習上的問 題並加以輔導修正。因此，要瞭解學生的學習成效，便要對學生進行評量，

現行評量方式又以紙筆測驗最為普遍，而紙筆測驗的成績並無法讓教師知道 學生是因為先備知識不足，或在哪個概念上不精熟，還是在哪些概念間產生 混淆。有鑑於此，新興的評量方式中，概念構圖評量(余民寧，1997；Novak,  1984)、認知診斷評量(余民寧，1995)等，便著重於探索學生的知識結構，希 望能探究學生知識的本質，進而提出補救教學策略，幫助學生學習。而認知 心理學把諸多的焦點放在人類知識結構或概念結構上，加上心理計量學及人 工智慧之研究的迅速發展，許多研究已使用多種方法於知識結構的分析(林 原宏，1996)，例如，概念詮釋結構模式(concept advanced interpretive structural  modeling, CAISM)、概念構圖(concept mapping)、試題關聯結構(item relational  structure, IRS)、詮釋結構模式(interpretive structural modeling, ISM)、次序理 論(ordering theory, OT)、徑路搜尋法(pathfinder)、學生問題表(student­problem  chart, S­P)等。其中ISM分析法為J. N. Warfield提出的處理複雜系統之元素的 圖形階層化方法(Warfield, 1976, 1982)，其在教育上應用於課程單元的階層結 構化及試題的階層結構關係(林原宏、許天維，1994；林原宏，2009；蔡秉 燁，2007)，可以讓教師將教材概念元素，根據階層排列出教學的次序，但ISM  分析基於整個樣本的訊息，只呈現整體的概念階層結構圖，並無法呈現學生 個別的概念階層結構圖(林原宏，2009)。林原宏(2006)利用詮釋結構模式發 展出概念詮釋結構模式(CAISM)，其依據受試者的反應組型，根據向量比對  (vector matching)和模糊理論(fuzzy theory)之計算方法，以概念精熟度及圖形 結構呈現個別化之概念階層結構圖，此種方式可以讓教師清楚看出每位學生 的概念階層結構圖及概念學習的先後次序關係，並能從中暸解學生各概念之 精熟度。已有研究者利用概念詮釋結構模式分析法進行研究(王佩芬、林原

宏、易正明，2008；李青芷，2009；莊惠雯，2009；黃雅琦，2009；鄭佩郡， 

2008)，均能有效呈現學生之個別化概念階層結構圖，並能作為分組教學或 補救教學之參考，因此本研究運用概念詮釋結構分析法探討學生在因數倍數 上之概念階層結構差異。

第二節 研究目的

基於上述研究動機，本研究以國小六年級學童為對象，探究學童因數與 倍數之概念結構，依測驗將學童分群，並進行分析。本研究之目的分述如下：

一、進行學童在因數與倍數概念表現的描述性分析。

二、探討各集群受試者在因數概念階層構圖之特徵。

三、分析不同集群之受試者間因數概念階層構圖之異同。

四、探討各集群受試者在倍數概念階層構圖之特徵。

五、分析不同集群之受試者間倍數概念階層構圖之異同。

六、比較因數與倍數各集群間受試者概念階層結構圖之特徵與異同。

第三節 名詞解釋

壹、因數與倍數相關名詞

本研究中提及之因數與倍數相關的名詞，係由教育部於  92  年公佈之九 年一貫課程數學課程綱要之標準名詞解釋中提及，各名詞解釋分述如下：

一、因數：一不為零的整數甲若能整除另一整數乙，甲稱為乙的因數。國小 階段只學習正因數，國中階段則引進負因數的學習。

二、倍數：一不為零的整數甲若能整除另一整數乙，乙稱為甲的倍數。國小 階段只學習正倍數。國中階段則引進負倍數的學習。

三、公因數：一整數甲同為兩個以上整數的因數時，則甲為這些數的公因數。

四、最大公因數：公因數中最大者即稱為最大公因數，最大公因數一定為正 整數。

五、公倍數：一整數乙為兩個以上的整數的倍數時，乙稱為這些數的公倍數。

六、最小公倍數：在所有正公倍數中最小者稱為最小公倍數。

七、質數：一大於 1 的正整數只有 1 及本身兩個正因數時，稱為質數。

八、合數：又稱合成數，大於 1 的正整數中不是質數者稱之。

九、互質：兩正整數除 1 外無其他公因數者稱為兩數互質。

十、質因數：是質數又是某數的因數，稱為某數的質因數。

貳、概念詮釋結構模式 

Lin  et  al.(2006)根據概念向量比對和模糊理論等計算方法，並利用詮釋 結構模式(ISM)的階層結構運算法則(Warfield, 1976, 1982)，提出概念詮釋結 構模式(CAISM)，此模式可就受試者的測驗資料，以數值和圖形結構呈現出 個人化概念階層結構(individualized concept hierarchy structure)。

參、模糊集群分析

模糊集群分析是由模糊理論與集群分析兩者的概念結合起來(Kaufman, 

& Rousseeuw, 1990)，模糊理論是 Zadeh (1965)首先發展出來的，模糊理論將 元素和集合之間用 0 到 1 之間的隸屬度來描述。集群分析是利用元素間相似 程度，將之分類在各個群體中，使在同一個集群內的元素同質性高，而不同 的集群之間卻有顯著的差異(林邦傑，1981；林清山，1985)。根據模糊理論 所進行的集群分析方法很多，本研究以目標函數法(objective function method)  進行模糊集群分析。