因數與倍數概念研究

壹、因數倍數相關概念 一、因數、倍數

國內外研究者及教育單位對於因數與倍數的定義以及計算方法各有不 同的解釋，如表 2­1­1 所示，但探討的重點均與乘、除法基本原理有所關聯，

且國小階段探討的範圍以正整數為限。 

(一)相關定義

表 2­1­1  因數、倍數之相關定義

出處 概念相關敘述

所謂的因數，主要是探討在正整數的條件下，可以乘法性地組 成一個總量的所有可能單位量之情形。所謂的倍數，主要是探 討在正整數的條件下，以一個指定的數為單位量最為基準，可 以乘法性地組成那些量。

謝堅  (1993) 

因數是「向內探討組成一個正整數的單位量」，而倍數則是「向 外探討以一個正整數為單位量，可以生成哪些正整數」

表 2­1­1  因數、倍數之相關定義(續)  數與倍數的定義：設 a、b  是兩個正整數，若 a＝b×q＋r，其中  q  是正整數且 r＝0，則稱 b  是 a  的因數，或稱 a 是 b 的倍數」 。

A natural  number  b  is  said  to  divide  n  if  n  =  bc  for  some  natural  number  c.  We  also  say  that  b  is  a  divisor  of  n,  and  that  n  is  a  multiple of b. 

(二)因數與倍數的計算方法

一個正整數的因數與倍數的計算方法以用乘法的觀點，亦可以用除法的

觀點來求得，若能利用乘除互逆的關係( a ´ b = c Þ a = b ´ c ，b、c 是 a 的因數，

則 c 是 a、b 的倍數)的這種特殊技巧，就可以達到事半功倍的效果。(Billstein,  Libeskind & Lott,1993；謝堅，1993；劉祥通、黃國勳，2003；賴容瑩，1995)。

二、公因數、公倍數

表 2­1­2  公因數、公倍數之相關定義(續) 

出處 概念相關敘述 

Stillwell  (2000) 

If natural numbers a and b have a common divisor d, then  d 

a 

a =  ¢ and  b = b ¢ d 

(二)公因數與公倍數的計算方法

以 100 學年度翰林版數學教科書為例，其利用列舉法，找出兩個整數的 公因數，而利用不同長度的積木，排成相同長度的情境，讓學生理解公倍數 的意義。謝堅(1995)認為在課程安排上可以透過下列三種問題情境，幫助學 童逐步形成公因數的概念：(一)在方陣排列問題中，探討兩個方陣的可能連 接方式；(二)透過包含除及等分除的情境問題，先要求學童分別找出兩相異 量各自的可能等分組的方式，再透過比較各自的等分組方式，解決等分組的 可能數值問題；(三)在倍的問題情境下，給定兩總量，透過比較各自可能的 單位量數值，找出相同單位量的可能數值。

三、最大公因數、最小公倍數

最大公因數與最小公倍數的定義建立於公因數與公倍數的定義上，各研 究者、教育單位及教科書業者對於公因數與公倍數的定義如表 2­1­3 所示。

亦即在探討所有公因數與公倍數中的特殊值。 

(一)相關定義

表 2­1­3  最大公因數、最小公倍數之相關定義

出處 概念相關敘述

謝堅  (1993) 

最大公因數是透過比較公因數間的大小所產生；最小公倍數是 透過比較公倍數間的大小所產生。

教育部  (2003)、

教育部  (2008) 

公因數中最大者即稱為最大公因數，最大公因數一定為正整 數；在所有正公倍數中最小者稱為最小公倍數。

部編本國 中第 1 冊 

(2011) 

幾個數共有的因數，叫做這幾個數的公因數，其中最大的那一 個，叫做這幾個數的最大公因數；幾個數共有的倍數，叫做這 幾個數的公倍數，其中最小的那一個，叫做這幾個數的最小公 因數。 

(二)最大公因數與最小公倍數的計算方法

賴容瑩(1995)整理出求出最大公因數及最小公倍數的方法有下列幾種： 

(1)排列因(倍)數法。(2)短除法。(3)質因數分解法。(4)輾轉相除法。(5)等值 分數法。92 年課程綱要國小部分只提及第一種的排列因(倍)數法，直到 97  課程綱要才於六年級加入短除法的教學。

貳、課程分析

國內課程標準幾十年來歷經幾次重大改革，以下針對數學學習領域，依 據 64 年、82 年與 92 年課程標準之因數與倍數相關課程進行探討，並比較  97 年修正綱要之差異。

表 2­1­4    64 年與 82 年數學課程因倍數教材編排 

(資料來源：國立編譯館，1991、1992、1999、2000 版)

由表  2­1­4  可知，(一)因數與倍數的概念都是在剛升上高年級的五年級 上學期開始接觸。(二)教材順序：1.因數皆先於倍數；2.因數、公因數、最大 公因數或倍數、公倍數、最小公倍數。(三)82 年教材在國小階段未編排質數、

合數及互質的概念。(四)82 年教材編排拉長因數與倍數的教學時程，改善 64  年教材編排集中於五年級上學期之缺點。因數是較為抽象的概念，而五年級 的學童正處於皮亞傑(Piaget,  1969)的認知發展理論(cognitive  development)中 的「具體運思期」和「形式運思期」的過渡階段，因此教材適合安排此階段。

表 2­1­5  92 年與 97 年因數與倍數相關概念之分年細目 

92 年課程綱要  97 年課程綱要

表 2­1­6  97 年課程綱要因數與倍數相關概念之分年細目說明 分年

細目 內容及說明

能理解因數和倍數。(修 5­n­03) 

5­n­04 

¾ 以  1­n­07(幾個一數)，2­n­08(九九乘法)，3­n­05(除法)為前置經 驗，理解因數、倍數的概念。

¾ 例：60＝6×10＝(2×3)×(2×5)＝2×2×3×5，或  60＝15×4＝(3×5)×(2×2)＝2×2×3×5 

¾ 牽涉因數分解的細目(參見 6­n­02)，都應遵循如下原則：質因數

＜20，被分解數＜100。

¾ 學童應熟悉 2、3、5、7、11、13、17、19 在 100 以內的倍數。

¾ 最後，將上述經驗整合為常用的短除法算則。可以要求學童將 最後的分解由小到大排列，但使用短除法時則不應對順序設限。

表 2­1­6  97 年課程綱要因數與倍數相關概念之分年細目說明(續)  其意義(5­n­05)。本細目則更進一步以 6­n­01 求質因數的短除法 經驗，發展以短除法計算兩數最大公因數與最小公倍數的方

(資料來源：教育部，2003、2008)

由表 2­1­5 及表 2­1­6 可知，(一)乘法與除法為學習因數與倍數之前置經 驗。(二)97 年綱要將 92 年剛要之部份分年細目之概念再細分。(三)短除法的 教學由國中階段移至小學六年級。因此，要瞭解因數與倍數的概念最重要的 是要先瞭解其子概念－整數的乘除法，若未具備乘除法能力，則學習因數與 倍數概念便會產生困難(劉秋木，1996)。

參、現行教材分析

美國 NCTM(2004)(National Council of Teachers of Mathematics)的學校數 學的原則與標準(Principles  and  Standards  for  School  Mathematics)認為 6­8 年 級 的 學 生 應 該 能 使 用 因 數 、 倍 數 、 質 因 數 分 解 及 互 質 來 解 決 問 題 。  NCTM(2000)對於因數與倍數的敘述有二：(一)能根據數字的性質描述特

性：辨別不同數字有不同的特性。例如：能被 2 整除的數稱為偶數；只有兩

表 2­1­7  各版本因數與倍數相關單元教學目標摘要表(續) 

或是進行補救教學課程設計之參考，以提升學生的因數與倍數概念學習成 效。

綜合上述，若能瞭解學生在因數與倍數概念上的上下位概念或概念間的 關聯，便不難找到學生學習低成就之原因，進而尋求補救教學之方法。

二、探究學童學習困難與錯誤概念之研究 

Orhun(2002)分析 38 位土耳其的小六學生對於因數與倍數的解題策略，

研究結果發現學生對於語意、字彙無法瞭解，因此不能瞭解題意，另外學生 最大的困難是題意理解及符號形式的轉譯，主要是因為學生在解題過程中，

使用不正確的概念。

林珮如(2002)依據 Mayer 及 Brainbridge 解題理論和直觀法則理論自編診 斷工具，對小五學童進行施測及個別晤談，探討學童的因數迷思概念和成 因。研究的發現，國小學童在學習因數時的錯誤解題策略和原因，包括用乘 除解題時錯誤連結、用一一列出對應方式解題時，粗心或計算錯誤、缺乏閱 讀解釋問題能力以致誤解題意、採用用關鍵字解題錯誤…等。而學習因數時 的迷思概念共計有概念混淆不清、概念遺漏與概念錯誤三大類。原因包括先 備知識理解不清產生錯誤連結、相類似知識的造成混淆干擾、缺乏閱讀解釋 問題能力以致誤解題意、採用用關鍵字解題…等。

陳標松(2003)以自編研究工具「國小數學科因數倍數測驗」，探究小六學

生在因數倍數問題的解題表現，比較數學學習困難和數學表現優異學生在因 數倍數問題解題之差異及解題時的迷思概念。研究的結果發現數學學習困難 學生在因數倍數問題中的主要迷思概念大概有：乘除法運算概念錯誤(系統 性錯誤和粗心錯誤)、語言概念錯誤(題意了解錯誤和專有名詞概念錯誤)、策 略概念錯誤(解題策略錯誤和隨機反應錯誤)。

劉伊祝(2008)以自編之「二階段式因數與倍數基本概念測驗」研究工具

探討小五學生在因數與倍數單元常見的錯誤類型及其成因。研究結果發現  (一)錯誤類型有(1)遺漏的錯誤。(2)概念連結的錯誤。(3)計算的錯誤。(4)文 字轉譯的錯誤。(5)不完全的計算過程。(6)看不懂題目，隨便回答。(二)錯誤 成因有(1)對專有名詞概念認知不清或混淆。(2)因在尋找因數與倍數的過程 就發生遺漏或多找，進而導致在公因數與公倍數的尋找上也會發生遺漏或多 找。(3)忽略  1  和本身均為因數。(4)忽略本身也是倍數，卻誤認  1  也是本身 倍數。(5)誤解短除法運算結果在公因數與公倍數計算上解讀。(6)運用關鍵 字解題。(7)因題意認知不清、缺乏文字轉譯能力、計算粗心或忽略題目條件 限制，導致在文字應用題上使用錯誤解題策略。

黃玉雙(2011)以五年級學童為研究對象、自編之「因數與倍數概念測驗」

試題為研究工具，探討學童在因數與倍數問題表現。研究結果發現誤原因眾 多：(1)未理解整除概念。(2)未建立因數與倍數概念。(3)誤以為某數的因數 最大不會超過某數的一半。(4)公因數與公倍數概念模糊。(5)因粗心出現遺 漏。(6)採用關鍵字解文字題。(7)因未考慮清楚題目要求而作答錯誤。(8)忽 略計算過程代表的意義。

綜合上述，可以發現學童因數與倍數單元學習困難的主要因素乃是個人 基本的前置概念不成熟以及閱讀理解能力不夠，再加上精神狀況不佳造成的 粗心錯誤等導致。

三、改善教與學之研究

于國善(2004)針對「國小因數單元」設計補救教學活動，採個別化教學 方式進行。研究發現發展因數補救教學活動必須把握以下原則：(一)由學生 動手操作實物。(二)運用具體物，建構學生「整除」概念，並強調「順序性」。 

(三)結合學生生活經驗與週遭情境，使轉譯題目時不致產生困擾。

柯重吉(2007)以 64 位小五學生為對象，進行因數倍數多媒體電腦輔助教

學，研究發現實施電腦輔助教學的學童學習成就及學習態度顯著優於一般教 學方式。

邱家麟(2008)運用激發式動態呈現教學設計(Trigger­based  Animation  Instructional Design, TAID)與高互動即時反饋系統(EduClick 3)兩個軟體發展 教學模組 ，運用於小五之補救教學 ，研究發現 ：(一)透過運用 TAID 與 EduClick  3 之因數與倍數補救教學策略，對學童具有立即、正向之成效且具有保留效 果。(二)運用資訊融入教學的方式進行因數與倍數補救教學，能提昇學童對 數學的學習動機以及增進他們對數學的自信心。三、進行補救教學時，宜採 能力分組或個別化教學，其教學成效更顯著。四、對不同的對象可採不同的

邱家麟(2008)運用激發式動態呈現教學設計(Trigger­based  Animation  Instructional Design, TAID)與高互動即時反饋系統(EduClick 3)兩個軟體發展 教學模組 ，運用於小五之補救教學 ，研究發現 ：(一)透過運用 TAID 與 EduClick  3 之因數與倍數補救教學策略，對學童具有立即、正向之成效且具有保留效 果。(二)運用資訊融入教學的方式進行因數與倍數補救教學，能提昇學童對 數學的學習動機以及增進他們對數學的自信心。三、進行補救教學時，宜採 能力分組或個別化教學，其教學成效更顯著。四、對不同的對象可採不同的