第二章 系統架構與研究流程
2.1 傳統建模流程與可適性計算架構建模流程說明
圖 2.1 為「可適性計算架構」與傳統數值模式建構流程之差異比較，
由圖可知本研究與傳統方式差異甚大，是整個開發流程的改變。圖 2.2 則經整理後本研究提出之數值模式建立流程。圖 2.1 之說明如下：
1. 概念模式(Conceptual model):此階段乃在定義問題及其中之 基本行為描述，因此兩者必須相同。
2. 數學定義(Mathematical formulation)：此階段又可分為兩大步 驟，首先為以各種基本方程式描述第一階段所定義問題中的 各種變量之變化行為，以正確量化描述問題，此本研究與傳 統方式皆相同。而本研究將與傳統方式不同之處為，本研究
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將保留前述之基本方程式組，並以其做為後續計算之基礎而 不採用如傳統方式般，將前述所得之多條方程式進行人為的 整合推導，以盡量減少方程式及變數之數目。傳統方法的好 處為最後待解的方程式與變數數目較少。傳統上認為方程式 及變數愈少對後續解題將愈有利，惟以本研究的觀點而言，
此種推導與簡化需以人力為之而無法自動化或程序化，因此 傳統方法若欲考慮新的現象或變量而需新增或修改前述之基 本方程式時，則需人為重新推導，而此點將先天上限制了後 續所開發之模式擴充模擬功能的可能。本研究為維持後續增 減方程式的彈性，將不再對前述多條基本方程式進行進一步 整合。如此本研究後續將需處理較多的方程式與變數，惟由 於各方程式並未再經人為整合推導，將可維持其原先較基本 而簡單的型式，而不像傳統方式般，雖然最後面對的方程式 數目較少，惟這些方程式已經人為整合後所得，其型式將較 為複雜。傳統方法常需面對二階以上之微分方程式，惟本研 究的方法，所處理的方程式絕少高於一階微分方程式。方程 式的複雜度亦將直接影響下一步驟數值離散之難易，一階微 分以下之方程式可以很簡單的方式進行離散，若是二階微分 以上之方程式則其數值離散之難度將大為提高。除了不進行
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方程式整合外，為維持將來增減方程式的彈性，這些基本方 程式將來亦不採同時聯立求解，而是依變數間之相互關係循 序逐條求解，如未來若有方程式的增減，則只需重新定義方 程式計算順序即可。爰此，本研究將在第三章提出方程式分 析的實作方式，以檢驗方程式與變數關係的一致性，同時決 定方程式之計算順序。
3. 數值離散(Numerical discretization) ：在此步驟傳統方法由於 常需面對較高階的微分方程式，因此需要複雜的數值離散方 法，如有限元素法(Finite Element Method, FEM)，有限差分法 (Finite Difference Method, FDM)等皆是。本研究由於絕少面對 一階以上之微分式，因此只需簡單的一階差分，即可對原方 程組進行離散化。另外，為維持增減方程式的彈性，本研究 為了更易於進行離散化，並建議以凡諾依多邊形進行空間格 網之定義。
4. 程式開發 (Program development)：延續步驟 3，傳統方式為 照顧各節點間之互相影響，必需將所有節點上之離散方程式 與變數，再組合成矩陣方程式，接著發展各種不同矩陣解法 之計算程式，對所組成的矩陣方程式，計算其數值解。本研 究將不若傳統數值方法組合所有節點上的變數形成矩陣方程
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式，反之，本研究將以單一節點上之多條離散方程式為主進 行計算，搭配方程式分析後所得方程式計算順序，再以各節 點互相交換資訊並配合疊代計算的方式，求得整個問題中所 有節點的解。
圖 2.1 中之數學模式建立乃以飽和地下水問題為例，圖中所描述之 方程式為一維穩態的地下水流相關方程式，K 為水力傳導係數，假設 為常數，v 為達西速度，h 為總水頭，若以傳統數值方式建模則需將 其推導成偏微分方程式，其形式為一Laplace 形式之偏微分方程式，
之後再選用適當數值方法(如有限差分法)對此偏微分方程式進行時 空離散，得到所有節點之離散方程式後再建立矩陣方程式，選擇適當 之矩陣解法後即可撰寫數值程式進行求解。若使用者欲建立一未飽和 地下水流問題，則K 為水頭之函數(K=f(h))，其偏微分方程式則需重 新修正，原本為Lapalce 形式之偏微分方程式改為式(2.1)，其形式為 一非線性偏微分方程式，實務上經常會再以式(2.1)為基礎，
進一步假設與推導而得常用之理查方程式(Richard Equation)。因其偏 微分方程式已經修正，故在數值離散與數值模式兩個部分皆需進行大 幅修改，由此可知，即便使用者僅需改變一條方程式，卻需進行整個 模式的重新開發。反觀本研究所提出之開發流程，因直接採用方程式 集合進行求解，修改一條方程式僅需調整方程式之求解順序，以及針
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對該方程式再進行離散並撰寫其之程式碼即可完成模式修改，此即本 研究所提之「模式擴充性」。此外，就數學模式本身的特性而言，傳 統數值方法則需將相關方程式全部整合入守恆方程式中再推導得控 制程式，使控制方程式中只有待解變數及相關參數，因此若要抽換或 增減任何一條方程式必定要重新推導偏微分控制方程式，並大幅修正 整個數值模式。而本研究無需整合相關方程式，只需將各方程式計算 後之值代入守恆方程式中，因此方程式可依使用者需求進行抽換或增 減，如前述水力傳導係數K 的修正即是，故本研究在模式之修正或 擴充上較傳統數值模式更具彈性。
( )∙ + (ℎ) (2.1)
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圖2.1「可適性計算架構建模流程」與傳統建模流程之比較圖
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