文獻回顧

由前述研究目的可看出本研究包含數值建模方式的突破及人工 智慧方法在數值模擬上的應用等兩大層面的議題，以下將今別就此兩 層面進行相關研究的探討。

1.3.1 數值建模方式的改進

在各種建立模式的方法中，以微分方程式建模的方式歷史最為悠 久，已有三百多年的歷史，使用微分方程式建模的好處是在推導微分 方程式的相關技巧已發展成熟，然而在求解解析解的過程皆需靠人力 來進行所有的計算且只有少數的微分方程式有Closed-form solution，

其求解相當不易。近幾十年來數值計算蓬勃發展，研究學者紛紛利用 數值方法求解微分方程式，尤其在偏微分方程式(PDE)之求解方面，

成效卓著，因此數值方法已被認定是數學不可或缺的一部份，但若要 使用數值計算求解一個問題，則至少必須經過三個步驟: (1)將物理行 為轉化為微分方程式(2)使用適當的數值離散方式將這些微分方程式 進行時間與空間的離散，如有限差分法(3)撰寫數值程式

Toffoli(1984)[1]。 Toffoli(1984)[1]認為以上述三個步驟建立數值模式 是一個迂迴而不直接的方法。此外，周成虎等(1999)[2]亦認為雖然以 偏微分方程式(PDE)可靈活的進行複雜數學公式運算，得到精確的定

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量解，但當使用電腦解決PDE 問題時，由於電腦的運算是架構於離 散基礎上，因此PDE必須對算式本身進行時空離散化，將其展開成冪 次方程式並可能忽略較高階之項次，建立差分方程式，或採用其他轉 換方式，建立離散結構來表示其連續變化量。這些轉換過程不僅是繁 複的，甚至有可能是無法解決的。但最重要的是在這個過程中，PDE 也失去了它最重要的特性－精確性、連續性。Ioannis(1997)[3]亦說明 使用偏微分方程式(PDE)建立模式時，若考慮過多複雜的因子時，則 會大幅增加使用PDE 描述其行為的困難度，無法完整的描述問題中 之所有行為，如海洋中之油污傳輸(宋鴻均，2005) [4]。

不少國內外學者為了試圖解決上述以傳統偏微分建模搭配數值 方法求解之種種問題或限制，因此嘗試以細胞自動機建立數值模型 (Cellular Automata)( 金傳春等人, 2007[5]；Machta, J., 2006[6]：宋鴻 均, 2005[4]：Fox, 2003[7]；Batterman, 2002[8]；Toffoli and Margolus, 1990[9]；Morgan and Morrison, 1999[10]；Papatzacos, 1989[11])。Toffoli and Margolus (1990)[9]指出CA乃直接將巨觀現象背後之基本局部互 動行為(Basic local interaction) 轉換為CA規則，以此建模即可演化產 生原巨觀現象，因此無須推導微分方程式，故不需進行數值離散。在 建立數學模式方面，CA僅需將所有運動機制轉換為CA之規則即可，

因此相較於PDE更易於對原物理系統進行建模 (Toffoli,1984[1]；

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Omohundro, 1984[12])。宋鴻均(2005)[4]選擇CA建立一海洋油污傳輸 模式，其研究指出若選擇以PDE方式建模，則須先建立足以描述該問 題之偏微分方程式，而其問題囊括之現象十分複雜，若要全部加入考 量則其PDE推導將十分困難，而透過細胞自動機強大的適應性，可較 PDE 更方便的加入邊界、風、流、岸邊附著等影響因子，成功達成 對油污染現象的模擬。金傳春等人( 2007)[5]以CA建立流行病傳染模 式，該研究亦指出與PDE建模方式相比，細胞自動機模型結構簡潔靈 活，計算方式簡單且，模擬過程直觀，易於分析。陳宇文(2009)[13]

發展一數值計算平台，嘗試直接以方程式集合取代傳統偏微分方程式 進行求解，雖其模式成功進行地下水流、熱流與污染傳輸模擬，但其 模擬結果未經驗證，且其在方程式之計算順序分析上亦只能考量單一 物理量問題，當需考量求解多物理量耦合問題時，除需求得各物理量 之方程式求解順序外，仍需物理量間之變數傳遞關係，該研究並未提 及此部份之解決方法，此外，該研究在方程式分析上乃利用人工分析，

未建立自動化分析功能，故該研究仍有相當改善空間。

由前述研究可知，許多研究皆試圖破除以偏微分方程式建模的方 式，使得模式得以同時考量更完整的機制，以較偏微分方程式簡易的 方式建模，惟這些研究皆只致力於如何解決對當下已定義好的問題更 有效率的建模，而未進一步考量如何將原先開發好的模式，更容易的

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進行擴充修正。例如以前述CA之應用研究為例，當模式開發者要在 原模式加入新的機制時，模式開發者除了增加描述該機制之方程式外，

還須調整該模式各方程式之計算順序及其對應之程式結構；若需增加 考量其他物理量，則模式開發者除了需增加描述該物理量之多條方程 式外，還需人工分析耦合求解時，物理量間變數如何互相傳遞，而這 些皆需以人工方式進行，亦即問題若有任何修正，則皆仍然要如傳統 建模方式般耗費相當人力進行程式修改。總之，前述研究並未考量如 何建立一個一般化的建模流程或平台，使得模式可以漸進、有效率且 系統化的增加模擬機制。

1.3.2 人工智慧方法在數值模擬的應用

此部份又可分為兩大類，一類為人工智慧方法與模式乃是互相結 合的型態，此種方式人工智慧方法與數值模式乃共同存在互相輔助，

另一類為直接以人工智慧方法取代數值模式的角色進行模擬。兩者以 往皆已有相當的研究成果。

在數值模式結合人工智慧方面，其常用的人工智慧方法有專家系 統及啟發式演算法等。專家系統與數值模式的結合方式，通常為兩層 式架構，外層為專家系統之交談式介面(Interactive interface)，其常為 輔助使用者挑選符合問題的數值模式、輔助建立數值模式或進行參數

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檢定等(Uzel et al., 1988[14]; Abbott, 1991[15]; Chau and Chen, 2001[16]; Chau and Albermani, 2002[17], 2003[18]; Chau, 2004[19];

Kim, 2007[20])，如Uzel[14] 等人(1988)建立之專家系統可以輔助與訓 練使用者建立計算流體力學模式(PHOENICS)，並對於後續模擬結果 進行解釋；Chau and Chen(2001)[16]建立之專家系統可輔助海岸水量 與水質等相關模式建置並可協助所建置模式進行參數檢定；Kim等人 (2007)[20]使用專家系統(Expert system for calibration of HSPF,

HSPEXP)協助檢定水文模式(Hydrologic Simulation Program Fortran, HSPF)；Madsen等人(2002) [21]應用專家系統幫助檢定降雨逕流模式；

Chau(2003[21], 2004[23])使用專家系統協助檢定海岸及其相關模式；

陳韋圻(2008)[24]應用專家系統於地下水流模式，同時檢定水力傳導 係數(K值)及儲水係數(Sy值)；王雲直(2010)[25]應用專家系統檢定濁 水溪沖積扇地下水模式。

啟發式演算法與數值模式之結合，通常亦為兩層式架構，其底層 為數值模式，外層為啟發式演算法，而啟發式演算法一般皆作為最佳 化工具(Optimization tools) (Haddadet al., 2006[26])。啟發式演算法如 基因演算法(Genetic Algorithm)、模擬退火演算法(Simulated

Annealing)、禁忌搜尋法(Tabu Search)、蟻群演算法(Ant Algorithm)及 蜜蜂演算法(Honey Bees Algorithm)等，目前已被廣泛的應用於科學、

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工程及商務等各領域中(McKinney and Lin, 1994[27]; Gen and Cheng, 1997; Wardlaw and Bhaktikul, 1999[28]; Castanedo et al., 2006[29])。在 地下水相關研究領域中，啟發式演算法與地下水模式結合之應用包括 地下水參數檢定(Zheng and Wang, 1996[30]; Abbaspour et al., 2001[31];

Lin et al., 2001[32]; Tsai et al., 2003[33])、地下水管理 (McKinney et al., 1994[27]; Bhallamudi et al., 2003[34]; Chu and Chang, 2009[35])、地下 水復育(Ahlfeld et al., 1998[36]; Guan and Aral, 2004[37]; Chan et al., 2000[38], 2005[39]; Espinoza et al., 2005[40])及地下水污染源推求等 (Datta and Chakrabarty , 2003[41]; Chang, and Yeh, 2005[42]; Singh and Datta, 2006[43] ;Dhar and Datta, 2007[44])。

前述人工智慧與數值模式整合方面的研究，專家系統與啟發式演 算法大都位於數值模式外層，並未將人工智慧整合入數值模式之核心 運算中，因此並未實質增加數值數式本身的模擬或其他能力，無法使 數值模式易具有自我調適等類似「智慧」的能力。

在以人工智慧方法直接進行的模擬方面，則以類神經網路為代表。

神經網路因計算快速及具有建構非線性模型能力之優點，往往作為取 代數值模式之工具。通常作法之一乃藉由數值模式之輸入、輸出及相 關參數等資料進行神經網路訓練，取得原數值模式之特性並取代之，

以利後續加值應用(Malekmohamadi et al., 2008[45];Chu and Chang,

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2009[46]; Ioannis, et al., 2010[47]) ，在此數值建模將只是一個過程。

Malekmohamadi等人(2008)應用類神經網路取代波傳數值模式

(Numerical wave model)，可藉由風速預測波高。Chu與Chang(2009)[46]

應用類神經網路代替地下水數值模式並結合微分動態規劃模式優選 動態地下水操作策略及成本最小化問題；Ioannis等人(2010)[47]以類 神經網路取代地下水數值模式並結合微分進化演算法(Differential evolution algorithm)求解一區域不違反安全出水量前提下之最大抽水 量問題，黃浚瑋( 2008 )[48]應用類神經網路代替地下水數值模式並結 合遺傳演算法優選地表地下聯合營運之操作策略。另一種情況則直接 以觀測資料，對未釐清的物理、化學或生物行為，透過類神經網路學 習模擬其行為特性Chau(2006)[49]。Coppola (2003)[50] 和Nayak (2006)[51]分別採用坦帕灣、孟加拉灣當地地下水含水層實際水文資 料來訓練類神經網路，並以訓練好之類神經網路來進行水位連續預測，

完成訓練之類神經網路即為具當地代表性之地下水模式。

為了解決前述文獻所指出的模式擴充不易及雖然與人工智慧方 法整合但模式仍不具智慧功能等兩大問題，本研究提出一新的計算架 構，突破傳統數值模式的開發方式，建立一系統化、自動化之數值建 模平台，其中包括發展一分析方程式之方法以及建置一個具可擴充方 程式之建模系統。此方程式分析方法，乃可分析多條方程式之一致性

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及計算順序，包括多物理量問題變數之傳遞關係，其為使系統具有可 擴充性的核心機制，應用此可擴充模擬功能的系統所開發之模式，可 隨著需求逐步增加模式模擬能力。並在此基礎下將人工智慧方法如專 家系統與類神經網路等，整合入模擬模式核心，而使模式具有「人工 智慧」能力，如可以因應環境變化調整自身模擬範疇等。

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