第三章 可適性計算平台建置
3.5 方程式集合分析模組建置
為了檢驗分析應用模組中，各應用模組的方程式集合所定義之變數 與方程式關係是否完整(well-defined)、及定義方程式集合之求解順序 以及同時求解多個應用模組時，橫跨應用模組間之變數傳遞關係，本 研究建置方程式集合分析模組進行分析。分析結果將儲存於核心計算 模組之「方程式計算順序設定與儲存容器」中。以下將依序說明分析 單一應用模組之方程式集合之分析概念、分析方法以及多應用模組之 方程式集合分析方法。
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3.5.1 單應用模組方程式集合分析
3.5.1-1 方程式與變數分析概念說明
方程式定義了其應變數與自變數之關係，本研究以此為基礎，分析 方程式集合。在各應用模組內所建置之方程式集合乃多條具有變數相 依關係之方程式，因此分析方程式間之自變數與應變數關係即可得知 此方程式集合之方程式與變數定義是否完整以及方程式之求解順序，
底下以簡例進一步說明。
假設有多條方程式彼此之間存在變數相依關係，方程式定義如式 (3-6)~(3-10)所示，(3-6)式為守恆方程式，如質量守恆、動量守恆或能 量守恆方程式，(3-7)~(3-10)式為輔助方程式。由(3-6)式可知，若要求 解守恆方程式則必須先求解變數V1，V2，V3三個自變數，而要求解 此三個自變數則須找出以此三個自變數為應變數之方程式，分別為式 (3-7)、(3-8)及(3-9)，以此類推，則可整理出此五條方程式之變數相依 關係，如圖3.11 所示。，因本研究使用最佳化方法求解方程式集合，
因此在求解時須給定待解變數一初始猜值，若令V4為待解變數，則 V4即為已知，詳細求解說明請見 3.4.1 節。接著可由方程式 fe求得變 數V5，以及V2；求得 V5後，透過方程式fb即可求得變數V1，而求 得V2後即可透過方程式 fd求得變數V3，由此可知此五條方程式皆為
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可解，而依方程式間之變數相依關係可將方程式整理出三組關係，分 別為(fe ->fb ->fa)，(fc ->fa)，(fc ->fd ->fa)，方程式之求解順序為(fe ->fc
->fb ->fd ->fa )，其中，fe或 fc皆可為最先求解之方程式，因為fe與 fc
皆位於三組變數相依關係中的第一順位且其自變數即為待解變數且 不為其他方程式之應變數，故兩者位於相同位階，兩者皆可為第一優 先求解之方程式。
fa(V1,V2,V3)=0 (3-6)
V1=fb(V5) (3-7)
V2=fc(V4) (3-8)
V3=fd(V2) (3-9)
V5=fe(V4) (3-10)
圖3.11 方程式相依關係圖
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3.5.1-2 單應用模組方程式集合分析說明
上述簡例只有五條方程式及五個變數，因此可容易的分析出方 程式與變數之關係是否定義良好及方程式的求解順序。然當一問題之 運動機制複雜時，則需以較多之方程式進行描述，若欲直接由方程式 間之變數關係進行分析，則執行上會有其複雜度，因此本研究建立一
「應用模組方程式集合分析演算法」，輔助分析方程式集合。此一演 算法包含二個部份，第一個部份為建置方程式與變數關係矩陣，第二 個部份為應用樹狀搜尋法分析方程式間之求解順序，以下將分別進行 說明。
(1) 建置方程式與變數關係矩陣
為了有系統的整理變數與方程式之關係，本研究以矩陣的方式來描 述方程式與變數間之關係，此矩陣之列為變數，行為方程式。假設七 條方程式如式(3-11)~(3-17)所示，若將方程式與變數之關係整理成矩 陣，可得矩陣如表 3.2 所示。矩陣中各個變數皆有其對應數值，其中 0 代表方程式未包括此變數， 1 代表此變數為方程式之自變數， 2 代 表方程式之應變數，若以第二行為例，第二行代表方程式fb，其自變 數為V2與V6，應變數為V3。在此方程式集合中，方程式fa為守恆方 程式，而令變數V0為待解變數(或稱待解變數)。
error= Fa (V1, V3, V4,V5) (3-11)
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(2)應用樹狀搜尋法(tree search)於方程式集合分析
將前一小節之方程式集合建立方程式變數關係矩陣後，可將此
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尋方式，可在分析方程式集合上得到良好的效果，以下將說明以前述 簡例為例，如何以樹狀搜尋法搜尋方程式之求解順序。首先，選擇守 恆方程式所在行，以該行之應變數座標做為起點，亦即為搜尋樹之根 節點(root node)。表 3.2 之守恆方程式所在行位為第 0 行，因本研究 以最佳化方法求解方程式集合，其目標函數為使守恆方程式之誤差最 小，故需在守恆方程式上增加上一誤差項，且該誤差項為應變數，因 此該誤差項所在座標作即為根節點。接著搜尋第0 行之自變數座標，
亦即該行位上值為1 之座標，分別為(1,0)，(3,0)，(4,0)，(5,0)四個節 點。當同時搜尋到多個自變數或應變數時，回溯其上一個節點，此同 時銜接多個自變數或應變數之節點本研究稱為「分枝節點(branch node)」。搜尋到四個自變數後，接著再搜尋位於此四個自變數所在列 之應變數，並將之紀錄下來，搜尋應變數之原因為若此自變數為可解，
則此自變數至少必為方程式集合中某一方程式之應變數。因為本研究 採用樹狀搜尋中先深後廣的搜尋方式，因此會先搜尋完一條「分枝」
(branch)後，再搜尋下一條分枝，因此在搜尋過程之說明上以搜尋節 點(1,0)為例繼續說明。點(1,0)其所在列為第 1 列，而其同一列之應變 數座標為(1,4)，亦即變數 V1為方程式fa之自變數，亦為方程式 fe之 應變數。接著搜尋位於此應變數所在行之自變數，並記錄其座標位置，
搜尋此自變數之原因為若要求解此應變數則必須先求得該自變數，則
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此方程式才為可解，該自變數座標為(0,4)。由於自變數 V0為待解變 數，該自變數視為可解，因此可以確定變數V1為可解，而(0,4)即為 終端節點(terminal node)。整理變數 V1之應變數與自變數求解順序，
以座標表示可得((1,0) ->(1,4) ->(0,4))，此即為一完整的「分枝」，本 研究稱此關係為變數V1之「求解路徑」。由以上邏輯類推，可得知如 何求得變數V3、變數V4及變數V5，依上述變數求解過程整理為樹狀 圖，如圖 3.12 所示 。由於此搜尋樹以守恆方程式為起點往外搜尋，
因此實際上的求解順序與解路徑相反，即必須由此搜尋樹的終端往根 部的方向計算。另外，當一個方程式之應變數為可解，則此方程式必 為可解，因此由解路徑末端往回尋找應變數所在位置，記錄應變數所 在行，亦即記錄該應變數所在方程式，如此則可找出根部(root)底下 四個自變數相關方程式求解順序。例如變數V3之求解路徑上，因為 在應變數所在位置 (3,1) 處出現分叉(如圖 3.12 所示)，代表該應變數 需在兩個自變數皆為可解時，該應變數才為可解，因此首先求解之方 程式為位於第5 行之方程式 ff，以及位於第6 行之方程式 fg，接著才 能求解位於第1 行之方程式 fb。由於本研究採用先深後廣的搜尋法，
因此在分歧節點(3,1)時，會先往下搜尋(2,1)到(0,5)，接著回到(3,1) 再 往下搜尋(6,1)到 (6,6)。將守恆方程式所有自變數之求解路徑整理如 下:
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V1: fe
V3: {ff, fg} -> fb V4: fd
V5: fc
得到守恆方程式各自變數之解路徑後即可整理出此簡例之方程式集 合求解順序:
第一階段: fe, ff, fg,fd,fc
第二階段: fb
第三階段: 守恆方程式
圖3.12 應用樹狀搜尋法於方程式解路徑分析示意圖
前述簡例僅用於概念性說明本研究如何應用樹狀搜尋法分析方程 式集合之方程式求解順序關係，以下將以圖3.13 說明本研究樹狀搜
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尋法之分析實作邏輯。
首先以守恆方程式所在行之應變數為起點(root)，接著於步驟(1) 搜尋該行之自變數，若搜尋到多個自變數時，則記錄此多個自變數座 標於「變數分歧位置儲存容器」，接著於步驟(2)時，若於步驟(1)中搜 尋到多個自變數，則先取出位於變數分歧位置儲存容器中排列於最後 之自變數，並記錄其座標於「解路徑儲存容器」，繼續往下搜尋；若 只有一個自變數，則直接記錄該自變數座標於解路徑儲存容器中並往 下搜尋。步驟三則為分析此解路徑是否已經到達終端節點（Terminal node），判斷依據分別為:
(a)解路徑末端之變數為自變數，且該自變數為待解變數。
(b)解路徑末端之變數為應變數且該應變數所在行只有應變數。
(c)解路徑末端之變數為自變數，且該自變數不為待解變數，其所在 列亦無應變數。
若符合狀況(a)，則因為待解變數在求解過程中視為已知，因此整 個解路徑為可解；若符合狀況(b)，則因為該行只有一個應變數，其 意義為該方程式之應變數等於常數，故該解路徑為可解；若為狀況(c)，
則因為該自變數不為待解變數，且不為其他方程式之應變數，因此該 自變數在方程式集合中無法求解，故此方程式集合定義不完整，需將 此自變數輸出，讓使用者再重新檢視方程式集合。
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由上述判斷依據可知，在步驟(a)與(c)中均會檢視自變數是否為 待解變數，若是，則代表此解路徑可解並接步驟(7)，步驟(7)為刪除 位於變數分歧位置儲存容器中，排列順序最後之變數座標，因為目前 所搜尋之解路徑乃以分歧位置儲存容器中排列順序最後之分枝節點 座標作為往下搜尋之 “起點”，當完成解路徑搜尋後，代表已找到該 分歧位置之解路徑，因此即可將該 “起點”刪除，繼續往下一個分枝 (解路徑)搜尋。若以圖 3.12 為例，座標位置(3，1)即為分歧節點，而 (3，1)底下之(2，1)與(6，1)即為分歧位置，當搜尋完(6，1)之分枝(解 路徑)後，即將(6，1)由分歧位置儲存容器中刪除，接著搜尋(2，1)之 解路徑。步驟(8)為判斷分歧位置儲存容器是否已空，若該容器中已 無任何變數，則代表已搜尋完畢，完成所有解路徑搜尋。若分歧位置 儲存容器未空，則接步驟(9)，由分枝節點坐標所對應到變數方程式 矩陣之値是自變數或應變數來判斷接步驟(1)或(4)，若為自變數則接 步驟(1)，若為應變數則接步驟(4)。回到步驟(3)，若此時解路徑未到 達終端，則接步驟(4)，搜尋該自變數所在列之應變數，若搜尋到多 個應變數時，則將此多個應變數之座標儲存於分歧位置儲存容器。於 步驟(5)時，若於步驟(4)中搜尋到多個應變數，則先取出位於變數分 歧位置儲存容器中排列於最後之應變數，並記錄其座標於「解路徑儲 存容器」，繼續往下搜尋；另外當一自變數所在列同時有多個應變數