第六章 中國剩餘定理類比拉格朗日插值多項式
第二節 先備知識
本研究的教學活動需要有「餘式因式定理」與「中國剩餘定理」的先備知識，
本節將分這兩部分來討論。
一、 因式餘式定理
1. 教授時間：正式教學活動前兩天，歷時 90 分鐘。
2. 教授方式：以板書講述方式為主，並輔以學生練習，上台解題分享。
3. 教授內容：詳見附錄四 因式定理→餘式定理
強化—已知多個一次因式（函數值為 0）的多項式假設方式
例題皆以一個觀念即可解，不包含變化綜合題型。含類題共 10 題。
4. 檢測 1：正式教學活動前兩天，教授內容後，歷時 15 分鐘。
個人紙筆作答，可參看講義，於黑板自行對答案與訂正。
共 3 題。詳見附錄五。
5. 檢測 2：正式教學活動當天，歷時 10 分鐘。
個人紙筆作答，可參看講義，作答後立即收回。
共 3 題，詳見附錄六。題型同測驗 1。第二題為本測驗的核心。
第二題：已知 ( )
f x 為一個二次多項式， ( ) f x 分別除以 x 4
、x 1
、x 2
的餘式為 0、10、0。試求 ( )f x 與 ( 3) f
。表 6-2.1：因式餘式定理檢測 2 結果統計
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題號 答對人數 答錯人數 答對率
1 13 3 0.81
2 13 3 0.81
3 10 5 0.63
共 16 人
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答錯情況分析：有三人（以 T1、T2、T3表示）3 題全錯，另外兩人（T4、T5） 只錯第三題。
T1：三題皆有列式約兩、三列，但皆未助於解題。
T2：第二題解法如右。
(1)未清楚餘式為 0，即為 因式；或未清楚已知因式
(
x
4), (x
2)可假設 ( ) ( 4)( 2) ( )f x x x q x
(2)未清楚除法原理，才會在除式為一次時，仍假設餘式為
ax b
。 (3)略知餘式定理，將x 代入 4 可得 ( ) f x 除以 x 4
的餘式。第一題列式如第二題。
第三題空白。
T3：第二題如右。算式列對，但計算錯 誤。該生在處理餘式定理前，還先 將 (
a x
4)(x
2)展開才代入1
x
，增加錯誤風險。第一題算式列對，計算錯誤。
第三題空白。
T4：第三題列式零散混亂，無助於解題。如下右。
該生第二題列式亦零散混亂，看似無用，但最終答案正確。如下左。
T5：多項式假設無誤，代點過程計算錯。
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綜合整理（以測驗結果分析）
(1) 2 位同學（12.5%）對於多項式除法原理與因式餘式定理是不瞭解的。
(2) 第二題大多數同學解題流暢，僅 1 位同學將多項式展開後才將
x 代值。
(3) 當多項式次數提高至三次時，需假設餘式為
ax b
時，無法解題人數提 升至 4 位（25%）。二、 中國剩餘定理
1. 教授時間：正式教學活動當天，於測驗 2 後討論 Q1 歷時 25 分鐘，發表 15 分鐘。
2. 教授方式：3~4 人成小組討論，再派 2 人發表，最後由教師總結。
討論過程教師會視情況提問或給予協助。
3. 教授內容：詳見附錄七 Q1。
翻譯並解釋《孫子算經》『物不知數』的內容。
強調『三三數之剩二，置一百四十』背後包含 5、7 的倍數 提問『三三數之剩二，置一百四十』為何不置三十五？
強調『三三數之剩一、三三數之剩二』的關聯 強調『并之…即得』的原因。
教師總結時利用表格呈現輔助解題。
4. 測驗：正式教學活動當天，緊接教授內容後，歷時 5 分鐘。
個人紙筆作答，可參看講義、黑板。教室內仍有討論氣氛。
孫子算經物不知數例題 1 題。
Q2：請依照《孫子算經》中的方法，解出下列問題。
「今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩四，十一數之剩二，問物幾何？」
84 表 6-2.2：中國剩餘定理測驗結果統計
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綜合整理（以測驗結果分析）
(1) 若只看答案對，有高達九成；若要求有合理的計算過程則達八成七；但 若要完全精準的計算過程只有五成六。有高達 4 位（25%）學生選擇以
答案正確 人數 說明 備註
○ 9 答案正確，過程完整。 學生 T2、T3位於此群。
○ 4
「五五數之剩四」取 99，而 非
66 4
。如下圖 A
學生 T4位於此群。
○ 1 答案正確，過程少而凌亂。 如下圖 B
○ 1 答案正確，無計算過程。 學生 T1位於此群。
╳ 1
以別的方法列式，無計算出 結果。
該生的學習單在 Q1 有中國剩餘定理筆記 的紀錄。
總計
16
A
B
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中國剩餘定理的「部分方法」解題，在「五五數之剩四」時取 99 而非
66 4
，數字較小，速度較快，但違逆了一點題意要求。(2) 中國剩餘定理以學生討論古文例題的方式第一次接觸，所以建立起的架 構也會因個人而異，儘管後面有同學發表與教師總結，但大部分同學在 自己（認為）已經了解的情形下，聆聽的專心度不高，所以每個學生所 建立起的概念是更難掌握的。
(3) 學生本身是數理資優生，在數學方面會有比一般學生更高的自主性，而 非只是學習與接受。這可能是導致測驗時有部分學生選用 99 而非
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或用自己的方式解題的原因。(4) 有一些學習單計算過程少而零亂，但最終答案是對的。可能是因學生本 身是數理資優生，數理資優生有時會有跳躍性的思考，其運算的歷程在 腦中快速進行而不一定需要以紙筆方式呈現，這可能是學習單的計算過 程少而凌亂的原因。
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