教師課堂的教學

一、 插值多項式

 下列是插值多項式的相關概念。但也許不同的教學方式，不一定會被提及。下 列的概念中若您在教學中沒提及，請勾其選項；若有提及，請問您認為此概念 相較於其他單元的概念，是偏較難講解或容易？請勾其選項。

表 5-1.1：教師課堂_插值多項式

8

序號 內容 容易講解 難講解 未提及 空白

1 ◎多項式可被用來逼近一般函數，並用來求一般函數的近似值。 34 34 72

2 ◎插值方法是用少量的數據表現連續型的資訊。 35 36 68 1

3 ◎若多項式 f x通過兩點a,，b,。過a,，b,兩點的 插值多項式即為 f x除以x ax b的餘式。

57 54 28 1

4 ◎以因式定理講解插值多項式的唯一性。(多項式的恆等性質) 44 47 49

上述四要項皆為課程綱要中所提及「插值」概念。前兩項是從介紹多項式 的文句描述中摘錄；後兩項則是位於逐點條列。在教科書中，大部分教科書未以 文字描述具體形容前三項的插值多項式特性，有部分教科書則是以實際應用例子 來呈現，也有一些教科書未呈現相關用途。最後的唯一性證明有些教科書置於書 中內文，有些則放於附錄。

下段將以上述四要項，分別與「教師教學年資」、「教科書使用版本」、「教 材種類」三項來做交叉分析。

54

55

56

57

結果分析：

(1) 使用南一與未使用南一相較，容易講解與難講解的比例都較高，而未提及 的比例明顯降低。南一版是所有版本中，唯一有以文句特別強調『利用多 項式逼近一般連續函數』概念的。

(2) 使用翰林與未使用翰林相較，未提及的比例差不多，但容易講解的比例高 出許多，而難講解的比例低了許多。翰林版內容並無針對第一要項加以著 墨，唯最後有一應用例題：以二次函數預估樂透開獎號碼。相較於其他版 本的應用例題，樂透的情境是更親近而有感的。

(3) 另外第三要項『若多項式 f x通過兩點a,，b,。過a,，b,兩點 的插值多項式即為 f x除以x ax b的餘式。』在全華版中有不斷的 強調，但分析結果卻顯示與全華版不相關。此概念本身層次多、不直觀，

且若要講解清楚需要多一些推導過程。

3.「此四要項的教師看法」與「教材種類」人數交叉分析

 您在教授拉格朗日插值多項式單元時，曾使用的教材為何？(可複選)

表 5-1.6：教材種類使用人數

13

教科書 書商講義 自編教材 使用人數 91 73 64 未使用人數 49 67 76

每個要項的講解難易與是否未提及，都與每一種教材的使用情形作交 叉分析，使用卡方檢定來了解兩維度是否有相關，故總共會有 12 個結果（表 5-1.7）。

H

0：「上述四要項講解難易 或 是否未提及」與「教材種類」獨立 僅有『以因式定理講解插值多項式的唯一性。(多項式的恆等性質)』

與『自編教材』有相關（p = 0.0269 < 0.05），其餘要項與教材種類皆不相關。

58

59

表 5-1.8：教師課堂_插值多項式第四要項_自編教材比例_交叉分析

15

結果分析：

當使用自編教材時，『以因式定理證明插值多項式的唯一性』在教師教 學講解上會明顯變得容易，雖難講解也較未自編教材稍有提高，但整體而言，

未提及的比例是大幅降低。

（未）使用自編教材的人數中，覺得容易講 解、難講解、未提及的比例

自編教材

使用 未使用

◎以因式定理講解插值多項式的唯 一性。(多項式的恆等性質)

容易講解 0.3906 0.25

難講解 0.375 0.3026

未提及 0.2344 0.4474

總和 64 76

60

61

62

63

(1) 教師課堂教學呈現整體難易度 與 教師年資 交叉分析

表 5-1.12：教師課堂_拉格朗日插值法_整體難易與教學年資_交叉分析

19

H

0：「教師課堂教學呈現整體難易度」與「教師年資」獨立

0.01 0.05

P  

拒絕

H

₀

結論：教師年資越久，認為拉格朗日插值多項式在教學呈現上偏困難。

(2) 教師課堂教學呈現整體難易度 與 學生程度（入學 PR） 交叉分析 現行考試的計分制度不再將分數做細膩的切割，學生在高中入學填寫 志願時也漸漸趨向選擇社區高中就讀，故頂尖學校仍還容易得知學生入學 PR 值，但中段學校的學生程度差落差大，教師不容易得知學生入學時的程 度。此現象反應在教師問卷上，造成學生入學程度的回答中空白數量偏多 而 PR40-70 數量偏少。為符合檢定限制條件，故將 PR40-70 合計為一組來 分析。

表 5-1.13：教師課堂_拉格朗日插值法_整體難易與學生程度（入學 PR）_交叉分析

20

年資 5 年以下 6-10 年 11-15 年 16-20 年 21-25 年 26 年以上 總計

容易與普通 21 11 8 12 6 2 60 困難 11 21 19 8 8 12 79 空白 1 1 總計 32 32 28 20 14 14 140

PR 40-70 70-80 80-90 90-99 空白 總計 容易與普通 2 15 11 11 21 60

困難 7 18 13 13 28 79 空白 1 1 總計 9 33 24 25 49 140

64

H

0：「教師課堂教學呈現整體難易度」與「學生程度（入學 PR）」獨立

0.61 0.05

P  

沒有證據拒絕

H

₀

結論：教師課堂教學呈現整體難易度 與 學生程度（入學 PR）不相關。

分析：教師在課堂教學的呈現上，拉格朗日插值多項式相較於其他單元是 比較不易呈現的，無論教師所面對的學生是程度較好或是較差，都 有此現象。

(3) 教師課堂教學呈現整體難易度 與 教師任教高一次數 交叉分析 任教高一次數為 4、5、6 次的人數較少，故合併分析。

表 5-1.14：教師課堂_拉格朗日插值法_整體難易與教師任教高一次數_交叉分析

21

H

0：「教師課堂教學呈現整體難易度」與「教師任教高一次數」獨立

0.80 0.05

P  

沒有證據拒絕

H

₀

結論：教師課堂教學呈現整體難易度 與 教師任教高一次數 不相關。

任教高一次數 0 1 2 3 4-6 空白 總計

容易與普通 2 13 26 13 6 60 困難 3 13 31 24 7 1 79 空白 1 1 總計 5 26 57 37 14 1 140

65

66

67

68

69

70

71

觀認為），卻不會影響教師在課堂教學的呈現。教師教學不會受限於教學工具，但教 師認為學生的學習會受影響。

教師在教學的準備上，無論是引入方式、概念鋪陳、例題採用都是經過謹慎的 考量與評估。在教學現場，教師的角色也掌有主動與調配的權利，教學進行方式、

及時補充、調節順序、控制節奏快慢皆由教師主導，整個架構教師已內化其中，故 教材對教師而言雖是重要的教學輔助工具，但卻不足以影響教師教學上的呈現。反 觀學生在學習上，是知識的接收端，儘管學生有思維的運行和概念的建立，在整體 教學環境中學生是需要牽引屬於較被動的一方，而教材對學生而言就顯得關鍵與重 要。教科書在推導概念的過程是闡述清楚並且嚴謹的，若提供學生自學將會非常適 合，但對於拉格朗日單元其概念複雜結構龐大，在時間有限的課堂教學中，處於生 手角色的學生自然會對繁複的式子感到難以掌握而導致懼怕，造成學習上的困難。

學生就好比在河流運行中的船上水手，老師和教學環境就是流水，船向前行代表學 生進步的學習，而教材就是槳，教科書就像是實在卻偏厚重的槳，或許對一般水手 來說使用上費力困難，但若有強壯的水手運用，是可以幫助船隻快速前進，至於槳 對於流水的影響，雖不能說沒有，但也不足道矣。

72

□ 其他______________________________________________。

表 5-3.1：評量測驗統計

31

73

★單純計算或填充 OK，但若複選(與牛頓法、唯一性，餘式)混在一起，就 觀念不清了。

表現不好，其他：

★公式會記，但常算錯，因此不願意再用此法。（4 份問卷）

★若為只能用拉格朗日插值法的表現較差，但若能使用其他方法的題目表 現普通。

★亦可能用補習班的簡易解法，而非理解拉格朗日插值公式。

★單純計算或填充 OK，但若複選(與牛頓法、唯一性，餘式)混在一起，就 觀念不清了。

教師認為學生在此單元的評量上表現不好的比例已過半。

在問卷中，以文字描述拉格朗日插值在教學上比較不好處理的點與學生學 習較困難的點，有 11 份問卷提及試題與測驗，將部分條列如下：

★以解題時間而言，拉格朗日在次方數越高，越顯其好用。但教材一般習題 考量學生計算、理解能力，大多為二、三次方，對學生而言，拉格朗日就 不是一個非學不可的公式。

★學測命題的機會不高，沒出過幾次！

★為了用拉格朗日插值，題目之數字都很特殊龐大，有些故意讓人解之

★考題之設計也不易發揮，不可能考到太深入的概念(如:最小多項式)

命題不易、大考不常出現也成為拉格朗日插值法在教學上被弱化的因素。

74

★以數字大小如 f(101)=2,f(102)=3,f(103)=5,求 f(104)的例題，讓學生發 現難以國中一般式的方式算出，再引入拉格朗日的假設法。

★先呈現拉格朗日插值多項式的應用，相較牛頓法是更方便解係數，

只是推導過程繁雜，要求學生不強求係數假設，由推算過程導出真 正係數即可。

75

（5）強調牛頓、拉格朗日、一般式差別

★強調求 n 次多項式（如二次多項式）

一、標準式 f(x) = ax²+ bx+ c 是”好假設但不易計算（需解三元一次 聯立方程式）”

二、牛頓法 f(x)= a(x-k¹) (x-k²)+b(x-k¹)+ c”假設難度適中，計算難度 適中”

三、拉格朗日 f(x)= a(x-k¹) (x-k²)+b(x-k²) (x-k³)+ c(x-k¹) (x-k³)”假設很 複雜，但 a,b,c 很好求”。

★選兩個題目(1)必須求出多項式 f(x) (2)只需求出 f(a),a 給定。分別使 用牛頓插值法與拉格朗日插值法，讓學生明白此二方法各有優點。

其他

★利用三個二次函數之圖解法判別，然後將這三個合併相加去設計所 求的二次函數。

★實質效益不高，適合用程式設計的概念去做高次的插值多項式。

★不一定，剛開始介紹很仔細，幾次大考下來，就隨便教一教。

★實質效益不高，適合用程式設計的概念去做高次的插值多項式。

2. 教師希望強化相關知識的統計

 有關拉格朗日插值多項式，下列哪些是您自己覺得還想要了解或強化的？(可複 選)

□ 數學史

□ 能應用的地方或與其他領域之連結

□ 相關或類似的補充教材

□ 其他___________________________________________________

76

77

78

79

80

容易混淆處

1. 數的餘數必為正整數，而多項式的餘式為次數低於除式的多項式。這裡的除式皆 為一次，故餘式為常數多項式，如此「數」與「多項式」的餘數(式)皆以「數」

的型態呈現，儘管背後的意義不同。而多項式的餘式有可能有正、負，在負數之 處有可能造成混淆。非整數的餘式因計算較為複雜，所以比較不常出現在練習題 中。

2. 孫子算經的「問物幾何」，若物是問所有整數，類比多項式就是過已知點的所有 多項式；若物要求是最小正整數，可類比為插值多項式（過已知點的最低次多項

2. 孫子算經的「問物幾何」，若物是問所有整數，類比多項式就是過已知點的所有 多項式；若物要求是最小正整數，可類比為插值多項式（過已知點的最低次多項

在文檔中 拉格朗日插值多項式之教師看法與類比於中國剩餘定理之教學探討 (頁 60-0)