類比

演繹、歸納、類比是我們在學習數學上最常用的技巧，有別於演繹和歸納在同 一個系統中推論整理，類比是跨系統的拓展和延伸。類比將許多看似不相干的知識 或問題，萃取出相似的部分加以發展，它不但串起了許多知識形成網絡，它更可能 踏著已有的知識發展無限可能。

圖 2-2.1：類比遷移與歸納法、演繹法之間的關係

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資料取自：王溢然 & 張耀久， （民 90，p.10）。

Glynn（1989）認為類比推理對於學習者的理解能力或解題能力都有顯著的幫 助。Duit（1991）認為對於欲學習新數學概念的學習者而言，類比可以提供抽象概 念的形象化、幫助學習者產生心像，並產生有意義的學習。Dagher（1994）強調類 比的角色，不應侷限於學生概念上的理解，也應包括學習的心理層面上的貢獻。在 學生學習科學的抽象和理論時，類比可提供愉悅感和安全感，進而提高學習科學的 興趣。因此，類比能夠作為動機，當教師使用類比來自學生的真實世界經驗，本身 會產生的興趣。洪蘭（1999）指出近年來在認知科學中，以類比推理來幫助學習遷 移與概念的形成，被視為有效的學習法則之一。

類比是兩事物間，藉由彼此在功能、結構、關係、外表、語意或文字表面具有 相似性的一種特質，由已知的知識領域，推廣至欲知的知識領域，而獲得或理解新 知識的過程（Stepich & Newby, 1988；Gilbert, 1989）。本研究採用的是「結構相似」

的特質。

一般 化

特殊 特殊

歸納法 演繹法

類比遷移

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本節分為四個部分探討，包含「類比的理論」、「類比的歷程」、「類比在數學上 的分類」、「影響類比教學成效的原因」

一、類比的理論

有關類比的發展理論有很多，首先來看Gentner（1983）之結構映射理論（structure mapping theory,SMT），SMT指出兩領域的映射是透過結構上的關係而非表面屬性，

而且一組互有關連的關係結構會比單獨的關係容易產生映射。之後，Holyoak &

Thagard （1990）提出多重限制理論（Multiconstraint Theory），他們認為除了結構因 素外還必須考慮語意相似性及實用性。語意相似會有助於映射，而先備知識和使用 目的不同會發展出不同的映射。在憶取過程中表面相似比結構相似更為容易。

Holyoak 等人（Gick & Holyoak, 1983; Holyoak & Koh, 1987; Novick, 1992）認為 類比推理的核心是於來源問題(source problem)與標的問題(target problem)的對應，確 認出成分屬性、目的、功能等表徵之對應後，將已有的知識遷移到待解的標的問題 來解題。雖然兩者的訊息結構不完全相似但具有某種程度的關聯性。當來源問題與 標的問題來自相同的系統領域時，較容易提取相關的訊息表徵，但若來源問題缺乏 相應對的表面特徵時，潛藏於來源問題中的基模（schema）便扮演重要的中介角色。

專家能組織化地分類各項結構相似的基模，所以專家除了注意表面特徵之外，更能 深入理解深層的原理結構或高階關係，將其分門別類；而生手則傾向以問題的表面 特徵來分類建構原理或關係。故在類比推理時，專家比生手容易成功。但無論專家 或生手，一旦類比成功後，將歸納一個包含來源問題與標的問題的基模，以促進後 續問題的類比。

二、 類比在數學上的分類：殷堰工（1997）將數學領域的類比分為以下幾類：（引 自王婉馨，2005）

1. 降維類比：當解決高維空間中的某些問題時，往往可以通過與低維空間類似 問題的類比而獲得解決，這種類比方法稱為「降維類比」。

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以尋找正確答案D。

（5） 辨明（justified）：從所提供的各種選項中，刪除與D 不相同的答案。

（6） 反應（response）：將答案反應出來。

2. Holyoak（1987）等人，綜合基模歸納，將類比推理過程分為四個基本歷程：

（1） 憶取或選擇可能有用的來源類比物（the retrieval or selection of a plausibly useful source analog）。

（2） 映射（mapping）：對來源問題與目標問題進行對應。

（3） 類比的推論或遷移（analogical inference or transfer）。

（4） 後續的學習與應用（subsequent learning）：擴展對應中所產生的解決 方案，進行學習與應用。

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的問題相似的特徵，若是兩者只有隱含在其中的結構相似那更是提高憶取的難 度。Gentner（1989）指出類比的對應不需表面相似性的支持，但是對於生手和 孩童而言，類比對應成功與否仍決定於其表面相似性，並且進一步指出這些表 面相似性會導致錯誤推論。Gick & Holyoak（1980,1983）表示類比學習並不是 自發性的，只有當學生確實被提醒，學生才會運用相關的資訊進行解題。Ross

（1989）指出，當解題者面臨憶取線索困難時，有效的提示與教學則可化解困 難。Gick & Holyoak（1980）研究發現，如果不提供來源問題，只有10%的學生 能夠解決標的問題，但若提供來源問題後，有75%的學生能夠解決。若將類比 使用在教學上，教師適時的提示就是相當重要的一環。本研究期盼學生能由「數」

類比到「多項式」，若學生在自行作答時毫無頭緒，可選擇書面文字或教師講解 二階段提示，以助學生能順利的解題。

2. 來源問題困難

類比是利用來源問題來解決標的問題，所以解題者必須對來源問題能透徹的 了解與熟稔的運用。若是來源問題對解題者而言本身就是困難的，或者對其概念 有所迷思，那就難以成功的利用類比解決標的問題，甚至有可能類比出錯誤的結 論。Brown（1992）表示若來源問題比標的問題抽象或難度較高，則類比的功效 將會大打折扣；若來源問題是具體可見的，則類比遷移的成效較佳。Harrison &

Treagust（1993）指出類比遷移成功的條件之一就是設計出學生熟悉的來源問題。

本研究以學生較熟悉的「數」來類比複雜的「多項式」。數是每一個人自小就開 始使用的，因數、倍數的關係網絡容易直接從數字本身來察覺，盼學生能在善於 操作的系統環境下先建立起概念與架構，再將其推廣至多項式。「中國剩餘定理」

雖然是學生首次接觸的，但同餘問題大家一定都在國小時就碰過，對於如此形式 的題目一定不陌生。而最後再加一個例題練習可以幫助學生掌握好來源問題，以 助類比順利的進行。

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3. 過度的類比

類比藉由來源問題與標的問題間的相似特徵來映射與對應，但這也意味著在 來源與標的問題必存在一些性質是各自獨有的。若在教學上使用類比，學生有可 能將獨有的部分也過度類比到標的問題而產生錯誤的概念，阻礙學習。例如：直 觀謬誤中的more A more B。故教師在先前必須做好仔細的規劃與設計，並於教學 中提醒其整體關係與限制，如有錯誤的遷移發生要及時的介入與釐清。

16 theory） 中的「同餘方程問題」（Indeterminate equations）。

這類型的問題到南宋數學家秦九韶（1202-1261）在西元 1247 年所著的《數書 九章》書中提出 「大衍求一術」，給出了完備的答案。相較於西方在五百多年後，

德國大數學家高斯（Gauss, Carl Friedrich, 1777-1855）才在其數論經典著作《算學講 話》（Disquisitiones Arithmeticae, 1801）解答並證明。現在把這類問題的解答就稱為

「中國剩餘定理」，其說明了一元線性同餘方程組有解的準則以及求解方法。