建議

一、 對教學的建議

1. 拉格朗日插值多項式的教學，建議可先以中國剩餘定理作為引入。教師認為課堂 教學「不易說明子函數的結構」；學生的學習常有「過程繁雜，難以清楚架構，

流於強記」的情況。拉格朗日插值法與中國剩餘定理兩者在結構上非常相似，當 了解中國剩餘定理的解題方法後，學生便容易的藉由類比遷移而建立子函數的架 構，以利學生更能掌握整體結構。

2. 讓學生熟練餘式因式定理後再進行拉格朗日插值法的教學。學生在類比拉格朗日 的例題中，最大的關卡是在於知道子函數的結構後該如何計算出來？若餘式因式 定理能熟悉的操弄，這將會使學生在插值多項式的學習上更能掌握程序性的步 驟，以助於整體解題順暢而有節奏，降低學生因繁雜計算而產生的恐懼。

3. 進行拉格朗日插值法的教學時，建議教師適時介入引導，不要全部採用討論式或 學生啟發式教學。學生可能使用長除法取代因式餘式定理求出子函數，或者沒有 建立單位子函數概念就解決問題，如此較不能宏觀的掌握整體結構，影響對後續 的演繹延伸。

4. 中國剩餘定理連結拉格朗日插值多項式做主題式的教學。教學環境趨勢越來越強 調主題式的教學，數學中數與多項式這兩大脈絡，看似不相干的東西卻有著一樣 的結構，跨單元的呼應讓學生能欣賞數學之美。

5. 教科書雖然有詳述的推導概念與過程，但對於學生可能會造成過程繁瑣的感覺，

以至於難以清楚整體架構，甚至導致恐懼的情況。建議教師在教授拉格朗日插值 多項式單元時，可嘗試以自編教材或講義作為教材的選擇。

二、 對未來相關研究建議 1. 操作方式

(1) 進行正式教學活動時，利用提示來協助學生啟發思維，受試者提示的拿取

115

可因個人情況而自行選擇。建議以此方式研究時可註記拿取提示前思考的 時間，及拿取後解題的時間，在分析時可加此變項交叉分析。另外設定每 一題的總時間限制，如此較不會有題與題之間擠壓的情況，導致後面題目 因時間而無法作答影響結果。

(2) 在每一題結束後，建議預留一些時間來做全體的統整和總結，以確保學生 在每個階段都有接收到欲傳達的內容。

2. 增加晤談

若在環境與時間的許可下，進行教學活動後的晤談，更能清楚的瞭解學生在當下 的思維脈絡，去做更精準的分類與分析。

3. 研究對象

擴充研究對象的類別。除了國三學生外，或許高一生在入學後一、兩周也是種選 擇。另外不一定取數理資優班學生，或許普通班以及不同區域的學生再多試驗，

其結果可以能較有全面性。

4. 其他教學方法

除了以中國剩餘定理類比拉格朗日插值多項式外，以基底形式

2 3 2 1 1 3

( )( ) ( )( ) ( )( )

a x  x x  x  b x  x x  x  c x  x x  x

來介紹拉格朗日插值法是另 一種思維，在翰林版的教科書、教師分享教學架構與使用長除法求子函數的學習 單都有出現，由此可知這樣的形式其實並不會突兀不自然，唯所有的二次多項式 為何皆能以如此形式假設？這個概念在教學上就不容易闡述。在拉格朗日教學 上，或許可以將這兩種方法綜合比較，一起探討其中的優劣。

116

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120

 教師任教學校所在的縣市________________

 教師任教學校的高一之班級數

121

____________________________________________________________________

□ 拉格朗日插值多項式程序性步驟繁雜，難以流暢地呈現。

122

□ ______________________。

困

123

□ 其他______________________________________________________________________

6. 教學上的經驗分享

學生入學之 PR 值約為_______________ / 五科等級約為_______________

感謝您撥冗填答

124

2-2 多項式的運算

◎ 餘式定理

《適用除式為一次，餘式為__________，不管商式》

多項式 ( ) (

f x  ax  b q x

) ( )

 r

( )

f x 除以 ( ax  b

)的餘式 r



___________ 《 ( )

f a  b



( )

f x 除以 ( x  a

)的餘式為

b

》

EX1：求多項式

f x ( )  x

⁵

 5 x  1

除以

x  2

的餘式。

類：(1) 求多項式

f x ( )  (2 x

²

 3 x  1)

²⁰除以

2 x  1

的餘式。

(2) 求7⁴

 

10 7³

 

18 7²



26 7

 

4 (1)1 (2)

39

EX2：多項式 ( )

f x 除以 x  1

的餘式為

2

，除以

x  2

的餘式為

3

，求 ( )

f x 除以 x

²

  x

2的餘式。

類：多項式 ( )

f x 除以 x

²

  x

2的餘式為

2 x  1

，除以

x

²



2

x 

3的餘式為

x  1

，求 ( )

f x 除以 x

²



4

x 

3

的餘式。

^{3 1}

2 x  2

類：多項式 ( )

f x 除以 x

²

  x

2的餘式為

 2 x  1

，除以

x  3

的餘式為

7

，求 ( )

f x 除以 ( x  3)( x

²

  x 2)

的餘式。

x

²

  x

1

類： ( )

f x 為一多項式，若 ( x 

1) ( )

f x

除以

x

²

  x

1的餘式為

5 x  3

，求 ( )

f x 除以 x

²

  x

1的餘式 。

2 x  5

附錄 二 預測_餘式定理與因式定理_學習單

125

◎ 因式定理

(1) 多項式 ( )

f x 有一次因式 ( ax  b

)

 ( b ) 0 f  a 

(2) 若

f a ( )

₁

 f a (

₂

)  ... ( f a

_n

)  0

，

a

_i為相異的 n 個數



( )

f x 有因式 ( x  a

₁

)( x  a

₂

)...( x  a

_n

)

EX3： (1)

x

⁵



1、

x

¹²



1、

x

¹⁰⁰



1、

x

²⁰¹⁵



1是那些有一次因式

x  1

？ (2)

x

⁵



1、

x

¹²



1、

x

¹⁰⁰



1、

x

²⁰¹⁵



1是那些有一次因式

x  1

？

EX4： deg ( )

f x 

3，若 (2)

f  f

( 1)

 

0， (1) 6

f 

， (3)

f 

4，求 ( )

f x

類：(1) deg ( ) 3

f x 

，若 ( 2)

f   f

(3)

 f

(1)



0， ( 1) 5

f  

，求 ( )

f x

⁵ ( 2 ) ( 3 ) ( 1 ) 8 x  x  x 

(2) deg ( )

f x 

3，若 ( 2)

f   f

(3)

 f

(1)



4， ( 1) 5

f  

，求 ( )

f x

¹ ( 2 ) ( 3 ) ( 1 ) 4 8 x  x  x  

EX5：

f x ( )  x

⁴⁴

 2 x

²⁵

 3 x

⁵。(1)求 ( )

f x 除以 x

³



1的餘式 (2)求 ( )

f x 除以 x

²

  x

1的餘式

126

一千五百年前中國的數學----《孫子算經》

中國《孫子算經》 (420-589,南北朝)，『物不知數』的文本內容：

今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？

答曰︰二十三

術曰：三三數之剩二，置一百四十；五五數之剩三，置六十三；七七數之剩二，置 三十。并之得二百三十三。以二百一十減之，即得。

凡三三數之剩一，則置七十；五五數之剩一，則置二十一；七七數之剩一，

則置十五。一百六以上，以一百五 減之，即得。

Q1：請將上述文字翻譯成白話文，或者用數學符號來表示。

Q2：請依照《孫子算經》中的方法，解出下列問題。

「今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩四，十一數之剩二，問物幾何？」

附錄 三 預測_孫子算經_插值多項式_學習單

127

Q3(0)：已知 ( )

f x 為一個二次多項式，並且通過 ( 1,5) 

、 (2,4) 、 (3, 3)



三點，求 ( )

f x 。

128

Q3(1)：已知 ( )

f x 為一個二次多項式，並且通過 ( 1,5) 

、 (2,4) 、 (3, 3)



三點，求 ( )

f x 。

請仿造 Q1 的架構，將其從「數」類推到「多項式」，來解決上述問題。

《列出式子即可，不需要做同類項合併的化簡》

129

Q3(2)：已知 ( )

f x 為一個二次多項式，並且通過 ( 1,5) 

、 (2,4) 、 (3, 3)



三點，求 ( )

f x 。

請仿造 Q1 的架構，將其從「數」類推到「多項式」，來解決上述問題。

《列出式子即可，不需要做同類項合併的化簡》

解：過點 ( 1,5)



→

f

( 1)

 

________



^餘式定理

 f x 除以________的餘式為_______

( ) 過點 (2,4) → ________________



^餘式定理



______________________________

過點 (3, 3)



→ ________________



^餘式定理



______________________________

130

Q3(3)：已知 ( )

f x 為一個二次多項式，並且通過 ( 1,5) 

、 (2,4) 、 (3, 3)



三點，求 ( )

f x 。

請仿造 Q1 的架構，將其從「數」類推到「多項式」，來解決上述問題。

《列出式子即可，不需要做同類項合併的化簡》

解：過點 ( 1,5)



→

f

( 1)

 

________



^餘式定理

 f x 除以________的餘式為_______過

( ) 點 (2,4) → ________________



^餘式定理

 f x 除以_______的餘式為_______

( ) 過點 (3, 3)



→ ________________



^餘式定理

 f x 除以_______的餘式為_______

( )

1. 仿造 Q1，可先建構三個特殊條件的二次函數，以助求 ( )

f x 。

131

Q3(4)：已知 ( )

f x 為一個二次多項式，並且通過 ( 1,5) 

、 (2,4) 、 (3, 3)



三點，求 ( )

f x 。

請仿造 Q1 的架構，將其從「數」類推到「多項式」，來解決上述問題。

《列出式子即可，不需要做同類項合併的化簡》

解：過點 ( 1,5)



→

f

( 1)

 

5



^餘式定理

 f x 除以

( )

x  1

的餘式為 5 過點 (2,4) →

f

(2)



4

   

^餘式定理

f x 除以

( )

x  2

的餘式為 4 過點 (3, 3)



→

f

(3)

 

3



^餘式定理

 f x 除以

( )

x  3

的餘式為

 3

1. 仿造 Q1，將題目 ( )

f x 的已知條件置入欄

1、欄 2。可先建構三個特殊條件的二次函數，

以助求 ( )

f x 。

欄 1 欄 2 欄 3 欄 4 欄 5

1

( )

f x f

₂

( ) x f x

₃

( )

除式 餘式 餘式 餘式 餘式

132

Q3(5)：已知 ( )

f x 為一個二次多項式，並且通過 ( 1,5) 

、 (2,4) 、 (3, 3)



三點，求 ( )

f x 。

請仿造 Q1 的架構，將其從「數」類推到「多項式」，來解決上述問題。

《列出式子即可，不需要做同類項合併的化簡》

解：過點 ( 1,5)



→

f

( 1)

 

5



^餘式定理

 f x 除以

( )

x  1

的餘式為 5 過點 (2,4) →

f

(2)



4

   

^餘式定理

f x 除以

( )

x  2

的餘式為 4 過點 (3, 3)



→

f

(3)

 

3



^餘式定理

 f x 除以

( )

x  3

的餘式為

 3

1. 仿造 Q1，將題目 ( )

f x 的已知條件置入欄

1、欄 2。可先建構三個特殊條件的二次函數，

以助求 ( )

f x 。

2. 仿造 Q1 中，

a

₁、

a

₂、

a

₃的想法，製造

f x

₁

( )

、

f x

₂

( )

、

f x

₃

( )

。 其中，二次多項式

f x

₁

( )

除以

x  1

的餘式為

5 1 

x  2

的餘式為 0

x  3

的餘式為 0 同理，可製造

f x

₂

( )

、

f x

₃

( )

。完成上表。

欄 1 欄 2 欄 3 欄 4 欄 5

1

( )

f x f

₂

( ) x f x

₃

( )

除式 餘式 餘式 餘式 餘式

133

134

135

136

有了上述條件，利用因式定理、餘式定理，可求出

f x

₂

( )

=________________________

有了上述條件，利用因式定理、餘式定理，可求出

f x

₃

( )

=________________________

3.

f x 可表示成

( )

f x

₁

( )  f x

₂

( )  f x

₃

( )

( )

f x

=_________________________________________________________________

《列出式子即可，不需要做同類項合併的化簡》

137

Q4： ( )

f x 為通過點(3,12)、(5,  4

)、(6,3)的二次多項式。請仿造Q3 作法求 ( )

f x ，並求出

(7)

f

。 《

f x

( )不需化簡》

138

Q5： 已知 ( )

f x 為一個二次多項式，並且通過 ( , x y

_{1 1}

)

、

( x y

₂

,

₂

)

、

( , x y

_{3 3}

)

三點，求 ( )

f x 。

《不需要做同類項合併的化簡》

139

Q6： 已知 ( )

f x 為一個三次多項式，並且通過 ( , x y

_{1 1}

)

、

( x y

₂

,

₂

)

、

( , x y

_{3 3}

)

、

( , x y

_{4 4}

)

三點，

求 ( )

f x 。

^{《列出結果即可》}

Q7： ( )

f x 為通過點 ( 2, 4)  

、 (1, 2) 、 (2,8) 、 (3,26) 的三次多項式，試求 ( )

f x 與 (4) f

。

《

f x

( )不需化簡》

140

多項式 之 因式定理 與 餘式定理

因式定理

數 多項式

有因數 7 的整數 有因式

x  7

的多項式 ______________ ___________________

◎ 因式定理

(1) 多項式 ( )

f x 有一次因式 ( ax  b

)

 ( b ) 0 f  a 

(2) 若

f a ( )

₁

 f a (

₂

)  ... ( f a

_n

)  0

，

a

_i為相異的 n 個數



( )

f x 有因式 ( x  a

₁

)( x  a

₂

)...( x  a

_n

)

附錄 四 因式定理與餘式定理_學習單

141

多項式 ( )

f x

EX1：

f x ( )  2 x

²

  x 1

,

g x ( )  ( x  3)(8 x

³

 4 x  1)

,

h x ( )  ( x

⁴

 2 x  1)

¹⁰ 上述多項式中，哪些有因式

x  1

，那些有因式

2 x  1

？

類：(1)

x

⁵



1、

x

¹²



1、

x

¹⁰⁰



1、

x

²⁰¹⁵



1那些有一次因式

x  1

？ (2)

x

⁵



1、

x

¹²



1、

x

¹⁰⁰



1、

x

²⁰¹⁵



1那些有一次因式

x  1

？

EX2：

f x ( )  2 x

³

 x

²

 k

有

x  2

的因式，求

k

的值。

類： 若

x  1

與

x  4

都是

( x  3)

³

 ax  b

的因式，求 ,

a b 的值。

( ) ( , 0) y f x

c

 圖形

通過點

( )

f x 有一次因式 x c 

( ) 0

f c 

142

★ 若 ( )

f x 是一次多項式，可假設 ( ) f x 

_______________________

若 ( )

f x 是二次多項式，可假設 ( ) f x 

_______________________

若 ( )

f x 是三次多項式，可假設 ( ) f x 

_______________________

★ 若 ( )

f x 是一次多項式，且 (3) f 

0，可假設 ( )

f x 

_______________________

若 ( )

f x 是二次多項式，且 (3) f 

0，可假設 ( )

f x 

_______________________

若 ( )

f x 是三次多項式，且 (3) f 

0，可假設 ( )

f x 

_______________________

★ 若 ( )

f x 是二次多項式，且 (3) f  f

( 2)

 

0，可假設 ( )

f x 

_______________________

若 ( )

f x 是三次多項式，且 (3) f  f

( 2)

 

0，可假設 ( )

f x 

_______________________

EX3： ( )

f x 是三次多項式。若 (2) f  f

( 1)

 

0， (1) 6

f 

， (3)

f 

4，求 ( )

f x

類： ( )

f x 是三次多項式。若 ( 2) f   f

(3)

 f

(1)



0， ( 1) 5

f  

，求 ( )

f x

143

餘式定理

數 多項式

除以 7 餘 3 的整數 除以

x  7

，餘式為 3 的多項式 ______________ __________________________

◎ 餘式定理

《適用除式為一次，餘式為__________，不管商式》

多項式 ( )

f x 

(

ax  b q x

) ( )

 r

( )

f x 除以 ( ax  b

)的餘式 r



___________

多項式 ( )

f x

( ) ( , ) y f x

m n

 圖形

通過點

( )

f x 除以 ( x m 

) 的餘式為 n ( )

f m  n

144

EX4：求多項式

f x ( )  x

⁵

 5 x  1

除以

x  2

的餘式。

類：求多項式

f x ( )  (2 x

²

 3 x  1)

²⁰除以

2 x  1

的餘式。

EX5：

f x ( )  x

⁵

 3 x

²

 2 x  k

除以

x  1

的餘式為 5，求 ( )

f x 除以 x  2

的餘式。

類：

f x ( )  x

⁴

 ax

²

 bx  10

除以

x  3

的餘式為 50，除以

x  1

的餘式為

 10

，求 ,

a b 的值。

☆ ( )

f x 是多項式。若 (1) f 

0，則 ( )

f x 除以 x  1

的餘式為_______； ( )

f x 除以 2 x  2

的餘式為________。

☆ ( )

f x 是多項式。若 ( ³ ) 4

f  2 

，則 ( )

f x 除以 ³

x  2

的餘式為______； ( )

f x 除以 2 x  3

的餘式為______。

145

《多學多健康》

EX：多項式 ( )

f x 除以 x  1

的餘式為

2

，除以

x  2

的餘式為

3

，求 ( )

f x 除以 x

²

  x

2的餘式。

EX：多項式 ( )

f x 除以 x

²

  x

2的餘式為

2 x  1

，除以

x

²



2

x 

3的餘式為

x  1

，求 ( )

f x 除以 x

²



4

x 

3 的餘式。

EX：多項式

f x ( )  2 x

³

 ax

²

 bx c 

。若 ( )

f x 除以 x

²



3

x 

2的餘式為

2 x  3

，除以

x  1

的餘式為 5，

求 (3)

f

。

EX： ( )

f x 是三次多項式。若 ( ) f x 除以 x

²



1的餘式為

x  2

，除以

x

²



1的餘式為

5 x  4

5，求 ( )

f x 。

EX：多項式 ( )

f x 除以 x

²

  x

2的餘式為

 2 x  1

，除以

x  3

的餘式為

7

，求 ( )

f x 除以 ( x  3)( x

²

  x 2)

的餘式。

EX： ( )

f x 為一多項式，若 ( x 

1) ( )

f x

除以

x

²

  x

1的餘式為

5 x  3

，求 ( )

f x 除以 x

²

  x

1的餘式 。

EX： ( )

f x 是三次多項式。，若 ( 2) f   f

(3)

 f

(1)



4， ( 1) 5

f  

，求 ( )

f x

146

1. 求

f x ( )  (2 x

⁹⁹

 4 x

⁹⁸

 6 x

⁹⁷

)( x

³⁸

 3 x

³⁷

 5 x

³⁶

)

除以

( x  1)

的餘式。

2. 已知

f x ( )

為一個二次多項式，有

x  1

、

x  2

這兩個一次因式，並且除以

x  3

的餘式 為

 3

，求

f x ( )

。

3. 已知

f x ( )

為一個三次多項式，

f (1)  f (2)  f (3)  0

，

f (4)  42

，求

f (5)

。

附錄 五 因式定理與餘式定理測驗 1

147

姓名：__________________

1. 若多項式 f x( )3x⁵ kx⁴ 5除以 (

x 

1)的餘式為 4，求

k

。

2. 已知 ( )

f x 為一個二次多項式， ( ) f x 分別除以 x  4

、

x  1

、

x  2

的餘式為 0、10、0。

試求 ( )

f x 與 ( 3) f 

。

3. 已知 ( )

f x 為一個三次多項式，有 x  1

與

x  3

這兩個一次因式。且圖形

y  f x

( )通過 (2, 8) , ( 1,16)

 

兩點，求 ( )

f x 。

附錄 六 因式定理與餘式定理測驗 2

148

一千五百年前中國的數學----《孫子算經》

中國《孫子算經》 (420-589,南北朝)，『物不知數』的內容：

今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？

答曰︰二十三

術曰：三三數之剩二，置一百四十；五五數之剩三，置六十三；七七數之剩二，置三十。

并之得二百三十三。以二百一十減之，即得。

凡三三數之剩一，則置七十；五五數之剩一，則置二十一；七七數之剩一，則置十 五。一百六以上，以一百五 減之，即得。

Q1：請小組討論，將上述文字用現代的數學符號來表示，並解釋其中的過程與理由。

姓名：___________________

凡三三數之剩一，則置七十；五五數之剩一，則置二十一；七七數之剩一，則置 十五。一百六以上，以一百五 減之，即得。

○

^註

附錄 七 孫子算經_插值多項式_學習單

149

Q2：請依照《孫子算經》中的方法，解出下列問題。

「今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩四，十一數之剩二，問物幾何？」

150

Q3：已知 ( )

f x 為一個二次多項式，並且通過 ( 1,5) 

、 (2,4) 、 (3, 3)



三點，求 ( )

f x 。

請仿照 Q1 的架構，將其從「數」類比到「多項式」，來解決上述問題。

《列出式子即可，不需要做同類項合併的化簡》

 請完成 Q3，並將計算過程完整記錄下來。請使用黑筆或藍筆。

 若解題過程中途，不知如何繼續作答，可拿第一份提示，並將提示貼於本作答卷，緊接在 你的計算過程後面。

☆ 如過了解提示，且對你的解題有幫助，請繼續作答。

☆ 如果你原本就已經了解並完成提示內容，請拿下一份提示緊貼在現在的提示之後。

☆ 如果你原本就已經了解並完成提示內容，請拿下一份提示緊貼在現在的提示之後。

在文檔中 拉格朗日插值多項式之教師看法與類比於中國剩餘定理之教學探討 (頁 121-163)