緒論

第一章 緒論

第一節 研究動機

多項式在中學的數學教學中一直佔有很大的篇章，從國中的多項式求值與四則 運算，到高中的除法原理、餘式因式定理、牛頓定理…。而自 99 年實施的普通高級 中學課程綱要中，在多項式的內容裡添加了插值多項式，其形式就是拉格朗日

（Joseph Lagrange，法國，1736－1813）插值多項式（interpolation polynomial）。

在生活中或是其他專業領域裡，都會受到許多「量」的影響，例如時間、雨量、

貨物流量、用藥劑量、上網速度….等，而這些量與量對應的函數關係常是我們感興 趣的。但在現實中真正函數關係並不容易或幾乎不可能完全得知，所以靠著有限的 已知數據，以其為必要條件去找出近似的函數是重要的，這在很多領域中都運用的 相當廣泛，而這就是數值分析中的插值法。插值法結合學生從國中就接觸的多項式，

承接於因式餘式定理之後，能不另外假設未知數而直接整理出結構性強的拉格朗日 插值多項式，它應該是一個可以讓數學老師得意的單元，因為老師可以具體的對學 生說：「這個很實用」。但，當我第一次實際教到這個單元時，就在我最後於黑板寫 完公式後，看到學生呆滯的臉龐，我心中沒有半分得意。

拉格朗日插值多項式在各個教科書版本中出現的篇幅都不多，鮮少提及插值法 的意義，再加上學生過去的學習經驗都是非真實情境搭配上絕對答案，近似函數並 不容易引起學生共鳴。而拉格朗日插值法漂亮的結構，在學生的眼睛中反因符號而 隱晦，最後只看到龐大又冗長的公式；不須另設未知數的優勢在手算的限制下卻顯 得計算複雜容易錯；最後在評量考試時大部分的題型都可以被牛頓插值法殲滅，造 成學生學習拉格朗日插值多項式的意願低落。總結以上，到底在教學上如何能更有 效的強化拉格朗日插值多項式？

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第二節 研究目的與研究問題

研究目的：

本研究欲探測高中數學教師面對拉格朗日插值多項式的主題，其教學情況與想 法。並以「利用中國剩餘定理類比建構出拉格朗日插值多項式」做為學習內容，從 中去了解學生學習的情況，盼能助於拉格朗日插值多項式的教學。

研究問題：

一、 99 課程綱要實施後，拉格朗日插值多項式在高中數學的教學內容為何？

1. 在 99 課程綱要中提及的數學概念有哪些？

2. 各個版本的引入方法、組織結構分別為何？

二、 高中教師在拉格朗日插值多項式的教學上之看法為何？又以什麼樣的方式 呈現拉格朗日插值多項式的教學？

三、 以中國剩餘定理類比到拉格朗日插值多項式之教學情形為何？

1. 「中國剩餘定理」與「拉格朗日插值多項式」的數學概念和組織結構有 何關聯？

2. 學生以中國剩餘定理--《孫子算經》¹下卷〈物不知數〉類比到拉格朗日 插值多項式例題中，成功的類比遷移的情況為何？

3. 學生以中國剩餘定理--《孫子算經》下卷〈物不知數〉類比到拉格朗日插 值多項式例題後，能演繹、延伸的情況為何？

1 孫子算經的確切成書年代不詳。約成書於南北朝。

4 解新知識的過程。（Stepich & Newby, 1988；Gilbert, 1989）。

本研究採用的是「結構相似」的特質。

四、 組織結構：將多個數學概念，依照其性質連結起來的方法與過程。包含了連結 的關係、先後順序。

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