拉格朗日插值多項式之教師看法與類比於中國剩餘定理之教學探討

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(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授：洪有情. 博士. 拉格朗日插值多項式之教師看法與類比於中國剩餘定理之教學探討. 研究生：吳育藝. 中華民國. 105 年. 9 月.

(2) 謝. 詞. 這一路走來，得之於人者太多，出之於己者太少。因為需要感謝的人太多了，就感謝人間有情吧。.

(3) 摘. 要. 拉格朗日插值多項式自 99 年加入高中數學課綱，其公式較為龐大複雜，學生容易流於硬背結論，教師教授與學生學習都較為棘手。而視其結構，拉格朗日插值多項式與中國剩餘定理有著相同的概念與精神。若將之利用在教學上，學生學完中國剩餘定理後可類比到拉格朗日插值多項式，以豐富其本身的意義並且讓學生欣賞數學之美。本研究主要分成三個部分：（一）分析高中數學課程綱要與各版本教科書之拉格朗日插值多項式的內容。（二）以問卷方式了解高中教師對拉格朗日插值多項式教學的看法。（三）學生『以算數類比到多項式，運用在拉格朗日插值多項式』的學習情形。本研究的結果如下： 1. 教科書的結構上，翰林版及康熹版與其他版本的方式較不相同。 2. 教師認為拉格朗日插值多項式與其他單元相較下，在課堂教學上是偏困難的。而「不易將拉格朗日插值多項式概念闡述清楚」是教師在教學上遇到較多的情況。 3. 教師認為拉格朗日插值多項式與其他單元相較下，學生在學習上是偏困難的。而「過程繁雜，難以清楚架構，流於強記」是教師認為學生學習拉格朗日插值多項式會遇到的情況。 4. 學生在習得中國剩餘定理--《孫子算經》〈物不知數〉後，大部分學生可靠自己或提示類比到拉格朗日插值多項式，完成例題；但僅有部分學生能推導出公式。 5. 學生從中國剩餘定理--《孫子算經》〈物不知數〉類比到拉格朗日插值多項式例題中，映射是較為容易處理的，而調適是較大的難點。. 關鍵字：拉格朗日插值多項式、中國剩餘定理、孫子算經、類比.

(4) 目. 錄. 第一章緒論 .................................................................................................... 1 第一節第二節第三節. 研究動機.......................................................................................................... 1 研究目的與研究問題...................................................................................... 3 名詞解釋.......................................................................................................... 4. 第二章文獻探討 ............................................................................................ 5 第一節第二節第三節. 插值多項式...................................................................................................... 5 類比................................................................................................................ 10 中國剩餘定理—《孫子算經》〈物不知數〉.............................................. 16. 第三章研究方法 .......................................................................................... 18 第一節. 研究架構........................................................................................................ 18. 第二節第三節第四節第五節第六節. 研究設計與研究方法.................................................................................... 22 研究樣本........................................................................................................ 24 研究工具........................................................................................................ 26 研究流程與步驟............................................................................................ 32 研究限制........................................................................................................ 34. 第四章插值多項式內容分析...................................................................... 35 第一節. 插值多項式之課程綱要................................................................................ 35. 第二節. 插值多項式之教材分析................................................................................ 37. 第五章教師問卷_教師對插值多項式的看法 ........................................... 52 第一節第二節第三節. 教師課堂的教學............................................................................................ 53 學生的學習.................................................................................................... 66 評量測驗與教師分享.................................................................................... 72. I.

(5) 第六章中國剩餘定理類比拉格朗日插值多項式 ..................................... 78 第一節第二節第三節第四節. 「中國剩餘定理」與「拉格朗日插值多項式」的對應............................ 78 先備知識........................................................................................................ 81 類比到拉格朗日插值多項式例題的歷程.................................................... 86 類比到拉格朗日插值多項式例題後的演繹、延伸.................................. 100. 第七章結論與建議 .................................................................................... 109 第一節第二節. 結論.............................................................................................................. 109 建議.............................................................................................................. 114. 參考文獻...................................................................................................... 116 中文部分...................................................................................................................... 116 英文部分...................................................................................................................... 117. 附. 錄. 附錄一附錄二. 教師問卷.................................................................................................. 118 預測_餘式定理與因式定理_學習單...................................................... 118. 附錄附錄附錄附錄附錄附錄. 預測_孫子算經_插值多項式_學習單.................................................... 118 因式定理與餘式定理_學習單................................................................ 118 因式定理與餘式定理測驗 1................................................................... 118 因式定理與餘式定理測驗 2 .................................................................. 118 孫子算經_插值多項式_學習單 ............................................................. 118 提示 ......................................................................................................... 118. 三四五六七八. II.

(6) 圖次目錄圖 2-1.1：利用插值多項式求. f ( x) 的近似值 1 .................................................................................... 8. 圖 2-2.1：類比遷移與歸納法、演繹法之間的關係 2......................................................................... 10 圖 3-1.1：研究架構_新教材 3 .............................................................................................................. 18 圖 3-1.2：研究架構_教師教學 4 .......................................................................................................... 19 圖 3-1.3：研究架構_類比教學 5 .......................................................................................................... 20 圖 3-1.4：研究架構_教學後 6 .............................................................................................................. 20 圖 3-5.1：研究流程圖 7 ........................................................................................................................ 33. 表次目錄表 3-3.1：教師樣本的基本資料 1 ........................................................................................................ 24 表 3-4.1：先備知識測驗卷比較 2 ........................................................................................................ 29 表 3-4.2 ：中國剩餘定理講解表格 3 .................................................................................................. 30 表 3-4.3：施測學習單 Q3 答題方式 4 ................................................................................................. 30 表 3-4.4：四個提示提供的類比遷移協助 5 ........................................................................................ 31 表 3-4.5：施測學習單 Q3~Q7 內容 6 .................................................................................................. 31 表 5-0.1：教師樣本基本資料(含區域、年資)7 ................................................................................... 52 表 5-1.1：教師課堂_插值多項式 8 ...................................................................................................... 53 表 5-1.2：教師課堂_插值多項式_教學年資_交叉分析 9................................................................... 54 表 5-1.3：各版本教科書使用人數 10 .................................................................................................. 55 表 5-1.4：教師課堂_插值多項式_各版本教科書_交叉分析 11 ......................................................... 55 表 5-1.5：教師課堂_插值多項式第一要項_南一翰林比例_交叉分析 12 ......................................... 56 表 5-1.6：教材種類使用人數 13 .......................................................................................................... 57 表 5-1.7：教師課堂_插值多項式_教材種類_交叉分析 14................................................................. 58 表 5-1.8：教師課堂_插值多項式第四要項_自編教材比例_交叉分析 15 ......................................... 59 表 5-1.9：教師課堂_拉格朗日插值法_教學遇到情況統計 16 ........................................................... 60 表 5-1.10：教師課堂_拉格朗日插值法_教學遇到情況文字描述 17 ................................................. 61 表 5-1.11：教師課堂_拉格朗日插值法_整體呈現難易統計 18 ......................................................... 62 表 5-1.12：教師課堂_拉格朗日插值法_整體難易與教學年資_交叉分析 19 ................................... 63 表 5-1.13：教師課堂_拉格朗日插值法_整體難易與學生程度（入學 PR）_交叉分析 20 ............. 63 表 5-1.14：教師課堂_拉格朗日插值法_整體難易與教師任教高一次數_交叉分析 21 ................... 64 表 5-1.15：教師課堂_拉格朗日插值法_整體難易與各版本教科書_交叉分析 22 ........................... 65 表 5-1.16：教師課堂_拉格朗日插值法_整體難易與教材種類_交叉分析 23 ................................... 65 表 5-2.1：學生學習遇到困難統計 24 .................................................................................................. 66 III.

(7) 表 5-2.2：學生學習上遇到困難文字描述 25 ...................................................................................... 67 表 5-2.3：學生學習難易統計 26 .......................................................................................................... 68 表 5-2.4：教師課堂呈現難易度_學生學習難易_交叉分析 27 ........................................................... 68 表 5-2.5：學生學習難易與學生程度（入學 PR）_交叉分析 28 ....................................................... 69 表 5-2.6：學生學習難易與各版本教科書_交叉分析 29..................................................................... 69 表 5-2.7：學生學習難易與教材種類_交叉分析 30............................................................................. 70 表 5-3.1：評量測驗統計 31 .................................................................................................................. 72 表 5-3.2：教師希望強化項目統計 32 .................................................................................................. 76 表 5-3.3：107 課綱刪除拉格朗日插值法看法 33................................................................................ 76 表 6-1.1：「中國剩餘定理」與「拉格朗日插值多項式」的對比 34 ................................................. 78 表 6-1.2：「中國剩餘定理--孫子算經」類比「拉格朗日插值多項式例題」與提示 35 .................. 79 表 6-2.1：因式餘式定理檢測 2 結果統計 36 ...................................................................................... 81 表 6-2.2：中國剩餘定理測驗結果統計 37 .......................................................................................... 84 表 6-3.1：初始思維統計 38 .................................................................................................................. 87 表 6-3.2：「提示一」使用情況 39 ........................................................................................................ 89 表 6-3.3：「提示二」使用情況 40 ........................................................................................................ 91 表 6-3.4：「提示三」使用情況 41 ........................................................................................................ 92 表 6-3.5：「提示四」使用情況 42 ........................................................................................................ 95 表 6-3.6：Q3 提示整體統計表 43 ........................................................................................................ 97 表 6-3.7：Q3 提示整體統計表_階段一 44........................................................................................... 98 表 6-3.8：Q3 提示整體統計表_階段二 45........................................................................................... 98 表 6-4.1：Q4 統計表 46 ...................................................................................................................... 100 表 6-4.2：Q5 統計表 47 ...................................................................................................................... 102 表 6-4.3：Q6 統計表 48 ...................................................................................................................... 103 表 6-4.4：Q7-1 統計表 49 ................................................................................................................... 104 表 6-4.5：Q7-2 統計表 50 ................................................................................................................... 106. IV.

(8) 第一章緒論第一節. 研究動機. 多項式在中學的數學教學中一直佔有很大的篇章，從國中的多項式求值與四則運算，到高中的除法原理、餘式因式定理、牛頓定理…。而自 99 年實施的普通高級中學課程綱要中，在多項式的內容裡添加了插值多項式，其形式就是拉格朗日（Joseph Lagrange，法國，1736－1813）插值多項式（interpolation polynomial）。. 在生活中或是其他專業領域裡，都會受到許多「量」的影響，例如時間、雨量、貨物流量、用藥劑量、上網速度….等，而這些量與量對應的函數關係常是我們感興趣的。但在現實中真正函數關係並不容易或幾乎不可能完全得知，所以靠著有限的已知數據，以其為必要條件去找出近似的函數是重要的，這在很多領域中都運用的相當廣泛，而這就是數值分析中的插值法。插值法結合學生從國中就接觸的多項式，承接於因式餘式定理之後，能不另外假設未知數而直接整理出結構性強的拉格朗日插值多項式，它應該是一個可以讓數學老師得意的單元，因為老師可以具體的對學生說：「這個很實用」。但，當我第一次實際教到這個單元時，就在我最後於黑板寫完公式後，看到學生呆滯的臉龐，我心中沒有半分得意。. 拉格朗日插值多項式在各個教科書版本中出現的篇幅都不多，鮮少提及插值法的意義，再加上學生過去的學習經驗都是非真實情境搭配上絕對答案，近似函數並不容易引起學生共鳴。而拉格朗日插值法漂亮的結構，在學生的眼睛中反因符號而隱晦，最後只看到龐大又冗長的公式；不須另設未知數的優勢在手算的限制下卻顯得計算複雜容易錯；最後在評量考試時大部分的題型都可以被牛頓插值法殲滅，造成學生學習拉格朗日插值多項式的意願低落。總結以上，到底在教學上如何能更有效的強化拉格朗日插值多項式？. 1.

(9) 教學碩士入學考的試題中有一題：『利用下面歌訣「三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知。」解韓信點兵問題：「今有兵不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問兵幾何？」求出韓信最少帶多少個兵。』回家細細思量後驚覺，這正是拉格朗日插值多項式的架構！拉格朗日插值插值多項式 f ( x) 過的已知點 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 、 ( x3 , y3 ) 轉換成 f ( x) 除以 x  x1 餘 y1 對應『三三數之剩二』；再者從 ( x  x2 )( x  x3 ) 的（最低）倍式中找出除以 x  x1 餘 1 的多項式，為. ( x  x2 )( x  x3 ) ，對應『三人同行七十稀』：從 5、7 的倍數中找除以 3 ( x1  x2 )( x1  x3 ). 餘 1 的數，為 70；……。中國剩餘定理與拉格朗日插值多項式，兩個外表看起來完全沒有關聯，骨子裡卻有相同的精神。. 在多項式的教學上，常使用「數」到「多項式」的類比遷移（analogical transfer），例如因數倍數類比到因式倍式、質因數分解類比到因式分解…這些大多都是定義或是單一個概念的類比。而利用中國剩餘定理類比拉格朗日插值多項式，兩者的結構都是屬於繁複的，這個在教學上將會是個挑戰。但若利用其極為相似的結構，更能去闡述每個步驟與架構背後的思維，可以讓拉格朗日插值多項式的形成更自然而富有意義，且再加強數學內部不同主題的聯結。當我再搜尋一些高中數學拉格朗日插值多項式相關資料時發現，有一些教學前輩也是有這樣的想法，但大多是提供給教師參閱的教材，而無學生學習的情況分析。故本研究將探究如此複合性的類比，從學習者的學習歷程來觀察分析，是否會順利建構拉格朗日插值多項式的概念？抑或在哪些地方容易產生問題？以類比的方式學習拉格朗日插值多項式是否能推廣延伸？. 2.

(10) 第二節. 研究目的與研究問題. 研究目的：本研究欲探測高中數學教師面對拉格朗日插值多項式的主題，其教學情況與想法。並以「利用中國剩餘定理類比建構出拉格朗日插值多項式」做為學習內容，從中去了解學生學習的情況，盼能助於拉格朗日插值多項式的教學。. 研究問題：一、 99 課程綱要實施後，拉格朗日插值多項式在高中數學的教學內容為何？ 1. 在 99 課程綱要中提及的數學概念有哪些？ 2. 各個版本的引入方法、組織結構分別為何？二、高中教師在拉格朗日插值多項式的教學上之看法為何？又以什麼樣的方式呈現拉格朗日插值多項式的教學？三、以中國剩餘定理類比到拉格朗日插值多項式之教學情形為何？ 1. 「中國剩餘定理」與「拉格朗日插值多項式」的數學概念和組織結構有何關聯？ 2. 學生以中國剩餘定理--《孫子算經》1下卷〈物不知數〉類比到拉格朗日插值多項式例題中，成功的類比遷移的情況為何？ 3. 學生以中國剩餘定理--《孫子算經》下卷〈物不知數〉類比到拉格朗日插值多項式例題後，能演繹、延伸的情況為何？. 1. 孫子算經的確切成書年代不詳。約成書於南北朝。. 3.

(11) 第三節. 名詞解釋. 一、拉格朗日插值多項式：以二次為例，通過 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 、 ( x3 , y3 ) 三點的插值多項式 f ( x) 表示為 f ( x)  f1 ( x)  f 2 ( x)  f3 ( x) 形式，其中 f1 ( x)  y1 . ( x  x2 )( x  x3 )  y1  L1 ( x) 、 ( x1  x2 )( x1  x3 ). f 2 ( x )  y2 . ( x  x1 )( x  x3 )  y2  L2 ( x) 、 ( x2  x1 )( x2  x3 ). f3 ( x)  y3 . ( x  x1 )( x  x2 )  y3  L3 ( x) 。 ( x3  x1 )( x3  x2 ). 本研究將 f1 ( x) , f 2 ( x) , f3 ( x) 稱為 f ( x) 的子函數，. L1 ( x) , L2 ( x) , L3 ( x) 稱為 f ( x) 的單位子函數。. 二、牛頓插值多項式：以二次為例，通過 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 、 ( x3 , y3 ) 三點的插值多項式表示為 f ( x)  a( x  x1 )( x  x2 )  b( x  x1 )  c 形式。. 三、類比：兩事物間，藉由彼此在功能、結構、關係、外表、語意或文字表面具有相似性的一種特質，由已知的知識領域，推廣至欲知的知識領域，而獲得或理解新知識的過程。（Stepich & Newby, 1988；Gilbert, 1989）。本研究採用的是「結構相似」的特質。. 四、組織結構：將多個數學概念，依照其性質連結起來的方法與過程。包含了連結的關係、先後順序。. 4.

(12) 第二章文獻探討第一節. 插值多項式. 高中數學課程綱要，第一次出現插值多項式就是在99課綱。對於這個陌生的主題，其由來為何？而第一線教學的老師們如何因應？本節分「插值多項式的教材地位與背景」、「插值多項式在教學上的困難處」兩個部分探討。. 一、插值多項式的教材地位與背景朱亮儒、陳材河（2010）在〈99 課程中的 Lagrange 插值多項式〉提及以下幾點來說明插值多項式的重要性： 1. 高一（數學I）課程定位為與生活關聯或其他學科需要用到的數學，以建立學生在各學科進行量化分析所需要的基礎。因此Lagrange插值多項式可發展學生演算能力中多項式的運算及估算，讓學生在物理、化學或生物實驗時進行量化分析多一項有力的工具。 2. 目前插值多項式在現行高中數學教材（95暫綱）中均有出現如下類似例題『已知多項函數 f (x) 的次數不超過二次，且滿足 f (1)  5, f (2)  11,. f (3)  19 ，. 求 f (4) 的值。』，在多項式的除法（綜合除法）及除法原理的教學後，其基本的解法有三：（1）假設一般式 f ( x)  ax 2  bx  c 解聯立方程組。（2）反覆使用除法原理假設 f ( x)  a  b( x  1)  c( x  1)( x  2) 。（3）反覆利用綜合除法假設 f ( x)  a  b( x  1)  c( x  1) 2 。而Lagrange插值多項式亦為同一脈絡。 Lagrange插值多項式結構良好，無新設變數，但計算繁瑣，比較適合於電腦處理。在教學過程中，可以讓學生建立基底觀念，並可以透過「韓信點兵」的中國餘數定理做數學內部連結。 3. 從實用的觀點，完全正確往往是不可求的，正確的逼近式和快速的計算速率與有效的控制誤差才是主要的目標。在數學上處理這類問題的領域，統稱為 5.

(13) 「逼近理論」（approximation theory）。而「多項式函數」具有很好的分析性質（處處連續、可微、可積、稠密性）與代數結構（環、向量空間），也可作「加、減、乘、除」的代數運算，雖然不能取代一般的數學模型，但在某個小區間內，往往可以透過多項式函數來逼近一般的數學模型，並進而求出理想的近似值。 4. Lagrange插值多項式存在且唯一。而相較於泰勒（Taylor）多項式逼近函數f 時，僅能應用於固定點附近的相關資訊，否則可能產生極大的誤差；拉格朗日插值誤差項融合了相異點的所有訊息，使用上只要點足夠多，在整段區間內（不必侷限於固定點附近）也都可以有很好的估計值。 n 1 f ( k ) (1) ( x  1) k ，以 Taylor 以 f ( x)  為例：在點 c  1 的 Taylor 多項式，Tn ( x)   x k! k 0. 1 多項式估計 f (3)  就產生極大的誤差 : 3 n. 0. 1. 2. 3. 4. 5. Tn (3). 1. 1. 3. 5. 11. 21. 然而，在點 (2 , 0.5) , (2.5 , 0.4) , (4 , 0.25) 的二次 Lagrange 插值多項式：. L2 ( x)  0.5 . ( x  2.5)( x  4) ( x  2)( x  4) ( x  2)( x  2.5)  0.4   0.25  (0.5  2.5)(0.5  4) (2.5  2)(2.5  4) (4  2)(4  2.5).  0.05x2  0.425x  1.15 。 1 此時以 Lagrange 多項式估計 f (3)  產生的誤差就不會太大 : 3. f (3)  L2 (3)  0.325 。. 上述拉格朗日插值多項式的好處與功能提及到：「連結其他學科的有力工具、可循著固有教材脈絡連結發展、利用多項式函數來逼近一般函數並求近似值、優於泰勒多項式逼近之處」。逼近理論是數學在實際應用上很重要的一部分，但在中學的數學課程中，仍以基礎理論佔為要角，受時間的限制與能使用的輔助工具來考量，數學實際的應用並不容易在中學的課堂中操作，所以逼近相關的課題也不會在課堂 6.

(14) 中著墨太多。另外，連結其他科學作為工具，通常是邁向更高層的大學學習階段才較為實用，而中學裡的實驗與量化分析在普通課程中不會需要使用到插值多項式；因此，對學生最有意義的部分應該就屬於依循固有脈絡發展，此亦是本研究欲探討的內容。. 二、插值多項式在教學上的困難處插值多項式在99課綱中第一次亮相，對於插值多項式課綱是如何定義？而教師應該以什麼概念作為教學的核心？而又應該設計多深入的教學？教師在規劃插值多項式教學時又需注意哪些問題？蘇惠玉（2010）針對插值多項式提出以下四點是教師教學與學生學習都難以理解的： 1. 插值多項式被放入教材中的正當性，來自於課綱中所要強調的多項式的應用：「多項式被用來逼近一般函數，並用來求一般函數的近似值」。對學過高等微積分的數學教師們，對這一點的理解與認同，當然不成問題，但是，對函數只學過一次、二次及 y  x 3 、 y  x 4 的高一學生而言，這句話簡直如同天書一般難以理解！課綱似乎也只要求學生知道這個結果就好了，然而，數學教師又該如何對一些較好學與好問的學生解釋？好像也只能跟學生講：「你以後學到更高深的數學就懂了。」在幾乎是高一上學期開學後的第二個月，就下這樣的猛藥好嗎？ 2. 假設學生都能接受用多項式去逼近一般函數，接下來就是「插值多項式」名詞的解釋。教師必須自己理解何謂「插值多項式」，它的數學意涵是什麼？該如何解釋給學生瞭解？所謂「插值多項式」，筆者的理解為利用已知點，來逼近函數的多項式。 3. 在瞭解何謂「插值多項式」之後，在課綱中強調教師必須讓學生瞭解「 f ( x) 除以 ( x  a)( x  b) 的餘式為通過 (a, f (a)) , (b, f (b)) 的插值多項式」。何意？因為多項式 f ( x) 除以 ( x  a)( x  b) 的餘式 r ( x) 為一次式，且 x  a 時， r (a)  f (a) ，. x  b 時， r (b)  f (b) ，因此餘式 r ( x) 為通過 (a, f (a)) , (b, f (b)) 的一次多項式， 7.

(15) 也是通過 (a, f (a)) , (b, f (b)) 的割線，因此，可當成是已知 (a, f (a)) , (b, f (b)) 時，用來逼近 f ( x) 的多項式，也就是說，可以用來求在 x  a 與 x  b 之間的 f ( x) 的近似值。. 圖 2-1.1：利用插值多項式求. f ( x) 的近似值 1. 4. 接著為過三點的插值多項式。首先，通過三點（1, 1）, （2, 3）, （3, 7）的多項式可假設成 f ( x)  a  b( x  1)  c( x  1)( x  2) ，這樣的假設方式，來自於一個多項式除以 c( x  1)( x  2)( x  3) 的餘式，學生並不那麼容易瞭解這樣的假設方式，以筆者的教學經驗，在教學中大概會有一半以上的學生不能馬上理解，即使接受了，也因為不夠自然而容易忘掉。同時，這樣的假設形式又如何與函數的近似值作連結？再者，過三點（1, 1）, （2, 3）, （3, 7）的「插值多項式」，為何要以這麼複雜的形式表示：. f ( x)  1 . ( x  2)( x  3) ( x  1)( x  3) ( x  1)( x  2) ？如何讓學生建立  3  7 (1  2)(1  3) (2  1)(2  3) (3  1)(3  2). 學習動機與建構出學習意義？我們似乎只能以後見之明，跟學生說「這樣的假設方式合乎條件」而已！另一個問題，是通過三點（1, 1）, （2, 3）, （3, 7）的「多項式」與過三點（1, 1）, （2, 3）, （3, 7）的「插值多項式」有何差別？找出來的多項式表徵不同，但是又可利用這兩個多項式來證明唯一性（也就是這兩個多項式相同），既然如此，又何必學這麼困難的拉格朗日插值多項式呢？所以，如果學生有這樣的問題，身為教師的我們是否可以解釋得清楚這兩者的差別，以及強化學生的學習動機呢？. 我們就「插值多項式」與「拉格朗日插值多項式」來做個區分。課綱中描述『插值多項式：通過 (11,3) , (12,5) , (13,8) 的多項式可表示為 8.

(16) f ( x)  3 . ( x  12)( x  13) ( x  11)( x  13) ( x  11)( x  12) 』其實此形式即  5  8 (11  12)(11  13) (12  11)(12  13) (13  11)(13  12). 為「拉格朗日插值多項式」，論其結果就等同於「通過 (11,3) , (12,5) , (13,8) 的二次多. 項式」。這個看似冗長且複雜的多項式形式，到底該怎樣在教學上呈現？學生的接受度又是如何？本研究先分析各家教科書版本，盼能歸納出拉格朗日插值多項式概念推導的方式。同時對高中數學教師做問卷調查，以了解教師在教授拉格朗日插值多項式的過程中會遇到哪些情況？學生學習的情況又為何？最後試圖以中國剩餘定理來類比拉格朗日插值多項式，利用兩者有結構相似的性質，來了解學生是否能從數類比到多項式，以求讓拉格朗日插值多項式更富有學習的意義。其次「插值多項式」本身的定義在課綱中並沒有非常嚴謹的描述，但針對其功能性質稍有提及：『多項式也被用來作為插值的工具。插值方法很重要，它用少量的數. 據表現連續型的資訊，展現數學的效率與精確性。』、『因式定理可用來證明插值多項式的唯一性。』等。在課綱裡的這些句意中，該如何解讀？是否需要在教學中呈現？若是那該如何呈現？本研究也在教科書分析與教師問卷中，一起探討「插值多項式」的解釋與教學引述情況。. 9.

(17) 第二節. 類比. 演繹、歸納、類比是我們在學習數學上最常用的技巧，有別於演繹和歸納在同一個系統中推論整理，類比是跨系統的拓展和延伸。類比將許多看似不相干的知識或問題，萃取出相似的部分加以發展，它不但串起了許多知識形成網絡，它更可能踏著已有的知識發展無限可能。. 歸納法特殊. 一般化類比遷移. 演繹法特殊. 圖 2-2.1：類比遷移與歸納法、演繹法之間的關係 2 資料取自：王溢然 & 張耀久，（民 90，p.10）。. Glynn（1989）認為類比推理對於學習者的理解能力或解題能力都有顯著的幫助。Duit（1991）認為對於欲學習新數學概念的學習者而言，類比可以提供抽象概念的形象化、幫助學習者產生心像，並產生有意義的學習。Dagher（1994）強調類比的角色，不應侷限於學生概念上的理解，也應包括學習的心理層面上的貢獻。在學生學習科學的抽象和理論時，類比可提供愉悅感和安全感，進而提高學習科學的興趣。因此，類比能夠作為動機，當教師使用類比來自學生的真實世界經驗，本身會產生的興趣。洪蘭（1999）指出近年來在認知科學中，以類比推理來幫助學習遷移與概念的形成，被視為有效的學習法則之一。類比是兩事物間，藉由彼此在功能、結構、關係、外表、語意或文字表面具有相似性的一種特質，由已知的知識領域，推廣至欲知的知識領域，而獲得或理解新知識的過程（Stepich & Newby, 1988；Gilbert, 1989）。本研究採用的是「結構相似」的特質。. 10.

(18) 本節分為四個部分探討，包含「類比的理論」、「類比的歷程」、「類比在數學上的分類」、「影響類比教學成效的原因」. 一、類比的理論有關類比的發展理論有很多，首先來看Gentner（1983）之結構映射理論（structure mapping theory,SMT），SMT指出兩領域的映射是透過結構上的關係而非表面屬性，而且一組互有關連的關係結構會比單獨的關係容易產生映射。之後，Holyoak & Thagard （1990）提出多重限制理論（Multiconstraint Theory），他們認為除了結構因素外還必須考慮語意相似性及實用性。語意相似會有助於映射，而先備知識和使用目的不同會發展出不同的映射。在憶取過程中表面相似比結構相似更為容易。 Holyoak 等人（Gick & Holyoak, 1983; Holyoak & Koh, 1987; Novick, 1992）認為類比推理的核心是於來源問題(source problem)與標的問題(target problem)的對應，確認出成分屬性、目的、功能等表徵之對應後，將已有的知識遷移到待解的標的問題來解題。雖然兩者的訊息結構不完全相似但具有某種程度的關聯性。當來源問題與標的問題來自相同的系統領域時，較容易提取相關的訊息表徵，但若來源問題缺乏相應對的表面特徵時，潛藏於來源問題中的基模（schema）便扮演重要的中介角色。專家能組織化地分類各項結構相似的基模，所以專家除了注意表面特徵之外，更能深入理解深層的原理結構或高階關係，將其分門別類；而生手則傾向以問題的表面特徵來分類建構原理或關係。故在類比推理時，專家比生手容易成功。但無論專家或生手，一旦類比成功後，將歸納一個包含來源問題與標的問題的基模，以促進後續問題的類比。. 二、類比在數學上的分類：殷堰工（1997）將數學領域的類比分為以下幾類：（引自王婉馨，2005） 1. 降維類比：當解決高維空間中的某些問題時，往往可以通過與低維空間類似問題的類比而獲得解決，這種類比方法稱為「降維類比」。 11.

(19) 2. 數形類比：通過「形」的比較去推測「數」的有關性質；或通過「數」的比較去推測「形」的有關性質。數形的結合可從中獲得問題的解決，這就是所謂的「數形類比」。 3. 轉化類比：通過對有限與無限的類比來達到研究無限性問題的目的，這種方法稱為「轉化類比」。其關鍵在於實現了從有限到無限的轉化。 4. 結構類比：由於結構上極為相似，而將待證明題的條件或結論類比已知公式，並進行適當的代換，從而使問題得到解決，我們把這種類比方法稱為「結構類比」。 5. 簡化類比：在處理問題時，有時先求解一道比原題簡單的類比題，比如多元問題類比少元問題，高次問題類比低次問題，普遍問題類比特殊問題等，以便從中受到啟迪，進而獲得原題的解題思路及方法。這種類比方法稱為「簡化類比」。本研究是將中國剩餘定理類比拉格朗日插值多項式，利用「數」類比至「多項式」，屬於「數」類比至「代數」的結構類比，雖然表面的文字描述不同，但其擁有相同的結構特徵，需要再加以調適以符合多項式此標的問題的需求。. 三、類比的歷程 1. Sternberg（1977）認為類比是在a:b類比c:b的題目中，找出「a:b」的關係，並將其關係對應到「c:d」的關係，使兩者關係具有某種程度的相似性與關聯性。 Sternberg以訊息處理觀點，提出成分分析理論（Component Theory），分析類比問題中類比推理的過程包括以下六個運作成分（引自黃幸美，1994）：（1）編碼（encoding）：辨認類比題目中A、B、C、D 四個項目的相關屬性，並提取其意義，存至工作記憶中。（2）推論（inferring）：建立A 與B 的各種關係，並儲存工作記憶中。（3）對應（mapping）：發現A與C 的各種可能關係。（4）應用（applied）：應用推論所得的各種關係，來對應C 與D 的關係， 12.

(20) 以尋找正確答案D。（5）辨明（justified）：從所提供的各種選項中，刪除與D 不相同的答案。（6）反應（response）：將答案反應出來。 2. Holyoak（1987）等人，綜合基模歸納，將類比推理過程分為四個基本歷程：（1）憶取或選擇可能有用的來源類比物（the retrieval or selection of a plausibly useful source analog）。（2）映射（mapping）：對來源問題與目標問題進行對應。（3）類比的推論或遷移（analogical inference or transfer）。（4）後續的學習與應用（subsequent learning）：擴展對應中所產生的解決方案，進行學習與應用。依據不同目的與背景，在類比的過程中也稍有不同。「建立a和b的關係」與「憶取或選擇可能有用的來源類比物」是相互呼應，而映射（mapping）即是類比中最重要的核心。Novick（1992）提出成功的類比包含三要素：（1）憶取（retrieving）：瞭解標的問題的訊息與解題需求，注意其與來源問題之間的關係相似性，再從個人的知識基模搜尋、趨近與提取可對應解題的相關要素。（2）映射（mapping）：來源與標的問題各有其表面與結構的特徵，兩問題之間的特徵完全對應或相似部分作對應。（3）調適（adaptation）：當來源問題與標的問題的表面特徵與結構特徵皆相似時，調適也相對容易；但當表面特徵不相似而結構特徵相似時，需要做較多的調適來建立基模以完成類比遷移。本研究對於類比的歷程採用 Novick 的三要素：憶取、映射、調適。. 四、影響類比教學成效的原因 1. 來源問題憶取不易----提示類比是兩件事物的連結，解題者必須運用舊有的知識來搜尋來源問題與標 13.

(21) 的問題相似的特徵，若是兩者只有隱含在其中的結構相似那更是提高憶取的難度。Gentner（1989）指出類比的對應不需表面相似性的支持，但是對於生手和孩童而言，類比對應成功與否仍決定於其表面相似性，並且進一步指出這些表面相似性會導致錯誤推論。Gick & Holyoak（1980,1983）表示類比學習並不是自發性的，只有當學生確實被提醒，學生才會運用相關的資訊進行解題。Ross （1989）指出，當解題者面臨憶取線索困難時，有效的提示與教學則可化解困難。Gick & Holyoak（1980）研究發現，如果不提供來源問題，只有10%的學生能夠解決標的問題，但若提供來源問題後，有75%的學生能夠解決。若將類比使用在教學上，教師適時的提示就是相當重要的一環。本研究期盼學生能由「數」類比到「多項式」，若學生在自行作答時毫無頭緒，可選擇書面文字或教師講解二階段提示，以助學生能順利的解題。. 2. 來源問題困難類比是利用來源問題來解決標的問題，所以解題者必須對來源問題能透徹的了解與熟稔的運用。若是來源問題對解題者而言本身就是困難的，或者對其概念有所迷思，那就難以成功的利用類比解決標的問題，甚至有可能類比出錯誤的結論。Brown（1992）表示若來源問題比標的問題抽象或難度較高，則類比的功效將會大打折扣；若來源問題是具體可見的，則類比遷移的成效較佳。Harrison & Treagust（1993）指出類比遷移成功的條件之一就是設計出學生熟悉的來源問題。本研究以學生較熟悉的「數」來類比複雜的「多項式」。數是每一個人自小就開始使用的，因數、倍數的關係網絡容易直接從數字本身來察覺，盼學生能在善於操作的系統環境下先建立起概念與架構，再將其推廣至多項式。「中國剩餘定理」雖然是學生首次接觸的，但同餘問題大家一定都在國小時就碰過，對於如此形式的題目一定不陌生。而最後再加一個例題練習可以幫助學生掌握好來源問題，以助類比順利的進行。. 14.

(22) 3. 過度的類比類比藉由來源問題與標的問題間的相似特徵來映射與對應，但這也意味著在來源與標的問題必存在一些性質是各自獨有的。若在教學上使用類比，學生有可能將獨有的部分也過度類比到標的問題而產生錯誤的概念，阻礙學習。例如：直觀謬誤中的more A more B。故教師在先前必須做好仔細的規劃與設計，並於教學中提醒其整體關係與限制，如有錯誤的遷移發生要及時的介入與釐清。. 15.

(23) 第三節. 中國剩餘定理—《孫子算經》〈物不知數〉. 《孫子算經》作者和編篡年代不詳，可能在西元四世紀左右，它詳述籌算制度、乘除法則、分數算法、開平方算法。其內容有上、中、下三卷，下卷的第 26 題即為著名的〈物不知數〉. 今有物不知其數，三三數之賸二，五五數之賸三，七七數之賸二，問物幾何？答曰︰二十三術曰：三三數之賸二，置一百四十；五五數之賸三，置六十三；七七數之賸二，置三十。并之得二百三十三。以二百一十減之，即得。凡三三數之賸一，則置七十，五五數之賸一，則置二十一，七七數之賸一，則置十五。一百六以上，以一百五減之，即得。. 這個問題就是求某一個數，以 3 除餘 2，以 5 除餘 3，以 7 除餘 2。也就是解一.  x  2 (mod 3)  元線性同餘方程組  x  3 (mod 5) 。這類問題俗稱為「韓信點兵」（又叫做「秦王暗  x  2 (mod 7)  點兵」、「鬼谷算」、「隔牆算」、「剪管術」、「神奇妙算」等等），它屬於數論（Number theory）中的「同餘方程問題」（Indeterminate equations）。這類型的問題到南宋數學家秦九韶（1202-1261）在西元 1247 年所著的《數書九章》書中提出「大衍求一術」，給出了完備的答案。相較於西方在五百多年後，德國大數學家高斯（Gauss, Carl Friedrich, 1777-1855）才在其數論經典著作《算學講話》（Disquisitiones Arithmeticae, 1801）解答並證明。現在把這類問題的解答就稱為「中國剩餘定理」，其說明了一元線性同餘方程組有解的準則以及求解方法。. 16.

(24) 中國剩餘定理  x  r1 (mod n1 )  x  r (mod n )  2 2 若 n1 , n2 ....nk 是兩兩互質的數。則同餘方程組  有解。   x  rk (mod nk ) 令 N  n1 n2 ....nk ，如果  j ( j  1, 2,....k ) 是能使  j k. x   ri   i i 1. N  1 (mod n j ) 的數，那麼 nj. N (mod N ) ni. 證明： 1. 對任何 i  1, 2,....k ，由於 j  1, 2,....k ， i  j ， (ni , n j )  1 ，所以 (ni , 此存在整數  i 使得  i 2.. N )  1 ，因 ni. N  1 (mod ni ) 。 ni. N  ri  1  ri (mod ni ) , ni. ri   i. j  1, 2,....k ， i  j ， ri   i 3. x  r1  1. N  0 (mod n j ) ni. k N N N N  r2   2  ....  rk   k   ri   i 滿足： n1 n2 nk i 1 ni. i  1, 2,....k ， x  ri   i. N  ni. k. . j 1, j  i. rj   j. N  ri  nj. k. . j 1, j  i. 0  ri (mod ni ). 這說明 x 就是方程組的一個解。 4. 另外，假設 x1 和 x2 都是方程組的解，那麼 i  1, 2,....k ， x1  x2  0 (mod ni ) 。而 n1 , n2 ....nk 兩兩互質，故 x1  x2  0 (mod N ) ，所以方程組的任兩解必相差 N 的整數倍。 k. 因為 x   ri   i i 1. k. x   ri   i i 1. k N N 是其中一個解，所以所有解為 x   ri   i  N  k , k  Z ， ni ni i 1. N (mod N ) 。 ni. 17.

(25) 第三章研究方法第一節. 研究架構. 下方四個圖代表著一個新的教材產生，經由教師的瞭解，再藉由教學將概念傳輸到學生的歷程，即為本研究的架構。一、小單位圖示說明。 1. 矩形：代表不同個體 2. 圓圈：數學概念 C 代表中國剩餘定理（概念 C）；L 代表拉格朗日插值多項式（概念 L）。圓圈越大，代表此概念越複雜。 3. 兩條平行線段：數學概念進（出）入個體的通道。以箭頭方向表示進或出。以實線為主、虛線為輔。 (1) 學習（input）通道：箭頭指向個體。 (2) 產出（output）通道：箭頭指離個體。通道有可能同時有兩個方向。通道的媒介可能是書籍、教學活動、測驗….。. 概念. L C. L. 學習通道. 老師圖 3-1.1：研究架構_新教材3. 18.

(26) 二、研究架構圖說明： 1. 圖 3-1.1：教師面對新的教材，是原來不知道的，須通過學習通道（可能是課綱、課本、研習、討論….）來瞭解新的教材。概念的陌生程度，架構圖也用個體和概念的距離大小來呈現，越遠則代表越陌生。如圖，中國剩餘定理（概念 C）相較於拉格朗日插值多項式（概念 L）是偏單純的概念，且也比較熟悉與瞭解的。 2. 圖 3-1.2：圖中教師與學生的通道即是教學環境，圓圈在通過通道的歷程即是教學活動。對教師而言主要是教授概念給學生，但有可能在活動的互動中教師也從學生的方向學習獲益；對學生來說則相反。概念 L 的圓圈較大，但通道的寬度有限，使得概念 L 在穿越通道時並不容易。通道寬度可能受限於學生的學習能力或現實的學習條件，再加上概念 L 本身較為複雜，使教學活動的進行是較為困難的。. 學習通道 C 老師. L. 學生. L. 圖 3-1.2：研究架構_教師教學4. 19.

(27) 3. 圖 3-1.3：概念 C 與概念 L 中間有一線段將之連接，即為兩個概念的聯結，以此用這樣的方式，能讓較大而複雜的概念更容易地穿過通道。本研究的連結方式就是利用「類比遷移」。研究中會給學生一些提示，每一份提示將會把兩個概念聯結的線段增加的更粗，也更能啟動概念的傳輸，做有效的學習。. 學習通道. L. 老師. C. 學生. L. 圖 3-1.3：研究架構_類比教學5. 4. 圖 3-1.4：最後經過了教學活動，新概念也傳輸到學生的個體，但新概念也許並非學得如同老師般透徹，故在學生的概念 L 可能呈現非圓形的狀況。最後我們希望了解學生對概念的認知情況，所以又再搭一條學生的產出通道，用紙筆紀錄的方式來分析研究。. 學習通道 L. C. L 學生 L. 老師 L. C. 圖 3-1.4：研究架構_教學後6. 以上圖示為某一種老師與某一種學生的情況，並非代表所有師生。 20.

(28) 三、研究架構圖與研究問題的對應。 1. 圖 3-1.1：研究問題一。瞭解新教材的數學概念與各個版本的組織結構。 2. 圖 3-1.2、圖 3-1.3：研究問題二。瞭解以教師的觀點中，拉格朗日插值多項式是否是一個容易教授的主題。 3. 圖 3-1.3、圖 3-1.4：研究問題三。嘗試以中國剩餘定理的例題類比拉格朗日插值多項式例題來進行教學，探究學生學習的情況。. 21.

(29) 第二節. 研究設計與研究方法. 本研究依研究目的與問題，設計問卷與教學活動，是以描述教師在教插值多項式的方式與對該主題的想法；並且試圖將中國剩餘定理的架構類比到拉格朗日插值多項式的教學上，紀錄學生類比遷移學習的歷程，分析解釋每個步驟的憶取、映射、調適情況，故屬於描述性研究（descriptive research）。而本研究不以解決特定的問題為導向，故屬於基礎性研究（basic research）。. 依本研究的研究問題，將研究分成三個部分，其研究設計與研究方法如下。一、分析 99 課程綱要與各個版本在插值多項式的內容。屬文件分析（document analysis）。二、以郵寄問卷的方式，了解高中教師對拉格朗日插值多項式教學的看法。屬調查研究----問卷調查（questionnaire survey）。三、為了解『以算數類比到多項式，運用在拉格朗日插值多項式的學習情形』，故針對特定學生設計以下教學活動。並依據學生留下的紀錄作分析探討。屬調查研究----控制觀察（controlled observation）。 1. 皆以「數」類比到「多項式」的形式，做因式定理與餘式定理的先備知識教學。 2. 發下《孫子算經》〈物不知數〉文本，要求學生用現代的數學符號表示其題目與解法，並說明其中理由，過程以小組討論與發表的方式進行。再由教師（研究者）綜合討論和總結。 3. 學生以紙本個人作答，須回答一題「二次插值多項式」問題，並要求仿照〈物不知數〉的架構。如不知如何作答，可領取一份提示後繼續回答，如看了提示仍不解，可舉手尋求教師解說。提示依解題步驟共有四份，每一位同學可依個別學習情況不同而拿的提示時間與張數也不同。. 22.

(30) 4. 學生以紙本做答後續四題，內含二次插值多項式例題、以符號推導二次公式、以符號表式三次拉格朗日插值多項式公式的擴充、三次插值多項式例題。. 23.

(31) 第三節. 研究樣本. 本研究主要分成三個部分：分析拉格朗日插值多項式的教材內容、高中教師對拉格朗日插值多項式教學的看法、學生『以算數類比到多項式，運用在拉格朗日插值多項式』的學習情形。其中在第二個部分針對高中教師取樣，第三個部分針對學生取樣。. 一、教師樣本欲了解教師面對插值多項式在教學上的情況，故請了 144 位高中數學教師填寫紙本問卷。樣本是從研究者認識的朋友中，找有在高中任教數學者，請其與該校數學教師填寫。問卷共有四頁，若連續未回答問題超過半頁以上視為無效問卷，無效問卷共 4 份，有效問卷 140 份。基本資料如下表。23 間學校中包含 22 間公立學校與 1 間私立學校。. 表 3-3.1：教師樣本的基本資料 1. 縣市. 學校數人數總計. 台北市. 7. 43. 新北市. 4. 22. 桃園市. 2. 11. 新竹縣. 1. 1. 苗栗縣. 1. 3. 台中市. 4. 31. 嘉義縣. 1. 4. 台南市. 1. 8. 高雄市. 2. 17. 總計. 23. 140. 表中包含 140 位教師任教的縣市、該縣市填寫問卷的學校間數與人數統計。. 24.

(32) 二、學生樣本本研究是『以〈物不知數〉經典例類比到「拉格朗日插值多項式」的學習情形』，此課程為高一上學期「多項式的運算與應用」章節內之一部分，銜接於餘式定理與因式定理之後。現今高中生補習情況氾濫，導致即使是同一個班上的學生，大家各自已學習的進度差異甚大，以拉格朗日插值多項式而言，若已經背過公式恐會失去本研究的意義。因此本研究對象將設定為已習得國中多項式內容即可。. 1. 預測台北市某公立高中高一學生共 17 人。學生來自不同班級，利用課餘時間自願報名參加。其中補習人數 9 人。當時學校教學進度約正進行餘式因式定理，每個人的學習進度略有差異，故於預測時對所有學生進行餘式定理與因式定理的教學，以補足先備知識。. 2. 正式施測新北市某公立國中國三學生共 16 人。學生為數理資優班學生。利用會考完後的上課時間進行教學活動。學生精熟於國中教材的多項式、二次函數。本研究的教學活動因為需要將因式餘式定理的先備知識補足，再加上中國剩餘定理的討論與類比插值多項式，總共需要的時間較多。而資優班原本就有多節連堂的數理專題課程，相較於一般的學生，較不影響到其他的課程，故選擇資優班作為研究對象。. 25.

(33) 第四節. 研究工具. 本研究主要分成三個部分：分析拉格朗日插值多項式的教材內容、高中教師對拉格朗日插值多項式教學的看法、學生『以算數類比到多項式，運用在拉格朗日插值多項式』的學習情形。而研究工具亦有三部分，第一部分為教材內容分析；第二部分為教師問卷；第三部分為教學活動的教材、紙本測驗、學習單。一、教材內容分析工具 1. 普通高級中學數學科 99 課程綱要 2. 高中數學第一冊教科書 (1) 三民版（102 年 8 月再版） (2) 全華版（103 年 3 月再版） (3) 南一版（103 年 8 月三版） (4) 康熹版（國家教育研究院 101 年 1 月 20 日准予修訂） (5) 翰林版（104 用書） (6) 龍騰版（103 課綱適用）. 二、教師問卷（附錄一）教師問卷主要分六大主題： 1. 教師基本資料 2. 教師在課堂教學上 3. 學生在學習上遇到的問題 4. 評量測驗 5. 相關內容的知識 6. 教學上的經驗分享最主要想要了解高中數學教師面對拉格朗日插值多項式，相較於其他單元，是否容易在課堂教學上呈現，若不容易呈現，那其中的因素有哪些？在教師觀點下，學生學習此單元的成效又如何？教師在教學上是以何種方式引入拉格朗 26.

(34) 日插值多項式？上述這些問題是否與教師年資、任教高一次數（99 課綱以後）、使用教材有相關？這些問題將利用教師問卷來統計與分析。. 問卷以紙本方式呈現，A4 大小共四頁。因下列因素，故不使用電子問卷： 1. 某些教師可能較不願做答，而造成研究對象受侷限。 2. 回收問卷情況難以掌握。 3. 開放性問題作答時，可能需要以數學符號表示，造成作答者的不便。 4. 問題有包含多重複選，不容易呈現。 5. 問題中有以數學符號表示的描述，不容易呈現。問卷發放時間為上學期第一次段考前後，高一課程也恰好進行到拉格朗日插值多項式左右。. 三、教學活動的教材、紙本測驗、學習單拉格朗日插值多項式是高一第一冊第二章「多項式的運算與應用」章節內之一部分，銜接於餘式定理與因式定理之後，故在進行研究之前，必須先讓學生有餘式定理與因式定理的先備知識，而教材上會先有「餘式定理與因式定理學習單」。以下分預測與正式施測討論。 1. 預測學習單與教學活動概要如下，於同一日上午三小時進行。 (1)預測_餘式定理與因式定理_學習單（附錄二），一小時。 (2)預測_孫子算經_插值多項式_學習單（附錄三），共兩小時。 1 以小組討論方式翻譯並解釋孫子算經，由教師綜合整理，再做一題類 ○. 題。（40 分鐘） 2 求通過三點的二次多項式例題〈Q3(0)〉 ○ ，再要求仿照孫子算經架構解同. 一題〈Q3(1)〉。如果學生不知如何作答可舉手，教師會發下一張提示，若仍不知提示何意，可尋求教師協助。提示共有八張〈Q3(2) ~ Q3(9)〉， 27.

(35) 即為該題的解題步驟。（40 分鐘） 3 後續有四題分別為通過三點求二次多項式例題、通過三點求二次多項式 ○. 一般化（公式推導）、通過四點求三次多項式一般化（二次公式類推至三次公式）、通過四點求三次多項式例題。（40 分鐘）. 檢討： (1) 整個教學活動安排同一天三小時太趕。餘式因式定理在學生第一次學完後馬上要做應用對學生而言不是一件容易的事。不少學生在 Q3(5)的地方遇到困難，此並非是本研究「從中國剩餘定理類推拉格朗日插值多項式」的核心精神，但卻在這裡又花了許多時間，且容易讓學生迷失目標。 (2) 餘式因式定理只需要講解拉格朗日插值多項式有用到的題型即可，有些雖是很常見的題型但與本研究的主體並無相關，多了也只是模糊焦點。 (3) Q3(0)所有同學都使用一般式 f ( x)  ax 2  bx  c 帶入三點求係數。本題數字設計並不好算，學生計算甚久。且後續並無將拉格朗日插值法寫成的多項式展開與一般式比對，來驗證兩多項式相等，故 Q3(0)存在的價值不大。 (4) Q3(1) ~ Q3(9)的步驟切分太細，有些提示對學生的思維沒有具體的幫助，例如 Q3(3)。而造成操作上，很多學生同時舉手，教師需要一直發提示，且每位同學的進度不同，提示也不同，造成秩序上的混亂，時間也因此延宕。 (5) 每一份提示上也都印有之前的所有步驟，所以學生作答時會經歷填寫一樣的東西很多次，如此會打斷解題節奏，更會使學生心情浮躁。 (6) 在學習單的紀錄上，不容易區分學生自己思維和教師講解的部分，影響後續分析討論。鑒於預測的缺失，將學習單與教學活動內容作調整。 2. 正式施測 28.

(36) 研究工具為下列五份，其中(1)、(2)為第一天【Day 1】進行先備知識教學時使用，隔兩日後【Day 2】先以(3)做檢驗，再以(4)+(5)進行教學活動。(3)與(4)將回收以做分析整理。 (1) 因式定理與餘式定理_學習單（附錄四），90 分鐘。. Day 1. (2) 因式定理與餘式定理測驗 1（附錄五），15 分鐘。 (3) 因式定理與餘式定理測驗 2（附錄六），10 分鐘。 (4) 孫子算經_插值多項式_學習單（附錄七），125 分鐘。. Day2. (5) 提示（附錄八）。. 第一日(1)先備知識教學皆以「數」類推到「多項式」方式來引入因式餘式定理，以呼應後續研究主題。另外更加強多項式在知道多個相異一次因式條件下的假設方法。（附錄四第三頁）(2)的測驗主要是再強化後面研究所需要的知識，故作答時可參看講義也可討論，於當場公布答案並自行檢討訂正，不收回。 (1)後面的《多學多健康》不是本研究的重點，也不會在課堂中教授，只是預留給已超前學習的特殊學生，可供他們思考。隔兩日後先以(3)測驗，個人作答不可參看講義並需回收。其目的除了讓學生回顧兩日前的教學外，更可作為後續研究的比對。(2)與(3)的第 2 題皆為後續研究的重要步驟，其描述方式略有所異，是該份測驗卷之核心。表 3-4.1：先備知識測驗卷比較 2. (2)因式定理與餘式定理測驗 1. (3)因式定理與餘式定理測驗 2. 題2. 已知 f ( x) 為一個二次多項式，有已知 f ( x) 為一個二次多項式， f ( x) 分別 x  1、 x  2 這兩個一次因式，並且除以 x  4、 x  1、 x  2 的餘式為 0、10、除以 x  3 的餘式為  3 ，求 f ( x) 。 0。試求 f ( x) 與 f (3) 。. 題3. 已知 f ( x) 為一個三次多項式， f (1)  f (2)  f (3)  0 ， f (4)  42 ，求 f (5) 。. 已知 f ( x) 為一個三次多項式，有 x  1 與 x  3 這兩個一次因式。且圖形 y  f ( x) 通過 (2, 8) , (1,16) 兩點，求 f ( x) 。. 使用時間. Day 1 最後. Day 2 最先. 測驗後. 不收回. 收回 29.

(37) (4)為本研究重點。其中 Q1 孫子算經以 3~4 人成小組討論，再派 1~2 組上台發表討論，最後由教師總結。其中教師須特別強化『三三數之剩一、三三數之剩二』之關聯，以及『并之…即得』的原因。教師總結時以表格（表 3-4.2）方式呈現，以呼應後續提示二的表徵方式。Q2 為中國剩餘定理例題，以確定學生了解與使用。Q1、Q2 共 45 分鐘。. 表 3-4.2 ：中國剩餘定理講解表格 3. 除數餘數. a1. a2. a3. 3. 2. 2 1. 0. 0. 5. 3. 0. 3 1. 0. 7. 2. 0. 0. 2 1. Q3『已知 f ( x) 為一個二次多項式，並且通過 (1,5) 、 (2,4) 、 (3, 3) 三點，求 f ( x) 。請仿照 Q1 的架構，將其從「數」類比到「多項式」，來解決上述問題。』. 表 3-4.3：施測學習單 Q3 答題方式 4.  .  . 請完成 Q3，並將計算過程完整記錄下來。請使用黑筆或藍筆。若解題過程中途，不知如何繼續作答，可拿第一份提示，並將提示貼於本作答卷，緊接在你的計算過程後面。 ☆ 如果了解提示，且對你的解題有幫助，請繼續作答。 ☆ 如果你原本就已經了解並完成提示內容，請拿下一份提示緊貼在現在的提示之後。 ☆ 如果看完提示仍然不知如何作答，請安靜的舉手，並等待老師解釋。將老師解釋的部分使用紅筆紀錄於本作答卷中。本題共有四份提示，不一定都要拿。只要寫出答案即可。完成 Q3 後，請安靜的舉手，並等待老師檢查。. 配合四份提示，以個人紙筆作答。教師僅解釋答題方式，除非有學生拿到了提示仍不知如何下筆並且舉手，教師才針對個人做知識性的講解。提示分別放於教室前方四處，學生可自行拿取。從中國剩餘定理類比到拉格朗日插值多項式是複合性的類比，成功的類比有「憶取、映射、調適」三要素，而提示二、 30.

(38) 提示四就是提供映射的關鍵。下表整理四個提示與老師講解該題示所提供的類比遷移的協助。. 表 3-4.4：四個提示提供的類比遷移協助 5 文字提示. 說明. 教師講解. 憶取. 題目要求由 Q1 映射至 Q3。故提示一協助憶取孫子算調適. 提示一. 調適. 經，並將多項式調適成與除數餘數相關形式。. 提示二. 映射. 調適. 利用 a1 , a2 , a3 映射至多項式 f1 , f 2 , f3 子函數的建立。. 提示三. 調適. 調適. 子函數須以因式餘式定理來計算。. 提示四. 映射. 調適. 利用 Q1 題目『并之』映射至子函數相加以求 f ( x) 。. 先完成 Q3 者，就可先進行 Q4~Q7。自 Q3~Q7 共 80 分鐘。表 3-4.5：施測學習單Q3~Q7內容6. 題號. 內容. Q3. 依提示計算二次插值多項式例題. Q4. 二次插值多項式例題. Q5. 二次插值多項式一般化推導. Q6. 寫出三次插值多項式一般化. Q7. 三次插值多項式例題. 31.

(39) 第五節. 研究流程與步驟. 本研究流程分為四個階段：準備階段、問卷執行階段、教學活動施測階段、統整階段。一、準備階段 1. 閱讀相關文獻。 2. 與教師討論拉格朗日插值多項式的數學概念和普遍教學方法。 3. 與專家、教師討論，擬定研究計畫。. 二、問卷執行階段 1. 編製問卷內容。 2. 為確保問卷數量與書寫方便，故以紙本方式製作問卷。 3. 尋覓研究對象，以郵寄寄送 197 份問卷。 4. 回收問卷 144 份，並將其電子化。. 三、教學活動施測階段 1. 設計教學活動與編制學習單。 2. 安排高中第一次段考完後之課餘時間實施預測。 3. 檢討並調整教學活動與研究工具。 4. 安排國三會考完後與畢業前的課堂時間正式施測。 5. 回收紙本學習單。. 四、統整階段 1. 以量的研究方法分析教師問卷。 2. 以質的研究方法分析教學活動的學習單。 3. 撰寫論文。. 32.

(40) 本研究流程圖如下閱讀文獻與相關資料. 擬訂計畫. 編製研究工具（教師問卷、學習單）. 郵寄問卷並回收. 預測. 紙本問卷電子化. 正式施測. 整理資料與分析. 撰寫論文圖 3-5.1：研究流程圖 7. 33.

(41) 第六節. 研究限制. 一、教師問卷部分，因人力與經費限制，研究樣本採方便取樣。樣本是從研究者認識的朋友中，找有在高中任教數學者，請其與該校數學教師填寫。有效問卷共 140 份。. 二、教學活動部分，涵蓋先備知識的補充，總共需要的時間較多。而資優班原本就有多節連堂的數理專題課程，相較於一般的學生，較不影響到其他的課程，故選擇資優班作為研究對象。惟研究結果較不適合做全面性推廣。. 三、教學活動部分，研究對象為數理資優生。數理資優生面對數學問題常有不服輸的精神與堅持的特質，而教學活動中有需要自行拿提示的步驟，有學生即使毫無頭緒仍堅持不拿提示，或者有疑惑沒詢問老師卻和同學討論，影響研究結果。. 四、不少國三資優生於畢業前已經開始補高中數學課程，但提及補習問題時，資優班學生喜愛吹捧其他同學學很多、進度很快、能力很強的聲音，卻不願意正面回應自己的情況，故對於學生補習狀況無法實際掌握資訊，而這也可能是影響研究結果的一項因素。. 五、教學活動不久後即為學生的畢業典禮，雖沒有知識性的課程進度，但學生需準備畢業相關的開放性事務，在時間的壓縮上，並無做活動後的個別晤談，故除紙本記錄外，未能了解學生更深入的思維。. 34.

(42) 第四章插值多項式內容分析第一節. 插值多項式之課程綱要. 插值多項式於 99 課綱（103 課綱微調無異動）安排的章節如下高中數學Ⅰ：函數。二、多項式函數 2.多項式的運算與應用 2.1 乘法、除法（含除式為一次的綜合除法）、除法原理（含餘式定理、因式定理）及其應用、插值多項式函數及其應用. 在「二、多項式函數」的文句描述中，提及插值多項式的地方有： 1.. 在一般多項式的應用中有兩個課題，一是多項式的求值，一是插值多項式。. 2.. 多項式也被用來作為插值的工具。插值方法很重要，它用少量的數據表現連續型的資訊，展現數學的效率與精確性。. 3.. 如將 f  x  分別除以 x  a  ， x  b  ，得餘式  ，  ，可用來表現通過 a,   ，. b,   的插值多項式，此插值多項式即為 f x  除以 x  a  x  b 的餘式，此為數學化繁為簡的精神。 4.. 因式定理可用來證明插值多項式的唯一性。. 5.. 學生學到不超過三次的插值多項式即可，以避免繁瑣的計算。. 在「2.1 乘法、除法、除法原理及其應用」的逐點條列中，提及插值多項式的地方有： ․求 f ( x)  2 x3  5 x 2  6 x  3  a  b( x  1)  c( x  1)( x  2)  d ( x  1)( x  2)( x  3) 中的. a, b, c, d 。 ․ f  x  除以 x  a  x  b  的餘式為通過  a, f  a   ,  b, f  b   的插值多項式。 ․透過因式定理證明插值多項式的唯一性。. 35.

(43) ․設通過 1,1 ,  2,3 , 3,7 的多項式為 f  x   a  b  x  1  c  x  1 x  2 ，求 a, b, c 1 及 f  。 2. ․插值多項式：通過 (11,3) , (12,5) , (13,8) 的多項式可表示為. f ( x)  3 . ( x  12)( x  13) ( x  11)( x  13) ( x  11)( x  12) ，求 f (11.5)  5  8 (11  12)(11  13) (12  11)(12  13) (13  11)(13  12). 的值。 ․此處暫不處理下面的題型：「設通過 (1,1) , (2,3) , (3,7) 的多項式為 f ( x)  ax 2  bx  c，求 a, b, c 。」此類題型將在數學 IV 的聯立方程組章節中處理。. 上述條列第一點與第四點出現的形式 f  x   a  b  x  1  c  x  1 x  2 即為牛頓插值多項式，但課綱沒有將其與插值多項式連結。而課綱中指的插值多項式即為拉格朗日插值多項式。. 36.

(44) 第二節. 插值多項式之教材分析. 本研究所參考的教科書包含六個版本： 1. 三民版（102 年 8 月再版） 2. 全華版（103 年 3 月再版） 3. 南一版（103 年 8 月三版） 4. 康熹版（國家教育研究院 101 年 1 月 20 日准予修訂） 5. 翰林版（104 用書） 6. 龍騰版（103 課綱適用）本節將各個教科書版本的插值多項式之組織架構摘錄出來，且針對於拉格朗日插值多項式的部分詳述細節。並依照其屬性分為「前言引述」、「概念推導（拉格朗日插值）」、「公式整理」、「例題練習」、「綜合歸納」五類。唯牛頓插值法非本研究的重點，故有關牛頓插值法的概念、公式、例題皆以「牛頓插值」歸類。「概念推導」有時會以一個實質數字的例題來建構，若有此情況將以「概念推導（例題引導）」表示。本節最後再以這五類屬性，將教科書版本間的內容做比較與分析。. 一、教科書的插值多項式之組織架構摘錄 1.. 三民版（102 年 8 月再版）. 屬性前言引述. 內容一般而言，只要相異點（ x 座標相異）( x0 , y0 ) , ( x1 , y1 ) ,. , ( xn , yn ) ，. 我們就可以找到一個次數不超過 n 的多項式 f ( x) ， y  f ( x) 的圖形也會通過這 n  1 個點；也就是說， f ( x0 )  y0 , f ( x1 )  y1 ,. , f ( xn )  yn 。像. 這樣的多項式，稱為那 n  1 個點的插值多項式。牛頓插值. 1. 牛頓形式以符號推導過程得 f ( x)  an ( x  x0 )( x  x1 ) . EX11. ( x  xn 1 )  an 1 ( x  x0 )( x  x1 ). ( x  xn  2 ).  a2 ( x  x0 )( x  x1 )  a1 ( x  x0 )  a0. 求通過 (1, 10) , (1,6) , (2,11) , (3,30) 的插值多項式 37.

(45) 概念推導. 2. 拉格朗日多項式 x1 , x2 , x3 為相異實數，過 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 ) 的插值多項式 f ( x)  y1  L1 ( x)  y2  L2 ( x)  y3  L3 ( x). 因為 f ( x0 )  y0 , f ( x1 )  y1 , f ( x3 )  y3 ，所以令 L1 ( x1 )  1 , L1 ( x2 )  0 , L1 ( x3 )  0 L2 ( x1 )  0 , L2 ( x2 )  1 , L2 ( x3 )  0 L3 ( x1 )  0 , L3 ( x2 )  0 , L3 ( x3 )  1. 因 L1 ( x2 )  L1 ( x3 )  0 ，因式定理知 L1 ( x)   ( x  x2 )( x  x3 ) 又 L1 ( x1 )   ( x1  x2 )( x1  x3 )  1 ，   L1 ( x) . ( x  x2 )( x  x3 ) ( x1  x2 )( x1  x3 ). 同理 L2 ( x) . 公式整理. 1 ，所以 ( x1  x2 )( x1  x3 ). ( x  x1 )( x  x3 ) ( x  x1 )( x  x2 ) 、 L3 ( x)  ( x2  x1 )( x2  x3 ) ( x3  x1 )( x3  x2 ). x1 , x2 , x3 為相異實數，則通過 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 ) 三點的拉格朗日. 插值多項式函數為 ( x  x2 )( x  x3 ) ( x  x1 )( x  x3 ) ( x  x1 )( x  x2 ) f ( x)  y1   y2   y3  ( x1  x2 )( x1  x3 ) ( x2  x1 )( x2  x3 ) ( x3  x1 )( x3  x2 ) 例題練習. EX12. 若 f ( x) 是二次多項式函數，且其圖形通過 (10,3) , (12,5) , (13,8) ，求 f (11.5). 綜合歸納. 通過 n  1 個點只有一條次數不超過 n 次的多項式，稱「唯一性」。不同方法做的插值多項式相同。證明於附錄。. 38.

(46) 2.. 全華版（103 年 3 月再版）. 屬性. 內容多項式恆等定理證畢。. 前言引述. 實驗室將燒杯中的水冷卻，而後在不同的時間點 xi 量取燒杯中的水溫 yi ，我們如何估計其他時間的水溫？由於真正用來描述 x1 , x2 ,. , xn 及其對應值 y1 , y2 ,. , yn 關係的函. 數並不清楚，因此，我們只能找出通過這些點的適當函數作為真正函數的近似函數，故討論通過這些點的最低次多項式函數。牛頓插值. 1. 牛頓插值法 ․求通過 (1, 48) , (2, 24) 的最低次多項式函數 P( x) 以例子計算出過點的多項式為. f ( x)  ( x  1)( x  2)q( x)  24( x  1)  48 所求 P( x)  24( x  1)  48. 註：所求 P( x) 亦為所有滿足「被 x  1 除餘 48，被 x  2 除餘 24」的多項式 f ( x) 除以 ( x  1)( x  2) 的餘式. ․求通過 (1, 48) , (2, 24) , (4,12) 的最低次多項式函數 P( x) 以例子計算出過點的多項式為. f ( x)  ( x  1)( x  2)( x  4)q( x)  6( x  1)( x  2)  24( x  1)  48 所求 P( x)  6( x  1)( x  2)  24( x  1)  48. ․以符號歸納整理通過兩點、三點的最低次多項式. EX15 概念推導. 求通過 (2, 24) , (4,12) , (6,8) 的最低次多項式 P( x) ，並求 P(5). 2. 拉格朗日插值法求通過 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) 的最低次多項式函數 P( x). 39.

(47) (1) 先求兩個最低次多項式， L1 ( x) , L2 ( x) 使得 L1 ( x1 )  1 , L1 ( x2 )  0. L2 ( x1 )  0 , L2 ( x2 )  1. 再組合 P( x)  y1  L1 ( x)  y2  L2 ( x) 則 P( x1 )  y1  L1 ( x1 )  y2  L2 ( x1 )  y1  0  y1 P( x2 )  y1  L1 ( x2 )  y2  L2 ( x2 )  0  y2  y2. 所以 P( x) 即為所求. (2)求 L1 ( x) , L2 ( x) 1 因 L ( x )  0 ，因式定理知 L ( x)  k ( x  x ) ○ 1 2 1 2. 又 L1 ( x1 )  1 ， k ( x1  x2 )  1 , k  L1 ( x) . 1 x1  x2. x  x2 x1  x2. 2 同理 ○. 故可得 P( x)  y1 . x  x2 x  x1 。  y2  x1  x2 x2  x1. 公式整理. 通過 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) 的拉格朗日一次插值多項式函數為 x  x2 x  x1 P( x)  y1   y2  x1  x2 x2  x1. 例題練習. EX16. 求通過 (1, 48) , (2, 24) 的拉格朗日一次插值多項式函數. ․註：所求亦為所有滿足「被 x  1 除餘 48，被 x  2 除餘 24」的多項式 f ( x) 除以 ( x  1)( x  2) 的餘式概念推導. 求通過 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 ) 的最低次多項式函數 P( x) 。先求三個多項式， ( x  x2 )( x  x3 ) ( x  x1 )( x  x3 ) 、 L2 ( x)  、 L1 ( x)  ( x1  x2 )( x1  x3 ) ( x2  x1 )( x2  x3 ). 40.