第六章 中國剩餘定理類比拉格朗日插值多項式
第三節 類比到拉格朗日插值多項式例題的歷程
在結束《孫子算經》『物不知數』的討論與測驗後，進行正式教學活動：企圖以 問題和提示做媒介工具，在教師不主動講解教授的情況下，盼了解學生能自己類比 到拉格朗日插值多項式的可能性。
Q3『已知 ( )
f x 為一個二次多項式，並且通過 ( 1,5)
、 (2,4) 、(3, 3)
三點，求 ( )f x 。
請仿照 Q1 的架構，將其從「數」類比到「多項式」，來解決上述問題。』操作形式如下
每個人所需要時間可能不同，先完成者可先進行後續 Q4~Q7 問題。
從 Q3~Q7，共歷時 80 分鐘。
本節分為「初始思維」、「提示一」、「提示二」、「提示三」、「提示四」、「整體統 計」等六個部分。
一、 初始思維
在一看到題目時，學生可能會從自己已內化的知識中，進行一些數學思維，但 無助於本題解答。在 16 位學生中，有 7 位學生將初始思維紀錄於學習單。
請完成 Q3，並將計算過程完整記錄下來。請使用黑筆或藍筆。
若解題過程中途，不知如何繼續作答，可拿第一份提示，並將提示貼於本作答卷，緊接在 你的計算過程後面。
☆ 如果了解提示，且對你的解題有幫助，請繼續作答。
☆ 如果你原本就已經了解並完成提示內容，請拿下一份提示緊貼在現在的提示之後。
☆ 如果看完提示仍然不知如何作答，請安靜的舉手，並等待老師解釋。將老師解釋的部 分使用紅筆紀錄於本作答卷中。
本題共有四份提示，不一定都要拿。只要寫出答案即可。
完成 Q3 後，請安靜的舉手，並等待老師檢查。
87 表 6-3.1：初始思維統計
38
圖 B（學生 T3）：右上方，將已知三點當作頂點假設二次函數；左下方將已 知點代入不正確的位置。該生對二次函數的觀念是有錯誤的。
(5 人) 列一般式
( )
2f x ax bx c
(3 人) 代點求解
(2 人)
正確求出係數 (1 人)
只求平方項係數且計算錯誤 (2 人)
未代點 如下圖 A (2 人)
列頂點式
如下圖 B( T3),C(T1)
A
88
圖 C（學生 T1）：右上方，將二次函數設為頂點形式後，又再寫出以 (0,6) 為 頂點的二次函數；左上方似乎是將已知點的
x y ,
座標差距列一個比例式。該生 可能對二次函數的認知是不清楚的。綜合整理（以學習單結果分析）
(1) 在一看到二次多項式與已知三點的情況下，無論所求為何，有 5 位（31%）
學生馬上就會先反映出一般式
y ax
2 bx c
。(2) 儘管是習得完國中課程的數理資優生，尚有 2 位（12.5%）學生對二次函數
（國中課程範疇）不是完全瞭解。
二、 提示一
需將已知點轉換成函數值，再轉換成多項式的除式和餘式，以對應中國剩餘定 理的已知形式。
C
89
提示一
過點
( 1,5)
→f ( 1)
____
餘式定理 f x ( )
除以_______的餘式為_________過點
(2, 4)
→ ___________
餘式定理
________________________________過點
(3, 3)
→ ___________
餘式定理
________________________________表 6-3.2：「提示一」使用情況
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項目 人數 比例 呈現方式 如下圖 人數
不需使用提示一 可自行完成
8 0.5
表格整理 A 2
一般數學式表示 B 1 文字或符號表示 C 2
分式表示 D 3
自行使用提示一 6 0.375 教師指導提示一 2 0.125
共 16
綜合整理（以學習單結果分析）
(1) 當要求仿照《孫子算經》『物不知數』解插值多項式時，有 50%的學生自己 就能啟動思維，將已知點轉化為除式餘式的形式。
A
B C
D
90
(2) 拿了提示一後，有 2 位學生仍需他人教導。有 1 位寫 ( )
f x 除以「 1
」餘 5；另 1 位（學生 T2）不知如何寫。此兩位對於前兩日教的餘式定理並不了解透 徹。
(3) 圖 C、D 兩區的人數不少，可看出學生在多項式的除法表示方式仍不成熟，
不過需要的概念在腦袋中是清楚的。
三、 提示二
此為解題關鍵，需依照三個除式和餘式來建構出三個子函數。若學習單的紀錄 有顯示：「欲求 (
x
2)(x
3)的倍式中除以x 1
餘 5 的多項式」、「已求出5 ( 2)( 3)
12 x x
與5 ( 2)( 3)
12 x x
相關式子」或有下方表格，即認定完成此階段。提示二
將題目
f x ( )
的已知條件置入欄 1、欄 2。可仿照 Q1，建構三個特殊條件的二次函數1
( )
f x
、f x
2( )
、f x
3( )
，以助求f x ( )
。欄 1 欄 2 欄 3 欄 4 欄 5
1
( )
f x f
2( ) x f x
3( )
除式 餘式 餘式 餘式 餘式91 表 6-3.3：「提示二」使用情況
40
綜合整理（以學習單結果分析）
(1) 有 63.5%的學生在此階段能不用靠提示，依循著《孫子算經》『物不知數』
解法，自己類比到多項式，利用除式和餘式來建構子函數。
(2) 提示二是解題的關鍵，要知道子函數的結構是兩個一次式的倍式與除以另一 個一次式的餘式條件。但因從《孫子算經》到 Q3，都是學生自己主動去搭 建概念，不是由教師齊一的講述，所以每個人思維的形式並不相同。而此階 段要的只是學生「知道」，而非計算出來，所以在認定上沒有固定形式。但 從數據結果顯示，能靠自己了解的比例頗高。
項目 人數 比例
不需使用提示二 可自行完成(如下圖)
10 0.635
自行使用提示二 5 0.3125 教師指導提示二 1 0.0625
共 16 人
92
93
A：一開始還將多項式乘開才代
x 1
，後來發現不需要乘開。B：起先是將被除式扣除餘式後= 除式乘以商，商利用頭尾係數很技巧的假設為 (
ax
6a
5)，兩邊展開比較係數求 a 。但可惜扣除餘式都寫成加上餘式，導 致算除來的 a 與正確答案都相差一個負號。最後該生自己再用第二種方法餘 式因式定理求得正確 a 。A
B 同一人先後算式
94
E：最後都多乘一個
x 。
綜合整理（以學習單結果分析）
(1) 有 50%的學生在知道因式與除式和餘式後，不須靠提示就可用盡自己方法的 將子函數計算出來。
C
D
E
95
(2) 使用長除法求子函數的學生，在測驗 1 時遇到相同的問題，都是以因式餘式 定理處理，而在這卻使用國中熟悉也冗長的長除法。已學習且當下瞭解的數 學概念，若未經過充分練習，仍尚未完全熟練內化，也難以在復合的情境下 直觀操作使用。
五、 提示四
在求得子函數後，將子函數相加即為所求。
提示四
仿照 Q1，可利用
f x
1( )
、f x
2( )
、f x
3( )
以助求出f x ( )
。《列出式子即可，不需要做同類項合併的化簡》
表 6-3.5：「提示四」使用情況
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項目 人數 比例
不需使用提示四 可自行完成
9 0.5625
自行使用提示四 1 0.0625 教師指導提示四 1 0.0625 未拿提示自己算，
最後檢討時發現錯誤 (如下圖)
3 0.1875
無法完成 2 0.125 共 16
96
A：合併時非直接合併子函數，而是將求子函數的歷程中間一併加入。另外 在 最後減掉 (
x
1)(x
2)(x
3)。B：在最後減掉 (
x
1)(x
2)(x
3)。C：因子函數有誤，故合併後為三次式，該生又在最後扣 (
x
1)(x
2)(x
3)的 倍式，試圖將三次項消除。綜合整理（以學習單結果分析）
(1) 有 56.25%的學生可自行將子函數相加以求其解。
(2) 部分學生因受《孫子算經》『物不知數』最後要減去公倍數使之成為最小正 整數影響，認為類比到多項式，也需要在最後減去最小公倍式的相關物，而 其中就有兩位同學直接剪掉 (
x
1)(x
2)(x
3)。(3) 有 7 位（43.75%）學生最後將答案展開化簡成一般式。有些是沒注意看題意 或不懂題意，有些是乘開後去檢核答案是否與一開始就假設一般式解聯立的 結果相同。展開的 7 位學生中，就有 2 位計算錯誤！
A
C
B
97
98
99
(4) 由表 6-3.7 清楚可見，序號 5、11、12 三位（18.75%）學生在前段解題順利，
也有自信不拿提示，但最後發現有一些迷思，可再釐清補救讓觀念更完備。
(5) 由表 6-3.8 可見，提示三是最需要他人輔助講解的關卡，而提示三主要是求 出子函數的程序性操作，這在《孫子算經》『物不知數』類比拉格朗日插值 多項式例題中提供調適功能，這也是學生在解題中較大的難點。反觀提供映 射協助的提示二，學生能自我完成，或看到提示就能接續下去的比例最高，
此在類比拉格朗日插值法中是較為容易處理的。
(6) 最後有序號 1、9 兩位（12.5%）同學無法完成 Q3 例題，無法以中國剩餘定 理類比到拉格朗日插值多項式例題。
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