第二章 文獻探討
第一節 插值多項式
第二章 文獻探討
第一節 插值多項式
高中數學課程綱要，第一次出現插值多項式就是在99課綱。對於這個陌生的主 題，其由來為何？而第一線教學的老師們如何因應？本節分「插值多項式的教材地 位與背景」、「插值多項式在教學上的困難處」兩個部分探討。
一、 插值多項式的教材地位與背景
朱亮儒、陳材河（2010）在〈99 課程中的 Lagrange 插值多項式〉提及以下幾 點來說明插值多項式的重要性：
1. 高一（數學I）課程定位為與生活關聯或其他學科需要用到的數學，以建立學 生在各學科進行量化分析所需要的基礎。因此Lagrange插值多項式可發展學 生演算能力中多項式的運算及估算，讓學生在物理、化學或生物實驗時進行 量化分析多一項有力的工具。
2. 目前插值多項式在現行高中數學教材（95暫綱）中均有出現如下類似例題『已 知多項函數
f
(x)的次數不超過二次，且滿足 (1) 5,f f
(2) 11, f
(3) 19
， 求 (4)f
的值。』，在多項式的除法（綜合除法）及除法原理的教學後，其基 本的解法有三： （1）假設一般式f x ( ) ax
2 bx c
解聯立方程組。（2） 反覆使用除法原理假設 ( )
f x a b x
(
1)c x
(
1)(x
2)。（3） 反覆利用綜合除法假設
f x ( ) a b x ( 1) c x ( 1)
2。 而Lagrange插值多項式亦為同一脈絡。Lagrange插值多項式結構良好，無新設變數，但計算繁瑣，比較適合於電腦 處理。在教學過程中，可以讓學生建立基底觀念，並可以透過「韓信點兵」
的中國餘數定理做數學內部連結。
3. 從實用的觀點，完全正確往往是不可求的，正確的逼近式和快速的計算速率 與有效的控制誤差才是主要的目標。在數學上處理這類問題的領域，統稱為
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中著墨太多。另外，連結其他科學作為工具，通常是邁向更高層的大學學習階段才 較為實用，而中學裡的實驗與量化分析在普通課程中不會需要使用到插值多項式；
因此，對學生最有意義的部分應該就屬於依循固有脈絡發展，此亦是本研究欲探討 的內容。
二、 插值多項式在教學上的困難處
插值多項式在99課綱中第一次亮相，對於插值多項式課綱是如何定義？而教師 應該以什麼概念作為教學的核心？而又應該設計多深入的教學？教師在規劃插值多 項式教學時又需注意哪些問題？蘇惠玉（2010）針對插值多項式提出以下四點是教 師教學與學生學習都難以理解的：
1. 插值多項式被放入教材中的正當性，來自於課綱中所要強調的多項式的應用： 「多 項式被用來逼近一般函數，並用來求一般函數的近似值」。對學過高等微積分的 數學教師們，對這一點的理解與認同，當然不成問題，但是，對函數只學過一次、
二次及 y x
3、 y x
4的高一學生而言，這句話簡直如同天書一般難以理解！課 綱似乎也只要求學生知道這個結果就好了，然而，數學教師又該如何對一些較好 學與好問的學生解釋？好像也只能跟學生講：「你以後學到更高深的數學就懂 了。」在幾乎是高一上學期開學後的第二個月，就下這樣的猛藥好嗎？
2. 假設學生都能接受用多項式去逼近一般函數，接下來就是「插值多項式」名詞的 解釋。教師必須自己理解何謂「插值多項式」，它的數學意涵是什麼？該如何解 釋給學生瞭解？所謂「插值多項式」，筆者的理解為利用已知點，來逼近函數的 多項式。
3. 在瞭解何謂「插值多項式」之後，在課綱中強調教師必須讓學生瞭解「 f x
( )除 以
(x a x
)( b
)的餘式為通過
( , ( )) , ( , ( ))a f a b f b 的插值多項式」。何意？因為多 項式 f x
( )除以
(x a x
)( b
)的餘式 r x
( )為一次式，且 x a 時， r a
( ) f a
( )，
x b 時， r b
( ) f b
( )，因此餘式 r x
( )為通過
( , ( )) , ( , ( ))a f a b f b 的一次多項式，
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( 12)( 13) ( 11)( 13) ( 11)( 12)
( ) 3 5 8
(11 12)(11 13) (12 11)(12 13) (13 11)(13 12)
x x x x x x
f x
』其實此形式即
為「拉格朗日插值多項式」，論其結果就等同於「
通過(11,3) , (12,5) , (13,8)
的二次多項式
」。這個看似冗長且複雜的多項式形式，到底該怎樣在教學上呈現？學生的接受度
又是如何？本研究先分析各家教科書版本，盼能歸納出拉格朗日插值多項式概念推導的 方式。同時對高中數學教師做問卷調查，以了解教師在教授拉格朗日插值多項式的過程 中會遇到哪些情況？學生學習的情況又為何？最後試圖以中國剩餘定理來類比拉格朗 日插值多項式，利用兩者有結構相似的性質，來了解學生是否能從數類比到多項式，以 求讓拉格朗日插值多項式更富有學習的意義。
其次「插值多項式」本身的定義在課綱中並沒有非常嚴謹的描述，但針對其功能性
質稍有提及：
『多項式也被用來作為插值的工具。插值方法很重要，它用少量的數據表現連續型的資訊，展現數學的效率與精確性。』、『因式定理可用來證明插值 多項式的唯一性。』等。在課綱裡的這些句意中，該如何解讀？是否需要在教學中 呈現？若是那該如何呈現？本研究也在教科書分析與教師問卷中，一起探討「插值 多項式」的解釋與教學引述情況。
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