層狀介質之應用

欲將前兩節推導應用至層狀介質上，首先，必須先獲得波數



與頻率



間的頻散與 衰減關係。根據第3.5 節的結果，參考不同層狀結構所架構的聯立方程式，例如(3.106) 至(3.110)式，假設等號右端為零，可獲得的矩陣行列式即為該結構的特徵方程式。數值 求解該特徵方程式並獲得( , )

 

的關係，將其代回每一層的狀態向量

U

、

V 、

_X

V 與

_Y

V ，

_Z 如同(3.61)至(3.64)式所示，此結果即為每一層的特徵模態_n( ,



_n X₃, )



，接著，再經由 (3.121)式獲得歸一化的狀態向量(或特徵模態)。如同第 3.6.2 節的假設，在層狀介質的上 表面處(X₃ Z₀，即X₃ top)施予一個外界施加曳力

t ，或是一個調制雷射光束照射

^_Z 造成的熱源輸入q 。然後，接下的推導過程則如同前兩節內容所述，唯一不同處是在_in^ 時間平均功率流密度P_{n n, }與特徵模態_n( ,



_n X₃, )



兩個部分須，將單層結構推廣至多層 結構。

圖 3.1 週期調制且強度為 Gauss 分佈的光束照射在單一平板表面的示意圖。

100 80 60 40 20

a₀ 0 a₀

0

Contour radius

13.5

(P0 total power in beam)

2 0

2 2

0 0

2 2

( ) P exp r

I r a a

 

      

圖 3.2 Gauss 分佈函數圖。

X

1

圖 3.5 層狀介質的結構示意圖。

(U

0

,V

0

)

^Z0

Z

0

(U

1

,V

1

)

^Z0

( 0 ,F

0

)

^Z0

Layer-0

(U

1

,V

1

)

^Z1

(U

2

,V

2

)

^Z1

(U

2

,V

2

)

^Z2

(U

3

,V

3

)

^Z2

(U

3

,V

3

)

^Z3

(U

4

,V

4

)

^Z3

( 0 ,F

3

)

^Z3

Z

1

Z

2

Z

3

Layer-1

Layer-2

Layer-3

Layer-4 X

3

圖 3.6 三層結構且上下面皆相鄰半無窮域介質的示意圖。

圖 3.7 層狀結構模型的示意圖。

0 20 40 60 80

Frequency (MHz) 0

10 20 30

W ave nu mb er (1 /m m )

A0 S0

A₁ S₁ S₂ A₂ S₃ A₃ A₄ S₄

圖 3.8 單層平板的波數與頻率關係。

第四章 數值結果與討論

本章是依據第三章的理論推導來撰寫數值程式，主要是針對平板之熱彈導波的頻散 及衰減關係作分析討論。根據第3.4 節所述，考慮一個受水平單軸方向之初始應力作用 的單層平板，計算繪製出在板波傳遞方向與初始應力方向的夾角分別為

0

、

90

與

45

之對稱與反對稱模態的頻散及衰減曲線圖，並且討論其物理意義及比較差異。

4.1 單位和材料係數

對於材料係數的給定上，我們一般會考慮 M.K.S.制的基本單位，例如公斤(kg )、

公尺( m )、秒(

s

)以及度( K^ )。為了避免計算時各係數之間的尺度差異過大，造成數值 運算上的不穩定，我們將上述的基本單位設定改為毫克(mg )、毫米(mm )、微秒( μs )以 及千度( Kk^ )。配合第 3.2.2 節有關材料係數之假設，我們以銅箔(Cu)當作本研究欲探討 的等向性材料，參考文獻

167

與

168

所提供的材料係數，其係數給定如表4.1的第一列 自然狀態所示。再根據聲彈理論的描述，可獲得受水平單軸拉伸應力T 為₁ⁱ 0.02c 與₄₄ 0.04c 的有效係數，如表44 4.1 的第二列與第三列所示。顯而易見，根據在X X 平面上_{2 3} 的關係c₂₂ c₃₃ c₂₃2c₄₄、



₂  與



₃

k

₂

 k

₃，可知在上述兩單軸拉伸應力T 作用下，₁ⁱ 材料係數在垂直於T 施予方向的平面呈現出近似等向性(nearly isotropy)的特性，因此，₁ⁱ 整體可視為橫向等向性(transversely isotropic)材料。

4.2 徹體波的相速度

首先，先定義在自然狀態下的波速，包括縱波(L0)、橫波(S0)、Lemé 模態(Lame0) 與雷利波(R0)，如下表示：

L0 11

0

c c

 

, _S0 ⁴⁴

0

c c

 

, (4.1a, b)

Lame0

2

S0

c  c

_R0 0.87 1.12 _S0

c 1



c



 

 . (4.1c, d)

其中

 0.367

為銅箔的泊松比(Poisson’s ratio)。(4.1c)式的定義是參考文獻

169

與

170

的

根據Lamé 模態在平板厚度的共振特性，如(4.10a)與(4.11a)式所示，它們會與X 方向的₃ 橫波(S)波速有關係。此外，根據表5.1所示，因等向性材料受到單軸預應力T 的影響，₁ⁱ 材料係數在X X 平面上會呈現近似等向性特徵，_{2 3} (4.11a, b)式可提供有關 Lamé 模態波速 的準確結果；然而，在X X 平面上則會呈現正交性(orthorhombic)特徵，(4.10a, b)只能_{1 3} 提供一個近似的結果。最後，將表5.1的資料代入上述(4.4)之(4.11)式，並將在自然狀態 以及單軸預應力T 為₁ⁱ 0.02c 與₄₄ 0.04c 之初始狀態下的所有資料整理於表₄₄ 5.2。

4.3 複數尋根之曲線追蹤法

此節內容主要是介紹 Lowe

[162, 163]針對一個具額外阻尼負載之彈性介質的頻散

特徵方程式( , )f k 求解而發展出來的有效複數尋根方法，此方法又稱為曲線追蹤法。

過去對於求解特徵方程式( , )f k 並不考慮波數

k

的虛部k ，主要是在介質本身不考慮_i 阻尼負載或能量消散的影響，計算獲得的虛部值k 也會非常地小。但是，在考慮熱彈性_i 耦合的問題上，介質本身考慮了因為熱效應造成的能量消散，虛部值k 大小的影響也就_i 變的非常重要。因此，令波數k k_r ik_i k_r(1i γ_ 2 ) ，特徵方程式 ( , ) f k 可考慮為

( , , )f k k_{r i}

 或( , , )f k γ_{r } 的函數型式，其中k 與 γ_{i }分別為每單位波傳距離[Np/mm]與每 單位波長[Np/wavelength]的波數衰減。

首先，我們先參考圖4.3(a)所示波數-頻率域的頻散曲線圖，由此圖可以發現在波數 k 軸上的任意一點，皆可對應出固定數量的頻率 f ，此一特點有助於在作 f 尋根時，不r

會因為沒有對應的 f 值而無法作波數k 的掃描動作。曲線追蹤法便是以此特點作出發，_r 下面則列出此方法的步驟流程：

(1) 先在波數k 軸上任意選出鄰近間隔非常小的 3 個點_r k 、₁ k 與₂ k 。 ₃

(2) 當k_r  時，先假設k₁ κ k_i  ，此時0 ( , , )f k κ₁ 為頻率 f 的單值函數，利用 MATLAB 指令 fimbnd [172]尋找出區域最小值(local minimum)的位置點 f ，_1j 它代表在第 j 條頻散曲線所對應的頻率值。參考圖4.1所示，其中粗線代表對 頻率 的「粗略搜尋」(coarse search)，最小值即為搜尋獲得的根 f 。 _1j

(3) 以第 1 條頻散曲線所對應的頻率值 f 為例，即以₁₁ (f k₁₁, ,0)₁ 作為初始點，此時

將( , , )f k κ₁ 視為頻率 f 與衰減

κ

的函數，利用文獻

173

的

amoeba 指令在此

初始點附近尋找區域最小值且結果為(f k κ₁₁^, ,_{1 11}^)。參考圖 4.1 所示，其中細虛 線代表「細密搜尋」(fine search)的軌跡，即以粗線上的任一最小值作為初始點 出發，尋找此點附近的區域最小值。

(4) 以此類推，在固定波數k 值的情況下，可尋找出一組由₁

N

條頻散曲線所對應 的頻率與衰減數據，即

( f k κ

₁^_j

, ,

_{1 1}^_j

)

( j1 to N)。

(5) 同理，當k_r  與k₂ k 時，重複步驟(1)至(4)的流程，獲得另外兩組頻率與衰減₃ 數據，即

( f

₂^_j

, , k κ

_{2 2}^_j

)

與

( f

₃^_j

, , k κ

_{3 3}^_j

)

( j1 to N)。

(6) 以第 1 條頻散曲線上的 3 個點為例，(f k κ₁₁^, ,_{1 11}^)、(f k κ₂₁^, ,_{2 21}^ )與(f k κ₃₁^, ,_{3 31}^ )， 利用「外差法」算出第4 點(f k κ₄₁, ,_{4 41})。由於此一外差步驟是基於3 點所形成 之曲線再尋求第4 點。然而，此點結果並不會落在區域最小值的位置上，須再 以此點作為初始點，利用文獻

173

的

amoeba 指令在此初始點附近尋找區域最

小值且結果為(f k κ₄₁^, ,_{4 41}^ )。以此類推，我們可順著曲線上已知的點來追蹤搜尋 下一個未知點。參考圖4.2所示，其中空心點為外差所獲得的結果，而實心點 則為此空心點附近的區域最小值，最後，再將這些實心點連接起來繪出一條曲 線，即可建構出一條含複數根的頻散曲線。

(7) 重複步驟(6)的流程，可建構出其餘的頻散曲線。

上述步驟僅為曲線追蹤法的基本內容，但由於考慮的物理模型不同，所獲得的頻散曲線 外型的也都不同，因此，須視不同情況而對上述步驟作些修改。如圖4.3(a, b)所示，此 為利用曲線追蹤法獲得的波數實部k 與虛部_r k 對頻率_i f 的頻譜圖。

4.4 等向性平板導波的頻散及衰減曲線

此節一開始先考慮一未受應力之等向性單層平板(如銅箔)為例，應用上一節所敘述 的曲線追蹤法，經數值計算可獲得對稱及反對稱模態的頻散與衰減曲線圖，如圖4.3至 4.5所示。圖4.3(a)與4.4(a, b)為一般所知的波數k 、相速度_r c 與群速度_ph c 頻散曲線圖，_g 其中c_ph  f k_r與c_g    。然而，在圖f k_r 4.3(b)中，我們可明顯地發現除了A 模態外，₀

每一個模態的衰減(即波數虛部k_i)會在某一特定頻率時，衰減k 大小會趨近於最小值。_i

在圖4.5(a, b)中則顯示出衰減k 取對數後的半對數圖，每一個模態的值會在其特定頻率_i

與波數時呈現一個轉折(即衰減k 的最小值)。此外，根據(4.1a-d)式，在圖_i 4.4(a)中藍色

虛線c 、_L0 c 、_S0 c_Lame0與c 的數值分別為_R0 4.590、2.106、2.978 與 1.972 mm/μs，當頻率

增加時，A 與₀ S 模態的波速會收斂至₀ c ，其餘模態的波速則會收斂至_R0 c 。在圖_S0 4.5(a) 中藍色虛線QL0 為(4.2a)式所計算獲得準縱波之波數k_QL0  f c_QL0的虛部結果，A 與₀ S₀ 模態的衰減在80 MHz 會收斂至 0.510^-3 mm^-1。

另一方面，將熱彈性耦合的波數實部k 與相速度_r c 的頻譜圖，如圖_ph 4.3(a)與4.4(a) 所示，與一般無熱彈性耦合的結果作比較，發現兩者結果差異不大但在數值上仍有些微 的偏移。考慮在固定波數k 下，圖_r 4.6與4.7分別為各個對稱與反對稱模態的頻率往右 偏移大小圖，發現S_n模態(n0,1, 2, )在k h 等於_r (n 時的偏移量是最少的，除了¹₂) A₀ 模態外，A_m模態(m1, 2,3, )在k h 等於_r

m

時的偏移量是最少的。將兩者的結果對照

到圖4.5(b)的結果，發現頻率偏移大小變化幾乎與衰減值大小變化一致，可說由於熱彈

耦合引起的能量耗散會導致頻率往右偏移，同時也會反應波數的衰減上。此外，可利用 kr  f c之關係獲得在相速度c 域的變化大小，圖_ph 4.8與4.9分別為各個對稱與反對稱 模態的頻率往右偏移大小圖，發現除了A 模態外，其餘各模態在波速等於₀ c_Lame0時頻率 的變化最小，而在波速大於c 時頻率則是有較明顯的變大。 _L0

在圖4.5(a)中，由於這些最小值所對應之特定頻率都具有規律性，而且每相鄰頻率

之間隔大小固定，我們可將此一特徵對應到相速度-頻率域的頻散曲線圖，如圖 4.4(a) 所示，會發現當相速度c 約為_ph c_Lame0時可與上述特定頻率之規律一致。因此，針對相速

度c 約為_ph c_Lame0時，探討平板中的熱彈導波會具有何種物理特性？參考Graff [169]以及

Royal 與 Dieulesaint

[170]的著作中有關板波方面的推導，發現當相速度

c_phc_Lame0時，

或波數



  且_S0  _S0²



_S0² 



²，將此時的運動特性稱作 Lamé 模態。著作中敘述了此一 模態的特徵是運動時其單位體積脹縮變化為零，即為等體積變化，並可發現一面內 SV 波若以45角作入射與反射，其過程中無任何能量轉換或消散。因此，我們便開始探討 驗證平板中的熱彈導波是否亦具有此一特徵？最後，經推導後證實平板中的熱彈導波亦 具有Lamé 模態的特性，詳細推導可參考附錄2之內容。

當熱彈耦合的 Lamé 模態發生時，平板內部的溫度變化



為零，而且無熱能傳輸 (q₃ q₁ 0)，及平板中各質點所受的剪應力T 皆為零，只有兩個方向的軸向應力交互₁₃ 作用(T₁₁  T₃₃)。因此，可以說當 Lamé 模態發生時，平板內振動主要是由體積的膨脹 收縮所造成，而且在振動過程中不會因熱的作用而發生能量消散，這代表平板內的熱彈 聲導波能夠傳遞得更遠。如同附錄2之推導內容，(A.21)與(A.26)二式為波數k 與頻率 f_r 之頻散曲線圖中，如圖 4.3(a)所示，發生 Lamé 模態的滿足條件，S_n模態在k h n_r   ¹₂ (n0,1,2, )， A_m模態在k h m_r  (m1, 2,3, )，可發現熱彈波會在厚度X 方向以及₃ 水平波傳X 方向上皆會產生駐波(standing wave)。參考(A.22)與(A.27)二式所示，在對稱₁ Lamé 模態會產生波長 為h n(  的駐波，而在反對稱 Lamé 模態會產生波長 為¹₂)

h m

的駐波，其駐波的振形如圖 4.10所示。(A.23)與(A.28)二式分別代表發生 Lamé 模態時 頻率 f 的位置， S_n 模態在 f h(n ¹₂) c_Lame0 (n0,1, 2, )， A_m模態在 f h m c  _Lame0 (m1, 2,3, )，結果如圖4.4(a)所示。

然而，對於一個非等向性平板來說，依然可依據上述Lamé 模態的滿足條件來確認 發生衰減最小值時的頻率位置，但此衰減最小值不會接近零。這代表了因為材料本身的 非等向性，每一個方向運動不是相同的，因此，即使在衰減最小值時的特定頻率位置上，

其模態在運動時單位體積脹縮變化不會為零。加上再考慮熱彈耦合效應的因素，更是會 有部分能量會藉由熱的作用而發生能量消散。

4.5 受單軸初始應力之平板導波的頻散及衰減曲線

此節考慮一個受水平單軸拉伸初始應力T 為₁ⁱ 0.02c 與₄₄ 0.04c 之單層平板(如銅箔)₄₄ 為例，針對波傳角度 在

0

、

90

與

45

，獲得對稱及反對稱模態的頻散與衰減曲線圖。

首先，針對波傳角度 在

0

(即沿X 方向傳遞)的情況，圖₁ 4.11(a, b)為熱彈性導波的波 數實部k 與虛部_r k 對頻率 f 的頻譜圖，圖_i 4.12(a, b)為相速度c 與群速度_ph c 對頻率 f 的_g 頻譜圖，圖4.13(a, b)為波數虛部k 對頻率_i f 與波數實部k 的半對數頻譜圖，其中符號_r S

首先，針對波傳角度 在

0

(即沿X 方向傳遞)的情況，圖₁ 4.11(a, b)為熱彈性導波的波 數實部k 與虛部_r k 對頻率 f 的頻譜圖，圖_i 4.12(a, b)為相速度c 與群速度_ph c 對頻率 f 的_g 頻譜圖，圖4.13(a, b)為波數虛部k 對頻率_i f 與波數實部k 的半對數頻譜圖，其中符號_r S

在文檔中 具額外阻尼之彈性板的導波波傳 (頁 130-0)