複數尋根之曲線追蹤法

此節內容主要是介紹 Lowe

[162, 163]針對一個具額外阻尼負載之彈性介質的頻散

特徵方程式( , )f k 求解而發展出來的有效複數尋根方法，此方法又稱為曲線追蹤法。

過去對於求解特徵方程式( , )f k 並不考慮波數

k

的虛部k ，主要是在介質本身不考慮_i 阻尼負載或能量消散的影響，計算獲得的虛部值k 也會非常地小。但是，在考慮熱彈性_i 耦合的問題上，介質本身考慮了因為熱效應造成的能量消散，虛部值k 大小的影響也就_i 變的非常重要。因此，令波數k k_r ik_i k_r(1i γ_ 2 ) ，特徵方程式 ( , ) f k 可考慮為

( , , )f k k_{r i}

 或( , , )f k γ_{r } 的函數型式，其中k 與 γ_{i }分別為每單位波傳距離[Np/mm]與每 單位波長[Np/wavelength]的波數衰減。

首先，我們先參考圖4.3(a)所示波數-頻率域的頻散曲線圖，由此圖可以發現在波數 k 軸上的任意一點，皆可對應出固定數量的頻率 f ，此一特點有助於在作 f 尋根時，不r

會因為沒有對應的 f 值而無法作波數k 的掃描動作。曲線追蹤法便是以此特點作出發，_r 下面則列出此方法的步驟流程：

(1) 先在波數k 軸上任意選出鄰近間隔非常小的 3 個點_r k 、₁ k 與₂ k 。 ₃

(2) 當k_r  時，先假設k₁ κ k_i  ，此時0 ( , , )f k κ₁ 為頻率 f 的單值函數，利用 MATLAB 指令 fimbnd [172]尋找出區域最小值(local minimum)的位置點 f ，_1j 它代表在第 j 條頻散曲線所對應的頻率值。參考圖4.1所示，其中粗線代表對 頻率 的「粗略搜尋」(coarse search)，最小值即為搜尋獲得的根 f 。 _1j

(3) 以第 1 條頻散曲線所對應的頻率值 f 為例，即以₁₁ (f k₁₁, ,0)₁ 作為初始點，此時

將( , , )f k κ₁ 視為頻率 f 與衰減

κ

的函數，利用文獻

173

的

amoeba 指令在此

初始點附近尋找區域最小值且結果為(f k κ₁₁^, ,_{1 11}^)。參考圖 4.1 所示，其中細虛 線代表「細密搜尋」(fine search)的軌跡，即以粗線上的任一最小值作為初始點 出發，尋找此點附近的區域最小值。

(4) 以此類推，在固定波數k 值的情況下，可尋找出一組由₁

N

條頻散曲線所對應 的頻率與衰減數據，即

( f k κ

₁^_j

, ,

_{1 1}^_j

)

( j1 to N)。

(5) 同理，當k_r  與k₂ k 時，重複步驟(1)至(4)的流程，獲得另外兩組頻率與衰減₃ 數據，即

( f

₂^_j

, , k κ

_{2 2}^_j

)

與

( f

₃^_j

, , k κ

_{3 3}^_j

)

( j1 to N)。

(6) 以第 1 條頻散曲線上的 3 個點為例，(f k κ₁₁^, ,_{1 11}^)、(f k κ₂₁^, ,_{2 21}^ )與(f k κ₃₁^, ,_{3 31}^ )， 利用「外差法」算出第4 點(f k κ₄₁, ,_{4 41})。由於此一外差步驟是基於3 點所形成 之曲線再尋求第4 點。然而，此點結果並不會落在區域最小值的位置上，須再 以此點作為初始點，利用文獻

173

的

amoeba 指令在此初始點附近尋找區域最

小值且結果為(f k κ₄₁^, ,_{4 41}^ )。以此類推，我們可順著曲線上已知的點來追蹤搜尋 下一個未知點。參考圖4.2所示，其中空心點為外差所獲得的結果，而實心點 則為此空心點附近的區域最小值，最後，再將這些實心點連接起來繪出一條曲 線，即可建構出一條含複數根的頻散曲線。

(7) 重複步驟(6)的流程，可建構出其餘的頻散曲線。

上述步驟僅為曲線追蹤法的基本內容，但由於考慮的物理模型不同，所獲得的頻散曲線 外型的也都不同，因此，須視不同情況而對上述步驟作些修改。如圖4.3(a, b)所示，此 為利用曲線追蹤法獲得的波數實部k 與虛部_r k 對頻率_i f 的頻譜圖。

4.4 等向性平板導波的頻散及衰減曲線

此節一開始先考慮一未受應力之等向性單層平板(如銅箔)為例，應用上一節所敘述 的曲線追蹤法，經數值計算可獲得對稱及反對稱模態的頻散與衰減曲線圖，如圖4.3至 4.5所示。圖4.3(a)與4.4(a, b)為一般所知的波數k 、相速度_r c 與群速度_ph c 頻散曲線圖，_g 其中c_ph  f k_r與c_g    。然而，在圖f k_r 4.3(b)中，我們可明顯地發現除了A 模態外，₀

每一個模態的衰減(即波數虛部k_i)會在某一特定頻率時，衰減k 大小會趨近於最小值。_i

在圖4.5(a, b)中則顯示出衰減k 取對數後的半對數圖，每一個模態的值會在其特定頻率_i

與波數時呈現一個轉折(即衰減k 的最小值)。此外，根據(4.1a-d)式，在圖_i 4.4(a)中藍色

虛線c 、_L0 c 、_S0 c_Lame0與c 的數值分別為_R0 4.590、2.106、2.978 與 1.972 mm/μs，當頻率

增加時，A 與₀ S 模態的波速會收斂至₀ c ，其餘模態的波速則會收斂至_R0 c 。在圖_S0 4.5(a) 中藍色虛線QL0 為(4.2a)式所計算獲得準縱波之波數k_QL0  f c_QL0的虛部結果，A 與₀ S₀ 模態的衰減在80 MHz 會收斂至 0.510^-3 mm^-1。

另一方面，將熱彈性耦合的波數實部k 與相速度_r c 的頻譜圖，如圖_ph 4.3(a)與4.4(a) 所示，與一般無熱彈性耦合的結果作比較，發現兩者結果差異不大但在數值上仍有些微 的偏移。考慮在固定波數k 下，圖_r 4.6與4.7分別為各個對稱與反對稱模態的頻率往右 偏移大小圖，發現S_n模態(n0,1, 2, )在k h 等於_r (n 時的偏移量是最少的，除了¹₂) A₀ 模態外，A_m模態(m1, 2,3, )在k h 等於_r

m

時的偏移量是最少的。將兩者的結果對照

到圖4.5(b)的結果，發現頻率偏移大小變化幾乎與衰減值大小變化一致，可說由於熱彈

耦合引起的能量耗散會導致頻率往右偏移，同時也會反應波數的衰減上。此外，可利用 kr  f c之關係獲得在相速度c 域的變化大小，圖_ph 4.8與4.9分別為各個對稱與反對稱 模態的頻率往右偏移大小圖，發現除了A 模態外，其餘各模態在波速等於₀ c_Lame0時頻率 的變化最小，而在波速大於c 時頻率則是有較明顯的變大。 _L0

在圖4.5(a)中，由於這些最小值所對應之特定頻率都具有規律性，而且每相鄰頻率

之間隔大小固定，我們可將此一特徵對應到相速度-頻率域的頻散曲線圖，如圖 4.4(a) 所示，會發現當相速度c 約為_ph c_Lame0時可與上述特定頻率之規律一致。因此，針對相速

度c 約為_ph c_Lame0時，探討平板中的熱彈導波會具有何種物理特性？參考Graff [169]以及

Royal 與 Dieulesaint

[170]的著作中有關板波方面的推導，發現當相速度

c_phc_Lame0時，

或波數



  且_S0  _S0²



_S0² 



²，將此時的運動特性稱作 Lamé 模態。著作中敘述了此一 模態的特徵是運動時其單位體積脹縮變化為零，即為等體積變化，並可發現一面內 SV 波若以45角作入射與反射，其過程中無任何能量轉換或消散。因此，我們便開始探討 驗證平板中的熱彈導波是否亦具有此一特徵？最後，經推導後證實平板中的熱彈導波亦 具有Lamé 模態的特性，詳細推導可參考附錄2之內容。

當熱彈耦合的 Lamé 模態發生時，平板內部的溫度變化



為零，而且無熱能傳輸 (q₃ q₁ 0)，及平板中各質點所受的剪應力T 皆為零，只有兩個方向的軸向應力交互₁₃ 作用(T₁₁  T₃₃)。因此，可以說當 Lamé 模態發生時，平板內振動主要是由體積的膨脹 收縮所造成，而且在振動過程中不會因熱的作用而發生能量消散，這代表平板內的熱彈 聲導波能夠傳遞得更遠。如同附錄2之推導內容，(A.21)與(A.26)二式為波數k 與頻率 f_r 之頻散曲線圖中，如圖 4.3(a)所示，發生 Lamé 模態的滿足條件，S_n模態在k h n_r   ¹₂ (n0,1,2, )， A_m模態在k h m_r  (m1, 2,3, )，可發現熱彈波會在厚度X 方向以及₃ 水平波傳X 方向上皆會產生駐波(standing wave)。參考(A.22)與(A.27)二式所示，在對稱₁ Lamé 模態會產生波長 為h n(  的駐波，而在反對稱 Lamé 模態會產生波長 為¹₂)

h m

的駐波，其駐波的振形如圖 4.10所示。(A.23)與(A.28)二式分別代表發生 Lamé 模態時 頻率 f 的位置， S_n 模態在 f h(n ¹₂) c_Lame0 (n0,1, 2, )， A_m模態在 f h m c  _Lame0 (m1, 2,3, )，結果如圖4.4(a)所示。

然而，對於一個非等向性平板來說，依然可依據上述Lamé 模態的滿足條件來確認 發生衰減最小值時的頻率位置，但此衰減最小值不會接近零。這代表了因為材料本身的 非等向性，每一個方向運動不是相同的，因此，即使在衰減最小值時的特定頻率位置上，

其模態在運動時單位體積脹縮變化不會為零。加上再考慮熱彈耦合效應的因素，更是會 有部分能量會藉由熱的作用而發生能量消散。

4.5 受單軸初始應力之平板導波的頻散及衰減曲線

此節考慮一個受水平單軸拉伸初始應力T 為₁ⁱ 0.02c 與₄₄ 0.04c 之單層平板(如銅箔)₄₄ 為例，針對波傳角度 在

0

、

90

與

45

，獲得對稱及反對稱模態的頻散與衰減曲線圖。

首先，針對波傳角度 在

0

(即沿X 方向傳遞)的情況，圖₁ 4.11(a, b)為熱彈性導波的波 數實部k 與虛部_r k 對頻率 f 的頻譜圖，圖_i 4.12(a, b)為相速度c 與群速度_ph c 對頻率 f 的_g 頻譜圖，圖4.13(a, b)為波數虛部k 對頻率_i f 與波數實部k 的半對數頻譜圖，其中符號_r S 與A 分別代表對稱與反對稱模態，L0、S0、Lame0 與 R0 (藍色虛線)可見(4.1a-d)式之定 義，及 QL0 (藍色虛線)為(4.2a)式計算獲得準縱波之波數k_QL0  f c_QL0的虛部結果。圖 4.12(a)可觀察得知受單軸初始應力T (₁ⁱ 0.02c 為虛線與₄₄ 0.04c 為實虛線)與自然狀態₄₄

(實線)之間，各模態相速度頻散曲線變化趨勢與徹體波的波速差有關係。已知在

1ⁱ 0.02 44

T  c 的c_L1^[100] -0.044 與c_S1^[001] 0.024 mm/μs，相速度c 範圍在 4.5 至 6.0 mm/μs _ph (靠近c 附近)之間會受到_L0 c^[100]_L1 的影響而向左下方平移，其餘範圍則是會受到c_S1^[001]的 影響而向右上方平移，且差異量會隨著頻率 f 變大而增加。同理，在圖4.11(a)亦可觀察 相同現象，在藍色虛線L0 附近會向左方平移，其餘則是向右方平移，且差異量會隨著 波數k 與頻率 f 變大而增加。然而，在圖_r 4.12(b)則是向普遍右方平移。此外，在衰減 曲線的表現，如圖 4.13(a)所示，除A 模態外，各模態的衰減₀ k 最小值會隨單軸拉伸預_i 應力T 變大而增大，主要是因為初始應力₁ⁱ T 破壞了₁ⁱ X X 平面的等向性，例如表_{1 3} 4.1的 參數c 、₁₁ c 、₃₃ c 、₁₃ c 、₅₅



₁、



₃、

k

₁與

k

₃，使其變成正交性。另一方面，由上一節得 知Lamé 模態發生時，平板內部的溫度變化



為零，且無熱能傳輸(q₃ q₁ 0)，應用 第3.6.3 節中(3.124b)式的觀念，在 Lamé 模態時輸入熱能Q 於平板表面的可激發性_in^ E 是₄ 最小的或是幾乎為零。根據圖4.13(a)所示，在Lamé 模態的頻率附近的衰減值會因預應 力T 的作用而會有較大的差異，其內部的溫度變化₁ⁱ



不為零，且會有熱能傳輸，這也 代表與輸入熱能Q 相互耦合的可激發性_in^ E 會有較大的變化。 ₄

針對波傳角度 在

90

(即沿X 方向傳遞)的情況，包括圖₂ 4.14(a, b)、4.15(a, b)與 4.16(a, b)。已知在T₁ⁱ0.02c₄₄的c^[010]_L2  -0.005 與c_S2^[001] -0.050 mm/μs，在圖4.15(a)所示 的相速度c 會向左下方平移，且差異量會隨著頻率 f 變大而增加。而在圖_ph 4.14(a)與

4.15(b)可觀察所有曲線會皆向左方平移。此外，在衰減曲線的表現，如圖4.16(a)所示，

除A 模態外，各 Lamé 模態(衰減₀ k 幾乎為零)出現的頻率會隨單軸拉伸預應力_i T 變大而₁ⁱ 降低，這是因為初始應力T 影響了₁ⁱ X X 平面的等向性關係，例如_{2 3} c₂₂ c₃₃ c₂₃2c₄₄、

2 3



 與

 k

₂

 k

₃。與上一個情況不同，這裡差異性較大的反而是相速度c 與群速度_ph c ，_g 可藉由探討初始應力T 對導波波速上的影響。 ₁ⁱ

在上述二個情況中，熱彈聲波中垂直於Sagittal 平面的 SH 波可被獨立出來。然而，

在針對波傳角度 在

45

的情況，波傳運動已經不屬於在Sagittal 平面的面內運動，或是 垂直偏振的面外運動，而是L、SV、SH 與熱波的相互耦合。只考慮T₁ⁱ0.02c₄₄的影響，

數值結果包括圖4.17(a, b)、4.18(a, b)與4.19(a, b)，其中QL 與 QSH (藍色虛線)為(3.43b)

式計算獲得準縱波與準橫波之波數k_QL  f c_QL 與k_QT  f c_QT 的虛部結果。在圖 4.19(a, b)中，除了A 模態外， A_{0 m}模態(

m

為偶數，黑色實線)與 S_n模態(

n

為奇數，紅色實線) 擁有Lamé 模態(最小衰減值)的特性，而 A_m模態(

m

為奇數，綠色實虛線)與S_n模態(

n

為 偶數，粉紅色實虛線)則代表有面外 SH 波的參與。相較於圖4.13(a, b)與4.16(a, b)，在 圖4.19(a, b)中普遍會有QSH (藍色虛線)附近的衰減，這現象顯示波傳方向 若在

0

與

90

間，熱彈聲波的部分能量會因垂直於 Sagittal 平面的面外運動而耗散。此外，頻散 曲線交會處附近會表現出不同模態的耦合運動，在使用LIU 或 PA 技術時，很難去解釋 這些區域所生成之波式轉換(mode-converted)的響應。

參考圖4.5(a)、4.13(a)、4.16(a)與4.19(a)等衰減頻譜，可得知受單軸初始應力T 之₁ⁱ 平板的熱彈聲導波，其最小衰減值會發生在一些特定頻率附近，例如S0、A1與S1模態 分別為15、30 與 45 MHz。首先，考慮傳遞方位角度 為

0

、

45

與

90

，圖20為出現 最小衰減值的頻率位置與單軸初始應力T₁ⁱ ( )間的關係圖。當c₄₄ 

 90 

時(紅線)，由於

參考圖4.5(a)、4.13(a)、4.16(a)與4.19(a)等衰減頻譜，可得知受單軸初始應力T 之₁ⁱ 平板的熱彈聲導波，其最小衰減值會發生在一些特定頻率附近，例如S0、A1與S1模態 分別為15、30 與 45 MHz。首先，考慮傳遞方位角度 為

0

、

45

與

90

，圖20為出現 最小衰減值的頻率位置與單軸初始應力T₁ⁱ ( )間的關係圖。當c₄₄ 

 90 

時(紅線)，由於

在文檔中 具額外阻尼之彈性板的導波波傳 (頁 137-0)