PVA 液體薄層

並不大，故改稱之為擬似(pseudo-)對稱或反對稱模態。因此，在圖中黑色虛線分別代表 對稱(S)模態，而藍色實線分別代表反對稱(A)模態。而在衰減曲線的表示上，圖 5.3(b) 為波數虛部k 相對於頻率_i f 的衰減曲線，為了能更進一步瞭解衰減驟降的位置及其物理 意義，將衰減取對數後對頻率 f 與波數實部k 分別如圖_r 5.5(a, b)所示。

首先，除A 模態外，在圖₀ 5.3(b)中發現在某些特定頻率下，出現衰減驟降的現象，

如圖5.5(a)中

a

、

b

、

c

、

d

、

e

、

f

與

g

點所示，其分別代表S 、₀ A 、₁ S 、₁ A 、₂ S 、₂ A₃ 與S 模態，對應到圖₃ 5.5(b)上，更能發現它們會在某些特定波數k 下出現，約為_r 0.5、

1.0、1.5、2.0、2.5、3.0 與 3.5 mm^-1位置附近，即對稱模態S_n在k H_r   (n ¹₂ n0,1, 2, )，

反對稱模態A_m在k H_r  (m m1, 2,3, )。將

a

至

g

點對應至圖 5.4(a)上，相速度c 約_ph 為4.3 mm/μs 附近，普遍略低於單一平板的 Lamé 模態之波速

2

c_S 4.384 mm/μs，如圖 中紅色虛線所示；再對應至圖5.4(b)，群速度c 約為_g 2.2 mm/μs 附近。將衰減驟減發生 的頻率、波數、相速度與群速度以及平板在X₃  的質點軌跡位移振幅比值0

u u

_{3 1} 整理 於表5.1中Lamé 模態部分。上述特性是因於在該頻率或波數時，平板的運動特性呈現 Lamé 模態的特徵[169, 170]，模態之位移運動如圖5.6(a)所示，其特徵為在邊長

1 2

波長 構成之正方單元，於波傳時體積脹縮變化為零或最小，即為類似等體積變化，聲導波在 傳遞過程中能量的轉換與耗散最小；而且，隨著模態階次愈高，由於液體負載的影響，

衰減驟減發生之波數與波速所落的位置，與單一平板作比較皆有逐漸往後偏移的現象，

同時，衰減驟減現象變得愈不明顯，代表著此一運動特性亦變得不明顯。另外，參考表 5.1 所示，由位移u 與₁ u 之振幅比值₃

u u

_{3 1} 的大小，可發現在固液界面上平板表面質點 運動軌跡轉變為垂直表面的線偏振狀態。隨著 Lamé 模態之階次愈高或逐漸偏離 Lamé 模態，線偏振狀態則逐漸趨緩，還原至橢圓偏振狀態。

此外，除去上述

a

至

g

點，在圖5.5(a, b)中仍可發現尚有衰減驟降的現象，如

o

、p 與

q

三點所示，分別為S 、₂ A 與₃ S 模態。將這些特定頻率對應至圖₃ 5.3(a)或5.4(a)時，

發現

o

、

p

與

q

三點分別為A 與₂ S 之交點以及₂ A 與₃ S 之第 1 個與第 2 個交點，發生時₃ 的相關資料可參考表5.1中交點模態(intersection modes)部分，

o

、p與

q

三點分別為S 、₂

A 與3 S 模態，其位移₃ u 與₁ u 之振幅比值₃

u u

_{3 1} 相對較大；反之，

o'

、

p'

與

q'

三點分別 為A 、₂ S 與₃ A 模態，其₃

u u

_{3 1} 相對較小。再者，此三點相關的位移運動如圖 5.6(b)所

示。以

o

與

o'

兩點為例，發現A 模態在固液界面之平板表面位移₂ u 趨近為零，這代表₃ 此一模態幾乎是藉由位移u 作平行界面的切向運動與液體耦合，因液體的黏滯阻尼特₁ 性，發生較大的能量損耗；相反地，S 模態的平板表面位移₂ u 則趨近為零，大部分藉₁ 由位移u 作垂直界面的正向運動直接與液體耦合，故其能量損耗相對較小。參考圖₃ 5.7(a) 所示，發現在

o

與

o'

兩點頻率5.2 MHz 附近位置，A 與₂ S 兩模態的位移振幅比值₂

u u

_{3 1} 分別處於極小與極大的相反結果，代表質點運動軌跡呈現了平行與垂直於表面兩種截然 不同方向的線偏振運動。再根據圖 5.7(b)所示，因表面位移u 大小的影響，₁ A 與₂ S 兩₂ 模態的時間平均功率流密度  亦呈現兩種不同結果，P₁^a A 模態為 4.4 GPa.mm/μs，而₂ S₂ 模態為0.410^-3 GPa.mm/μs。同理，上述現象在

p

與

p'

兩點以及

q

與

q'

兩點發生的情況 亦屬相同道理。

由圖5.4(a)發現A 與₀ S 模態的相速度頻散曲線在頻率較高時是略微分開的，且₀ A₀ 模態不會收斂至雷利表面聲波波速。因此，將A 與₀ S 兩者於頻率 1 至 10 MHz 的位移₀ 運動輸出至如圖5.9(a, b)所示，發現在頻率1 MHz 時，因波數較小或波長較長，A0與 S0兩者仍維持著板波反對稱與對稱模態，由圖5.7(a)可知在固液界面之平板質點運動軌 跡分別為逆時針與順時針。然而在頻率 10 MHz 時，平板A 模態之位移與應力變化集₀ 中於固液界面，質點軌跡為逆時針，具有雷利表面聲波的特徵，隨著頻率增加其波速會 趨於一個定值2.859 mm/μs，略低於雷利波波速c_R0.942c_S 2.865 mm/μs (玻璃的泊松 比



0.28)。相反地，平板S 模態之位移與應力變化卻是集中於平板下表面，質點軌跡₀ 則為順時針。如同圖 5.9(a, b)所示，A 與₀ S 模態在頻率愈高時，位移與應力變化分別₀ 聚集於平板上下表面的現象，可由圖 5.7(b)與 5.8(b)中藍色實線與黑色虛線兩者的交替 現象觀察出來。另一方面，再根據圖5.5(a)所示，A 模態約在頻率大於 6 MHz 後衰減₀ 逐漸遞增至0.01 Np/mm，其能量逐漸聚集於平板的上表面，但由於波長逐漸變短，其 能量更容易傳遞至液體中，所以衰減相對較大。S 模態在頻率大於 6 MHz 後衰減則是₀ 逐漸遞減至小於 110^-7 Np/mm，其能量聚集於平板的下表面，由於下表面無液體耦合 影響，所以衰減相對較小。

此外，進一步地將平板上下表面質點軌跡的位移振幅比

u u

_{3 1} 以及時間平均功率流 密度  對頻率之分佈分別輸出如圖P₁^a 5.7與5.8所示，圖中符號「」與「」代表在

位置X₃  處的質點軌跡分別為順時針(cw)旋轉，在位置0 X₃ H處的質點軌跡分別為 逆時針(ccw)旋轉。其中，可藉由振幅比

u u

_{3 1} 的大小來判斷質點橢圓軌跡的偏振狀態，

愈大代表形狀愈狹長，愈小代表愈寬扁，前者顯示平板主要是經由垂直界面的正向位移 u 直接使液體層發生體積變化而將能量導入，例如3

a

至

g

點以及

o

、

p

與

q

三點；後者 是經由切向位移u 與液體層的黏滯係數耦合，因此其衰減也會相對較大，例如₁

o'

、p'與

q'

三點以及

r

、

s

與

t

三點，參考表5.3，可發現

r

、

s

與

t

三點位置非常接近S 、₁ S 與₂ S₃ 模態之群速度最大值位置。顯而易見地，由圖5.7與 5.8發現頻率愈靠近Lamé 模態以 及不同模態之交點時，質點位移u 最大振幅會發生驟減，垂直表面的線偏振運動現象愈₁ 是明顯。此外，亦可發現每一模態之頻率約在小於Lamé 模態後，上下表面的質點軌跡 皆會呈現相反的旋轉方向，上表面由逆時針轉變為順時針，而下表面則是由順時針轉變 為逆時針。將各個模態的質點軌跡發生相反旋轉時的頻率、波數以及相速度之範圍整理 於表5.2，並獲得一個規律結果，即對稱模態S_n在k H_r   (n ¹₂ n0,1,2)，反對稱模態 A_m在k H_r  m (m1,2,3)，以及兩者的相速度c_ph 

2

c_S的範圍。考慮S 、₀ A 與₁ S 三₁ 模態在頻率範圍分別為1.2-3.0、3.4-5.2 與 5.6-7.4 MHz 附近，平板上表面的質點軌跡可 分別參考圖5.10(a-c)所示，發現在2.2、4.4 與 6.6 MHz 出現反轉現象，而且它們與出現 Lamé 模態的頻率相近，同理，此現象亦可推廣至其餘 Lamé 模態上。此外，Nayfeh 與 Nagy [167]亦發現S 模態會在特定頻率發生衰減驟降，位於固液界面上質點軌跡會出現₀ 反轉現象，並且會由原本的橢圓偏振轉變為垂直表面的線偏振狀態。

再者，將圖5.7(a, b)與圖5.8(a, b)分別作比對，除了A 與₀ S 兩模態，可發現大部分₀ 趨勢是雷同的。由圖 5.7(b)與 5.8(b)中觀察A 與₀ S 模態的時間平均功率流密度₀   之 P₁^a 變化，在頻率小於5 MHz 範圍時  大約在 1 至 2.5 GPa.mm/μs 間，中間除了P₁^a S 模態₀ 的振幅會在Lamé 模態附近而發生驟減情形，並配合圖5.7(a)與5.8(a)，可知在愈往低頻 時A 模態的橢圓軌跡形狀愈狹長，₀ S 模態則是愈寬扁。在頻率大於 5 MHz 範圍，隨著₀ 頻率愈高，平板上下表面的橢圓軌跡之長軸u 與短軸₃ u 比會愈接近₁ 1.5，在平板上表面 A 模態的橢圓軌跡之振幅會逐漸變大，0 S 模態會逐漸變小。反之，在平板下表面時₀ A₀ 與S 模態的情況則會完全相反。 ₀

根據(5.11)式中_{1 f}^ 與_{3 f}^ 之結果，液體層中壓力差 會與液體的縱波有直接關係。p

由於液體層厚度

h

較薄，在上下表面間壓力差分佈會較接近線性，並由其大小可以瞭解 上下表面間的變化差異。圖 5.11 為液體層在固液界面(X₃  )與上表面(0 X₃   )間的h 壓力差的頻譜圖，發現壓力差的大小會在某些特定頻率出現驟減現象，例如

o'

、p'與

q'

三點以及

r

、

s

與

t

三點，其中

o'

、p'與

q'

三點分別為A 與₂ S 之交點以及₂ A 與₃ S 之第 1₃ 個與第2 個交點，位移運動如圖5.6(b)所示，而

r

、

s

與

t

三點分別S 、₁ S 與₂ S 模態之群₃ 速度最大值位置，位移運動如圖 5.12 所示，它們皆是利用平板上表面的切向位移u 與₁ 液體發生耦合。再根據表5.3之內容，可發現這些位置與圖5.7(a)中的位移振幅比

u u

_{3 1} 最小值出現位置接近，主要是藉由平板上表面的切向位移u 與液體耦合，使壓力差發生₁ 變化幅度遠不及其他方式有效，這代表藉由此一方式激發的壓力差變化雖小，但因液體 黏滯效應影響，上下表面間的壓力差變化卻是比較均勻。反之，藉由正向位移u 方式與₃ 液體耦合，會使液體層配合平板上表面的起伏一起運動，容易造成靠近固液界面附近的 體積變化較大，大部分能量亦侷限在此界面附近，促使兩表面間的壓力差變化差異較大 且分佈較不均勻。換言之，液體層上下表面間的壓力差變化與平板上表面質點軌跡運動 的偏振狀態有直接關係。同樣地，在圖5.11中發現頻率大於6 MHz 範圍，平板S 模態₀ 造成壓力差變化的影響會逐漸減小，這是因為平板S 模態的能量已經逐漸集中於平板₀ 下表面。

在文檔中 具額外阻尼之彈性板的導波波傳 (頁 173-177)