熱源輸入及其傅立葉積分轉換

如圖 3.1 所示，考慮一個範圍為  X X₁, ₂   與 h X₃  的平板，而且藉由h 強度調制的雷射光作激發。首先，將雷射考慮為一個 TEM00 模態的光束，其輸出功率 為I (單位為 W)，半徑為₀ a ，且功率強度的空間分佈函數屬於二維 Gaussian 分佈。此₀ 外，光束半徑a 的大小，一般定義為光束中心軸(beam axis)至光強度大小降至峰值 1/e₀ ² ( 13.5%)之位置的距離，幾何示意圖可見如圖3.2。因此，雷射光於試件表面X₃  處0 的輸入熱源q_in( ,X X t_{1 2}, )可表示為

in( ,X X t1 2, ) (1 R I g X X) 0 ( ,1 2) ( )f t

q , (3.1)

其中 R 為試件的光學反射係數(optical reflectivity)。空間分佈函數g X X( ,_{1 2})假設為[105]

2 2

1 2

1 2 2 2

0 0

( , ) 2 exp 2 X X g X X

a a

  

      

, (3.2)

且此函數對二維無限空間的積分大小為1，即：

 

_{ }^{ }

g X X ( ,

_{1 2}

) dX dX

_{1 2}

 1

^{。時間變化} 曲線(temporal profile) f t 則是根據雷射光的輸入型式而有所不同，大致區分為連續波( ) (continuous wave, CW)與脈衝(pulse)兩種型式。首先，對於一連續波型式之雷射，其 ( )f t 可假設為一含有

n

個脈衝的調制序列(modulated train)，其函數表示為[164]

12 c c

空間域g X X( ,_{1 2})與波數域G( ,



X₂)間的Fourier 積分轉換對之型式可表示如下

3.2 水平 X ₁ X 2 平面之座標轉換

其中T₁ⁱ T₁₁ⁱ 與T₂ⁱ T₂₂ⁱ 。在上述(3.11a-d)式，此材料受水平軸向初始應力的作用過程中，

假設忽略了剪應變的存在。因此，利用(2.63a-c)式可求得有效的彈性常數c_PQ為

c 11

  (1 e

ⁱ_NN

) c

₁₁

 c

₁₁₂

 e

_NNⁱ

 (4 c

₁₁

 c

₁₁₁

  c

₁₁₂

 ) u

_1,1ⁱ , (3.12a) c 22

  (1 e

ⁱ_NN

) c

₁₁

 c

₁₁₂

 e

_NNⁱ

 (4 c

₁₁

 c

₁₁₁

  c

₁₁₂

 ) u

_2,2ⁱ , (3.12b) c 33

  (1 e

ⁱ_NN

) c

₁₁

 c

₁₁₂

 e

_NNⁱ

 (4 c

₁₁

 c

₁₁₁

  c

₁₁₂

 ) u

_3,3ⁱ , (3.12c) c 23

  (1 e

ⁱ_NN

) c

₁₂

 (2 c

₁₂

 c

₁₁₂

 ) e

ⁱ_NN

 (2 c

₁₂

 c

₁₁₂

  c

₁₂₃

 ) u

_1,1ⁱ , (3.12d) c 13

  (1 e

ⁱ_NN

) c

₁₂

 (2 c

₁₂

 c

₁₁₂

 ) e

_NNⁱ

 (2 c

₁₂

 c

₁₁₂

  c

₁₂₃

 ) u

_2,2ⁱ , (3.12e) c 12

  (1 e

ⁱ_NN

) c

₁₂

 (2 c

₁₂

 c

₁₁₂

 ) e

_NNⁱ

 (2 c

₁₂

 c

₁₁₂

  c

₁₂₃

 ) u

_3,3ⁱ , (3.12f) c 44

  (1 e

ⁱ_NN

) c

₄₄

 (2 c

₄₄

 c

₁₅₅

 ) e

ⁱ_NN

 (2 c

₄₄

 c

₁₅₅

  c

₁₄₄

 ) u

_1,1ⁱ , (3.12g) c 55

  (1 e

ⁱ_NN

) c

₄₄

 (2 c

₄₄

 c

₁₅₅

 ) e

ⁱ_NN

 (2 c

₄₄

 c

₁₅₅

  c

₁₄₄

 ) u

_2,2ⁱ , (3.12h) c 66

  (1 e

ⁱ_NN

) c

₄₄

 (2 c

₄₄

 c

₁₅₅

 ) e

ⁱ_NN

 (2 c

₄₄

 c

₁₅₅

  c

₁₄₄

 ) u

_3,3ⁱ , (3.12i)

14 15 16 24 25 26 34 35 36 45 46 56 0

c c c c c c c c c c c c  ; (3.12j) 有效的熱壓常數



_P為



1

  (1 e

ⁱ_NN

)   2  u

_1,1ⁱ , (3.13a)



2

  (1 e

ⁱ_NN

)



 2



u

_2,2ⁱ , (3.13b)



3

  (1 e

ⁱ_NN

)



 2



u

_3,3ⁱ , (3.13c)

4 5 6 0











 ; (3.13d) 有效的熱常數 為

 (1 eⁱ_NN)



, (3.14)

 



_iC_E _i 



_iC_E  . ₀ (3.14') 同理，利用(2.64)式亦可求得有效的熱傳導常數

k

_P為

k

1

  (1 e

ⁱ_NN

) k  2 k u

_1,1ⁱ , (3.15a)

k

2

  (1 e

ⁱ_NN

) k  2 k u

_2,2ⁱ , (3.15b)

o o o o

c 55 c n₄₄^{o 2}c m₅₅^{o 2},

c 66 c₆₆^o(m²n^{2 2}) (c₁₁^oc₂₂^o 2 )c₁₂^o m n^{2 2},

c 16 [(c₁₂^o2c₆₆^o c₁₁^o)m²(c₁₂^o 2c₆₆^o c₂₂^o) ]n mn² , c 26 [(c₁₂^o2c₆₆^o c₁₁^o)n²(c₁₂^o 2c₆₆^o c₂₂^o)m mn²] , c 36 (c₂₃^o c₁₃^o)mn,

c 45 (c₄₄^o c₅₅^o)mn. (3.20) 轉換後之熱彈常數



_IJ與轉換前之熱彈常數



_IJ^o之間的關係為



1 



₁^om²



₂^on²,



2 



₁^on²



₂^om²,



3 



₃^o,



6 (

 

₂^o ₁^o) mn. (3.21) 轉換後之熱傳導常數

k

_IJ與轉換前之熱傳導常數

k

_IJ^o 之間的關係為

k

1

 k

₁^o

m

²

 k

₂^o

n

²,

k

2

 k

₁^o

n

²

 k

₂^o

m

²,

k

3

 k

₃^o,

k

6

 ( k

₂^o

 k

₁^o

) mn

. (3.22) 轉換後之熱常數 與轉換前之熱常數



^o之間的關係為

 



^o. (3.23)

轉換後之初始應力T 與轉換前之初始應力_IJⁱ T 之間的關係為 _IJ^oi

1i

T T m₁^{oi 2}T n₂^{oi 2},

2i

T T n₁^{oi 2}T m₂^{oi 2},

3

T i T₃^oi

 0

,

6

T i (T₂^oiT₁^oi)mn. (3.24) 根據(3.20)至(3.23)式獲得轉換後存在之係數，經座標轉換後的本構關係與熱傳導方程式 分別表示如下：

1 11 12 13 16 1 1

(3.18a, b)式相同的型式。再者，上述特殊情況的判別，對於接下來有關徹體波或是層狀 方程式(2.30c)的表現型式。因此，將(2.61a, b)與(2.30c)式代入(2.30a, b)式，可得

2

2 2

其中

其中係數A 、₈ A 、₆ A 、₄ A 與₂ A 整理如下 ₀ 準縱波(quasi-longitudinal wave)、準橫波(quasi-transverse wave)及準熱波(quasi-thermal wave)，它們之間的大小關係為：Re(c_QL) Re(c_QT1) Re(c_QT2) Re(c_Qth)。然而，為了

(decouple)的動作，並整理成下列二種情況： 波(out-of-plane wave)，QL 波、QT 波與 Qth 波則皆視為相互耦合的面內波(in-plane wave)。接著，由(3.40b)式可展開推導出矩陣的行列式並整理成c 的 3 次多項式為 ²

3.3.2 X 方向 ₁

2 1

(1) 二個 PT 波：

其質點位移的偏振方向則分別為轉換後之座標系統O X X X 下的- _{1 2 3} X 與₁ X 方向。另一₂

b34 i



₃, b₄₃  



_i



₃. (3.54)

根據(2.66a, b)所述，假設表面法向量(surface normal)

n

ˆ [ , , ]n n nˆ ˆ ˆ_{1 2 3} ，配合本研究所

3

V

X (time-averaged power flow density)。

將欲討論的模型考慮為一厚度為

h

的平板，並假設其上下表面(X₃  h 2)的邊界

U

S

根據第3.2.3 節中所述的特殊情況，當

  0

或

90

以及

 45 

且T₁^oi T₂^oi，並參考

p3k^

根據上述(3.77a, b)、(3.78a-d)、(3.79a-d)與(3.80a-d)式提供之參數，p_ik^、

q

_X^_,ik、

q

_Y^_,ik與

U 

根據第3.2.3 節中所述的特殊情況，當

  0

或

90

以及

 45 

且T₁^oi T₂^oi，假設只

其中

  n

(n0,1, 2, )為對稱模態，及

   m 1 2

(m0,1, 2,)為反對稱模態。

其次，第(M  層中須忽略了朝負1) X 方向波傳的上傳波，₃

U

_M1與

V

_M1可寫為

「勢函數」(potential function)假設作出發點，這與前面第 3.4 節關於「位移函數」假設

3.5.3 單層結構(Single-Layered Structure)

根據第3.4 節所述，以一厚度為

h

的平板為例，如圖 3.1所示，可將層狀介質假設

如圖3.1所示，考慮在平板最上層的上表面(X₃ Z₀)須滿足曳力為零，且熱源輸入滿足 (3.5')式的分佈。另外，在最下層的下表面(X₃ Z₁)則滿足無任何曳力作用與熱能流通，

即：

F

₀ {0, 0, 0,Q_in}^T與

F

₁ 

0。利用 Cramer 法則求出(3.107)式的待定係數{

C C^, ^{ T}} ， 由(3.61)式獲得位移場與溫度差的核函數(kernel function)

U

( ,



X₃, )



，再利用波數積分

[124, 125]，求得雷射激發的熱彈聲波在某一位置

( ,X X_{1 3})的頻率響應

U

( ,X X_{1 3}, )



。

3.5.4 雙層(Double-Layered)與三層(Tri-Layered)結構

考慮一層狀結構由兩個與三個不同性質的材料所組成，分別整理可得

上述(3.110a)式代表相鄰一個上半無窮域，適用於一單層平板覆蓋一個半無窮域液體，

特徵方程式(3.71)求解獲得特定的波數



與頻率



間關係，如圖 3.8所示，再代入(3.61)

反之，負X 方向傳遞情況則是將上述變數₁



_n替換為 (



_n 



_n)，將

n

替換為 n ，再依照 核函數(kernel function)，

e

^inX1為振盪函數(oscillatory function)，當波數



_n越高時其數值 振盪越強烈，為增加在積分上的準確性，數值求解方法可參考文獻[165, 166]，它是用 Chebyshev 多項式去擬合核函數，再搭配相乘的振盪函數

e

^inX1去作積分，並稱之為修正 的Clenshaw-Curtis 積分法[165]。

在一般實驗情況下，無論是使用超音波探頭(

t )或是雷射光束(

^_Z q_in^)作激發源，欲檢

 

¹ 的空間域Fourier 轉換，如同(3.111a)式的積分型式，它們的轉換表示分別為

1 1 1

最後，將(3.115)與(3.118a, b)三式代入(3.113)式，可獲得平板上表面受到施加曳力

t

^_Z 與熱源輸入q 激發後於位置_in^ ( ,X X_{1 3})的物理場 與^t  分別表示如下： ^q

它可視為系統物理場振幅大小的歸一指標，物理意義相當於沿X 方向傳遞的時間平均₁ 功率流密度P_{n n, }考慮為一個單位。如此一來，(3.61)至(3.64)式中的待定係數{C C^{  T}} 之 大小即可確定，獲得之狀態向量

U

、

V 、

_X

V 與

_Y

V 即可視為歸一化的特徵模態。再者，

_Z 為了瞭解每一個特徵模態本身是否容易受外界輸入所影響，定義第

n

個特徵模態在某一 頻率



下於上表面的可激發性函數(excitability function)為

( ) ( )

3.6.4 層狀介質之應用

欲將前兩節推導應用至層狀介質上，首先，必須先獲得波數



與頻率



間的頻散與 衰減關係。根據第3.5 節的結果，參考不同層狀結構所架構的聯立方程式，例如(3.106) 至(3.110)式，假設等號右端為零，可獲得的矩陣行列式即為該結構的特徵方程式。數值 求解該特徵方程式並獲得( , )

 

的關係，將其代回每一層的狀態向量

U

、

V 、

_X

V 與

_Y

V ，

_Z 如同(3.61)至(3.64)式所示，此結果即為每一層的特徵模態_n( ,



_n X₃, )



，接著，再經由 (3.121)式獲得歸一化的狀態向量(或特徵模態)。如同第 3.6.2 節的假設，在層狀介質的上 表面處(X₃ Z₀，即X₃ top)施予一個外界施加曳力

t ，或是一個調制雷射光束照射

^_Z 造成的熱源輸入q 。然後，接下的推導過程則如同前兩節內容所述，唯一不同處是在_in^ 時間平均功率流密度P_{n n, }與特徵模態_n( ,



_n X₃, )



兩個部分須，將單層結構推廣至多層 結構。

圖 3.1 週期調制且強度為 Gauss 分佈的光束照射在單一平板表面的示意圖。

100 80 60 40 20

a₀ 0 a₀

0

Contour radius

13.5

(P0 total power in beam)

2 0

2 2

0 0

2 2

( ) P exp r

I r a a

 

      

圖 3.2 Gauss 分佈函數圖。

X

1

圖 3.5 層狀介質的結構示意圖。

(U

0

,V

0

)

^Z0

Z

0

(U

1

,V

1

)

^Z0

( 0 ,F

0

)

^Z0

Layer-0

(U

1

,V

1

)

^Z1

(U

2

,V

2

)

^Z1

(U

2

,V

2

)

^Z2

(U

3

,V

3

)

^Z2

(U

3

,V

3

)

^Z3

(U

4

,V

4

)

^Z3

( 0 ,F

3

)

^Z3

Z

1

Z

2

Z

3

Layer-1

Layer-2

Layer-3

Layer-4 X

3

圖 3.6 三層結構且上下面皆相鄰半無窮域介質的示意圖。

圖 3.7 層狀結構模型的示意圖。

0 20 40 60 80

Frequency (MHz) 0

10 20 30

W ave nu mb er (1 /m m )

A0 S0

A₁ S₁ S₂ A₂ S₃ A₃ A₄ S₄

圖 3.8 單層平板的波數與頻率關係。

第四章 數值結果與討論

本章是依據第三章的理論推導來撰寫數值程式，主要是針對平板之熱彈導波的頻散 及衰減關係作分析討論。根據第3.4 節所述，考慮一個受水平單軸方向之初始應力作用 的單層平板，計算繪製出在板波傳遞方向與初始應力方向的夾角分別為

0

、

90

與

45

之對稱與反對稱模態的頻散及衰減曲線圖，並且討論其物理意義及比較差異。

4.1 單位和材料係數

對於材料係數的給定上，我們一般會考慮 M.K.S.制的基本單位，例如公斤(kg )、

公尺( m )、秒(

s

)以及度( K^ )。為了避免計算時各係數之間的尺度差異過大，造成數值 運算上的不穩定，我們將上述的基本單位設定改為毫克(mg )、毫米(mm )、微秒( μs )以 及千度( Kk^ )。配合第 3.2.2 節有關材料係數之假設，我們以銅箔(Cu)當作本研究欲探討 的等向性材料，參考文獻

167

與

168

所提供的材料係數，其係數給定如表4.1的第一列 自然狀態所示。再根據聲彈理論的描述，可獲得受水平單軸拉伸應力T 為₁ⁱ 0.02c 與₄₄ 0.04c 的有效係數，如表44 4.1 的第二列與第三列所示。顯而易見，根據在X X 平面上_{2 3} 的關係c₂₂ c₃₃ c₂₃2c₄₄、



₂  與



₃

k

₂

 k

₃，可知在上述兩單軸拉伸應力T 作用下，₁ⁱ 材料係數在垂直於T 施予方向的平面呈現出近似等向性(nearly isotropy)的特性，因此，₁ⁱ 整體可視為橫向等向性(transversely isotropic)材料。

4.2 徹體波的相速度

首先，先定義在自然狀態下的波速，包括縱波(L0)、橫波(S0)、Lemé 模態(Lame0) 與雷利波(R0)，如下表示：

L0 11

0

c c

 

, _S0 ⁴⁴

0

c c

 

, (4.1a, b)

Lame0

2

S0

c  c

_R0 0.87 1.12 _S0

c 1



c



 

 . (4.1c, d)

其中

 0.367

為銅箔的泊松比(Poisson’s ratio)。(4.1c)式的定義是參考文獻

169

與

170

的

根據Lamé 模態在平板厚度的共振特性，如(4.10a)與(4.11a)式所示，它們會與X 方向的₃ 橫波(S)波速有關係。此外，根據表5.1所示，因等向性材料受到單軸預應力T 的影響，₁ⁱ 材料係數在X X 平面上會呈現近似等向性特徵，_{2 3} (4.11a, b)式可提供有關 Lamé 模態波速 的準確結果；然而，在X X 平面上則會呈現正交性(orthorhombic)特徵，(4.10a, b)只能_{1 3} 提供一個近似的結果。最後，將表5.1的資料代入上述(4.4)之(4.11)式，並將在自然狀態 以及單軸預應力T 為₁ⁱ 0.02c 與₄₄ 0.04c 之初始狀態下的所有資料整理於表₄₄ 5.2。

4.3 複數尋根之曲線追蹤法

此節內容主要是介紹 Lowe

[162, 163]針對一個具額外阻尼負載之彈性介質的頻散

特徵方程式( , )f k 求解而發展出來的有效複數尋根方法，此方法又稱為曲線追蹤法。

過去對於求解特徵方程式( , )f k 並不考慮波數

k

的虛部k ，主要是在介質本身不考慮_i 阻尼負載或能量消散的影響，計算獲得的虛部值k 也會非常地小。但是，在考慮熱彈性_i 耦合的問題上，介質本身考慮了因為熱效應造成的能量消散，虛部值k 大小的影響也就_i 變的非常重要。因此，令波數k k_r ik_i k_r(1i γ_ 2 ) ，特徵方程式 ( , ) f k 可考慮為

( , , )f k k_{r i}

 或( , , )f k γ_{r } 的函數型式，其中k 與 γ_{i }分別為每單位波傳距離[Np/mm]與每 單位波長[Np/wavelength]的波數衰減。

首先，我們先參考圖4.3(a)所示波數-頻率域的頻散曲線圖，由此圖可以發現在波數 k 軸上的任意一點，皆可對應出固定數量的頻率 f ，此一特點有助於在作 f 尋根時，不r

會因為沒有對應的 f 值而無法作波數k 的掃描動作。曲線追蹤法便是以此特點作出發，_r 下面則列出此方法的步驟流程：

(1) 先在波數k 軸上任意選出鄰近間隔非常小的 3 個點_r k 、₁ k 與₂ k 。 ₃

(2) 當k_r  時，先假設k₁ κ k_i  ，此時0 ( , , )f k κ₁ 為頻率 f 的單值函數，利用 MATLAB 指令 fimbnd [172]尋找出區域最小值(local minimum)的位置點 f ，_1j 它代表在第 j 條頻散曲線所對應的頻率值。參考圖4.1所示，其中粗線代表對 頻率 的「粗略搜尋」(coarse search)，最小值即為搜尋獲得的根 f 。 _1j

(3) 以第 1 條頻散曲線所對應的頻率值 f 為例，即以₁₁ (f k₁₁, ,0)₁ 作為初始點，此時

將( , , )f k κ₁ 視為頻率 f 與衰減

κ

的函數，利用文獻

173

的

amoeba 指令在此

初始點附近尋找區域最小值且結果為(f k κ₁₁^, ,_{1 11}^)。參考圖 4.1 所示，其中細虛 線代表「細密搜尋」(fine search)的軌跡，即以粗線上的任一最小值作為初始點 出發，尋找此點附近的區域最小值。

(4) 以此類推，在固定波數k 值的情況下，可尋找出一組由₁

N

條頻散曲線所對應 的頻率與衰減數據，即

( f k κ

₁^_j

, ,

_{1 1}^_j

)

( j1 to N)。

(5) 同理，當k_r  與k₂ k 時，重複步驟(1)至(4)的流程，獲得另外兩組頻率與衰減₃ 數據，即

( f

₂^_j

, , k κ

_{2 2}^_j

)

與

( f

₃^_j

, , k κ

_{3 3}^_j

)

( j1 to N)。

(6) 以第 1 條頻散曲線上的 3 個點為例，(f k κ₁₁^, ,_{1 11}^)、(f k κ₂₁^, ,_{2 21}^ )與(f k κ₃₁^, ,_{3 31}^ )， 利用「外差法」算出第4 點(f k κ₄₁, ,_{4 41})。由於此一外差步驟是基於3 點所形成 之曲線再尋求第4 點。然而，此點結果並不會落在區域最小值的位置上，須再 以此點作為初始點，利用文獻

173

的

amoeba 指令在此初始點附近尋找區域最

小值且結果為(f k κ₄₁^, ,_{4 41}^ )。以此類推，我們可順著曲線上已知的點來追蹤搜尋 下一個未知點。參考圖4.2所示，其中空心點為外差所獲得的結果，而實心點 則為此空心點附近的區域最小值，最後，再將這些實心點連接起來繪出一條曲 線，即可建構出一條含複數根的頻散曲線。

(7) 重複步驟(6)的流程，可建構出其餘的頻散曲線。

上述步驟僅為曲線追蹤法的基本內容，但由於考慮的物理模型不同，所獲得的頻散曲線 外型的也都不同，因此，須視不同情況而對上述步驟作些修改。如圖4.3(a, b)所示，此 為利用曲線追蹤法獲得的波數實部k 與虛部_r k 對頻率_i f 的頻譜圖。

4.4 等向性平板導波的頻散及衰減曲線

此節一開始先考慮一未受應力之等向性單層平板(如銅箔)為例，應用上一節所敘述 的曲線追蹤法，經數值計算可獲得對稱及反對稱模態的頻散與衰減曲線圖，如圖4.3至 4.5所示。圖4.3(a)與4.4(a, b)為一般所知的波數k 、相速度_r c 與群速度_ph c 頻散曲線圖，_g 其中c_ph  f k_r與c_g    。然而，在圖f k_r 4.3(b)中，我們可明顯地發現除了A 模態外，₀

每一個模態的衰減(即波數虛部k_i)會在某一特定頻率時，衰減k 大小會趨近於最小值。_i

每一個模態的衰減(即波數虛部k_i)會在某一特定頻率時，衰減k 大小會趨近於最小值。_i

在文檔中 具額外阻尼之彈性板的導波波傳 (頁 93-0)