甘油液體薄層

第五章表面具黏滯性液體負載的平板導波

5.3 甘油液體薄層

如圖1所示，平板為厚度H  1 mm 的玻璃，材料係數沿用上一節之假設，其密度



為2.76 g/cm³，Lamé 常數

λ

與

μ

分別為33.6 與 26.4 GPa，縱波波速c 、橫波波速_L c 、_S 雷利波波速c 與_R Lamé 模態波速c_Lame分別為5.6、3.1、2.865 與 4.374 mm/μs；液體薄層則考慮為甘油(glycerin 或 glycerol)，其密度



_f為1.262 g/cm³，容積模數κ 為_f 4.52 GPa，

且動態黏滯係數



_f 設為 1.495 Pa.s，忽略頻散與衰減影響的縱波波速c_fluid為 1.893 mm/μs，以及 Scholte 波波速c 為_Sch 1.864 mm/μs (略小於c_fluid)。

首先，考慮液體層的厚度

h 

0.01 mm，經數值計算獲得相速度頻散與衰減頻譜圖，

如圖 5.13(a, b)所示。在圖 5.13(a)中右上方的圖例說明，淡藍色虛線代表單一平板的反對稱模態( A_m)，灰色虛線代表對稱模態(S_n)。如同上一節所述，在此一頻率範圍下，可

發現頻散曲線與原始單一平板之結果差異並不大，改稱之為擬似(pseudo-)對稱或反對稱模態。圖上方的符號

a

₁、

a

₂、

a

₃與

b

₁分別代表單一平板A 、₁ S 、₂ A 與₂ S 模態的截止₁ 頻率位置，其公式與數值可見表 5.4 的平板部分。隨著頻率逐漸增大，根據圖 5.13(a) 所示，S₀模態(藍色實線)相速度會趨近至雷利波波速c ，_R

A

₀模態(綠色實線)相速度受到液體模態的影響並不明顯，其值只會漸漸略低於c 而緩慢地往_R c_fluid靠近，而其餘A 、₁ S 、1 A 與₂ S 模態則會逐漸趨近至橫波波速₂ c 。根據圖_S 5.13(b)所示，S₀模態衰減會逐漸減小，A 模態衰減則會逐漸增大而趨近於 0.02 Np/mm。此外，除了₀

A

₀模態外，每個模態的Lamé 模態特性仍存在，但隨著頻率增大，此一現象則會越不明顯。整體而言，

圖5.13(a, b)仍保有上一節所述的特徵。

考慮液體層的厚度

h 

0.05 mm，其相速度頻散與衰減頻譜圖如圖5.14(a, b)所示。

在圖 5.14(a)中右上方的圖例說明，額外增加的粉紅色虛線代表液體層模態，代表液體

層的上下表面分別設為自由(free)與固定(fixed)邊界，其推導過程可見附錄3之內容。而圖上方的符號

c

₁為液體層模態的截止頻率位置，其公式與數值可見表 5.4 的液體層

h 

0.05 部分。由於所獲得頻散曲線已經不再具有原始單一平板的模態特性，因此使用符號

0

、1、 2 、

3

、 4 、

5

與

6

作區分。相較於圖5.13(a)，相速度頻散曲線已明顯受到液體

c

₁模態的影響，隨著頻率逐漸增大，

1

模態(藍色實線)相速度會趨近至c ，_R

0

模態(綠色實線)相速度會快速地往c_fluid靠近， 2 模態相速度在頻率大於 14 MHz 時開始略低於 c ，而其餘S

3

、 4 、

5

與

6

模態則會逐漸趨近至c 。根據圖_S 5.14(b)所示，隨著頻率逐漸增大，

0

與 2 模態衰減會逐漸增大而分別趨近於 0.6 與 0.1 Np/mm，1模態衰減則會逐漸減小，而且它的Lamé 模態特性仍存在，但其衰減值較大(在頻率 2.2 MHz 附近約 410^-5 Np/mm)。此外，根據第 5.4 節的結果，可推測

0

與

1

模態的能量會分別集中於平板的上下表面。

考慮液體層的厚度

h 

0.10 mm，其相速度頻散與衰減頻譜圖如圖5.15(a, b)所示。

在圖 5.15(a)中上方的符號

c

₂與

c

₃為液體層模態的截止頻率位置，其公式與數值可見表 5.4的液體層

h 

0.10 部分。隨著頻率逐漸增大，

1

模態(藍色實線)相速度會趨近至c ，_R 受到液體

c

₂與

c

₃模態的影響，

0

模態(綠色實線)相速度則快速地趨近於c ，2 模態相速_Sch 度在頻率大於12 MHz 時開始略低於c ，而其餘_S

3

、4 、

5

與

6

模態則會逐漸趨近至c 。_S 根據圖 5.15(b)所示，隨著頻率逐漸增大，

0

與 2 模態衰減會逐漸增大而分別趨近於 0.5

與0.1 Np/mm，1模態衰減則會逐漸減小，而且它的Lamé 模態特性則越不明顯。同理，

仍可推測

0

與

1

模態的能量會分別集中於平板的上下表面。

考慮液體層的厚度

h 

0.50 mm，其相速度頻散與衰減頻譜圖如圖5.16(a, b)所示。

在圖 5.16(a)中上方的符號

d

₁至

d

₅為液體層模態的截止頻率位置，其公式與數值可見表 5.4 的液體層

h 

0.50 部分，可發現前三個液體模態(

d

₁、

d

₂與

d

₃)已經落在平板模態的頻率範圍(約小於 5 MHz)內，代表此三個液體模態直接影響頻散曲線的分佈。根據淡藍色虛線、灰色虛線與粉紅色虛線所構成的輪廓，

0

、1 、 2 、

3

、 4 、

5

與

6

模態的曲線走向幾乎是依循此一輪廓而形成。隨著頻率逐漸增大，

0

模態(綠色實線)相速度在頻率 2 MHz 附近趨近至c ，其衰減逐漸增大且趨近至_Sch 0.5 Np/mm；

3

模態(藍色實線)相速度會趨近至c ，其衰減會逐漸減小；_R

6

模態相速度會往c 靠近，其衰減會落在_S 0.03 Np/mm 附近；其餘1 、 2 、 4 與

5

模態相速度皆會往c_fluid靠近，其衰減皆會趨近至0.2 Np/mm。

此外，

3

模態雖在7.5 與 10 MHz 附近分別與 4 與

5

模態相交會，但其衰減趨勢卻是截然不同，再者，根據上述

3

模態的雷利波特徵，其能量會集中於平板的下表面。

考慮液體層的厚度

h 

1.00 mm，其相速度頻散與衰減頻譜圖如圖5.17(a, b)所示。

在圖 5.17(a)中上方的符號

e

₁至

e

₈為液體層模態的截止頻率位置，其公式與數值可見表 5.4 的液體層

h 

1.00 部分，可發現

e

₁至

e

₅液體模態已經落在平板模態的頻率範圍內。

隨著頻率逐漸增大，

0

模態(綠色實線)相速度在頻率 1 MHz 附近趨近至c ，其衰減逐_Sch 漸增大且趨近至0.5 Np/mm；

5

模態(藍色實線)相速度會趨近至c ，其衰減逐漸減小；_R 其餘模態相速度則皆往c_fluid靠近，其衰減皆趨近至0.2 Np/mm。同理，根據上述

5

模態的雷利波特徵，其能量會集中於平板的下表面。

考慮液體層改為一半無窮域液體，其相速度頻散與衰減頻譜圖如圖5.18(a, b)所示。

整體來看，頻散曲線大致與單一平板的結果相同，不過額外增加一個

fluid

模態，此外，

A 模態在頻率小於 1 MHz 範圍下，頻散曲線與單一平板的結果會略微不同。隨著頻率0

逐漸增大，fluid 模態相速度在頻率 1 MHz 附近趨近至c ，其衰減逐漸增大且趨近至_Sch 0.2 Np/mm；A₀與S₀模態相速度皆會趨近至c ，但_R A₀模態的衰減逐漸減小，S₀模態則相反(趨近 0.3 Np/mm)；其餘A 、₁ S 、₁ A 與₂ S 模態相速度皆會往₂ c 靠近，其衰減大約_S 落在 0.02-0.2 Np/mm 範圍內。另一方面，衰減k 對頻率 f 與波數_i k 的頻譜圖可參考圖_r

5.19(a, b)所示，在頻率 f  2 MHz 與波數k_r 0.5 mm^-1時，A₀模態的衰減趨勢與

fluid

以及S₀模態的衰減截然不同，而在頻率 f  6 MHz 與波數k_r 2 mm^-1時，其衰減會趨近於零，同理，此時其能量會集中於平板的下表面。

表5.1 最小衰減值出現位置，如圖5.5中的Lamé 模態(a至

g

點)以及交點模態 (o、p與

q

三點)，頻率、波數、相速度、群速度與界面處(X₃ )軌跡振幅比 0

的資料整理。

Lamé modes Intersection modes

b d f o' p q'

Plate mode A

A

Frequency (MHz) - 4.370 8.805 13.389 5.230 6.401 9.067 Wavenumber (mm

^-1

) - 1.002 2.034 3.134 0.792 0.562 1.544 Phase velocity (mm/μs) - 4.361 4.329 4.272 6.604 11.389 5.872 Group velocity (mm/μs) - 2.181 2.188 2.208 2.739 2.301 3.649

|u

/u

| at X

= 0 - 66.421 55.707 96.893 0.0061 63.483 0.0140

a c e g o p' q

Plate mode S

S

Frequency (MHz) 2.183 6.575 11.071 15.752 5.233 6.413 9.072 Wavenumber (mm

^-1

) 0.500 1.512 2.572 3.716 0.792 0.562 1.544 Phase velocity (mm/μs) 4.366 4.348 4.304 4.239 6.608 11.412 5.876 Group velocity (mm/μs) 2.170 2.183 2.196 2.223 3.289 1.025 4.064

|u

/u

| at X

= 0 263.654 55.909 64.027 131.850 54.494 0.0046 22.759

表5.2 在平板之界面處(X3 0)與下表面(X3 H)，出現特殊方向的質點軌跡的頻率、波數與相速度的範圍。

Clockwise trajectory of particle at the interface (X

= 0) corresponding to Figs. 5.7(a, b)

a b c d e f g

Plate mode S

A

S

A

S

A

S

Frequency (MHz)  2.183  4.388  6.610  8.858  11.128  13.438  15.797 Wavenumber (mm

^-1

)  0.500  1.010  1.528  2.058  2.598  3.156  3.736 Phase velocity (mm/μs)  4.366  4.344  4.326  4.304  4.283  4.258  4.228

Counterclockwise trajectory of particle at the bottom surface (X

= H) corresponding to Figs. 5.8(a, b)

a b c d e f g

Plate mode S

A

S

A

S

A

S

Frequency (MHz)  2.179  4.357  6.535  8.713  10.891  13.064  15.241

Wavenumber (mm

^-1

)  0.498  0.996  1.494  1.992  2.490  2.986  3.484

Phase velocity (mm/μs)  4.375  4.375  4.374  4.374  4.374  4.375  4.375

表5.3 在界面處(X₃  )質點軌跡出現最小振幅比0 |u u ，以及液體薄層之 ₃ ₁| 界面處(X₃ )與上表面(0 X₃   )間出現最少壓力差| (0)h p  p( h)|，頻率、

波數、相速度與群速度的資料整理。

Minimum amplitude ratio |u

/u

| of particle trajectory at X

= 0 corresponding to Fig. 5.7(a)

o' p' q' r s t

Plate mode A

S

A

S

Frequency (MHz) 5.247 6.422 9.096 3.734 7.447 11.160 Wavenumber (mm

^-1

) 0.798 0.570 1.552 0.670 1.334 1.998 Phase velocity (mm/μs) 6.575 11.266 5.861 5.574 5.583 5.586 Group velocity (mm/μs) 2.775 1.049 3.661 4.730 4.699 4.668

Least pressure difference |p(0)  p(h)| in the fluid layer corresponding to Fig. 5.11

o' p' q' r s t

Plate mode A

S

A

S

Frequency (MHz) 5.193 6.422 8.973 3.715 7.400 11.085

Wavenumber (mm

^-1

) 0.778 0.570 1.518 0.666 1.324 1.982

Phase velocity (mm/μs) 6.674 11.266 5.911 5.579 5.589 5.593

Group velocity (mm/μs) 2.654 1.049 3.607 4.724 4.705 4.702

表5.4 平板(玻璃)與不同厚度之液體薄層(甘油)的截止頻率大小。

Flat Plate (Glass) Fluid Layer (Glycerol) with Different Thickness

f

cut

 Nc H (  S, L ) f

_cut

  c

_fluid

h

c

_fluid

c

_fluid

c

_fluid

c

_fluid

c

_fluid

N H  1.00 H  1.00  h  0.01 h  0.05 h  0.10 h  0.50 h  1.00 0.5 1.546 (a

) 2.798 (b

) 0.25 47.313 9.463 (c

) 4.731 (c

) 0.946 (d

) 0.473 (e

) 1.0 3.093 (a

) 5.595 0.75  28.388 14.194 (c

) 2.839 (d

) 1.419 (e

) 1.5 4.639 (a

) 8.393 1.25  23.656 4.731 (d

) 2.366 (e

) 2.0 6.186 11.190 1.75  6.624 (d

) 3.312 (e

) 2.5 7.732 13.988 2.25 8.516 (d

) 4.258 (e

)

3.0 9.278 16.785 2.75 10.409 5.204 (e

)

3.5 10.825 19.583 3.25 12.301 6.151 (e

)

4.0 12.371 22.380 3.75 14.194 7.097 (e

)

4.5 13.918  4.25 16.086 8.043

5.0 15.464 4.75 17.979 8.990

X 3

X 1

H h

O

Fluid layer

Plate

圖5.1 具液體負載之平板結構幾何示意圖。

1 

C C ₁ ^

2 C  2

C 

X 1

X 3

H h

圖5.2 以界面X₃  為基準，在介質 1 (液體)中，0

C 與

₁^

C 分別為抵達波與離開波，

₁^ 在介質2 (玻璃)中，

C 與

₂^

C 分別為抵達波與離開波。

₂^

0 2 4 6 8 10 12 14 16

(a)

-0.05 0 0.05

-0.05 0 0.05 a: S0 mode c: S1 mode e: S2 mode g: S3 mode

b: A1 mode d: A2 mode f: A3 mode

(b)

o: S2 mode p': S3 mode q: S3 mode o': A2 mode p: A3 mode q': A3 mode

-0.05 0 0.05

-0.05 0 0.05 -0.05 0 0.05

-0.05 0 0.05

圖5.6 位移u (實線)與₁ u (虛線)示意圖。(a)為 Lamé 模態，即衰減頻譜的 ₃

a

至

g

點。(b)為交點模態，即波數實部k 交會的_r

o、p

與

q

三點。

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Amplitude ratio | u

/ u

|

A₀

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Amplitude ratio | u

/ u

|

A₀

-0.05 0 0.05 -0.05 0 0.05 -0.05 0 0.05 -0.05 0 0.05 -0.05 0 0.05

1 MHz 2 MHz 3 MHz 4 MHz 5 MHz

6 MHz 7 MHz 8 MHz 9 MHz 10 MHz

(a)

(b)

^{1 MHz} ^{2 MHz} ^{3 MHz} ^{4 MHz} ^{5 MHz}

6 MHz 7 MHz 8 MHz 9 MHz 10 MHz

-0.05 0 0.05 -0.05 0 0.05 -0.05 0 0.05 -0.05 0 0.05 -0.05 0 0.05

圖5.9 在頻率範圍 1 至 10 MHz 間位移u (實線)與₁ u (虛線)示意圖。 ₃ (a) A0模態，(b) S0模態。

-0.05 0 0.05 -0.05 0 0.05 -0.05 0 0.05 -0.05 0 0.05 -0.05 0 0.05

-0.05 0 0.05 -0.05 0 0.05 -0.05 0 0.05 -0.05 0 0.05 -0.05 0 0.05 1.2 MHz

2.2 MHz 2.4 MHz 2.6 MHz 2.8 MHz 3.0 MHz

1.4 MHz 1.6 MHz 1.8 MHz 2.0 MHz

(a)

3.4 MHz

4.4 MHz 4.6 MHz 4.8 MHz 5.0 MHz 5.2 MHz

3.6 MHz 3.8 MHz 4.0 MHz 4.2 MHz

-0.03 0 0.03 -0.03 0 0.03 -0.03 0 0.03 -0.03 0 0.03 -0.03 0 0.03

(b)

5.6 MHz

6.6 MHz 6.8 MHz 7.0 MHz 7.2 MHz 7.4 MHz

5.8 MHz 6.0 MHz 6.2 MHz 6.4 MHz

-0.03 0 0.03 -0.03 0 0.03 -0.03 0 0.03 -0.03 0 0.03 -0.03 0 0.03

(c)

圖5.10 平板上表面之質點軌跡示意圖。(a) S0模態在頻率範圍1.2 至 3.0 MHz，

(b) A1模態在頻率範圍3.4 至 5.2 MHz，(c) S1模態在頻率範圍5.6 至 7.4 MHz。

0 2 4 6 8 10 12 14 16 Frequency (MHz)

0.0001 0.001 0.01 0.1 1

| p (0 )  p ( h )| (G P a)

A₀

S₀

S₀ A1

S₁ A₂

S₂ A₃

S₃

o' p'

q' r

s

t

圖5.11 厚度 1 mm 玻璃板覆蓋厚度 0.01 mm PVA 液體薄層，液體薄層於界面(X₃  )與上表面(0 X₃   )間的壓力差頻譜圖。 h

r: S1 mode s: S2 mode t: S3 mode

-0.05 0 0.05 -0.05 0 0.05 -0.05 0 0.05

圖5.12 位移u (實線)與₁ u (虛線)示意圖。如圖₃ 5.4(b)所示，r、s與

t

三點分別為S1、S2與S3之群速度最大值位置。

0 2 4 6 8 10 12 14 16

在文檔中具額外阻尼之彈性板的導波波傳 (頁 177-0)

第五章 表面具黏滯性液體負載的平板導波

5.3 甘油液體薄層



λ

μ





h 

a

a

a

b

A

A

h 

c

h 

0

3

5

6

c

1

0

3

5

6

0

0

1

h 

c

c

h 

1

c

c

0

3

5

6

0

0

1

h 

d

d

h 

d

d

d

0

3

5

6

0

3

6

5

3

5

3

h 

e

e

h 

e

e

0

5

5

fluid

fluid

g

q

Lamé modes Intersection modes

b d f o' p q'

Plate mode A

A

第五章表面具黏滯性液體負載的平板導波