在初始狀態下描述

其中e_或e_IJK為排列(permutation)或 Levi-Civita 符號。將(2.46a)式代入(2.52)式，考慮 線性部分，忽略初始位移梯度之二次以上的乘積項，則

J

與J^1可近似為

( , ) 將(2.58'a, b)式代入(2.56a, b)與(2.57a, b)式，經整理可獲得基於初始狀態座標系統的本構 方程式分別為

,

IJKL KLIJ JIKL

參考 Auld

[120, 121]提出的方法，推導本論文需要的互置定理(reciprocity theorem)，藉

以瞭解材料內部的能量分佈及其功率傳輸，說明雷射激發熱彈聲波之應變能與熱能的傳 遞及衰減現象。

2.4.1 熱彈耦合的互置定理

根據熱傳導方程式(2.30c)，可得知

 

^_,J

(

_i^1

q

_J

)  0

。假設

此外，為配合矩陣向量型式表示，先定義施加曳力 t 與輸入熱能q 為 _in (forced oscillation filed)的正則模態展開法(normal mode expansion)，求解系統受到外界激

振影響後的物理場，此即頻率



的響應。

(

_{m n}

) 4

_{m n},

 

(surface source)與體積源(volume source)並定義如下：

s



1



, 時間平均功率流密度(time-average power flow per unit width)。此外，再由(2.96)式的微分 型式可知，它屬於一階線性非齊次微分方程式，其特解為

第三章 光熱效應之波傳理論

光聲光熱效應的含意是指物質吸收光能量而激發出聲波的效應，本文是將光源當作 一個方便且可精確控制的加熱型式來使用。因此，如圖3.1所示，將調制雷射光假設為 光源，考慮試件的表面為自由表面，在表面局部加熱而生成時諧的彈性波與熱波。物理 模型須藉由具殘留應力之熱彈耦合的統御與本構方程式來建立，並以層狀介質熱彈波傳 理論探討薄膜結構殘留應力的光聲效應。

此一章節主要分為五大部分：第一部分是說明原座標系統為配合在水平X X 平面_{1 2} 上之波傳方向所作的座標轉換；第二部分則是推導經座標轉換後的熱彈耦合本構與統御 方程式；第三部分是以平面波波傳理論推導出熱彈耦合的Christoffel 方程式及其相速度 表示式；第四部分以在層狀介質中的傳遞導波波傳理論推導出平板導波的頻散及衰減的 特徵方程式；最後，第五部分是利用第2.4 節的互置理論來推導模態正交歸一條件以及 正則模態展開法，並配合所描述調制熱源輸入的Gauss 外形及其空間的 Fourier 轉換，

求解試件表面受到熱源輸入而激發的光聲訊號頻率響應。

3.1 熱源輸入及其傅立葉積分轉換

如圖 3.1 所示，考慮一個範圍為  X X₁, ₂   與 h X₃  的平板，而且藉由h 強度調制的雷射光作激發。首先，將雷射考慮為一個 TEM00 模態的光束，其輸出功率 為I (單位為 W)，半徑為₀ a ，且功率強度的空間分佈函數屬於二維 Gaussian 分佈。此₀ 外，光束半徑a 的大小，一般定義為光束中心軸(beam axis)至光強度大小降至峰值 1/e₀ ² ( 13.5%)之位置的距離，幾何示意圖可見如圖3.2。因此，雷射光於試件表面X₃  處0 的輸入熱源q_in( ,X X t_{1 2}, )可表示為

in( ,X X t1 2, ) (1 R I g X X) 0 ( ,1 2) ( )f t

q , (3.1)

其中 R 為試件的光學反射係數(optical reflectivity)。空間分佈函數g X X( ,_{1 2})假設為[105]

2 2

1 2

1 2 2 2

0 0

( , ) 2 exp 2 X X g X X

a a

  

      

, (3.2)

且此函數對二維無限空間的積分大小為1，即：

 

_{ }^{ }

g X X ( ,

_{1 2}

) dX dX

_{1 2}

 1

^{。時間變化} 曲線(temporal profile) f t 則是根據雷射光的輸入型式而有所不同，大致區分為連續波( ) (continuous wave, CW)與脈衝(pulse)兩種型式。首先，對於一連續波型式之雷射，其 ( )f t 可假設為一含有

n

個脈衝的調制序列(modulated train)，其函數表示為[164]

12 c c

空間域g X X( ,_{1 2})與波數域G( ,



X₂)間的Fourier 積分轉換對之型式可表示如下

3.2 水平 X ₁ X 2 平面之座標轉換

其中T₁ⁱ T₁₁ⁱ 與T₂ⁱ T₂₂ⁱ 。在上述(3.11a-d)式，此材料受水平軸向初始應力的作用過程中，

假設忽略了剪應變的存在。因此，利用(2.63a-c)式可求得有效的彈性常數c_PQ為

c 11

  (1 e

ⁱ_NN

) c

₁₁

 c

₁₁₂

 e

_NNⁱ

 (4 c

₁₁

 c

₁₁₁

  c

₁₁₂

 ) u

_1,1ⁱ , (3.12a) c 22

  (1 e

ⁱ_NN

) c

₁₁

 c

₁₁₂

 e

_NNⁱ

 (4 c

₁₁

 c

₁₁₁

  c

₁₁₂

 ) u

_2,2ⁱ , (3.12b) c 33

  (1 e

ⁱ_NN

) c

₁₁

 c

₁₁₂

 e

_NNⁱ

 (4 c

₁₁

 c

₁₁₁

  c

₁₁₂

 ) u

_3,3ⁱ , (3.12c) c 23

  (1 e

ⁱ_NN

) c

₁₂

 (2 c

₁₂

 c

₁₁₂

 ) e

ⁱ_NN

 (2 c

₁₂

 c

₁₁₂

  c

₁₂₃

 ) u

_1,1ⁱ , (3.12d) c 13

  (1 e

ⁱ_NN

) c

₁₂

 (2 c

₁₂

 c

₁₁₂

 ) e

_NNⁱ

 (2 c

₁₂

 c

₁₁₂

  c

₁₂₃

 ) u

_2,2ⁱ , (3.12e) c 12

  (1 e

ⁱ_NN

) c

₁₂

 (2 c

₁₂

 c

₁₁₂

 ) e

_NNⁱ

 (2 c

₁₂

 c

₁₁₂

  c

₁₂₃

 ) u

_3,3ⁱ , (3.12f) c 44

  (1 e

ⁱ_NN

) c

₄₄

 (2 c

₄₄

 c

₁₅₅

 ) e

ⁱ_NN

 (2 c

₄₄

 c

₁₅₅

  c

₁₄₄

 ) u

_1,1ⁱ , (3.12g) c 55

  (1 e

ⁱ_NN

) c

₄₄

 (2 c

₄₄

 c

₁₅₅

 ) e

ⁱ_NN

 (2 c

₄₄

 c

₁₅₅

  c

₁₄₄

 ) u

_2,2ⁱ , (3.12h) c 66

  (1 e

ⁱ_NN

) c

₄₄

 (2 c

₄₄

 c

₁₅₅

 ) e

ⁱ_NN

 (2 c

₄₄

 c

₁₅₅

  c

₁₄₄

 ) u

_3,3ⁱ , (3.12i)

14 15 16 24 25 26 34 35 36 45 46 56 0

c c c c c c c c c c c c  ; (3.12j) 有效的熱壓常數



_P為



1

  (1 e

ⁱ_NN

)   2  u

_1,1ⁱ , (3.13a)



2

  (1 e

ⁱ_NN

)



 2



u

_2,2ⁱ , (3.13b)



3

  (1 e

ⁱ_NN

)



 2



u

_3,3ⁱ , (3.13c)

4 5 6 0











 ; (3.13d) 有效的熱常數 為

 (1 eⁱ_NN)



, (3.14)

 



_iC_E _i 



_iC_E  . ₀ (3.14') 同理，利用(2.64)式亦可求得有效的熱傳導常數

k

_P為

k

1

  (1 e

ⁱ_NN

) k  2 k u

_1,1ⁱ , (3.15a)

k

2

  (1 e

ⁱ_NN

) k  2 k u

_2,2ⁱ , (3.15b)

o o o o

c 55 c n₄₄^{o 2}c m₅₅^{o 2},

c 66 c₆₆^o(m²n^{2 2}) (c₁₁^oc₂₂^o 2 )c₁₂^o m n^{2 2},

c 16 [(c₁₂^o2c₆₆^o c₁₁^o)m²(c₁₂^o 2c₆₆^o c₂₂^o) ]n mn² , c 26 [(c₁₂^o2c₆₆^o c₁₁^o)n²(c₁₂^o 2c₆₆^o c₂₂^o)m mn²] , c 36 (c₂₃^o c₁₃^o)mn,

c 45 (c₄₄^o c₅₅^o)mn. (3.20) 轉換後之熱彈常數



_IJ與轉換前之熱彈常數



_IJ^o之間的關係為



1 



₁^om²



₂^on²,



2 



₁^on²



₂^om²,



3 



₃^o,



6 (

 

₂^o ₁^o) mn. (3.21) 轉換後之熱傳導常數

k

_IJ與轉換前之熱傳導常數

k

_IJ^o 之間的關係為

k

1

 k

₁^o

m

²

 k

₂^o

n

²,

k

2

 k

₁^o

n

²

 k

₂^o

m

²,

k

3

 k

₃^o,

k

6

 ( k

₂^o

 k

₁^o

) mn

. (3.22) 轉換後之熱常數 與轉換前之熱常數



^o之間的關係為

 



^o. (3.23)

轉換後之初始應力T 與轉換前之初始應力_IJⁱ T 之間的關係為 _IJ^oi

1i

T T m₁^{oi 2}T n₂^{oi 2},

2i

T T n₁^{oi 2}T m₂^{oi 2},

3

T i T₃^oi

 0

,

6

T i (T₂^oiT₁^oi)mn. (3.24) 根據(3.20)至(3.23)式獲得轉換後存在之係數，經座標轉換後的本構關係與熱傳導方程式 分別表示如下：

1 11 12 13 16 1 1

(3.18a, b)式相同的型式。再者，上述特殊情況的判別，對於接下來有關徹體波或是層狀 方程式(2.30c)的表現型式。因此，將(2.61a, b)與(2.30c)式代入(2.30a, b)式，可得

2

2 2

其中

其中係數A 、₈ A 、₆ A 、₄ A 與₂ A 整理如下 ₀ 準縱波(quasi-longitudinal wave)、準橫波(quasi-transverse wave)及準熱波(quasi-thermal wave)，它們之間的大小關係為：Re(c_QL) Re(c_QT1) Re(c_QT2) Re(c_Qth)。然而，為了

(decouple)的動作，並整理成下列二種情況： 波(out-of-plane wave)，QL 波、QT 波與 Qth 波則皆視為相互耦合的面內波(in-plane wave)。接著，由(3.40b)式可展開推導出矩陣的行列式並整理成c 的 3 次多項式為 ²

3.3.2 X 方向 ₁

2 1

(1) 二個 PT 波：

其質點位移的偏振方向則分別為轉換後之座標系統O X X X 下的- _{1 2 3} X 與₁ X 方向。另一₂

b34 i



₃, b₄₃  



_i



₃. (3.54)

根據(2.66a, b)所述，假設表面法向量(surface normal)

n

ˆ [ , , ]n n nˆ ˆ ˆ_{1 2 3} ，配合本研究所

3

V

X (time-averaged power flow density)。

將欲討論的模型考慮為一厚度為

h

的平板，並假設其上下表面(X₃  h 2)的邊界

U

S

根據第3.2.3 節中所述的特殊情況，當

  0

或

90

以及

 45 

且T₁^oi T₂^oi，並參考

p3k^

根據上述(3.77a, b)、(3.78a-d)、(3.79a-d)與(3.80a-d)式提供之參數，p_ik^、

q

_X^_,ik、

q

_Y^_,ik與

U 

根據第3.2.3 節中所述的特殊情況，當

  0

或

90

以及

 45 

且T₁^oi T₂^oi，假設只

其中

  n

(n0,1, 2, )為對稱模態，及

   m 1 2

(m0,1, 2,)為反對稱模態。

其次，第(M  層中須忽略了朝負1) X 方向波傳的上傳波，₃

U

_M1與

V

_M1可寫為

「勢函數」(potential function)假設作出發點，這與前面第 3.4 節關於「位移函數」假設

3.5.3 單層結構(Single-Layered Structure)

根據第3.4 節所述，以一厚度為

h

的平板為例，如圖 3.1所示，可將層狀介質假設

如圖3.1所示，考慮在平板最上層的上表面(X₃ Z₀)須滿足曳力為零，且熱源輸入滿足 (3.5')式的分佈。另外，在最下層的下表面(X₃ Z₁)則滿足無任何曳力作用與熱能流通，

即：

F

₀ {0, 0, 0,Q_in}^T與

F

₁ 

0。利用 Cramer 法則求出(3.107)式的待定係數{

C C^, ^{ T}} ， 由(3.61)式獲得位移場與溫度差的核函數(kernel function)

U

( ,



X₃, )



，再利用波數積分

[124, 125]，求得雷射激發的熱彈聲波在某一位置

( ,X X_{1 3})的頻率響應

U

( ,X X_{1 3}, )



。

3.5.4 雙層(Double-Layered)與三層(Tri-Layered)結構

考慮一層狀結構由兩個與三個不同性質的材料所組成，分別整理可得

上述(3.110a)式代表相鄰一個上半無窮域，適用於一單層平板覆蓋一個半無窮域液體，

特徵方程式(3.71)求解獲得特定的波數



與頻率



間關係，如圖 3.8所示，再代入(3.61)

反之，負X 方向傳遞情況則是將上述變數₁



_n替換為 (



_n 



_n)，將

n

替換為 n ，再依照 核函數(kernel function)，

e

^inX1為振盪函數(oscillatory function)，當波數



_n越高時其數值 振盪越強烈，為增加在積分上的準確性，數值求解方法可參考文獻[165, 166]，它是用 Chebyshev 多項式去擬合核函數，再搭配相乘的振盪函數

e

^inX1去作積分，並稱之為修正 的Clenshaw-Curtis 積分法[165]。

在一般實驗情況下，無論是使用超音波探頭(

t )或是雷射光束(

^_Z q_in^)作激發源，欲檢

 

¹ 的空間域Fourier 轉換，如同(3.111a)式的積分型式，它們的轉換表示分別為

1 1 1

最後，將(3.115)與(3.118a, b)三式代入(3.113)式，可獲得平板上表面受到施加曳力

t

^_Z 與熱源輸入q 激發後於位置_in^ ( ,X X_{1 3})的物理場 與^t  分別表示如下： ^q

它可視為系統物理場振幅大小的歸一指標，物理意義相當於沿X 方向傳遞的時間平均₁ 功率流密度P_{n n, }考慮為一個單位。如此一來，(3.61)至(3.64)式中的待定係數{C C^{  T}} 之 大小即可確定，獲得之狀態向量

U

、

V 、

_X

V 與

_Y

V 即可視為歸一化的特徵模態。再者，

_Z 為了瞭解每一個特徵模態本身是否容易受外界輸入所影響，定義第

n

個特徵模態在某一 頻率



下於上表面的可激發性函數(excitability function)為

( ) ( )

3.6.4 層狀介質之應用

欲將前兩節推導應用至層狀介質上，首先，必須先獲得波數



與頻率



間的頻散與 衰減關係。根據第3.5 節的結果，參考不同層狀結構所架構的聯立方程式，例如(3.106) 至(3.110)式，假設等號右端為零，可獲得的矩陣行列式即為該結構的特徵方程式。數值 求解該特徵方程式並獲得( , )

 

的關係，將其代回每一層的狀態向量

U

、

V 、

_X

V 與

_Y

V ，

_Z 如同(3.61)至(3.64)式所示，此結果即為每一層的特徵模態_n( ,



_n X₃, )



，接著，再經由 (3.121)式獲得歸一化的狀態向量(或特徵模態)。如同第 3.6.2 節的假設，在層狀介質的上 表面處(X₃ Z₀，即X₃ top)施予一個外界施加曳力

t ，或是一個調制雷射光束照射

^_Z 造成的熱源輸入q 。然後，接下的推導過程則如同前兩節內容所述，唯一不同處是在_in^ 時間平均功率流密度P_{n n, }與特徵模態_n( ,



_n X₃, )



兩個部分須，將單層結構推廣至多層 結構。

圖 3.1 週期調制且強度為 Gauss 分佈的光束照射在單一平板表面的示意圖。

100 80 60 40 20

a₀ 0 a₀

0

Contour radius

13.5

(P0 total power in beam)

2 0

2 2

0 0

2 2

( ) P exp r

I r a a

 

      

圖 3.2 Gauss 分佈函數圖。

X

1

圖 3.5 層狀介質的結構示意圖。

(U

0

,V

0

)

^Z0

Z

0

(U

1

,V

1

)

^Z0

( 0 ,F

0

)

^Z0

Layer-0

(U

1

,V

1

)

^Z1

(U

2

,V

2

)

^Z1

(U

2

,V

2

)

^Z2

(U

3

,V

3

)

^Z2

(U

3

,V

3

)

^Z3

(U

4

,V

4

)

^Z3

( 0 ,F

3

)

^Z3

Z

1

Z

2

Z

3

Layer-1

Layer-2

Layer-3

Layer-4 X

3

圖 3.6 三層結構且上下面皆相鄰半無窮域介質的示意圖。

圖 3.7 層狀結構模型的示意圖。

0 20 40 60 80

Frequency (MHz) 0

10 20 30

W ave nu mb er (1 /m m )

A0 S0

A₁ S₁ S₂ A₂ S₃ A₃ A₄ S₄

圖 3.8 單層平板的波數與頻率關係。

第四章 數值結果與討論

本章是依據第三章的理論推導來撰寫數值程式，主要是針對平板之熱彈導波的頻散 及衰減關係作分析討論。根據第3.4 節所述，考慮一個受水平單軸方向之初始應力作用 的單層平板，計算繪製出在板波傳遞方向與初始應力方向的夾角分別為

0

、

90

與

45

之對稱與反對稱模態的頻散及衰減曲線圖，並且討論其物理意義及比較差異。

4.1 單位和材料係數

對於材料係數的給定上，我們一般會考慮 M.K.S.制的基本單位，例如公斤(kg )、

公尺( m )、秒(

s

)以及度( K^ )。為了避免計算時各係數之間的尺度差異過大，造成數值 運算上的不穩定，我們將上述的基本單位設定改為毫克(mg )、毫米(mm )、微秒( μs )以 及千度( Kk^ )。配合第 3.2.2 節有關材料係數之假設，我們以銅箔(Cu)當作本研究欲探討 的等向性材料，參考文獻

167

與

168

所提供的材料係數，其係數給定如表4.1的第一列 自然狀態所示。再根據聲彈理論的描述，可獲得受水平單軸拉伸應力T 為₁ⁱ 0.02c 與₄₄ 0.04c 的有效係數，如表44 4.1 的第二列與第三列所示。顯而易見，根據在X X 平面上_{2 3} 的關係c₂₂ c₃₃ c₂₃2c₄₄、



₂  與



₃

k

₂

 k

₃，可知在上述兩單軸拉伸應力T 作用下，₁ⁱ 材料係數在垂直於T 施予方向的平面呈現出近似等向性(nearly isotropy)的特性，因此，₁ⁱ 整體可視為橫向等向性(transversely isotropic)材料。

4.2 徹體波的相速度

首先，先定義在自然狀態下的波速，包括縱波(L0)、橫波(S0)、Lemé 模態(Lame0) 與雷利波(R0)，如下表示：

L0 11

0

c c

 

, _S0 ⁴⁴

0

c c

 

, (4.1a, b)

Lame0

2

S0

c  c

_R0 0.87 1.12 _S0

c 1



c



 

 . (4.1c, d)

其中

 0.367

為銅箔的泊松比(Poisson’s ratio)。(4.1c)式的定義是參考文獻

169

與

170

的

根據Lamé 模態在平板厚度的共振特性，如(4.10a)與(4.11a)式所示，它們會與X 方向的₃ 橫波(S)波速有關係。此外，根據表5.1所示，因等向性材料受到單軸預應力T 的影響，₁ⁱ 材料係數在X X 平面上會呈現近似等向性特徵，_{2 3} (4.11a, b)式可提供有關 Lamé 模態波速 的準確結果；然而，在X X 平面上則會呈現正交性(orthorhombic)特徵，(4.10a, b)只能_{1 3} 提供一個近似的結果。最後，將表5.1的資料代入上述(4.4)之(4.11)式，並將在自然狀態 以及單軸預應力T 為₁ⁱ 0.02c 與₄₄ 0.04c 之初始狀態下的所有資料整理於表₄₄ 5.2。

4.3 複數尋根之曲線追蹤法

此節內容主要是介紹 Lowe

[162, 163]針對一個具額外阻尼負載之彈性介質的頻散

特徵方程式( , )f k 求解而發展出來的有效複數尋根方法，此方法又稱為曲線追蹤法。

過去對於求解特徵方程式( , )f k 並不考慮波數

k

的虛部k ，主要是在介質本身不考慮_i 阻尼負載或能量消散的影響，計算獲得的虛部值k 也會非常地小。但是，在考慮熱彈性_i 耦合的問題上，介質本身考慮了因為熱效應造成的能量消散，虛部值k 大小的影響也就_i 變的非常重要。因此，令波數k k_r ik_i k_r(1i γ_ 2 ) ，特徵方程式 ( , ) f k 可考慮為

( , , )f k k_{r i}

 或( , , )f k γ_{r } 的函數型式，其中k 與 γ_{i }分別為每單位波傳距離[Np/mm]與每 單位波長[Np/wavelength]的波數衰減。

首先，我們先參考圖4.3(a)所示波數-頻率域的頻散曲線圖，由此圖可以發現在波數 k 軸上的任意一點，皆可對應出固定數量的頻率 f ，此一特點有助於在作 f 尋根時，不r

會因為沒有對應的 f 值而無法作波數k 的掃描動作。曲線追蹤法便是以此特點作出發，_r 下面則列出此方法的步驟流程：

(1) 先在波數k 軸上任意選出鄰近間隔非常小的 3 個點_r k 、₁ k 與₂ k 。 ₃

(1) 先在波數k 軸上任意選出鄰近間隔非常小的 3 個點_r k 、₁ k 與₂ k 。 ₃

在文檔中 具額外阻尼之彈性板的導波波傳 (頁 82-0)