第四章 實證結果
第二節 全樣本極值模型的相關估計結果
由上一節的介紹，我們了解匯率日報酬率資料可能具有厚尾的現象，這個部分 我們將透過極值模型，以全樣本資料估計非條件及條件模型之參數，以了解資料尾 部行為的表現。本文所使用的極值模型包括二類，一為參數化法的GEV 及 GPD 模 型，一為非參數法的Hill 估計式(CHE)。若未考慮當期波動性，直接運用這些 EVT 模型，稱之為「非條件模型」，包括GEV、GPD 以及 CHE 等極值模型的參數估計；
而若根據McNeil and Frey (2000)的二階段方法，則稱為「條件模型」，包括條件 GPD(Cond. GPD)、條件 GEV(Cond. GEV)以及條件 Hill 估計式(Cond. CHE)等模型 的參數估計。
以下我們分為三個部分，分別討論ARMA(p1,q1)~GARCH(p2,q2)配適結果、門 檻值的決定，以及全樣本極值模型的估計結果：
一、條件法ARMA(p1,q1)~GARCH(p2,q2)配適結果
在條件模型中，我們以ARMA(p1,q1)以及 GARCH(p2,q2)，分別描述條件平均數 以及條件變異數，我們透過AIC(Akaike information criterion)認定 ARMA 模型的階 次，並以準最大概似法(pseudo-maximum-likelihood )進行參數估計，並取出標準化 後的殘差數列。表5-1 至表 5-9 表示各國匯率日報酬率，配適
ARMA(p1,q1)~GARCH(p2,q2)之後的結果；由參數估計值的顯著性來看，模型的參數 估計值在5%顯著水準之下均顯著異於 0，代表 ARMA(p1,q1)~GARCH(p2,q2)的模型 設定是恰當的；進一步針對標準化殘差進行序列相關的檢定，透過相差12 期的 Ljung-Box Q 以及 Ljung-Box Q2檢定，在5%顯著水準之下，均無法拒絕序列不相關 的虛無假設，表示標準化殘差均具iid的性質，與極值理論假設的要求相符。另外 J-B 統計量的檢定結果，顯示標準化殘差仍均拒絕分配為常態的虛無假設。接著，
我們將以極值理論模型配適標準化殘差，估計標準化殘差的尾部型態，並進一步進 行風險值的計算。
二、門檻值的決定
在運用非條件模型及條件模型在進行參數估計前，需要先決定極端值的個數。
在GEV 模型中，須決定資料區塊長度(l)(block length)，以取出區塊最大值做為極 端值，而GPD 以及 CHE 模型的估計，則須先設定門檻值，以決定超越值的個數，
即門檻水準。為使模型在同一基準下進行比較，我們將GEV 模型的極端值個數設 定為與GPD 及 CHE 的門檻水準接近之值，以利觀察比較各模型的績效表現。
常見門檻水準的決定方式，可以透過圖示法的方式決定，其中常見的有超越值 均數圖(Mean excess plot)或 Hill 圖(Hill plot)，但圖示法一般認為較不客觀，因此過 去文獻(McNeil and Frey, 2000; Bali, 2003; Brooks, Clare, Dalle Molle and Persand, 2005)採排序後資料數列左尾第 5 或第 2.5 百分位數之觀察值為門檻值。本文亦採用 此法，取左尾第5 及第 1 百分位數為門檻值，分別以樣本均數減 1.96 倍以及 2 倍樣 本標準差之值為左尾的門檻值，m則為小於門檻值之資料個數，右尾亦採同一作法。
另外，本文也採用Hall(1990)、Danielsson et al. (1997a)及 Danielsson et al. (2001) 所提出之三種以「部分樣本自體抽樣法」決定最適門檻水準的方法，進行參數估計，
以及風險值的計算。
總的來看，本文採用四種方式決定門檻值，其一、經驗法則，取左尾第5 百分 位數(門檻值(I))以及左尾第 1 百分位數(門檻值(II))為門檻值；其二、Hall(1990)的方 法(門檻值(III))；三、Danielsson et al. (1997a) (門檻值(IV))；四、Danielsson et al. (2001) (門檻值(V))，共五個門檻值；希望比較此四種門檻值決定方式所決定之門檻值，對 極值理論運用的影響。
表6 最後二行為各門檻值之下所選出的門檻水準，以及對應 GEV 法的區塊長 度。比較表6 中左、右尾的門檻水準，可以發現，左右尾之門檻水準呈現不對稱的 情況，以GPD 法之下的美元兌瑞典克朗(USD/SEK)為例(表 6-9-2)，以左尾第 1 百 分位數為門檻值，左尾門檻水準為155，而右尾門檻水準為 144，其他的門檻值方 法也有類似的現象。且不同門檻值決定方式之下所決定的門檻水準也有相當的差 異；同樣以美元兌瑞典克朗(USD/SEK)(表 6-9)的情況，以左尾為例，以左尾第 5 百 分位數為門檻值，門檻水準為159；左尾第 1 百分位數為門檻值，門檻水準為 155；
Hall(1990)所決定之門檻水準為 201；Danielsson et al. (1997a)為 180；而 Danielsson et al. (2001)則為 146。
後續表6 中其他參數值的估計，皆根據該表最後二行所列示之門檻水準及區塊 長度為基礎，全樣本極值模型的估計結果同樣呈現在表6 中。
三、全樣本極值模型估計結果
首先，由表6 之參數估計結果，我們可以發現，整體而言，參數化法的位置參 數(
μ
ˆ )以極規模參數(σ
ˆ)之估計值，在 5%顯著水準下均為顯著。而在形狀參數(ξ
ˆ ) 的部分，各國略有差異；在參數化法之下，非條件模型的美元兌加拿大幣(USD/CAD)(表 6-2)及美元兌日圓(USD/JPY)(表 6-7)報酬率資料，左右兩尾形狀參數 的估計值皆不顯著；另外，條件模型的美元兌義大利里拉(USD/ITL)(表 6-6)及美元 兌日圓(USD/JPY)(表 6-7)左右兩尾形狀參數的估計值不顯著，而美元兌加拿大幣 (USD/CAD)(表 6-2)則在左尾部分的形狀參數估計值不顯著；其餘各國的形狀參數 (
ξ
ˆ )，大多顯著異於零；在非參數化模型方面，所有匯率報酬率資料不論在條件或非條件法下，形狀參數(
ξ
ˆ )均呈現顯著的情況；由上述結果證實，大部分匯率日報 酬率的數列具有厚尾的性質。接著，我們比較左、右兩尾形狀參數的大小；在非條件法之下，美元兌比利時 法郎(USD/BEF)(表 6-1)、美元兌德國馬克(USD/DEM)(表 6-3)、美元兌義大利里拉 (USD/ITL)(表 6-6)、美元兌荷蘭基爾德(USD/NLG)(表 6-8)及美元兌瑞典克朗
(USD/SEK)(表 6-9)的左尾較右尾為厚，而美元兌法國法郎(USD/FRF)(表 6-4)在採用 Hall(1997)、Danielsson et al. (1997a)及 Danielsson et al. (2001)所決定的門檻值之下，
也同樣呈現左尾略厚於右尾；其餘包括美元兌加拿大幣(USD/CAD)(表 6-2)、美元兌 英鎊(USD/GBP)(表 6-5)、美元兌日圓(USD/JPY)(表 6-7)，以及美元兌法國法郎 (USD/FRF)(表 6-4)在經驗法則決定的門檻值之下，呈現右尾較左尾為厚的情況。另 外，在條件法的部分，美元兌比利時法郎(USD/BEF)(表 6-1)、美元兌法國法郎 (USD/FRF)(表 6-4)及美元兌瑞典克朗(USD/SEK)(表 6-9)呈現左尾較厚；而美元兌加
拿大幣(USD/CAD)(表 6-2)、美元兌德國馬克(USD/DEM)(表 6-3)、美元兌英鎊 (USD/GBP)(表 6-5)、美元兌義大利里拉(USD/ITL)(表 6-6)、美元兌日圓(USD/JPY)(表 6-7)以及美元兌荷蘭基爾德(USD/NLG)(表 6-8)則呈現右尾較左尾為厚的情況。
另外我們進一步探討在不同門檻值之下，對極值模型參數估計的影響。以美元 兌荷蘭基爾德(USD/NLG)(表 6-8)為例，在 Hall(1990)的方法所決定之門檻值之下，
非條件法之尾部參數估計值均呈現厚尾且顯著異於零，而左尾較右尾為厚尾；在條 件法的部分，左尾僅條件CHE 之尾部參數顯著異於零，右尾則全數呈現厚尾且顯 著，而右尾較左尾為厚尾；接著比較經驗法則、Danielsson et al. (1997a)及 Danielsson et al. (2001)所決定之門檻值之下的參數估計值，我們發現尾部參數估計值或許略有 差異，但在尾部參數估計值的顯著性上，並沒有太大的影響，均與Hall(1990)之門 檻值所做出的厚尾情況，以及左右尾厚度比較之結果相同。因此，門檻值的變動，
對極值模型之尾部參數估計值的顯著性影響甚小。
綜合以上分析結果，我們整理匯率日報酬率分配尾部特性如下：第一、大部分 的匯率日報酬率資料具厚尾的特性，特別在非參數法的部分，更全數呈現厚尾且顯 著的結果；第二、各國匯率日報酬率的左、右尾厚度比較結果不一，非條件法下，
大部份資料的左尾略厚於右尾，而條件法則大多呈現右尾較厚於左尾的現象；第 三、四種門檻值決定方式所產生的估計結果類似，表示估計具有一定的穩健度。