資料相依性與門檻水準的選擇對極値理論的影響－外匯市場風險值的應用

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(1)國立屏東商業技術學院國際企業研究所碩士論文資料相依性與門檻水準的選擇對極値理論的影響－外匯市場風險值的應用 Modeling Extreme Risk in Foreign Exchange Market ─The Influence of Data Dependence and Choice of Optimal Threshold Level on Extreme Value Models. 指導教授：李政峰. 博士. 邱素麗. 博士. 研究生：周愉翔. 中華民國九十六年六月.

(2) Modeling Extreme Risk in Foreign Exchange Market─The Influence of Data Dependence and Choice of Optimal Threshold Level on Extreme Value Models. Advisor：. Dr. Cheng-Feng Lee Dr. Su-Li Chou. By：. Yu-Hsiang Chou. A Thesis Submitted to the Graduate Program of International Business In Partial Fulfillment of the Requirements For the Degree of Master of Business Administration National Pingtung Institute of Commerce. Pingtung, Taiwan, R.O.C. June, 2007.

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(5) 摘. 要. 國際化的趨勢之下，外匯的重要性日益增加，對匯率報酬率的極端行為的了解，將有助於匯率變動風險的管理。因此，本文研究 G10 會員國貨幣，以美元為計價基礎的匯率，透過極值模型描述匯率日報酬率分配的尾部，以研究其極端行為；此外，我們透過各模型對風險值預測的評估，比較各模型的預測績效；本文亦透過風險值評估，探討資料相依性以及最適門檻水準的選擇對極值模型估計的影響。實證結果顯示，匯率日報酬率分配的尾部，相較於常態分配，具有厚尾與不對稱的現象，代表根據常態分配計算風險值會有低估風險情況的疑慮。根據回溯測試結果，整體而言，條件模型均優於非條件模型，代表資料相依性，確實對極值模型有一定的影響，而門檻水準的變動則對極值模型的估計結果沒有太大的影響；另外，模型比較的部分，參數化模型的預測績效較優於非參數模型，其中又以參數法的 GPD 具有全面性的表現，在條件法或非條件法之下，GPD 均具最佳的預測績效；實證結果也顯示，GARCH 模型僅合適較低信賴水準的 VaR 預測，而高信賴水準的 VaR 則必須透過極值模型，顯示極值模型在描述極端風險的能力，也凸顯極值理論在風險管理中的重要性。. 關鍵詞：風險值、極值理論、GPD、GEV、Hill 估計式、門檻水準. i.

(6) Abstract Foreign exchange has becoming more and more important, because of the trend of internationalization. Understanding the extreme behavior of foreign exchange rate will help manage foreign exchange rate risk. Therefore, this thesis investigates the extreme behavior of foreign exchange rate in G10 members by applying Extreme Value Theory (EVT) to the tail of the distribution of the daily rate of return of foreign exchange rate. In addition, we compare the EVT models by evaluating the forecasting performance of VaR. And we also investigate the influence of data dependence and choice of optimal threshold level on extreme value models. The empirical results show that compare to Normal distribution, daily return of foreign exchange rate is more Fat-tailed and asymmetric. This indicates that the normality assumption will lead underestimation of VaR. In backtesting, the conditional EVT models outperform the others, which imply that the dependence and conditional heteroscedasticity of time series should be accounted for when applying EVT. On the other hand, EVT models do not be affected when the threshold level changes. And we find parametric models generally outperform the non-parametrics model, especially the parametric model – GPD. GPD has the best and comprehensive performance both under uncondition and condition model. Moreover, the empirical results also show that GARCH model is adequate in forecasting VaR of lower confidence level (eg. 95%), however, at a higher confidence level (eg. 99.5%, 99.9%), EVT models provide more reliable VaR forecasting. And we can say that the application of EVT models in risk management is essential.. Keywords:. Value-at-Risk, Extreme value theory, GPD, GEV, Hill estimator, Threshold level ii.

(7) 誌. 謝. 窗外下著細細的雨絲，戴上耳機，感受這片刻的寧靜，回想這個作品的誕生，路程上的風雨，心中除了有登上山頂的愉悅，更有對一路相互扶持夥伴們的感激。指導教授李政峰老師以及邱素麗老師，謝謝你們！一路上有你們的教導，不僅是學術上的學習，更有許多對人生的經驗，還有口試之前對我的加油打氣，都讓我在各方面的表現能夠更上一層樓。口試委員郭炳伸老師與欉清全老師，謝謝你們！很感謝你們能夠在百忙千忙萬忙之中，來到偏遠的屏東為我們口試。在整個口試過程中，就像與武林前輩們煮酒論劍，真可謂：「聞君一席話，勝讀十年書」，口試完之後反而有種意猶未盡的感覺，二位老師提供許多建議，也讓我的作品能夠更加完善。我的父母、家人，謝謝你們！指導教授李政峰老師有一句話：「做研究的過程如同走進一座很長很長的隧道，你不知道什麼時候會抵達終點。有時覺得前頭有些許光亮，懷疑是否終點已至；有時則是漫漫黑夜，懷疑是否走錯路；但是只要繼續走下去，總會走出隧道」。而置身這座隧道中，常是寒冷、黑暗的，但每次回到家中，看到家人的笑容，嚐到母親溫暖的三餐，就有種暖暖的感覺，身體又充滿了力量，讓我不需任何顧慮，專心向前。我的女友于真，謝謝你！這一路上，我們一起划著一艘船，向著目標邁進，在寒冷的路上相互扶持，一起計畫下一步，這一路上歡笑有煩惱，但我們都一起度過了，真的很開心在這求學的路上都有你陪著。在我求學路上的老師、同學、朋友們，謝謝你們！有大家的幫助我才能順利完成這個作品，順利取得學位，謝謝大家！. 周愉翔於屏商國企所研究室 2007年6月一個下著小雨的下午. iii.

(8) 目. 錄頁次. 第一章. 緒論……………………………………………………………………………1. 第一節. 研究動機與目的…………………………………………………………1. 第二節. 本文架構…………………………………………………………………4. 第二章. 文獻探討………………………………………………………………………5. 第一節. VaR 概念之介紹…………………………………………………………5. 第二節. 國內外文獻………………………………………………………………6. 第三章. 極值理論模型介紹……………………………………………………………9. 第一節. 極值理論模型……………………………………………………………9. 第二節. 資料相依性與風險值…………………………………………………..14. 第三節. 最適門檻水準之決定…………………………………………………..16. 第四章. 實證結果……………………………………………………………………..21. 第一節. 資料來源與統計分析…………………………………………………..21. 第二節. 全樣本極值模型的相關估計結果……………………………………..26. 第三節. 樣本外回溯測試………………………………………………………..29. 第五章. 結論…………………………………………………………………………..38. 參考文獻………………………………………………………………………………..40. iv.

(9) 表目錄頁次表 1：研究資料…………………………………………………………………………21 表 2：各國樣本內／外期間設定………………………………………………….…...30 表 3：各國之最佳預測績效模型………………………………………………………33 表 4-1：美元兌比利時法郎(USD/BEF)日報酬率敘述統計資料……………………..44 表 4-2：美元兌加拿大幣(USD/CAD)日報酬率敘述統計資料……………………….45 表 4-3：美元兌德國馬克(USD/DEM)日報酬率敘述統計資料………………………46 表 4-4：美元兌法國法郎(USD/FRF)日報酬率敘述統計資料………………………..47 表 4-5：美元兌英鎊(USD/GBP)日報酬率敘述統計資料…………………………….48 表 4-6：美元兌義大利里拉(USD/ITL)日報酬率敘述統計資料………………….…..49 表 4-7：美元兌日圓(USD/JPY)日報酬率敘述統計資料………………………….…..50 表 4-8：美元兌荷蘭基爾德(USD/NLG)日報酬率敘述統計資料…………………….51 表 4-9：美元兌瑞典克朗(USD/SEK)日報酬率敘述統計資料………………………..52 表 5-1：美元兌比利時法郎(USD/BEF)配適條件模型之參數估計結果……………..53 表 5-2：美元兌加拿大幣(USD/CAD)配適條件模型之參數估計結果……………….53 表 5-3：美元兌德國馬克(USD/DEM)配適條件模型之參數估計結果………………54 表 5-4：美元兌法國法郎(USD/FRF)配適條件模型之參數估計結果………….…….54 表 5-5：美元兌英鎊(USD/GBP)配適條件模型之參數估計結果……………….……55 表 5-6：美元兌義大利里拉(USD/ITL)配適條件模型之參數估計結果………….…..55 表 5-7：美元兌日圓(USD/JPY)配適條件模型之參數估計結果………………….…..56 表 5-8：美元兌荷蘭基爾德(USD/NLG)配適條件模型之參數估計結果…………….56 表 5-9：美元兌瑞典克朗(USD/SEK)配適條件模型之參數估計結果………….…….57 表 6-1-1：美元兌比利時法郎(USD/BEF)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(I)..………………………………………………………………...58. v.

(10) 表 6-1-2：美元兌比利時法郎(USD/BEF)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(II)…………………………………………………………….…...59 表 6-1-3：美元兌比利時法郎(USD/BEF)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(III)………………………………………………………………..60 表 6-1-4：美元兌比利時法郎(USD/BEF)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(IV)………………………………………………………………..61 表 6-1-5：美元兌比利時法郎(USD/BEF)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(V)…………………………………………………………………62 表 6-2-1：美元兌加拿大幣(USD/CAD)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(I)………………………………………………………………….63 表 6-2-2：美元兌加拿大幣(USD/CAD)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(II)…………………………………………………………….…...64 表 6-2-3：美元兌加拿大幣(USD/CAD)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(III)………………………………………………………………..65 表 6-2-4：美元兌加拿大幣(USD/CAD)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(IV)………………………………………………………………..66 表 6-2-5：美元兌加拿大幣(USD/CAD)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(V)…………………………………………………………………67 表 6-3-1：美元兌德國馬克(USD/DEM)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(I)………………………………………………………………….68 表 6-3-2：美元兌德國馬克(USD/DEM)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(II)…………………………………………………………….…...69 表 6-3-3：美元兌德國馬克(USD/DEM)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(III)………………………………………………………………..70 表 6-3-4：美元兌德國馬克(USD/DEM)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(IV)………………………………………………………………..71 vi.

(11) 表 6-3-5：美元兌德國馬克(USD/DEM)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(V)…………………………………………………………………72 表 6-4-1：美元兌法國法郎(USD/FRF)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(I)………………………………………………………………….73 表 6-4-2：美元兌法國法郎(USD/FRF)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(II)…………………………………………………………….…...74 表 6-4-3：美元兌法國法郎(USD/FRF)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(III)………………………………………………………………..75 表 6-4-4：美元兌法國法郎(USD/FRF)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(IV)………………………………………………………………..76 表 6-4-5：美元兌法國法郎(USD/FRF)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(V)…………………………………………………………………77 表 6-5-1：美元兌英鎊(USD/GBP)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(I)………………………………………………………………….78 表 6-5-2：美元兌英鎊(USD/GBP)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(II)…………………………………………………………….…...79 表 6-5-3：美元兌英鎊(USD/GBP)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(III)………………………………………………………………..80 表 6-5-4：美元兌英鎊(USD/GBP)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(IV)………………………………………………………………..81 表 6-5-5：美元兌英鎊(USD/GBP)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(V)…………………………………………………………………82 表 6-6-1：美元兌義大利里拉(USD/ITL)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(I)………………………………………………………………….83 表 6-6-2：美元兌義大利里拉(USD/ITL)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(II)…………………………………………………………….…...84 vii.

(12) 表 6-6-3：美元兌義大利里拉(USD/ITL)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(III)………………………………………………………………..85 表 6-6-4：美元兌義大利里拉(USD/ITL)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(IV)………………………………………………………………..86 表 6-6-5：美元兌義大利里拉(USD/ITL)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(V)…………………………………………………………………87 表 6-7-1：美元兌日圓(USD/JPY)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(I)………………………………………………………………….88 表 6-7-2：美元兌日圓(USD/JPY)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(II)…………………………………………………………….…...89 表 6-7-3：美元兌日圓(USD/JPY)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(III)………………………………………………………………..90 表 6-7-4：美元兌日圓(USD/JPY)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(IV)………………………………………………………………..91 表 6-7-5：美元兌日圓(USD/JPY)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(V)…………………………………………………………………92 表 6-8-1：美元兌荷蘭基爾德(USD/NLG)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(I)………………………………………………………………….93 表 6-8-2：美元兌荷蘭基爾德(USD/NLG)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(II)…………………………………………………………….…...94 表 6-8-3：美元兌荷蘭基爾德(USD/NLG)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(III)………………………………………………………………..95 表 6-8-4：美元兌荷蘭基爾德(USD/NLG)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(IV)………………………………………………………………..96 表 6-8-5：美元兌荷蘭基爾德(USD/NLG)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(V)…………………………………………………………………97 viii.

(13) 表 6-9-1：美元兌瑞典克朗(USD/SEK)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(I)………………………………………………………………….98 表 6-9-2：美元兌瑞典克朗(USD/SEK)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(II)…………………………………………………………….…...99 表 6-9-3：美元兌瑞典克朗(USD/SEK)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(III)………………………………………………………….…...100 表 6-9-4：美元兌瑞典克朗(USD/SEK)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(IV)………………………………………………………….…...101 表 6-9-5：美元兌瑞典克朗(USD/SEK)全樣本極值模型估計結果 ─門檻值(V)……………………………………………………………….102 表 7-1-1：美元兌比利時法郎(USD/BEF)樣本外回溯測試─門檻值(I)……………..103 表 7-1-2：美元兌比利時法郎(USD/BEF)樣本外回溯測試─門檻值(II)……………104 表 7-1-3：美元兌比利時法郎(USD/BEF)樣本外回溯測試─門檻值(III)……….…..105 表 7-1-4：美元兌比利時法郎(USD/BEF)樣本外回溯測試─門檻值(IV)……….…..106 表 7-1-5：美元兌比利時法郎(USD/BEF)樣本外回溯測試─門檻值(V)……………107 表 7-2-1：美元兌加拿大幣(USD/CAD)樣本外回溯測試─門檻值(I)………….……108 表 7-2-2：美元兌加拿大幣(USD/CAD)樣本外回溯測試─門檻值(II)………….…..109 表 7-2-3：美元兌加拿大幣(USD/CAD)樣本外回溯測試─門檻值(III)……………..110 表 7-2-4：美元兌加拿大幣(USD/CAD)樣本外回溯測試─門檻值(IV)……………..111 表 7-2-5：美元兌加拿大幣(USD/CAD)樣本外回溯測試─門檻值(V)………….…..112 表 7-3-1：美元兌德國馬克(USD/DEM)樣本外回溯測試─門檻值(I)…………..…..113 表 7-3-2：美元兌德國馬克(USD/DEM)樣本外回溯測試─門檻值(II)………….…..114 表 7-3-3：美元兌德國馬克(USD/DEM)樣本外回溯測試─門檻值(III)…………….115 表 7-3-4：美元兌德國馬克(USD/DEM)樣本外回溯測試─門檻值(IV)……….……116 表 7-3-5：美元兌德國馬克(USD/DEM)樣本外回溯測試─門檻值(V)………….…..117 表 7-4-1：美元兌法國法郎(USD/FRF)樣本外回溯測試─門檻值(I)………………..118 ix.

(14) 表 7-4-2：美元兌法國法郎(USD/FRF)樣本外回溯測試─門檻值(II)…………...…..119 表 7-4-3：美元兌法國法郎(USD/FRF)樣本外回溯測試─門檻值(III)………….…..120 表 7-4-4：美元兌法國法郎(USD/FRF)樣本外回溯測試─門檻值(IV)………….…..121 表 7-4-5：美元兌法國法郎(USD/FRF)樣本外回溯測試─門檻值(V)…………..…..122 表 7-5-1：美元兌英鎊(USD/GBP)樣本外回溯測試─門檻值(I)…………………….123 表 7-5-2：美元兌英鎊(USD/GBP)樣本外回溯測試─門檻值(II)……………………124 表 7-5-3：美元兌英鎊(USD/GBP)樣本外回溯測試─門檻值(III)…………………..125 表 7-5-4：美元兌英鎊(USD/GBP)樣本外回溯測試─門檻值(IV)…………………..126 表 7-5-5：美元兌英鎊(USD/GBP)樣本外回溯測試─門檻值(V)………………..…..127 表 7-6-1：美元兌義大利里拉(USD/ITL)樣本外回溯測試─門檻值(I)……………..128 表 7-6-2：美元兌義大利里拉(USD/ITL)樣本外回溯測試─門檻值(II)…………….129 表 7-6-3：美元兌義大利里拉(USD/ITL)樣本外回溯測試─門檻值(III)……………130 表 7-6-4：美元兌義大利里拉(USD/ITL)樣本外回溯測試─門檻值(IV)……………131 表 7-6-5：美元兌義大利里拉(USD/ITL)樣本外回溯測試─門檻值(V)……….……132 表 7-7-1：美元兌日圓(USD/JPY)樣本外回溯測試─門檻值(I)……………………..133 表 7-7-2：美元兌日圓(USD/JPY)樣本外回溯測試─門檻值(II)…………………….134 表 7-7-3：美元兌日圓(USD/JPY)樣本外回溯測試─門檻值(III)……………………135 表 7-7-4：美元兌日圓(USD/JPY)樣本外回溯測試─門檻值(IV)……………………136 表 7-7-5：美元兌日圓(USD/JPY)樣本外回溯測試─門檻值(V)…………………….137 表 7-8-1：美元兌荷蘭基爾德(USD/NLG)樣本外回溯測試─門檻值(I)…………….138 表 7-8-2：美元兌荷蘭基爾德(USD/NLG)樣本外回溯測試─門檻值(II)……………139 表 7-8-3：美元兌荷蘭基爾德(USD/NLG)樣本外回溯測試─門檻值(III)…………..140 表 7-8-4：美元兌荷蘭基爾德(USD/NLG)樣本外回溯測試─門檻值(IV)…………..141 表 7-8-5：美元兌荷蘭基爾德(USD/NLG)樣本外回溯測試─門檻值(V)……….…..142 表 7-9-1：美元兌瑞典克朗(USD/SEK)樣本外回溯測試─門檻值(I)……………….143 表 7-9-2：美元兌瑞典克朗(USD/SEK)樣本外回溯測試─門檻值(II)………………144 x.

(15) 表 7-9-3：美元兌瑞典克朗(USD/SEK)樣本外回溯測試─門檻值(III)………….…..145 表 7-9-4：美元兌瑞典克朗(USD/SEK)樣本外回溯測試─門檻值(IV)………….…..146 表 7-9-5：美元兌瑞典克朗(USD/SEK)樣本外回溯測試─門檻值(V)………………147. xi.

(16) 圖目錄頁次圖 1：各國匯率日報酬率時間趨勢圖…………………………………………………23 圖 2：各國匯率日報酬率平方時間趨勢圖……………………………………………24 圖 3：QQ 圖─標準化後各國匯率日報酬率 v.s. 標準常態分配……………………25. xii.

(17) 第一章. 第一節. 緒論. 研究動機與目的. 匯率是衡量二國間貨幣價值的根據，不僅在跨國投資、國際貿易上有其重要性，許多金融商品也以外匯作為投資標的，且以外匯作為計價標準。近年來，隨著金融市場的國際化與自由化，國際金融市場間彼此有著高度的互動與整合，國際金融市場也因資訊的進步，使得跨國投資活動日益頻繁，外匯的地位也愈發的重要，對於外匯風險的管理也成為風險管理及財務上的重要議題。歷史上許多重大政治或經濟事件發生，造成匯率劇烈變動，使市場產生系統性的風險，造成投資者巨大的損失，如 1992 年的英國金融風暴、1994 年的墨西哥金融風暴、1997 年亞洲金融風暴、以及 1998 美國長期資本管理基金（LTCM）因俄羅斯金融風暴而遭致巨額虧損；由此，極端事件(extreme event)發生所造成的匯率風險，不僅中央銀行管理單位關心，亦是機構或一般投資者必須關注的對象。因此，了解匯率波動的極端行為，有助於外匯相關商品的風險控管。有鑑於此，本文關注匯率報酬率分配的特性，包括分配是否呈現非常態或具有厚尾(Fat tails)的型態等。對分配特性的研究除了幫助了解極端事件外，也能夠在風險值的計算上有相當的助益。在風險管理的領域中，風險值(Vale at Risk, VaR)能夠以一個簡單易懂且明確的數字，來描繪在複雜的金融環境下，投資部位所承擔、暴露的風險，使其成為最普遍的風險管理工具之一。它的簡單定義是，持有某資產或投資組合一段期間(例如： 1 天或 10 天)，在一定的信賴水準(confidence level)下，所可能遭受的最大損失；亦即，VaR 是衡量在某些極端事件發生下，預期最大的可能損失為多少。而就統計的觀點，VaR 為匯率報酬率損益分配的左尾分位數(quantile)。風險值自 1993 年被提出之後，廣為世界各地管理當局接受，風險值的觀念從此深植於風險管理的領域當中。1994 年美國 J.P.Morgan 投資銀行發展出的內部風 1.

(18) 險控管方針 RiskMetrics，也是將 VaR 作為風險管理的主要工具。近期巴賽爾銀行監理委員會(The Basel Committee on Banking Supervision)所制定之新巴塞爾資本協定 (Basel II)，也以風險值作為計算資本適足率的風險衡量方式。風險值的估計需要正確的描繪出機率分配的尾部型態，過去在實證上多假設匯率報酬率之分配為常態，而近期愈來愈多的實證研究，提出匯率報酬率的實際分配為非常態、具厚尾及雙尾不對稱性(asymmetry)(如：Koedijk, Schafgans, de Vries, 1990; Loretan and Phillips, 1994; Bond, 2006)。因此根據常態分配所計算的 VaR 將有低估的可能；而具雙尾不對稱性，代表市場對於好消息與壞消息的反應不盡相同。若能充分掌握此些特性，將能夠提高我們對於匯率報酬率尾部行為的了解，進而對風險值能夠更精確的預測。本文透過極值理論(Extreme Value Theory, EVT)，對匯率報酬率分配的尾部進行研究，以此為基礎計算風險值，並加以評估。極值理論具有完整的統計架構，在風險管理領域上被廣泛使用，能夠估計極端值發生的機率與大小，並允許左右尾具不對稱性。許多文獻(如 Longin, 2000，2005; Danielsson and de Vries, 1997a; McNeil and Frey, 2000; Bali, 2003)指出，針對厚尾資料，極值理論能夠較準確的估計分配尾部型態，進而準確的估計風險值。極值理論上，常以「尾部指數(tail index)」來描述報酬率分配尾部的肥厚程度。其估計方式可分為參數法與非參數法二種；參數法假設樣本極端值來自某特定機率分配，再以最大概似法估計之，其中較著名的分配包括「一般化極值分配」(General Extreme Value Distribution, GEV) (Jenkinson, 1955) 與「一般化柏雷圖分配」(General Pareto Distribution, GPD) (Pickands, 1975；Balkema and de Haan, 1974)；非參數法則不對極端值分配做假設，而以無母數方式直接計算(如，Hill, 1975；Pickands, 1975； de Haan and Resnick, 1980)，比較著名的估計式為 Hill 估計式。大部分針對極值理論的實證文獻，多僅使用 GEV 模型(如，Longin, 1996, 2000, 2005 等)、或使用 GPD 模型(如，McNeil and Frey，2000 等)、或使用 Hill 估計法(如， Pownall and Koedijk，1999 等)，較少針對這些極值模型進行比較。因此，我們希望透過觀察這些極值模型的配適能力，並用來預測匯率的風險值，希望得到最適合的 2.

(19) 匯率實證模型。其次，在極值理論的應用上，必須假設資料為「獨立且相同分配」(independently identically distributed, iid )，但實證上普遍認為大部分的財務數列具有一階序列相關與條件異質性(如 ARCH 效果)(以下稱為資料相依性)，與極值理論的假設要求不符。資料相依性是否影響極值理論估計的結果，實證上頗具爭議。 Hsing (1991)與 Resnick and Stărică (1996)分別提出，當資料為 ARMA 與 ARCH 類型的相依過程時， Hill 估計式仍具一致性，代表即使資料違反 iid 假設，非參數法的估計仍然穩健；對此，有些學者則持不同的看法，Kearns and Pagan (1997)指出，當財務資料有波動聚集現象時，直接應用 Hill 估計式是有問題的；Embrechts, Klüppelberg, and Mikosch (2003)亦發現 Hill 估計式對於資料的相依性相當敏感；McNeil and Frey (2000)亦認為，在應用 GPD 分配來估計尾部行為時，不能忽略條件異質性。因此，本文針對資料的相依性的處理，採用二種不同的方式，希望比較出考慮資料相依性與否，是否會對極值理論的估計產生影響。另外，Hill 估計式與 GPD 分配在運用上，需要事先決定極端值的個數或稱門檻水準(threshold level)，以認定分配尾部的起始位置。極端值個數的多寡將會影響 Hill 估計式的偏誤與變異數，二者具有抵換(trade off)的關係；即當增加極端值的個數，會使得估計式的變異數變小，但估計偏誤卻反而增加；反之，若減少極端值的個數，估計式的偏誤就會降低，但相對的增加估計式的變異數。針對此問題，文獻上提出三種估計方法(Hall , 1990; Danielsson and de Vries, 1997a; Danielsson, de Haan, Peng and de Vries, 2001)，這些方法皆以「部分樣本自體抽樣法」為基礎，但估計程序有所差異。但上述三種門檻水準決定方式，係以 Hill 估計式為主要運用對象，本文嘗試將此三種方式所估計之最適門檻水準運用在 GPD 估計式上，希望透過比較不同門檻水準估計方式之下，對尾部指數與風險值估計的影響，以此建議最佳的門檻水準決定方式。大部分極值理論的實證文獻，多分為二種形式：其一為不考慮資料相依性之下，直接應用 EVT(以下稱為非條件模型)(Longin, 2000; Pownall and Koedijk, 1999; Ho, Burridge, Cadle and Theobald, 2000; 林楚雄與陳宜玫, 2002; Brooks, Clare, Dalle 3.

(20) Molle and Persand, 2005)；其二則考慮資料相依性，採用先配適 GARCH 再應用 EVT(以下稱為條件模型)(如，Gençay, Selçuk and Ulugülyağci, 2003;莊益源、林文昌、徐嘉彬與邱臙珍, 2004; Kuester, Mittnik and Paolella, 2006; 林楚雄、高子荃與邱瓊儀, 2006)。本文同時考慮二種方式的優劣，希望透過互相比較，能夠對資料相依性對 EVT 應用的影響做出澄清，提高本計劃的實証貢獻。此外，目前實證文獻較缺乏對於最適門檻水準估計的討論，希冀本研究能夠補這方面的不足。. 第二節. 本文架構. 本文共分為五章，試分述如下：第二章：文獻回顧，探討近期極值理論相關文獻，以及對極值理論的概略介紹。第三章：極值理論模型之介紹，針對極值理論模型，以及最適門檻水準認定方法，做較詳實的介紹。第四章：實證結果與分析，運用第三章所提出之極值模型進行實證分析，並對實證結果做一完整說明。第五章：結論。. 4.

(21) 第二章. 第一節. 文獻探討. VaR 概念之介紹. 風險值模型由 J.PMorgan (1996)所創始，經過數年的演進，遂成為歐美大型金融機構風險管理工具，近年來已經成為慣用的風險控管方法。因應商品蓬勃發展，以及金融市場波動，風險值儼然成為新興風險管理工具。風險值主要的定義為：持有某資產一段期間，在既定的信賴水準下，所有可能遭受的最大損失金額。風險值最大的優點在於能夠量化風險，金融機構為了內部控管及調整，已經將風險值視為衡量市場風險的標準。風險值能夠如此成功之原因，在於可衡量下方風險，表現出風險偏好，更可以跨資產、部門做比較，對企業的管理當局而言，風險值還能使企業正視其未來因市場波動，可能造成企業價值的減損，進而促使企業採取適當的避險策略，以降低可能的鉅額損失。依據 Jorion(2001)說法：風險值是指在某一個固定信賴水準之下(a given confidence level)，衡量某一目標期間(a target time horizon)，因市場環境變化所持有投資組合產生之最大預期損失金額；換言之，在給定持有期間 T 與一個給定的信賴水準值 (1 − α )% 下，持有一投資組合或單一資產投資部位，若極端事件發生，可能發生的最大損失之估計。例如：管理者手上有 N 元的投資組合，在信賴水準 (1 − α )% 下的風險值為 VaR，則其最可能的最大損失金額為 N×VaR 的金額。風險值的表示方式如下： ∞. Pr( R < VaR) = ∫ r ( x)dx = α * −∞. 其中， R 為投資組合在某一特定時點的報酬率。風險值是一個新興的風險管理工具，相較於傳統的風險評量方式，其擁有動態管理、量化風險、可跨資產比較的優點，也因此其估計方法、應用範圍也愈加周延、廣泛。風險值對於資產報酬分配的假設、選擇及參數的估計隨著資產特性、樣本而 5.

(22) 有所不同，若不能把資產報酬率分配有正確的描述，則所估計的風險值、資產配置會出現錯估、不具效率性的問題發生。. 第二節. 國內外文獻. 極值理論提供一個完整的架構，能夠針對分配的尾部行為進行研究，自 Hill. (1975)提出尾部指數(tail index)，估計分配尾端的厚薄尾程度之後，便開始出現許多針對報酬尾部指數的研究，例如：Koedijk, Schafgans, de Vries (1990)、Loretan and. Phillips (1994)、Bond (2006)發現，匯率變動的條件與非條件分配具有非常態且厚尾的現象，這代表極端值出現的機率比在常態分配下為高，故根據常態分配假設所計算的 VaR 會較實際值為低；Bali(2003)分析美國國庫券殖利率極值變化之近似分配類型，發現相對於厚尾 Frechet 與 Pareto 分配，薄尾 Gumbel 與 exponential 分配強烈被拒絕，證實利率數列也具有厚尾的性質。除了無母數的 Hill 估計式外，隨後也有學者提出其他極值理論模型，包括「一般化極值分配」(General Extreme Value Distribution, GEV) (Jenkinson, 1955)與「一般化柏雷圖分配」(General Pareto Distribution, GPD) (Pickands, 1975；Balkema and de. Haan, 1974)使極值理論更臻完善。極值理論在實證上也產生許多的議題，包括 iid 的性質對極值理論運用的影響、風險值的預測績效上，極值理論與其他風險值模型的比較，以及最適門檻水準的決定等，以下我們將針對上述議題的相關文獻進行討論：. 一、 iid 的性質對極值理論運用的影響在極值理論的運用上，必須假設資料為 iid ，但一般實證上大多認為財務數列一般具有一階序列相關與條件異質性，而資料不具 iid 的性質是否影響極值理論的估計，仍為實證上的重要議題。. Hsing (1991) 與 Resnick and Stărică (1996)分別證明，當資料為 ARMA 與 ARCH 類型的相依過程時，Hill 估計式仍具有一致性，代表資料違反 iid 的假設，非參數法 6.

(23) 仍具有穩健性。另外一些學者則持不同的看法，Kearns and Pagan (1997)指出，當財務資料有波動聚集現象時，直接應用 Hill 估計式是有問題的；Embrechts, Klüppelberg, and. Mikosch (2003)亦發現資料的相依性對 Hill 估計式的影響是存在的；另外就風險值的預測績效來看，McNeil and Frey (2000)提出結合 ARMA(p,q)模型與 GARCH(1,1) 模型，分別描述利率資料的條件平均數與變異數，取出具 iid 性質的標準化殘差，再配適 GPD 分配，在風險值預測上具有較佳的績效。國內的文獻，如王君文(2001)比較條件模型與非條件模型的極值理論法，並與歷史模擬法進行 VaR 衡量的比較，以五個國家的股價指數資料進行分析，結果發現當所訂定的顯著水準越小時，條件極值模型較非條件模型好。另外，陳俊宏(2002) 以台幣兌美元的即期匯率為實證資料，發現整體而言，在 1 日風險值估計的模型上，條件模型確實比非條件模型好。文獻的結論有所分歧， iid 的性質是否對極值理論的運用有所影響，目前似乎仍未有定論。. 二、極值理論與其他風險值模型的比較. Bali (2003)提出以極值方法估計 VaR，並證明極值理論相較於標準模型可提供更精確的風險管理與 VaR 計算。McNeil and Frey (2000)以 S&P、DAX 與 BMW 股價指數，以及美元兌法郎、黃金價格為標的，結果發現就 VaR 的預測績效，條件法的極值模型優於其他如常態、 t 分配等模型。Danielsson and de Vries (1997a)也以日圓兌德國馬克、日圓兌美元以及德國馬克兌美元等匯率資料為標的，證實具厚尾性質的資料，極值理論能夠提供較準確的 VaR 估計值。Longin (2000，2005)對美國. S&P500 指數進行分析，股價指數具有厚尾的性質，而對厚尾資料，極值理論可提供較準確的分配尾部估計式，產生正確的風險值。另外國內文獻方面，紀舒文(2000)比較變異數-共變異數法、歷史模擬法、蒙地卡羅模擬法與極值模型估計法，在 VaR 的預測績效上，發現在 1%顯著水準之下，極值模型方法優於其他 VaR 預測模型。 7.

(24) 總的來看，在資料具厚尾性質，以及高信賴水準之下，極值理論能夠提供準確的尾部估計式，進而正確的預估風險值。. 三、最適門檻水準的決定應用 Hill 估計式與 GPD 分配時，需事先決定極端值的個數或稱門檻水準. (threshold level)，以界定分配尾部從何處開始。Hall (1990)、Danielsson and de Vries (1997a)、Danielsson, de Haan, Peng and de Vries (2001)分別提出三種方式，以「部分樣本自體抽樣」的方法為基礎，決定最適門檻水準。. Danielsson, de Vries (2000)利用 Danielsson and de Vries (1997a)所提出之最適門檻水準估計式，針對 S&P500、IBM 股價、以及各國的匯率資料進行分析，得到的結論為：在 1﹪顯著水準之下，使用 RiskMetrics 方法計算的風險值下會低估美國股價報酬，此時利用歷史模擬法預測 VaR 會得到較佳的結果，但是因為歷史模擬法無法衡量歷史樣本之外，所可能造成損失的其他樣本資料，若是還有較高的變異數也是需要注意的。所以在很尾部的地方，極值方法的估計值會比 RiskMetrics 方法以及歷史模擬法表現更好。證實在 1%顯著水準之下，極值方法的估計值會比 RiskMetrics 方法以及歷史模擬法表現更好。在最適門檻水準的決定上，國內文獻似乎鮮少著墨，希望透過本文能夠釐清門檻水準的選取對極值模型的影響。. 8.

(25) 第三章. 極值理論模型介紹. 本文採用極值理論探討匯率報酬率分配的尾部行為，本章將針對極值理論以及相關的實證過程進行介紹。本章分為三個部分：第一個部分介紹本文所使用的極值理論，包括參數法與非參數法，前者以特定的機率分配來描述尾部觀察值的極端行為，後者則直接估計厚尾分配的尾部指數。接著在第二部分介紹考慮資料相依性下，風險值的估計方式。第三部分則針對最適門檻水準的決定方式進行探討。. 第一節. 極值理論模型. 一、參數化估計方法. (一) GEV 分配中央極限定理告訴我們，樣本平均數之漸進分配為常態分配；在極值理論的世界中，樣本極端值的漸進分配則稱為極值分配，而極值分配皆能夠以一般化極值分配(General Extreme Value Distribution, GEV)來表示其機率分配。令 X 1 , X 2 , L , X n 為獨立同態 (iid ) 之隨機變數，分別代表匯率的日報酬，具有相同的未知機率分配函數 F ( x) = Pr( X t ≤ x) 。接著，將日報酬資料均分為 M 個部分樣本(sub-sample)，每一部份樣本之長度為 l (l < n) ，稱為一個區塊(block)，擷取每個區塊中最大值，代表匯率日報酬率的極端值；換言之，即令 { X 1 , X 2 , L , X l } 為長度 l 的部分樣本，擷取部分樣本的極大值(maximum)為 M l = max( X 1 , X 2 , L , X l ) ；那麼在 iid 的假設下，極大值 M l 的實際分配(exact distribution) FM l ，與原報酬率分配 F ( x) 具. 有下列的關係： iid. l. p ext ≡ FM l (m) = Pr{ X 1 ≤ m,K, X l ≤ m} = ∏ F (m) = F l (m) ≡ p l. (3.1.1). i =1. 其中， p ext 代表極大值小於 m 的機率， p l 為報酬率小於相同值 m 的機率。此外，由 9.

(26) 於報酬率分配未知，極大值的實際分配也未知；而當 l → ∞ ，極大值 M l 的大樣本分配將呈現退化狀態。根據 Fisher-Tippet 定理(詳見 Embrechts et al., 2003)，若將極大值標準化：. Zl =. M l − μl. σl. 其中， μ l 為位置參數(location parameter)、 σ l 為規模參數(scale parameter)，且要求. σ l > 0 ，則 Z l 將有一個非退化的大樣本分配，而其極端值的分配 H ξ ( z ) ，必定具有一般化的極值分配的形式，根據 Jenkinson (1955)所述，表示為： ⎧exp{−(1 + ξz ) −1 / ξ } Hξ ( z) = ⎨ ⎩exp{− exp(− z )}. if ξ ≠ 0, 1 + ξz > 0 if ξ = 0, − ∞ ≤ z ≤ ∞. (3.1.2). 其中， ξ 為形狀參數(shape parameter)。根據 ξ 值， H ξ ( z ) 可以簡單分為三種常見的極值分配，分別為：. 1. Gumbel 分配(Type I： ξ = 0 )，其累積機率分配為： H ξ ( z ) = exp(−e − z ). z ∈ℜ. 屬於薄尾分配(thin tail)，常見的薄尾分配有：常態分配、Gamma 分配、指數分配、. log-Normal 分配等。 2. Fréchet 分配(Type II： ξ > 0 )，其累積機率分配為： ⎧exp{−(1 + ξz ) −1 / ξ } Hξ ( z) = ⎨ ⎩0. , ,. z>. 1. ξ. otherwise. 屬於厚尾分配(fat tail)，常見的厚尾分配有：t 分配、Pareto 分配、Cauchy 分配、. log-Gamma 分配等。 3. Weibull 分配(Type III： ξ < 0 )，其累積機率分配為：. 10.

(27) ⎧exp{−(−(1 + ξz ))−1 / ξ } Hξ ( z) = ⎨ ⎩1. , ,. z<. 1. ξ. otherwise. 一般常見的分配有：uniform 分配、bete 分配等。許多財務實證研究發現，報酬率分配大多具有厚尾分配的性質，因此，在三種極值分配中，屬於厚尾分配的 Fréchet 分配較受關注。. GEV 的參數可以透過最大概似法進行估計；首先令 b 為小於等於 n / l 的最大整數，而 {M 1 ,..., M b }代表樣本極大值，其對數概似函數(在 ξ ≠ 0 )為： ⎛ 1⎞ b ⎡ ⎛ M − μ ⎞⎤ b ⎡ ⎛ M − μ ⎞⎤ ln L(ξ , μ , σ ) = −b ln(σ ) − ⎜⎜1 + ⎟⎟∑ ln ⎢1 + ξ ⎜ i ⎟⎥ −∑ ln ⎢1 + ξ ⎜ i ⎟⎥ ⎝ σ ⎠⎦ i=1 ⎣ ⎝ σ ⎠⎦ ⎝ ξ ⎠ i=1 ⎣. −1 / ξ. (3.1.3). ⎛M −μ⎞ 此處要求 1 + ξ ⎜ i ⎟ > 0 。另外，Smith (1985)證明，當 ξ > −1 / 2 ，此最大概 ⎝ σ ⎠ 似估計式的大樣本分配為常態。根據 Longing(2000)，參數估計完成之後，透過反轉(3.1.2)式即可獲得在既定機率水準 p 之下的風險值： ^. VaR p = μˆ +. − ξˆ σˆ ⎡ ( − ln p ext ) − 1⎤ ⎥⎦ ξˆ ⎢⎣. (3.1.4). 此處， p ext = p l 。. (二) GPD 分配若資料存在更多極端值時，僅採用區塊最大值法建構模型似乎較不效率。因此，對極端行為進行研究時，藉由制定高門檻值(threshold)，將超過此門檻值之觀察值作為極端值，能夠獲得較多的極端值資料，增加模型建構的效率。同樣的，我們令 X 1 , X 2 , L , X n 為獨立同態之隨機變數，分別代表匯率的日報酬，具有相同的未知機率分配函數 F ( x) 。首先在既定的門檻值 u 之下，令 X (i ) 為第 i 個順序統計量(order statistics)，使 X (1) ≥ ... ≥ X ( m ) ≥ ... ≥ X ( n ) ；在 X (t) > u ，t = 1,2,..., nu 之下， 11.

(28) 其中 nu 代表全樣本( n )中超過門檻值的個數，這些超越門檻值的觀察值與門檻值之差距稱為「超越值」(exceedance)，令 y = X ( t ) − u 代表這些超越值，則 y 的條件機率分配為： Fu ( y ) = Pr( X − u ≤ y X > u ). (3.1.5). 上式表示，條件在觀察值 X 超過門檻值 u 之下，超越值最大為 y 的機率。改寫此條件機率為下式： Pr( X − u ≤ y, X > u ) Pr( X ≤ y + u ) − Pr( X ≤ u ) = Pr( X > u ) 1 − Pr( X ≤ u ) F ( y + u ) − F (u ) = 1 − F (u ). Fu ( y ) =. (3.1.6). 在 X > u ，以及 x = y + u 成立之下，可將上式進一步表示為：. F ( x) = [1 − F (u )]Fu ( y ) + F (u ). (3.1.7). 根據 Balkema and de Haan(1974)與 Pickands(1975)的理論，當門檻值 u 趨近 ∞ 時，超越值分配函數 Fu ( y ) 會收斂至一般化柏雷圖分配(Generalized Pareto. distribution, GPD)： y −1 / ξ ⎧ ⎪⎪1 − (1 + ξ ⋅ σ ) Gξ ,σ ( x) = ⎨ ⎪1 − exp(− y ) ⎪⎩ σ. for ξ ≠ 0. (3.1.8) for ξ = 0. 當 ξ ≥ 0 時， y ∈ [0, ∞) ，而當 ξ < 0 時， y ∈ [0,−σ / ξ ) ；其中， y > 0，且 (1 + ξ ⋅. y. σ. ) > 0，. ξ 代表形狀參數， σ 為規模參數。 ξ 是決定著尾部分配型態的重要參數，與 GEV 分配相同，根據 ξ 值大小，GPD 分配也同樣具有不同的尾部分配形式；當 ξ > 0 ，分配為 Pareto 分配，屬厚尾分配；在 ξ = 0 時，為指數分配，而當 ξ < 0 ，分配將呈現 Pareto II 分配。同樣的，GPD 的參數亦可透過最大概似法估計之。Hosking and Wallis (1987)證明，在某些條件之下，參數的最大概似估計式的大樣本分配為常態分配。在既定門檻值 u 之下，當 Fu ( y ) 收斂到 GPD 分配時，尾部分配的形式可表示為： 12.

(29) F ( x) = [1 − F (u )]H ξ ( x − u ) + F (u ). (3.1.9). 其中， nu 為全樣本( n )中超過門檻值的個數，而 F (u ) 可透過 1 − nu / n 估計之，由此可得到尾部估計式為：. n n Fˆ ( x) = u H ξˆ ( x − u ) + (1 − u ) n n n = 1 + u H ξˆ ( x − u ) − 1 n. [. ]. n ⎛ x−u⎞ = 1 − u ⎜1 + ξˆ ⎟ n⎝ σˆ ⎠. (3.1.10). −1 / ξˆ. 其中， ξˆ 及 σˆ 為最大概似估計值。同樣的，藉由反轉(3.1.8)式可得到，在既定機率水準 p 之下的風險值估計式：. ⎤ σˆ ⎡⎛ 1 − p ⎞ ⎟⎟ − 1⎥ VaR = xˆ p = u + ⎢⎜⎜ ⎥ ξˆ ⎢⎝ nu / n ⎠ −ξˆ. ^. (3.1.11). p. ⎣. ⎦. 另外，有二點必須說明；第一、區塊最大值法的 GEV 分配與超越門檻值法的. GPD 分配之間有密切的關係，在既定的門檻值 u 之下，GEV 分配的參數 ξ 、 μ 以及. σ ，將可決定 GPD 的參數 ξ 與 σ ，而且不論門檻值為何，GEV 與 GPD 具有相同的. ( ). 的形狀參數 ξ 。第二、在 ξ > 0 時，可證明當 k ≥ 1 / ξ ， E X k = ∞ ，例如，當 ξ = 0.5 ，. ( ). E X 2 = ∞ ， X 分配的變異數將不存在；即當分配呈現厚尾( ξ > 0 )時，大於 k 以上的動差是不存在的。. 二、非參數估計方法. (一) Hill 估計式令 X 1 , X 2 , L , X n 為獨立同態之隨機變數，分別代表匯率的日報酬，具有相同的厚尾機率分配函數 F (x) 。若將此厚尾分配的尾部在 x 很大處作一階泰勒展開，將呈現 Pareto 類型的尾部：. 1 − F ( x) = P{X > x} ≈ ax −α , a > 0, α > 0. (3.1.12). 其中， a 為常數，參數 α 稱為尾部指數(tail index)，用來衡量分配尾部的肥厚程度， 13.

(30) 與 GPD 的形狀參數 ξ 具有特定關係為 ξ = 1 / α 。常見的厚尾分配，如 t 分配與. Fréchet 分配等，都呈現上述的尾部形狀。為估計尾部機率與分位數，令 X (i ) 為第 i 個順序統計量，使. X (1) ≥ ... ≥ X ( m +1) ≥ ... ≥ X ( n ) ；其中， X ( m +1) 為門檻值，使得大於 X ( m +1) 的觀察值，能夠以 ax −α 近似其分配；若 αˆ 為尾部指數的估計值，則尾部機率的估計式如下 (見. Embrechts et al., 2003)： αˆ. ⎞ m⎛ X Fˆ ( x) = p = 1 − ⎜⎜ ( m +1) ⎟⎟ , x > X ( m +1) n⎝ x ⎠. (3.1.13). 其中， p 為機率水準，m 為大於門檻值 X ( m +1) 的極端值個數或稱為門檻水準(threshold. level)，用來決定分配尾部的起始處。因此，在既定機率水準 p 之下，可藉由反轉第 (3.1.13)式估計風險值： 1 / αˆ. ⎛ ⎞ m ⎟⎟ VaR = xˆ p = X ( m +1) ⎜⎜ ⎝ (1 − p) × n ⎠ ^. p. (3.1.14). Hill(1975)利用最大概似法，推導出一個不需參數化尾部的形狀，可直接估計尾部指數 α 的方法，其估計式為：. x 1 m −1 1 ˆ = ξ (m) = ∑ ln( ( j ) ) αˆ m j =1 x( m +1). (3.1.15). 為確保估計式 ξˆ(m) 為具一致性( Mason, 1982)，且大樣本分配為平均數為 0，變異數為 ξ 2 的常態分配(Goldie and Smith, 1987)，理論上， m 值必需隨樣本數增加而緩慢的增加，即要求 n → ∞ 時， m(n) → ∞ ，且 m(n) / n → 0 。. 第二節. 資料相依性與風險值. 實證上，普遍認為財務數列常具有序列相關以及波動聚集的特性，若直接配適極值模型，似乎有違極值理論要求數列為 iid 的假設，在此狀況之下所計算的風險值，似乎有理論上的不足。因此，當數列不具 iid 的性質，欲透過極值理論計算風 14.

(31) 險值時，需先將原數列以適當模型配適之後，過濾出 iid 的殘差數列，以符合極值理論假設的要求。McNeil and Frey (2000)提出，結合 GARCH 模型過濾當期波動性，將過濾後具 iid 性質的標準化殘差，以極值模型配適其尾部，再進行風險值的計算，試說明如下：首先，假設匯率報酬率的動態過程如下：. X t = μt + σ t Z t ,. t = 1,2,..., n. (3.2.1). 其中， μt 為條件平均數， σ t2 為條件變異數， Z t 則是來自平均數 0，變異數為 1，分配函數為 FZ (z ) 的 iid 隨機變數。. McNeil and Frey(2000)認為，由於 Z t 的分配呈現厚尾，連帶使得報酬率的條件機率分配也呈現厚尾，因此，若能夠正確的估計 Z t 分配的尾部，就能夠正確的預估風險值。假設 I t 為截至目前所能取得的訊息集合，則往前一期的條件機率分配可改寫成下式：. FX t +1 | I t ( x) = P{μt +1 + σ t +1Z t +1 ≤ x | I t } = FZ (( x − μt +1 ) / σ t +1 ). (3.2.2). 由此，若模型能夠正確的配適，獲得正確的條件平均數與條件變異數估計值，就能夠將報酬率資料過濾為 iid 的標準化殘差，之後再以極值模型配適標準化殘差的尾部，能夠獲得較正確的風險值。本文實際執行此程序之過程如下：首先，我們對條件平均數與條件變異數作設定，以 ARMA( p1 , q1 ) 配適條件平均數，以 GARCH ( p2 , q2 ) 配適條件變異數。接著，透過最大概似法估計 μˆ t 與 σˆ t ，並取出標準化殘差 zˆt = ( xt − μˆ t ) / σˆ t 。取得具 iid 性質的標準化殘差後，再以第一節所述之極值理論模型，配適標準化殘差 zˆt 分配的尾部，並計算既定機率水準 p 之下的分位數 zˆ p ，亦即條件在 I t 之下，往前一期的風險值： ^. VaR p t +1|t = μˆ t +1|t + σˆ t +1|t zˆ p ,. (3.2.3). 其中， μˆ t +1|t 與 σˆ t +1|t 表示條件在 I t 之下，條件平均數與標準差往前一期的預測值。. 15.

(32) 第三節. 最適門檻水準的決定. 在 Hill 的估計式中，門檻水準 m 值的決定是一個重要的步驟，Hill 是在 2 與 n / 4 間選取一個適當的數目，作為門檻水準。門檻值所代表的是隨機分配中，尾部分配的起點，以右尾來說，大於門檻值的數值即屬於分配尾部較為極端的部分，因此門檻值的選取，將關係到尾部指數估計的準確度。目前已確定的事實是，門檻水準 m 的增減，會影響 Hill 估計式的偏誤與變異數，使二者產生抵換(trade-off)的關係；即當 m 增加，代表極端值個數增加，使估計變異數降低，但會造成估計偏誤的增加，反之，當 m 減少，極端值個數減少，將使估計偏誤降低，但相對的增加估計的變異數。目前許多實證文獻透過 Hill-plot 來決定最適門檻值的區間，Hill-plot 主要的方式是透過描繪不同門檻值之下的 Hill 估計值，在以目測的方式選出圖形中較平坦的區域，以該區域所對應的門檻值，作為選定的門檻值進行實證分析。但目測法一般認為較主觀，概念上應使用較嚴謹的統計方法進行估計。在討論最適門檻水準的決定方式之前，我們先介紹各方法建立的基本概念，首先將匯率報酬率的分配函數做二階泰勒展開，得到尾部的近似式如下：. 1 − F ( x) ≈ ax −α (1 + bx − β ), α > 0, β > 0. (3.3.1). 其中， a 、 b 為實數， α 、 β 則稱為一、二階參數。. DeHaan and Peng (1998)以及 Segers (2001)證明，Hill 估計式在二階展開下，仍可用以估計一階參數，當 n → ∞ 時， m(n) → ∞ 且 m(n) / n → 0 ，. (. ). d m (ξ n (m) − ξ ) ⎯ ⎯→ N Bξ , ξ 2 ，此處， Bξ 代表大樣本偏誤項。. Goldie and Smith (1987)證明，存在使 ξˆn (m) 的大樣本均方誤最小的一組最適門檻水準數列 m0 (n) ；由此，理論上能夠透過最小化 AMSE 來決定最適門檻水準. m0 (n) ，如下：. 16.

(33) (. m0 (n) = arg min Asy E ξˆn (m) − ξ m. ). 2. (3.3.2). Hall (1990)、Daielsson et al. (1997a)、Danielsson et al. (2001)等許多理論文獻，提出最適門檻水準的估計方法，建議採用自體抽樣法(bootstrap)計算 AMSE，並透過選擇不同的門檻水準來極小化自體抽樣的 MSE。然而，採用自體抽樣法需要解決二個問題：第一， ξ 值的理論值為一未知數，這個問題的解決方式，學者提出許多替代方式，將在後續作深入討論；第二，Hill 估計式為全樣本觀察值(取對數後)的線性估計式，以自體抽樣法對具有線性特性的估計式使用 MSE 法，會使偏誤項(bias) 為 0，而 Hill 估計式的理論結果要求，偏誤與變異數需以相同的速度遞減為 0，以使 AMSE 為最小，因此，以全樣本來進行自體抽樣將會產生問題(見 Daielsson et al.. 1997a 說明)。以下，我們將介紹三種估計方式：. 一、Hall (1990). Hall採用全樣本的Hill估計值代替未知值 ξ ，解決第一個問題；另外，針對第二個問題，Hall提出不直接以全樣本作自體抽樣，而是選擇較小的部分樣本進行自體抽樣，再進行MSE的估計。Hall將部分樣本的長度設成 n1 = nγ ， γ < 1 ，並從原始樣本中以抽出放回的方式，反覆抽出多組長度為 n1 的自體抽樣樣本，以計算Hill估計式的MSE；接著再透過變動部分樣本的門檻水準 m1 ，即可求出對應MSE極小值的最適 mˆ *1 ，如下：. (. ). ~ ~ 2 b mˆ *1 = arg min Eˆ ⎡ ξˆn1 (m) − ξ n (m ) | ( X 1 ,..., X n )⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ 1≤ m ≤ n1. (3.3.3). ~ b 其中， ξˆn1 (m1 ) 代表根據部分自體抽樣樣本所計算的Hill估計值， ξ n 則代表一致性的. Hill估計值。最後根據下式，以部份樣本的最適門檻水準為基礎，計算出全樣本的最適門檻水準：. ⎛n⎞ mˆ = mˆ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ n1 ⎠ *. * 1. 17. 2 β / ( 2 β +α ). (3.3.4).

(34) 其中，由於二階參數 β 未知，Hall透過假設 α = β 以解決此問題。詳細的進行程序如下： e. g. ~ = n 2 / 3 ，並以全樣本計算Hill 1. 根據Danielsson (1996,1997b)，將門檻水準設定為 m 0 ~ ~ 估計值 ξ n (m 0) 。. 2. 由全樣本 {X 1 ,..., X n } 中，以抽出放回的方式獨立抽出長度為 n1 的部分樣本. {X. b 1. }. ,..., X n1 ，並予以排序 X (1) ≥ ... ≥ X ( n1 ) ，在 m1 ∈ {1,2,3,..., n1} 中給定一門檻水 b. b. b. b 準，以計算自體抽樣樣本的 Hill 估計值 ξˆn1 (m1 ) 。. 3. 重複第 2 步驟 R 次，可得到自體抽樣的 MSE =. (. ). 2. ~ ~ 1 R ˆ b ξ n1 ,i (m1 ) − ξ n (m ∑ 0) 。 R i=1. 4. 變動不同門檻水準 m1 ∈ {1,2,3,..., n1}，重複第 2 與第 3 步驟，即可找出對應自體抽樣 MSE 最小值的最適值 mˆ *1 。 2. ⎛ n ⎞3 5. 假設 α = β ，計算全樣本的門檻水準 mˆ = mˆ ⎜⎜ ⎟⎟ 。 ⎝ n1 ⎠ *. * 1. 二、Danielsson et al. (1997a). Danielsson et al. (1997a)針對Hall的方法提出改善，提出一個新的一致性估計式，直接估計二階參數 β ，放寬Hall對於一、二階參數值相等的假設，使Hall的部分樣本自體抽樣法更一般化。其方法包含四個步驟，試分述如下：. 1. 利用Hall (1990)的程序估計出部分樣本的最適門檻水準 mˆ *1 。 2. 估計一階參數 α 。設定門檻水準為 mˆ = mˆ 1 − 1 ，計算Hill估計值( 1 / αˆ )。 *. 3. 估計二階參數 β 。設定門檻水準為 mˆ = mˆ 1 + 1 ，計算下列 j 階對數動差： *. ~ ( j). mn. j. 1 mˆ ⎡ x ⎤ = ∑ ⎢ln ( i ) ⎥ , j = 1,2,3,4 mˆ i =1 ⎢⎣ x( m +1) ⎥⎦. 以及下列統計量：. 18. (3.3.5).

(35) ~ (1). ~ ( 2). ~ (1). mn − mn / 2 mn. Δ=. ~ ( 3). ~ ( 2). ~ ( 4). ~ ( 3). (3.3.6). mn / 3 mn − mn / 4 mn 並得到 β 的估計式 βˆ = αˆ. (. ). Δ −1 。. 4. 最後再根據(3.3.4)式計算最適門檻水準 mˆ * 。. 三、Danielsson et al. (2001). Danielsson et al. (2001)提出二階段的部分樣本自體抽樣法，成功解決最適門檻水準估計時，需事先決定Hill一致估計值，以及二階參數 β 的估計問題；此外，他亦提出估計部分樣本長度 n1 的方法；整體而言，其方法相當符合統計的嚴謹性。基本上Danielsson et al. (2001)仍然承襲Hall (1990)部分樣本自體抽樣的概念，與. Hall不同之處，在於Danielsson et al. (2001)重新提出一個二階動差估計式取代Hill估計式： 1 m ⎡ x ⎤ Mˆ n (m) = ∑ ⎢ln ( i ) ⎥ m i =1 ⎣⎢ x( m +1) ⎦⎥. 2. (3.3.7). 根據證明， Mˆ n (m) /(2ξˆn (m)) 同樣為具一致性的 ξ 值估計式，另外 Mˆ n (m) /(2ξˆn (m)) − ξˆn (m) 與 ξˆn (m) − ξ 具有相同的大樣本行為，根據這些證明，. Danielsson et al. (2001)提出自體抽樣的MSE，如下式：. (. ). 2 2 ⎡ ⎤ b b Q(n1 , m1 ) = E ⎢⎛⎜ Mˆ n1 (m1 ) − 2 ξˆn1 (m1 ) ⎞⎟ | ( X 1 ,..., X n )⎥ ⎠ ⎣⎝ ⎦. (3.3.8). 其中，二階對數動差仍採用與Hill估計式相同的部份自體抽樣樣本，之後再透過最小化自體抽樣MSE，即可估計出部分樣本的最適門檻水準 mˆ *1 。接著，將部分樣本的長度設定為 n2 = (n1 ) 2 / n ，將 n2 帶入上述 mˆ *1 的估計程序，即可估計出最適 mˆ * 2 。根據部分樣本的最適門檻水準 mˆ *1 與 mˆ * 2，透過下式轉換為全樣本的最適門檻水準 mˆ * ：. 19.

(36) mˆ. *. (mˆ ) =. * 2 1 * 2. mˆ. (. ). * 2 ⎛ ln mˆ 1 ⎜ ⎜ 2 ln n − ln mˆ * 1 1 ⎝. (. ⎞ ⎟ 2 ⎟ ⎠. (ln n − ln mˆ )/ ln n 1. 1. *. 1. ). (3.3.9). 此外，在部分樣本長度設定的部分，Danielsson et al. (2001)提出以「格子搜尋. (grid search)」的方式，針對部分樣本長度 n1 進行估計，其估計式如下：. nˆ. * 1. (Q(n , mˆ )) = arg min Q (n , mˆ ) 1. 1≤ n1 ≤ n. 2. * 1. *. 2. 20. 2. (3.3.10).

(37) 第四章. 第一節. 實證結果. 資料來源與統計分析. 本文的實證資料的選取以匯率資料為主，研究對象為 G101會員國貨幣，以美元為計價基礎的匯率日資料，資料來源為 AREMOS 資料庫。研究期間為 1991/1/1 ~. 2006/9/20，但礙於歐盟國家自 1999 年起，改採歐元為流通貨幣，因此包括比利時、德國、法國、義大利以及荷蘭的研究期間僅為 1991/1/1 ~ 1998/12/31。將上述匯率資料，以連續複利的概念計算日報酬率，即透過下式計算報酬率：. X t = ln(. Pt ) × 100 Pt −1. 其中， Pt 代表當日的匯率， Pt −1 代表前一天的匯率；去除無交易天數及明顯錯誤的資料後，本研究的資料分述如下：表 1：研究資料匯率美元兌比利時法郎 (USD/BEF). 研究期間. 樣本總數. 1978/1/1 ~ 1998/12/31. 5156. 美元兌加拿大幣. (USD/CAD). 1978/1/1 ~ 2006/9/20. 7099. 美元兌德國馬克. (USD/DEM). 1978/1/1 ~ 1998/12/31. 5182. 美元兌法國法郎. (USD/FRF). 1978/1/1 ~ 1998/12/31. 5153. 美元兌英鎊. (USD/GBP). 1978/1/1 ~ 2006/9/20. 7220. 1978/1/1 ~ 1998/12/31. 5126. 1978/1/1 ~ 2006/9/20. 7203. 1978/1/1 ~ 1998/12/31. 5130. 1978/1/1 ~ 2006/9/20. 7125. 美元兌義大利里拉 (USD/ITL) 美元兌日圓. (USD/JPY). 美元兌荷蘭基爾德 (USD/NLG) 美元兌瑞典克朗. (USD/SEK). 圖 1 與圖 2 為各國匯率日報酬率及日報酬率平方之時間趨勢圖，可看出資料間具有某種程度的序列相關及波動群聚的現象。表 7-1 至表 7-9 列出各國匯率日報酬. 1. G10 (Group of 10)會員國包括：比利時、加拿大、德國、法國、英國、義大利、日本、荷蘭、瑞典以及美國等國。 21.

(38) 率的基本敘述統計資料。由偏態係數來看，美元兌比利時法郎(USD/BEF)(表 7-1)、美元兌義大利里拉(USD/ITL)(表 7-6)以及美元兌瑞典克朗(USD/SEK)(表 7-9)的分配型態呈現左偏，其餘各國則呈現右偏的型態，而峰態係數則顯示九國皆呈現高狹峰的分配型態，表示匯率報酬率資料的實際分配為不對稱。進一步從 J-B(Jarque-Bera)統計量的檢定結果，均拒絕分配為常態的假設。此外，透過圖 3 之標準常態分位數圖(Quantile-Quantile Plot, Q-Q-plot)也能夠觀察出此一結果，由圖 3 中匯率日報酬率資料圖形偏離 45 度線，呈現左下右上的形狀，顯示各國匯率日報酬率資料的分配為非常態分配。另外，比較標準化後的匯率日報酬率與標準常態分配之分位數，亦可得到同樣的結果；相較於標準常態分配，標準化後匯率日報酬率第 1 及第 99 百分位數之絕對值，均大過標準常態的第 1、第 99 百分位數(-2.3263、2.3263)；以美元兌比利時法郎(USD/BEF)(表 7-1)為例，標準化後美元兌比利時法郎日報酬率第 1 及第 99 百分位數分別為(-2.6080、2.7058)，絕對值皆高過標準常態之百分位數，代表匯率日報酬率的實際分配不僅為非常態，分配尾部的厚度可能比常態分配要大。恆定性檢定方面，ADF 統計量在 5%顯著水準之下，均拒絕數列具單根性質的虛無假設，表示數列均具恆定性。而序列相關檢定方面，以相差 6 期以及相差 12 期的 Ljung-Box Q 檢定統計量，進行一階序列相關的檢定，其中美元兌加拿大幣. (USD/CAD)(表 7-1)以及美元兌日圓(USD/JPY)(表 7-7)的報酬率資料，在 5%顯著水準下無法拒絕序列不相關相關的虛無假設，代表此二數列不具一皆序列相關的特性，而其他國家的匯率報酬率資料均拒絕虛無假設；而二階序列相關檢定方面，以相差 6 期與相差 12 期的 Ljung-Box Q2 檢定統計量進行檢定，顯示所有國家的匯率報酬率資料均拒絕不具二階序列相關的虛無假設，數列具波動聚集現象；綜合來看，本研究資料中，除美元兌加拿大幣(USD/CAD)及美元兌日圓(USD/JPY)不具一階序列相關外，其他國家的匯率報酬率皆具有一階序列相關的性質，而所有國家的匯率報酬率資料均具有二階序列相關的特性，此結果說明在應用極值理論模型時不可忽略的資料的相依性與條件異質性。 22.

(39) 2. 6. 1. 4 2. 0. 0. -1. -2 -4. -2. -6 0. 1000. 2000. 3000. 4000. 5000. 0. 2000. 4000. 6000. USD/CAD日報酬率時間趨勢圖. -5. -6. 0. -2. 0. 5. 2. 4. 10. 6. USD/BEF日報酬率時間趨勢圖. 0. 1000. 2000. 3000. 4000. 5000. 0. 1000. 2000. 3000. 4000. 5000. USD/FRF日報酬率時間趨勢圖. -4. -6. -2. -4. -2. 0. 0. 2. 2. 4. 4. 6. 6. USD/DEM日報酬率時間趨勢圖. 0. 2000. 4000. 6000. 0. 1000. 2000. 3000. 4000. 5000. USD/ITL日報酬率時間趨勢圖. -4. -5. -2. 0. 0. 2. 5. 4. USD/GBP日報酬率時間趨勢圖. 0. 2000. 4000. 6000. 0. 1000. 2000. 0 -5 -10 0. 2000. 4000. 3000. 4000. USD/NLG日報酬率時間趨勢圖. 5. USD/JPY日報酬率時間趨勢圖. 6000. USD/SEK日報酬率時間趨勢圖. 圖 1：各國匯率日報酬率時間趨勢圖 23. 5000.

(40) 4. 5. 40. 3. 30. 2. 20. 0. 1. 10 0 0. 1000. 2000. 3000. 4000. 5000. 0. 2000. 4000. 6000. USD/CAD日報酬率平方時間趨勢圖. 0. 0. 20. 10. 40. 20. 60. 30. 40. 80 100. 50. USD/BEF日報酬率平方時間趨勢圖. 0. 1000. 2000. 3000. 4000. 5000. 0. 1000. 2000. 3000. 4000. 5000. USD/FRF日報酬率平方時間趨勢圖. 0. 0. 10. 10. 20. 20. 30. 30. 40. 40. USD/DEM日報酬率平方時間趨勢圖. 0. 2000. 4000. 6000. 0. 1000. 2000. 3000. 4000. 5000. USD/ITL日報酬率平方時間趨勢圖. 0. 0. 5. 20. 40. 60. 10 15 20 25 30. 80. USD/GBP日報酬率平方時間趨勢圖. 0. 2000. 4000. 6000. 0. 1000. 2000. 60 40 20 0 0. 2000. 4000. 3000. 4000. USD/NLG日報酬率平方時間趨勢圖. 80. USD/JPY日報酬率平方時間趨勢圖. 6000. USD/SEK日報酬率平方時間趨勢圖. 圖 2：各國匯率日報酬率平方時間趨勢圖 24. 5000.

(41) 標準化後USD/SEK報酬率分位數 -10 -5 0 5 10. 標準化後USD/JPY報酬率分位數 -2 0 2 4 6 8. 標準化後USD/NLG報酬率分位數 -10 -5 0 5 10. -6. -10. 標準化後USD/ITL報酬率分位數 -5 0 5 10. 標準化後USD/GBP報酬率分位數 -5 0 5 10. -10. 標準化後USD/FRF報酬率分位數 -5 0 5. 標準化後USD/DEM報酬率分位數 -5 0 5 10 15 -4. -4. -4. -4. -4 -2 標準常態分位數. -2. -2. -2. -2 0. 0. 0. 0. 0. 2. 2. 2. 2. 2. 4 -4. 4 -4. 4 -4. 標準常態分位數 4. 25 -4. -2 標準常態分位數. 標準常態分位數 -2. 標準常態分位數 -2. -2. 0. 0. 0. 0. 2. 標準常態分位數. 標準常態分位數. 4. 圖 3：QQ 圖─標準化後各國匯率日報酬率 vs. 標準常態分配 4. 標準常態分位數. 標準常態分位數. 2 4. 2 4. 2 4. -6. 標準化後USD/CAD報酬率分位數 -4 -2 0 2 4 6. 標準化後USD/BEF報酬率分位數 -5 0 5.