資料相依性與風險值

第三章極值理論模型介紹

第二節資料相依性與風險值

險值時，需先將原數列以適當模型配適之後，過濾出iid的殘差數列，以符合極值理論假設的要求。McNeil and Frey (2000)提出，結合 GARCH 模型過濾當期波動性，

將過濾後具iid性質的標準化殘差，以極值模型配適其尾部，再進行風險值的計算，

試說明如下：

首先，假設匯率報酬率的動態過程如下：

t t t

Z

X

μ

σ

t

=1,2,...,

n

(3.2.1) 其中，

μ

_t為條件平均數，

σ

_t²為條件變異數，

Z 則是來自平均數 0，變異數為 1，分

_t 配函數為F_Z(z)的iid隨機變數。

McNeil and Frey(2000)認為，由於

Z 的分配呈現厚尾，連帶使得報酬率的條件

_t 機率分配也呈現厚尾，因此，若能夠正確的估計

Z 分配的尾部，就能夠正確的預估

_t 風險值。假設

I 為截至目前所能取得的訊息集合，則往前一期的條件機率分配可改

_t 寫成下式：

) / ) ((

}

| {

)

( ₁ ₁ ₁ ₁ ₁

1| = + + + + ≤ = − + +

+ I t t t t Z t t

x P Z x I F x

F

t t

μ σ μ σ

(3.2.2)

由此，若模型能夠正確的配適，獲得正確的條件平均數與條件變異數估計值，

就能夠將報酬率資料過濾為iid的標準化殘差，之後再以極值模型配適標準化殘差的尾部，能夠獲得較正確的風險值。

本文實際執行此程序之過程如下：首先，我們對條件平均數與條件變異數作設定，以ARMA(p₁,q₁)配適條件平均數，以GARCH(p₂,q₂)配適條件變異數。接著，

透過最大概似法估計

μ

ˆ 與_t

σ

ˆ ，並取出標準化殘差_t

z

ˆt =

( x

t −

μ

ˆt

)

σ

ˆt。取得具iid性質的標準化殘差後，再以第一節所述之極值理論模型，配適標準化殘差

zˆ 分配的尾

_t 部，並計算既定機率水準 p 之下的分位數

zˆ ，亦即條件在

I 之下，往前一期的風險

_t 值：

p t t t t

z

VaR

^{^} _t₊₁_|_t =

μ

ˆ₊₁_| +

σ

ˆ ₊₁_| ˆ , (3.2.3) 其中，

μ

ˆ_t₊₁_|_t與

σ

ˆ_t₊₁_|_t表示條件在

I 之下，條件平均數與標準差往前一期的預測值。

第三節最適門檻水準的決定

在Hill 的估計式中，門檻水準m值的決定是一個重要的步驟，Hill 是在 2 與n/4 間選取一個適當的數目，作為門檻水準。門檻值所代表的是隨機分配中，尾部分配的起點，以右尾來說，大於門檻值的數值即屬於分配尾部較為極端的部分，因此門檻值的選取，將關係到尾部指數估計的準確度。目前已確定的事實是，門檻水準m 的增減，會影響Hill 估計式的偏誤與變異數，使二者產生抵換(trade-off)的關係；即當m增加，代表極端值個數增加，使估計變異數降低，但會造成估計偏誤的增加，

反之，當m減少，極端值個數減少，將使估計偏誤降低，但相對的增加估計的變異數。

目前許多實證文獻透過 Hill-plot 來決定最適門檻值的區間，Hill-plot 主要的方式是透過描繪不同門檻值之下的Hill 估計值，在以目測的方式選出圖形中較平坦的區域，以該區域所對應的門檻值，作為選定的門檻值進行實證分析。但目測法一般認為較主觀，概念上應使用較嚴謹的統計方法進行估計。

在討論最適門檻水準的決定方式之前，我們先介紹各方法建立的基本概念，首先將匯率報酬率的分配函數做二階泰勒展開，得到尾部的近似式如下：

, 0 ),

1 ( )

(

1−

F x

≈

ax

⁻^α +

bx

⁻^β

α

β

>0 (3.3.1) 其中，a、b為實數，α 、

β

則稱為一、二階參數。

DeHaan and Peng (1998)以及 Segers (2001)證明，Hill 估計式在二階展開下，仍可用以估計一階參數，當 n→∞ 時，

m

(n)→∞ 且

m

(

n

→0 ，

( ^ξ

⁽

^m

⁾

^ξ ) ^N ( ^B

_ξ^,

^ξ

)

m

_n − ⎯⎯→^d ，此處，

B 代表大樣本偏誤項。

_ξ

Goldie and Smith (1987)證明，存在使

ξ

ˆ m_n( )的大樣本均方誤最小的一組最適門檻水準數列

m

₀(

n

)；由此，理論上能夠透過最小化 AMSE 來決定最適門檻水準

)

n

m

，如下：

( )

n

)=arg min

Asy E ξ

ˆ (

m

)−

ξ

m

m (3.3.2)

Hall (1990)、Daielsson et al. (1997a)、Danielsson et al. (2001)等許多理論文獻，

提出最適門檻水準的估計方法，建議採用自體抽樣法(bootstrap)計算 AMSE，並透

其中，由於二階參數

β

未知，Hall透過假設

α

= 以解決此問題。

β

二、Danielsson et al. (1997a)

Danielsson et al. (1997a)針對Hall的方法提出改善，提出一個新的一致性估計式，直接估計二階參數

β

，放寬Hall對於一、二階參數值相等的假設，使Hall的部

)

三、Danielsson et al. (2001)

Danielsson et al. (2001)提出二階段的部分樣本自體抽樣法，成功解決最適門檻水準估計時，需事先決定Hill一致估計值，以及二階參數

β

的估計問題；此外，他亦提出估計部分樣本長度n₁的方法；整體而言，其方法相當符合統計的嚴謹性。

基本上Danielsson et al. (2001)仍然承襲Hall (1990)部分樣本自體抽樣的概念，與 Hall不同之處，在於Danielsson et al. (2001)重新提出一個二階動差估計式取代Hill估計式： Danielsson et al. (2001)提出自體抽樣的MSE，如下式：

( ) ⁽ ⁾

_⎥

( ) ( )

此外，在部分樣本長度設定的部分，Danielsson et al. (2001)提出以「格子搜尋 (grid search)」的方式，針對部分樣本長度n₁進行估計，其估計式如下：

第四章實證結果

第一節資料來源與統計分析

本文的實證資料的選取以匯率資料為主，研究對象為G10¹會員國貨幣，以美元為計價基礎的匯率日資料，資料來源為AREMOS 資料庫。研究期間為 1991/1/1 ~ 2006/9/20，但礙於歐盟國家自 1999 年起，改採歐元為流通貨幣，因此包括比利時、

德國、法國、義大利以及荷蘭的研究期間僅為1991/1/1 ~ 1998/12/31。

將上述匯率資料，以連續複利的概念計算日報酬率，即透過下式計算報酬率：

100 ) ln(

− t

P

X P

其中，

P 代表當日的匯率，

P 代表前一天的匯率；去除無交易天數及明顯錯誤的

_t₋₁ 資料後，本研究的資料分述如下：

表1：研究資料

匯率研究期間樣本總數

美元兌比利時法郎 (USD/BEF) 1978/1/1 ~ 1998/12/31 5156 美元兌加拿大幣 (USD/CAD) 1978/1/1 ~ 2006/9/20 7099 美元兌德國馬克 (USD/DEM) 1978/1/1 ~ 1998/12/31 5182 美元兌法國法郎 (USD/FRF) 1978/1/1 ~ 1998/12/31 5153 美元兌英鎊 (USD/GBP) 1978/1/1 ~ 2006/9/20 7220 美元兌義大利里拉 (USD/ITL) 1978/1/1 ~ 1998/12/31 5126 美元兌日圓 (USD/JPY) 1978/1/1 ~ 2006/9/20 7203 美元兌荷蘭基爾德 (USD/NLG) 1978/1/1 ~ 1998/12/31 5130 美元兌瑞典克朗 (USD/SEK) 1978/1/1 ~ 2006/9/20 7125

圖1 與圖 2 為各國匯率日報酬率及日報酬率平方之時間趨勢圖，可看出資料間具有某種程度的序列相關及波動群聚的現象。表7-1 至表 7-9 列出各國匯率日報酬

1 G10 (Group of 10)會員國包括：比利時、加拿大、德國、法國、英國、義大利、日本、荷蘭、瑞典以及美國等國。

率的基本敘述統計資料。由偏態係數來看，美元兌比利時法郎(USD/BEF)(表 7-1)、

美元兌義大利里拉(USD/ITL)(表 7-6)以及美元兌瑞典克朗(USD/SEK)(表 7-9)的分配型態呈現左偏，其餘各國則呈現右偏的型態，而峰態係數則顯示九國皆呈現高狹峰的分配型態，表示匯率報酬率資料的實際分配為不對稱。

進一步從J-B(Jarque-Bera)統計量的檢定結果，均拒絕分配為常態的假設。此外，透過圖3 之標準常態分位數圖(Quantile-Quantile Plot, Q-Q-plot)也能夠觀察出此一結果，由圖3 中匯率日報酬率資料圖形偏離 45 度線，呈現左下右上的形狀，顯示各國匯率日報酬率資料的分配為非常態分配。另外，比較標準化後的匯率日報酬率與標準常態分配之分位數，亦可得到同樣的結果；相較於標準常態分配，標準化後匯率日報酬率第1 及第 99 百分位數之絕對值，均大過標準常態的第 1、第 99 百分位數(-2.3263、2.3263)；以美元兌比利時法郎(USD/BEF)(表 7-1)為例，標準化後美元兌比利時法郎日報酬率第1 及第 99 百分位數分別為(-2.6080、2.7058)，絕對值皆高過標準常態之百分位數，代表匯率日報酬率的實際分配不僅為非常態，分配尾部的厚度可能比常態分配要大。

恆定性檢定方面，ADF 統計量在 5%顯著水準之下，均拒絕數列具單根性質的虛無假設，表示數列均具恆定性。而序列相關檢定方面，以相差6 期以及相差 12 期的Ljung-Box Q 檢定統計量，進行一階序列相關的檢定，其中美元兌加拿大幣 (USD/CAD)(表 7-1)以及美元兌日圓(USD/JPY)(表 7-7)的報酬率資料，在 5%顯著水準下無法拒絕序列不相關相關的虛無假設，代表此二數列不具一皆序列相關的特性，而其他國家的匯率報酬率資料均拒絕虛無假設；而二階序列相關檢定方面，以相差6 期與相差 12 期的 Ljung-Box Q²檢定統計量進行檢定，顯示所有國家的匯率報酬率資料均拒絕不具二階序列相關的虛無假設，數列具波動聚集現象；綜合來看，本研究資料中，除美元兌加拿大幣(USD/CAD)及美元兌日圓(USD/JPY)不具一階序列相關外，其他國家的匯率報酬率皆具有一階序列相關的性質，而所有國家的匯率報酬率資料均具有二階序列相關的特性，此結果說明在應用極值理論模型時不可忽略的資料的相依性與條件異質性。

USD/BEF日報酬率時間趨勢圖

0 1000 2000 3000 4000 5000

-6-4-20246

USD/CAD日報酬率時間趨勢圖

0 2000 4000 6000

-2-1012

USD/DEM日報酬率時間趨勢圖

0 1000 2000 3000 4000 5000

-50510

USD/FRF日報酬率時間趨勢圖

0 1000 2000 3000 4000 5000

-6-20246

USD/GBP日報酬率時間趨勢圖

0 2000 4000 6000

-4-20246

USD/ITL日報酬率時間趨勢圖

0 1000 2000 3000 4000 5000

-6-4-20246

USD/JPY日報酬率時間趨勢圖

0 2000 4000 6000

-4-2024

USD/NLG日報酬率時間趨勢圖

0 1000 2000 3000 4000 5000

-505

USD/SEK日報酬率時間趨勢圖

0 2000 4000 6000

-10-505

圖1：各國匯率日報酬率時間趨勢圖

USD/BEF日報酬率平方時間趨勢圖

0 1000 2000 3000 4000 5000

010203040

USD/CAD日報酬率平方時間趨勢圖

0 2000 4000 6000

012345

USD/DEM日報酬率平方時間趨勢圖

0 1000 2000 3000 4000 5000

020406080100

USD/FRF日報酬率平方時間趨勢圖

0 1000 2000 3000 4000 5000

01020304050

USD/GBP日報酬率平方時間趨勢圖

0 2000 4000 6000

010203040

USD/ITL日報酬率平方時間趨勢圖

0 1000 2000 3000 4000 5000

010203040

USD/JPY日報酬率平方時間趨勢圖

0 2000 4000 6000

051015202530

USD/NLG日報酬率平方時間趨勢圖

0 1000 2000 3000 4000 5000

020406080

USD/SEK日報酬率平方時間趨勢圖

0 2000 4000 6000

020406080

圖2：各國匯率日報酬率平方時間趨勢圖

標準常態分位數

標準化後USD/BEF報酬率分位數

-4 -2 0 2 4

-505

標準常態分位數

標準化後USD/CAD報酬率分位數

-4 -2 0 2 4

-6-4-20246

標準常態分位數

標準化後USD/DEM報酬率分位數

-4 -2 0 2 4

-5051015

標準常態分位數

標準化後USD/FRF報酬率分位數

-4 -2 0 2 4

-10-505

標準常態分位數

標準化後USD/GBP報酬率分位數

-4 -2 0 2 4

-50510

標準常態分位數

標準化後USD/ITL報酬率分位數

-4 -2 0 2 4

-10-50510

標準常態分位數

標準化後USD/JPY報酬率分位數

-4 -2 0 2 4

-6-202468

標準常態分位數

標準化後USD/NLG報酬率分位數

-4 -2 0 2 4

-10-50510

標準常態分位數

標準化後USD/SEK報酬率分位數

-4 -2 0 2 4

-10-50510

圖3：QQ 圖─標準化後各國匯率日報酬率 vs. 標準常態分配

第二節全樣本極值模型的相關估計結果

由上一節的介紹，我們了解匯率日報酬率資料可能具有厚尾的現象，這個部分我們將透過極值模型，以全樣本資料估計非條件及條件模型之參數，以了解資料尾部行為的表現。本文所使用的極值模型包括二類，一為參數化法的GEV 及 GPD 模型，一為非參數法的Hill 估計式(CHE)。若未考慮當期波動性，直接運用這些 EVT 模型，稱之為「非條件模型」，包括GEV、GPD 以及 CHE 等極值模型的參數估計；

而若根據McNeil and Frey (2000)的二階段方法，則稱為「條件模型」，包括條件 GPD(Cond. GPD)、條件 GEV(Cond. GEV)以及條件 Hill 估計式(Cond. CHE)等模型的參數估計。

以下我們分為三個部分，分別討論ARMA(p1,q1)~GARCH(p2,q2)配適結果、門檻值的決定，以及全樣本極值模型的估計結果：

一、條件法ARMA(p1,q1)~GARCH(p2,q2)配適結果

在條件模型中，我們以ARMA(p1,q1)以及 GARCH(p2,q2)，分別描述條件平均數以及條件變異數，我們透過AIC(Akaike information criterion)認定 ARMA 模型的階次，並以準最大概似法(pseudo-maximum-likelihood )進行參數估計，並取出標準化後的殘差數列。表5-1 至表 5-9 表示各國匯率日報酬率，配適

ARMA(p1,q1)~GARCH(p2,q2)之後的結果；由參數估計值的顯著性來看，模型的參數估計值在5%顯著水準之下均顯著異於 0，代表 ARMA(p1,q1)~GARCH(p2,q2)的模型設定是恰當的；進一步針對標準化殘差進行序列相關的檢定，透過相差12 期的

在文檔中資料相依性與門檻水準的選擇對極値理論的影響－外匯市場風險值的應用 (頁 30-0)

第三章 極值理論模型介紹

第二節 資料相依性與風險值

Z

X

μ

σ

t

n

μ

σ

Z 則是來自平均數 0，變異數為 1，分

Z 的分配呈現厚尾，連帶使得報酬率的條件

Z 分配的尾部，就能夠正確的預估

I 為截至目前所能取得的訊息集合，則往前一期的條件機率分配可改

x P Z x I F x

F

μ σ μ σ

μ

σ

z

( x

μ

)

σ

zˆ 分配的尾

zˆ ，亦即條件在

I 之下，往前一期的風險

z

VaR

μ

σ

μ

σ

I 之下，條件平均數與標準差往前一期的預測值。

F x

ax

bx

α

β

β

m

m

n

n

( ξ

m

ξ ) N ( B

ξ

)

m

B 代表大樣本偏誤項。

ξ

m

n

n

m

( )

n

Asy E ξ

m

ξ

m

β

α

β

β

β

( ) ( )

( ) ( )

第四章 實證結果

P

X P

P 代表當日的匯率，

P 代表前一天的匯率；去除無交易天數及明顯錯誤的

第三章極值理論模型介紹

第二節資料相依性與風險值

( ^ξ

^m

^ξ ) ^N ( ^B

^ξ

( ) ⁽ ⁾

第四章實證結果