第一節 VaR 概念之介紹
風險值模型由J.PMorgan (1996)所創始，經過數年的演進，遂成為歐美大型金 融機構風險管理工具，近年來已經成為慣用的風險控管方法。因應商品蓬勃發展，
以及金融市場波動，風險值儼然成為新興風險管理工具。
風險值主要的定義為：持有某資產一段期間，在既定的信賴水準下，所有可能 遭受的最大損失金額。風險值最大的優點在於能夠量化風險，金融機構為了內部控 管及調整，已經將風險值視為衡量市場風險的標準。風險值能夠如此成功之原因，
在於可衡量下方風險，表現出風險偏好，更可以跨資產、部門做比較，對企業的管 理當局而言，風險值還能使企業正視其未來因市場波動，可能造成企業價值的減 損，進而促使企業採取適當的避險策略，以降低可能的鉅額損失。
依據Jorion(2001)說法：風險值是指在某一個固定信賴水準之下(a given
confidence level)，衡量某一目標期間(a target time horizon)，因市場環境變化所持有 投資組合產生之最大預期損失金額；換言之，在給定持有期間T 與一個給定的信賴 水準值(1−
α
)%下，持有一投資組合或單一資產投資部位，若極端事件發生，可能 發生的最大損失之估計。例如：管理者手上有N 元的投資組合，在信賴水準(1−α
)%下的風險值為VaR，則其最可能的最大損失金額為 N×VaR 的金額。風險值的表示 方式如下：
) *
( )
Pr(R<VaR =
∫
−∞∞r x dx=α
其中， R 為投資組合在某一特定時點的報酬率。
風險值是一個新興的風險管理工具，相較於傳統的風險評量方式，其擁有動態 管理、量化風險、可跨資產比較的優點，也因此其估計方法、應用範圍也愈加周延、
廣泛。風險值對於資產報酬分配的假設、選擇及參數的估計隨著資產特性、樣本而
有所不同，若不能把資產報酬率分配有正確的描述，則所估計的風險值、資產配置 會出現錯估、不具效率性的問題發生。
第二節 國內外文獻
極值理論提供一個完整的架構，能夠針對分配的尾部行為進行研究，自Hill (1975)提出尾部指數(tail index)，估計分配尾端的厚薄尾程度之後，便開始出現許多 針對報酬尾部指數的研究，例如：Koedijk, Schafgans, de Vries (1990)、Loretan and Phillips (1994)、Bond (2006)發現，匯率變動的條件與非條件分配具有非常態且厚尾 的現象，這代表極端值出現的機率比在常態分配下為高，故根據常態分配假設所計 算的VaR 會較實際值為低；Bali(2003)分析美國國庫券殖利率極值變化之近似分配 類型，發現相對於厚尾Frechet 與 Pareto 分配，薄尾 Gumbel 與 exponential 分配強 烈被拒絕，證實利率數列也具有厚尾的性質。
除了無母數的Hill 估計式外，隨後也有學者提出其他極值理論模型，包括「一 般化極值分配」(General Extreme Value Distribution, GEV) (Jenkinson, 1955)與「一般 化柏雷圖分配」(General Pareto Distribution, GPD) (Pickands, 1975；Balkema and de Haan, 1974)使極值理論更臻完善。
極值理論在實證上也產生許多的議題，包括iid的性質對極值理論運用的影 響、風險值的預測績效上，極值理論與其他風險值模型的比較，以及最適門檻水準 的決定等，以下我們將針對上述議題的相關文獻進行討論：
一、iid的性質對極值理論運用的影響
在極值理論的運用上，必須假設資料為iid，但一般實證上大多認為財務數列 一般具有一階序列相關與條件異質性，而資料不具iid的性質是否影響極值理論的 估計，仍為實證上的重要議題。
Hsing (1991) 與 Resnick and Stărică (1996)分別證明，當資料為 ARMA 與 ARCH 類型的相依過程時，Hill 估計式仍具有一致性，代表資料違反iid的假設，非參數法
仍具有穩健性。
另外一些學者則持不同的看法，Kearns and Pagan (1997)指出，當財務資料有波 動聚集現象時，直接應用 Hill 估計式是有問題的；Embrechts, Klüppelberg, and Mikosch (2003)亦發現資料的相依性對 Hill 估計式的影響是存在的；另外就風險值 的預測績效來看，McNeil and Frey (2000)提出結合 ARMA(p,q)模型與 GARCH(1,1) 模型，分別描述利率資料的條件平均數與變異數，取出具iid性質的標準化殘差，
再配適GPD 分配，在風險值預測上具有較佳的績效。
國內的文獻，如王君文(2001)比較條件模型與非條件模型的極值理論法，並與 歷史模擬法進行VaR 衡量的比較，以五個國家的股價指數資料進行分析，結果發現 當所訂定的顯著水準越小時，條件極值模型較非條件模型好。另外，陳俊宏(2002) 以台幣兌美元的即期匯率為實證資料，發現整體而言，在1 日風險值估計的模型上，
條件模型確實比非條件模型好。
文獻的結論有所分歧，iid的性質是否對極值理論的運用有所影響，目前似乎 仍未有定論。
二、極值理論與其他風險值模型的比較
Bali (2003)提出以極值方法估計 VaR，並證明極值理論相較於標準模型可提供 更精確的風險管理與VaR 計算。McNeil and Frey (2000)以 S&P、DAX 與 BMW 股 價指數，以及美元兌法郎、黃金價格為標的，結果發現就VaR 的預測績效，條件法 的極值模型優於其他如常態、 t 分配等模型。Danielsson and de Vries (1997a)也以日 圓兌德國馬克、日圓兌美元以及德國馬克兌美元等匯率資料為標的，證實具厚尾性 質的資料，極值理論能夠提供較準確的VaR 估計值。Longin (2000，2005)對美國 S&P500 指數進行分析，股價指數具有厚尾的性質，而對厚尾資料，極值理論可提 供較準確的分配尾部估計式，產生正確的風險值。
另外國內文獻方面，紀舒文(2000)比較變異數-共變異數法、歷史模擬法、蒙地 卡羅模擬法與極值模型估計法，在VaR 的預測績效上，發現在 1%顯著水準之下，
極值模型方法優於其他VaR 預測模型。
總的來看，在資料具厚尾性質，以及高信賴水準之下，極值理論能夠提供準確 的尾部估計式，進而正確的預估風險值。
三、最適門檻水準的決定
應用Hill 估計式與 GPD 分配時，需事先決定極端值的個數或稱門檻水準 (threshold level)，以界定分配尾部從何處開始。Hall (1990)、Danielsson and de Vries (1997a)、Danielsson, de Haan, Peng and de Vries (2001)分別提出三種方式，以「部分 樣本自體抽樣」的方法為基礎，決定最適門檻水準。
Danielsson, de Vries (2000)利用 Danielsson and de Vries (1997a)所提出之最適門 檻水準估計式，針對S&P500、IBM 股價、以及各國的匯率資料進行分析，得到的 結論為：在1﹪顯著水準之下，使用 RiskMetrics 方法計算的風險值下會低估美國股 價報酬，此時利用歷史模擬法預測VaR 會得到較佳的結果，但是因為歷史模擬法無 法衡量歷史樣本之外，所可能造成損失的其他樣本資料，若是還有較高的變異數也 是需要注意的。所以在很尾部的地方，極值方法的估計值會比RiskMetrics 方法以及 歷史模擬法表現更好。證實在1%顯著水準之下，極值方法的估計值會比 RiskMetrics 方法以及歷史模擬法表現更好。
在最適門檻水準的決定上，國內文獻似乎鮮少著墨，希望透過本文能夠釐清門 檻水準的選取對極值模型的影響。