第四章 實證結果
第三節 樣本外回溯測試
經過上一個部分的介紹，我們了解各國匯率日報酬率分配的尾部特性，接著我 們透過比較實際損失與VaR 預測值的方式，針對各模型的 VaR 進行評估，以驗證 模型的適合度。首先，我們將資料分為樣本內與樣本外二個部分，以樣本內資料估 計模型參數，而樣本外資料則作為回溯測試之用。為評估不同樣本內／外的期間長 度對回溯測試的影響，每個國家的資料我們皆考慮二種樣本內／外期間長度，如表 2：
表2：各國樣本內／外期間設定
樣本內期間 (佔全樣本比例) 樣本外期間 (佔全樣本比例) 期間(I) 1978/1/1~1986/5/23 (40%) 1986/5/24~1998/12/31 (60%) 美元
兌
比利時法郎 期間(II) 1978/1/1~1982/3/16 (20%) 1982/3/17~1998/12/31 (80%) 期間(I) 1978/1/1~1989/6/27 (40%) 1989/6/28~2006/9/20 (60%) 美元
兌
加拿大幣 期間(II) 1978/1/1~1986/8/13 (30%) 1986/8/14~2006/9/20 (70%) 期間(I) 1978/1/1~1986/4/19 (30%) 1984/4/20~1998/12/31 (70%) 美元
兌
德國馬克 期間(II) 1978/1/1~1986/5/23 (40%) 1986/5/24~1998/12/31 (60%) 期間(I) 1978/1/1~1982/3/16 (20%) 1982/3/17~1998/12/31 (80%) 美元
兌
法國法郎 期間(II) 1978/1/1~1986/4/19 (30%) 1986/4/20~1998/12/31 (70%) 期間(I) 1978/1/1~1986/8/13 (30%) 1986/8/14~2006/9/20 (70%) 美元
兌
英鎊 期間(II) 1978/1/1~1982/4/23 (15%) 1982/4/24~2006/9/20 (85%) 期間(I) 1978/1/1~1987/6/12 (45%) 1987/6/13~1998/12/31 (55%) 美元
兌
義大利里拉 期間(II) 1978/1/1~1983/4/1 (25%) 1983/4/2~1998/12/31 (75%) 期間(I) 1978/1/1~1992/5/11 (50%) 1992/5/12~2006/9/20 (50%) 美元
兌
日圓 期間(II) 1978/1/1~1983/9/28 (20%) 1983/9/29~2006/9/20 (80%) 期間(I) 1978/1/1~1988/6/30 (50%) 1988/7/1~1998/12/31 (50%) 美元
兌
荷蘭基爾德 期間(II) 1978/1/1~1986/5/23 (40%) 1986/5/24~1998/12/31 (60%) 期間(I) 1978/1/1~1992/5/11 (50%) 1992/5/12~2006/9/20 (50%) 美元
兌
瑞典克朗 期間(II) 1978/1/1~1989/6/27 (40%) 1989/6/27~2006/9/20 (60%)
二種期間設定的實證結果列於表7。
在樣本內／外期間長度認定完成之後，我們介紹回溯測試的實證方法；首先，
我們以遞迴視窗(recursive windows)的方式，先以樣本內資料估計模型參數，再產生 往前一期的VaR 預測值，將該期之實際報酬率(絕對值)與 VaR 預測值比較，若實際 報酬率大於VaR 預測值，則計失敗一次；接著，將樣本內期間往前推進一期，產生
新的樣本內資料，進行模型參數估計、VaR 預測並與實際值比較；如此重複上述的 作業，與樣本外長度相同的次數(以美元兌比利時法郎(USD/BEF)為例，為 3094 次)，
計算回溯測試期間之失敗率：
回溯測試天數
敗次數 回溯測試期間內溯測試失
回溯測試期間失敗率= ，
並定義回溯測試期間失敗率為實際失敗率；接著比較實際失敗率與既定的理論失敗 率，若實際失敗率愈接近理論失敗率，則表示該模型的VaR 預測績效愈佳，即該模 型為合適的VaR 預測模型。此處，我們考慮四種 VaR 的信賴水準，分別為 95%、
99%、99.5%與 99.9%，其對應的理論失敗率為 5%、1%、0.5%與 0.1%。此外，我 們希望建立一個基礎，以比較VaR 的預測績效，因此我們透過歷史模擬法(Historical Simulation, HS)及 GARCH 模型產生之 VaR 預測值，希望透過此二模型比較出各模 型的優劣。回溯測試的結果列於表7。
接著，我們先比較實際失敗率與理論失敗率，之後再針對二者差距之顯著性進 行檢定，並以檢定結果進行客觀的VaR 預測績效比較。
一、理論失敗率與實際失敗率之比較
比較表7 的理論失敗率與實際失敗率，我們發現整體而言，模型的 VaR 預測值 較為保守，大部分情況下，實際失敗率低於理論失敗率，顯示模型的VaR 預測值略 高估真實的風險情況。但也有例外的情況，非條件GEV 模型的 VaR 預測值，在大 多數國家呈現低估的狀況，特別在95%信賴水準下，低估的情況尤為嚴重，以 USD/CAD 為例，左尾第 5 百分位數為門檻值所對應的區塊長度之下，實際失敗率 高達0.1280，嚴重低估風險的情況；另外 GARCH 法在高信賴水準的部分，也會有 低估VaR 的現象。
各模型VaR 預測績效的比較，我們在下一個部分以概似比統計量輔助，進行客 觀的比較。
二、概似比檢定結果
進一步，我們透過Kupiec (1995)的概似比統計量(LR statistics)，判斷實際失敗 率與理論失敗率的差距是否達到統計的顯著性，以期做出更客觀的VaR 預測績效比 較。概似比統計量略分述如下：
]
~) 1 (
~) ln[(
2 ]
*) 1 (
*) ln[(
2
p
vp
nb vp
vp
nb vLR
=− − − + − −其中，
n 為回溯測試天數，
b v為回溯測試期間內累計失敗次數，p 為理論失敗率，
* )/
~(
n
bv
p
= 代表回溯測試期間實際失敗率；在虛無假設~p
=p
*之下，LR 統計量服從 自由度1 的卡方分配，5%顯著水準之下的臨界值為 3.841；若 LR 統計值大於 3.841，則在5%顯著水準下，拒絕實際失敗率與理論失敗率無顯著差異的虛無假設。
根據上述LR 統計量，LR 統計值小於 5%顯著水準之下的臨界值(3.841)，代表 實際失敗率接近理論失敗率，模型預測績效較佳；由此，我們以各模型LR 統計量 不顯著的次數，作為比較的基礎，希望對模型預測績效做出客觀的比較。
我們以各門檻值決定方式所評估的模型預測績效，比較各模型於各國的表現，
進行綜合的比較，詳細比較方式分述如下：以美元兌德國馬克(USD/DEM)之期間(I) 為例，非條件法之下，在左尾第5 百分位數為門檻值時，HS 與 CHE 在 4 個信賴水 準中，有3 個 LR 統計量顯示實際失敗率與理論失敗率無顯著差異，為最佳預測模 型；在左尾第1 百分位數為門檻值之下，HS、GPD 與 CHE 有 3 個 LR 統計量不顯 著；Hall(1997)、Daneilsson(1997a)與 Daneilsson(2001)均顯示 HS、GPD 及 CHE 為 最佳模型(4 個中有 3 個)；整體來看以 HS 與 CHE 為非條件法之下的最佳模型。同 樣的方式，條件法以條件GEV 為最佳模型(4 個中有 4 個)。在分別比較非條件法與 條件法之最佳模型之後，我們將所有模型之預測績效做比較，評選出具最佳預測績 效之模型；同樣以美元兌德國馬克為例，條件GEV 以 4 個信賴水準皆準確預測的 表現，勝過其他模型。以上述方式比較各國之模型預測績效表現，結果如表3：
表3：各國之最佳預測績效模型
一、各國匯率報酬率VaR 之最佳預測績效模型
各模型對於各國匯率報酬率之預測績效略有差異。首先，我們就非條件法之模 型對各國匯率報酬率VaR 預測績效進行分析；參數法的 GEV 對美元兌法國法郎 (USD/FRF)、美元兌英鎊(USD/GBP)及美元兌瑞典克朗(USD/SEK)的匯率報酬率 VaR 有較佳的預測績效；而GPD 則在面對美元兌比利時法郎(USD/BEF)、美元兌加拿大 幣(USD/CAD)、美元兌法國法郎(USD/FRF)、美元兌英鎊(USD/GBP)、美元兌義大 利里拉(USD/ITL)以及美元兌日圓(USD/JPY)的匯率報酬率時，具有優異的預測績效 表現；非參數法的Hill 估計式在美元兌加拿大幣(USD/CAD)、美元兌德國馬克 (USD/DEM)、美元兌英鎊(USD/GBP)與美元兌荷蘭基爾德(USD/NLG)的匯率報酬 率，有優良的VaR 預測績效；另外，作為比較基準的 HS 模型，也在美元兌加拿大 幣(USD/CAD)、美元兌德國馬克(USD/DEM)、美元兌法國法郎(USD/FRF)、美元兌 日圓(USD/JPY)以及美元兌瑞典克朗(USD/SEK)匯率報酬率 VaR 的部分，亦有水準 之上的表現。綜合上述，以參數法的GPD 模型對較多國家的匯率報酬率，具有良 好的VaR 預測能力。
接著，我們探討各個條件模型對各國匯率報酬率之VaR 預測績效；就參數法的 條件GEV 模型來看，美元兌德國馬克(USD/DEM)、美元兌英鎊(USD/GBP)、美元 兌義大利里拉(USD/ITL)、美元兌日圓(USD/JPY)及美元兌荷蘭基爾德(USD/NLG) 之匯率報酬率VaR，有優異的預測績效；條件 GPD 模型則在預測美元兌加拿大幣 (USD/CAD)、美元兌法國法郎(USD/FRF)、美元兌義大利里拉(USD/ITL)、美元兌日 圓(USD/JPY)、美元兌荷蘭基爾德(USD/NLG)與美元兌瑞典克朗(USD/SEK)的匯率 報酬率VaR 上，有水準之上的表現；而非參數法的條件 Hill 估計式則在美元兌比利 時法郎(USD/BEF)、美元兌加拿大幣(USD/CAD)、美元兌法國法郎(USD/FRF)以及 美元兌瑞典克朗(USD/SEK)匯率報酬率之 VaR，具有較佳的預測績效；另外，作為 比較基準的GARCH 模型，由於在高信賴水準的 VaR 預測上，有明顯低估的現象，
因此GARCH 模型在各國匯率報酬率 VaR 的預測績效表現，均屬劣等。綜合條件法 模型的表現，以條件GPD 表現較為全面，在較多國家的匯率報酬率 VaR 預測績效 上，具有優異的表現。
二、各模型VaR 預測績效之綜合比較
在分析各模型於各國匯率報酬率VaR 的預測績效之後，我們將綜合比較各模型 的VaR 預測績效。
首先，我們比較極值模型與比較基準模型的VaR 預測績效。在非條件法之下，
極值模型與歷史模擬法相比較，表現較為全面，且面對各國匯率都具有水準之上的 績效表現，而歷史模擬法則僅在5 個國家的匯率報酬率 VaR 預測上，有較佳的表現，
因此在非條件法之下由極值模型略為勝出；而條件模型的部分，極值模型與GARCH 模型的比較，作為比較基礎的GARCH 在高信賴水準 VaR 預測上，會嚴重低估 VaR 預測值，不僅無法準確預估風險值，甚至有低估風險情況的危險，因此在面對各國 匯率報酬率時，均無法準確預估風險值，所以條件法的部分，一面倒由極值模型取 勝。綜合上述，極值模型在非條件法或條件法之下，均優於比較基準模型，也進一 步證實極值理論在估計極端風險的能力。
接著，我們分別比較非條件法與條件法之下，極值模型的VaR 預測績效。就非 條件法來看，以在9 個國家的匯率報酬率中，有 6 個國家表現優異的 GPD 模型最 佳；其次為CHE，在 4 個國家中有優秀表現；而 GEV 模型僅在 2 國匯率報酬率的 VaR 具有良好的預測績效，敬陪末座。在條件法的部分，以條件 GPD 模型最佳，
在9 個國家的匯率報酬率 VaR 預測上，有 6 國顯示條件 GPD 具有優良的預測績效；
次之為條件GEV，在 5 個國家中有優異表現；條件 CHE 居末，僅在 4 個國家中有 優秀的績效表現。綜合條件與非條件極值模型，GPD 不論在條件法或非條件法之 下，都具有相當水準的預測績效，具有較全面性的VaR 預測能力；此外，整體而言，
條件GPD 的預測績效最佳，其次為表現相近的條件 GEV 與條件 CHE。
最後，根據上述分析，我們對參數法與非參數法的極值模型進行比較，就非條 件法而言，參數法的GPD 模型勝過非參數法的 CHE 模型，但同樣為參數法的 GEV 模型卻遜於CHE 模型；而在條件法之下，參數法的 GPD 與 GEV 模型均勝過非參 數法的CHE 模型；由此，我們認為參數法的極值模型較優於非參數法之模型。
三、資料相依性對極值模型估計之影響
文獻上關於iid假設是否對Hill 估計式(CHE)具有影響，根據本文的實證結果，
這個答案是肯定的；以USD/CAD(表 7-2-1)為例，雖然在表 5 中，CHE 在條件法與 非條件法皆有不錯的表現，但實際比較LR 統計量不顯著的次數，非條件 CHE 在 4 個信賴水準中僅有1 個，而條件 CHE 則在 4 個信賴水準中，完全準確預測風險情 況。由此觀之，就本文的匯率報酬率資料而言，Hill 估計式並未如 Dainelsson and de Vries (2000)所言，對具條件異質性之財務數列仍具有穩健性。
此外，根據表3 的比較結果，綜合來看，條件模型在各國的表現，均優於非條 件模型，證實資料的相依性對於VaR 的預測，不僅對 Hill 估計式，甚至是 GEV 以 及GPD 模型，皆有一定程度的影響。本文的實證結果與 Kearns and Pagan (1997)的
此外，根據表3 的比較結果，綜合來看，條件模型在各國的表現，均優於非條 件模型，證實資料的相依性對於VaR 的預測，不僅對 Hill 估計式，甚至是 GEV 以 及GPD 模型，皆有一定程度的影響。本文的實證結果與 Kearns and Pagan (1997)的