從這個階段學生的表現來看，直觀迷思的比例確有降低的趨勢，而 答對率也增高一些；而且，學生認識直觀法則之後，也知道應該要以科 學性的知識去驗證自己的原生直觀，感覺上似乎有些教學成效。但是，
從訪談中發現，“從學生的答案無法確實分辨，是強記或是理解所得的結 果”。因此，個人心中也一直思索著，如何調整下一階段的教學策略與內 容？有些學生對教學內容有部分的印象，卻仍容易混淆，個人推測可能 是，教學由科學性概念的觀點出發之故。所以，只有引入科學性的概念 似乎是不夠的，也就是說，即使個人很清楚的告訴學生，她的想法錯在 何處，她下次還是有可能呈現相同的反應。所以，要讓學生自己發現錯 誤而有所省思，否則即使用再多的方法或觀點來看問題，雖然，答案不 同，她們也只是陷在無法確定哪一個正確的掙扎中，無法讓學生產生真 正的數學理解。
第四章 研究結果
從與學生的訪談和討論中發現，當有人說出接近正確答案時，也會 刺激其他人有新的想法而求出正確的答案。還有，在討論中，個人曾經 舉了一個極端狀況的例子，企圖引導 S0136 發現結果與她的原生想法矛 盾，希望引起她的概念衝突，使她察覺原先想法的錯誤。但是，她並未 如我所預料，立刻發現自己的錯誤，而是有些學生(例如 S0109)已經發現 了，在經過學生的相互討論之後，終於發現問題所在(詳見附錄二之 2 訪 談二逐字稿編碼 278-311)。可見這個自以為設計很好的衝突例子，仍須 經由學生互動、討論、辯證、和澄清的過程，才能顯現它的價值。
對於有些學生否定直觀，認為直觀不太可靠，覺得直觀很討厭，個 人想著：這些是不是因為，我太過強調直觀的迷思，而使學生對自己的 直觀沒有信心？原來的教學目標是，鼓勵學生先猜測，對不對無所謂，
重點是要回過頭來，以科學性知識驗證原先的猜測，希望學生能從猜測 回到理性的驗證。可是，學生卻希望「一猜就會對」，覺得直觀猜測就應 該要「八九不離十」，沒能達成原先的教學目標。原本是想要培養學生的 數學感，修正她們原始的直觀成為二階直觀，可是學生常常把一階直觀 的正確性當成最重要的，個人卻覺得猜測結果的正確性不是最重要的，
希望從二階直觀，帶領她們去檢驗一階的模糊地帶。所以，個人著重在 Skemp 所說的“第二指導系統(即 Delta2)” 的反思歷程，希望她們遇到問 題時，不但要會直觀的猜一猜，還要想一想，可能的範圍是什麼？判斷 直觀的想法是否合理？運用科學性概念來檢驗直觀。而學生卻在“第一指 導系統(即 Delta1)” 1 上，直接地認為猜測要精確。這裡呈現的困難點是：
我的教學設計著重在“反思的 Delta2”，學生卻在“直覺的 Delta1”上，對 答案的精確性耿耿於懷。
Skemp(1989)認為，教師應與學生的第二指導系統合作，以促進第一 指導系統適時地發揮功能。Fischbein 和 Grossman(1997)認為創造一挑戰 的情境，可以鼓勵學習者直覺地猜測；透過學生對個人的猜測和數學上
第四章 研究結果
答案的衝突，可以刺激學習者之興趣，也可幫助克服直觀的障礙，同時，
這也可以促進對答案理論具體的暸解。而我的目標就是，想喚起學生察 覺與反思的能力，幫助學生克服直觀的障礙，但是，學生卻處於另一個 層次上因而無法領會。個人仔細地省思：若是教學的目標正確，那麼做 法要修正，可能是與學生的溝通與討論不夠充分，以致於有些學習較緩 慢的學生無法跟上？個人強調的，是“需要驗證的過程”，而學生以為“直 觀都是錯的”。Skemp(1987, p.66)也認為，“溝通似乎是有助於反思智慧 發展的一個主要因素，而且，教師無法取代學習者腦海內 Delta2 的工 作＂。所以，我們能做的是，提供良好的學習情境和材料，在合作的關 係下，讓學習者可以自由地使用機略建構模式進行學習 (Skemp, 1989)。
這是對下一階段研究的重要啟示。
Skemp(1989)曾把教師與學生之間教與學的落差，歸因於教師想要的 關係性理解與學生的機械性學習本質的不同。學生只是想，能夠算出答 案即可，要的是方法，其餘的並不在乎；正與教師的期望相反，個人是 希望學生能利用關係式的理解學習數學。另外，有些學生始終是慣性地 學習數學，她們的學習過程是非常複雜的，也不是教師可以完全控制的。
那麼要如何改變學生的慣性學習？個人認為，應更鼓勵學生「多說」，
「互動」對於學生的學習是非常重要的，無論是師生間的互動或同儕間 的互動或學生自己本身新舊經驗的互動，因為概念只能溝通不能傳遞，
學生必須自行建構對他有意義的概念，而教師所能做的是，提供足夠的 材料及良好的學習環境，使學生有機會將自己的概念與別人交互作用，
有機會比較自己的新舊經驗，經過不斷的比較、澄清、和辯證的過程，
幫助學生自行反思到她們思考數學的過程，並調整思考的歷程與內涵，
也就是說，幫助她們發展反思的智力(Reflective Intelligence )。
在省思這些問題的同時，也進入本行動研究的下一個循環，調整原 來的教學策略，並加入全班討論的活動。
第四章 研究結果